代数の基礎

　集合 G に乗法とよばれる演算 j : G ´ G ® G が与えられ、j(a, b) を単に ab と書いて、結合律：

(1-1)  (ab)c = a(bc)

を満たすとき G を半群といい、更に単位元、すなわち任意の aÎG に対して

(1-2)  ea = ae = a

を満たす eÎG を持つとき G をモノイドといいます。単位元は存在すれば一意的です。もっと一般に、左単位元すなわちすべての aÎG に対して ea = a となる e と、右単位元すなわちすべての aÎG に対して ae' = a となる e' が存在すれば両者は一致します。実際、e = ee' = e' となるからです。
　モノイド G の元 a に対し、

(1-3a)  ba = e

となる bÎG が存在するとき、a は左可逆であるといい、b を a の左逆元といいます。同様に、

(1-3b)  ac = e

となる cÎG が存在するとき、a は右可逆であるといい、c を a の右逆元といいます。
　左逆元 b と右逆元 c が存在すれば両者は一致します。実際、b = be = b(ac) = (ba)c = ec = c となるからです。このとき a は可逆であるといい、この一意に定まる b = c を a の逆元とよんで a^-1 と書きます。このとき

(1-4a)  (a-1)-1 = a

(1-4b)  (ab)-1 = b-1a-1

が成り立ちます（「数学の基礎」第14節 (14-7),(14-9) 参照）。
　モノイドは、すべての元が可逆なとき群といいます（「数学の基礎」第14節参照）。なお、半群は、左単位元と左逆元を持つ、又は右単位元と右逆元を持てば、それぞれ単位元と逆元になり、従って群になります（「数学の基礎」第14節 (14-5) 参照）。

　群 G の元 a と b は、

(1-5)  ab = ba

が成り立つとき可換であるといい、すべての a, bÎG が可換であるような群を可換群といいます。可環群のことをAbel群あるいは加群ともいい、これらの語を使うときは、乗法を加法的に a + b と書き、単位元を 0 と書いて零元とよび、a の逆元を - a と書きます。
　群 G の濃度を #G と書き、G の位数といいます。位数が有限の群を有限群といいます。

　群 G の部分集合 H は、G の乗法について閉じており、G の単位元と H の元の逆元をすべて含むとき G の部分群といいます。このとき H は G の乗法に関して群になります。
　G の部分群 H に対し、aH :º { ax | xÎH } , Ha :º { xa | xÎH } と置き、更に

(1-6a)  G/H :º { aH | aÎG }

(1-6b)  G\H :º { Ha | aÎG }

と置いて、それぞれ G の H による左剰余類、右剰余類といいます。(1-6) それぞれの右辺は G の分割になっています。
　実際、aHÇbH ¹ Æ と仮定します。このとき cÎaHÇbH となる c が存在して a^-1c, b^-1cÎH となります。任意に xÎaH を取れば、a^-1xÎH ですから b^-1x = (b^-1c)(c^-1a)(a^-1x) = (b^-1c)(a^-1c)^-1(a^-1x)ÎH すなわち xÎbH となります。逆もいえるので、結局 aH = bH となり、(1-6a) は G の分割になっていることがわかります。(1-6b) についても同様です。

　さて、aH = bH  Û  Ha^-1 = (aH )^-1 = (bH )^-1 = Hb^-1 ですから、左剰余類の aH と右剰余類の Ha^-1 は一対一に対応し、両剰余類は等濃であることがわかります。ゆえにこれらの濃度を G における H の指数とよんで (G : H ) と書きます。
　このとき H を G の部分群、K を H の部分群とすれば、

(1-7)  (G : K ) = (G : H )(H : K )

が成り立ちます。
　実際、G = È{ aH | aÎA } と H = È{ bK | bÎB } を (a, a'ÎA Ù a ¹ a' )  Þ  aH ¹ a'H かつ (b, b'ÎB Ù b ¹ b' )  Þ  bK ¹ b'K であるような分割とすれば、(G : H ) = card A かつ (H : K ) = card B となります。
　このとき G = È{ abK | aÎA , bÎB } となりますが、abK = a'b'K ( a, a'ÎA ; b, b'ÎB ) なら bK, b'K Ì H ですから aH と a'H は共通元を持つことになるので実は一致し、従って a = a' 、従って bK = b'K 、従って b = b' となります。
　ゆえに (G : K ) = card{ abK | aÎA , bÎB } = card (A ´ B) = card A card B となって (1-7) が得られます。

　特に (1-7) で K = {e} とすれば、

(1-8)  #G = (G : H ) #H

が得られ、特に #G , #H , (G : H ) のうち二つが有限なら残る一つも有限で、#H と (G : H ) は #G の約数になっていることがわかります。

　さて、G の部分群 H と aÎG に対して aHa^-1 も G の部分群です。実際、e = aea^-1 , (axa^-1)(aya^-1) = a(xy)a^-1 , (axa^-1)^-1 = ax^-1a^-1 となるからです。
　そこで、G の部分群 H と K に対して

(1-9)  H ~ K  :º  $aÎG : K = aHa-1

と定義すれば、二項関係 ~ は、G の部分群の間の同値関係になります。
　実際、H = eHe^-1 が成り立ち、K = aHa^-1 なら H = a^-1K(a^-1)^-1 であり、K = aHa^-1 かつ L = bKb^-1 なら L = (ba)H(ba)^-1 となるからです。
　そこで H ~ K であるような部分群 H と K は共役であるということにします。特に、部分群 N に共役な部分群が自分自身しかないとき、すなわち任意の aÎG に対して

(1-10)  aNa-1 = N

が成り立つとき、N を正規部分群とよび、N v G あるいは G w N と書きます。明らかに、可環群では部分群はすべて正規部分群です。N v G であることを示すには、

(1-11a)  "aÎG : aNa-1 Ì N

(1-11b)  "aÎG : a-1Na Ì N

のいずれかが証明できれば十分です。
　実際、aÎG と a^-1ÎG は同じことですから (1-11a),(1-11b) は同値であり、(1-11b) の左から a を、右から a^-1 を乗じれば (1-11a) の逆の包含関係が導かれるからです。

　N が正規部分群なら、aN = Na なので左右の剰余類は一致し、aNbN = a(bNb^-1)bN = abNN = abN ですから、G/N は eN = N を単位元とし、a^-1N を aN の逆元とする群になります。G が可環群なら G/N も可環群です。また、定義から明らかなように、N Ì H Ì G なら

(1-12)  N v G  Þ  N v H

が成り立ちます。

　S を群 G の部分集合とするとき、S を含む部分群全体の共分は明らかに部分群で、S を含む最小の部分群になります。これを S の生成する群といって áSñ と書きます。特に G = áSñ のとき S を G の生成系といい、更に S が有限部分集合のとき G は有限生成であるといいます。なお S が有限集合の場合、á{a₁ , a₂ ,¼, a_n }ñ のかわりに áa₁ , a₂ ,¼, a_n ñ とも書きます。特に１個の元から生成される群を巡回群といいます。

　群 G の元 a と自然数 n に対し、aⁿ を帰納的に

(1-13a)  a0 = e

(1-13b)  an+1 = ana

で定義し、負の整数 - n に対し、

(1-14)  a-n = (an )-1

と定義します（ただしAbel群で群の乗法を加法的に書く場合は、aⁿ のかわりに na と書きます）。このとき、(1-14) はすべての整数 n について成り立ち、しかも任意の整数 n と m に対し、指数法則：

(1-15a)  an+m = anam

(1-15b)  an m = (an )m

が成り立ちます（「数学の基礎」第15節 (15-36) 参照）。
　この指数表示を用いると、aÎG の生成する巡回群 áañ は { aⁿ | nÎZ } と書くことができ、(1-15a) により áañ は可環群であることがわかります。

　群 G の元 a は、巡回群 áañ が有限群であるとき捩れ元といい、áañ の位数を元 a の位数といいます。G の捩れ元の全体を Tor G と書きます。これは G が可換群なら B の部分群です。また、捩れ元でない元は無限位数を持つといいます。
　明らかに aⁿ = e となる整数 n ¹ 0 が存在すれば a は捩れ元ですが、逆に a が捩れ元なら a^k ( 0 £ k < n ) が相異なるような最大の n が存在します。すると aⁿ = aⁱ となる自然数 i < n が存在しますが、i > 0 とすると a^n-i = e = a⁰ となり、0 ¹ n - i < n なので矛盾するので aⁿ = e がわかります。
　さて、任意の自然数 k に対し、k = in + r ( 0 £ r < n ) と表わすと（「数学の基礎」第12節参照）、(1-15) により a^k = a^in+r = (aⁿ )ⁱa^r = a^r となるので áañ = { a^r | 0 £ r < n } が成り立ち、n は a の位数であることがわかります。また、一般に a^k = e となる整数 k を a の指数といいますが、このとき r = 0 となるので、指数は位数の倍数であることがわかります。また、群 G のすべての元が指数 n を持つとき、n を G の指数といいます。

　巡回群 G = áañ の部分群 H は巡回群です。
　実際、H = {e} なら明らかなので、そうでないとすると、a^kÎH となる最小の正整数 k が存在します。任意の a^mÎH に対し、m = ik + r ( 0 £ r < k ) と表わせば、a^r = a^m-ik = a^m(a^k)^-iÎH ですから r = 0 すなわち m は k の倍数となり、これは H = áa^k ñ を意味します。
　また、G は可環群なので H は正規部分群ですから、その商群 G/H を考えることができ、これは明らかに巡回群です。

　また、位数 n の有限群 G は指数 n を持ちます。
　実際、任意の aÎG に対し、áañ Ì G ですから áañ は有限群、すなわち a は捩れ元です。また áañ は有限群 G の部分群ですから、(1-8) により a の位数 #áañ は G の位数 #G の約数です。ゆえに n は a の指数です。

　H を群 G の部分群とします。このとき捩れ元 aÎG が a の位数と互いに素（「数学の基礎」第12節参照）な n に対して aⁿÎH なら aÎH です。
　実際、a の位数を m とすると、「数学の基礎」第12節 (12-13) により im - jn = 1 となる整数 i , j が存在するので a = a^{mi-n j} = (a^m)ⁱ(aⁿ )^-j = (aⁿ )^-jÎH となります。

　半群 G から半群 G' への写像 f は、任意の a, bÎG に対して

(1-16)  f(a) f(b) = f(ab)

を満たすとき準同型といいます。
　ここでもし G がモノイドなら、G の単位元 e の像 f(e) は f の像 f [G] の単位元になるので f [G] もモノイドになり、更に G が群なら f(a^-1) は f [G] における f(a) の逆元になるので f [G] も群になります。更に G が可環群なら f [G] も可環群です。
　また G と G' が共に群ならば、G' の単位元を e' と書けば

(1-17a)  f(e) = e'

(1-17b)  f(a-1) = f(a)-1

が成り立ちます（「数学の基礎」第14節 (14-11),(14-13) 参照）。一対一の準同型を単準同型、上への準同型を全準同型といいます。単準同型かつ全準同型のとき同型といいますが、同型の逆写像も同型になります。

　群の準同型 j : G ® G' に対し、G' の正規部分群 N' の j による逆像 N も正規部分群です。
　実際、任意の aÎG に対して j[aNa^-1] Ì j(a)j[N ]j(a^-1 ) Ì j(a)N'j(a)^-1 Ì N' となるからです、

　また、j が全準同型なら、G の正規部分群 N の j による像 N' も正規部分群です。
　実際、任意の bÎG' に対して f(a) = b となる aÎG を取れば、bN'b^-1 = j(a)j[N ]j(a^-1 ) Ì j[aNa^-1 ] Ì j[N ] = N' となるからです、

　特に j の核 Ker j を

(1-18)  Ker j :º j-({e' }) = { xÎG | j(x) = e' }

で定義すれば、これは正規部分群 {e' } の逆像ですから正規部分群です。
　逆に、N v G ならば、標準写像 p : G ® G/N を p(a) = aN で定義すれば、p は全準同型で、Ker j = N が成り立ちます。すなわち正規部分群（から G への埋め込み写像）とは群の圏における正規な射のことに他なりません（「数学の基礎」第14節参照）。

　さて、群の準同型 j : G ® G' に対し、N :º Ker j と置くと、aN = bN  Û  ab^-1ÎN  Û  j(ab^-1) = e'  Û  j(a)j(b)^-1 = e'  Û  j(a) = j(b) ですから、次のような、群としての同型が成立します：

(1-19)  G/Ker j  @  j[G]

これを（第一）準同型定理といいます。
　Z は明らかに加法に関してAbel群になりますが、写像 j : Z ® G を j(n) = aⁿ で定義すれば、j[Z] = áañ で、(1-15a) により j は準同型で、j の核は、a が位数 n の捩れ元のときは nZ で、無限位数を持つときは {e} です。よって (1-19) により、前者なら áañ @ Z/nZ が、後者なら áañ @ Z が成り立ちます。

　また、H を群 G の部分群、N v G とすると、a, bÎH , x, yÎN なら axby = ab(b^-1xb)yÎHHNN = HN 及び (ax)^-1 = x^-1a^-1 = a^-1(ax^-1a^-1)ÎHN ですから HN は G の部分群です。
　一方、aÎH , xÎN なら axN = N ですから、j(a) = aN で定義される準同型 j : H ® HN/N は全準同型で、Ker j = HÇN となります。ゆえにこの j に第一準同型定理を適用すれば、

(1-20)  H/(HÇN )  @  HN/N

が得られます。これを第二準同型定理といいます。
　また、N, N' v G かつ N' Ì N とするとき、aN' = bN'  Þ  aN = bN ですから、j : G/N' ® G/N を j(aN' ) = aN で定義することができ、j は全準同型で Ker j = N/N' となります。ゆえにこの j に第一準同型定理を適用すれば、

(1-21)  (G/N' )/(N/N' )  @  G/N

が得られます。これを第三準同型定理といいます。

　ある圏（「数学の基礎」第７節参照）の対象 X に対し、域と余域が共に X であるような射の全体を End (X ) と書き、同型射の全体を Aut (X ) と書きます。End (X ) は射の合成に対して恒等射を単位元とするモノイドになり、Aut (X ) は群になります。
　特に X が集合の圏の対象のとき、Aut (X ) を X 上の置換群とよび、その元を置換といいます。特に { 1, 2 ,¼, n } 上の置換群をn次対称群とよび、S_n と書いて、その元をn次の置換とよぶことにします。
　{ i₁ , i₂ ,¼, i_n } = { 1, 2 ,¼, n } のとき、s(i_k) = j_k ( 0 £ k £ n ) であるような置換 s を

(1-22)  s =	æ è	i1	i2	¼	in	ö ø
		j1	j2	¼	jn

と書きます。ただし i_k = j_k であるような列は省略することもあります。また、このように列を省略した状態で j_k = i_k+1 ( k < m ) , j_n = i₁ となっているm列の置換をm次の巡回置換といい、その場合は (1-22) の下段を省略します。特に２列からなる巡回置換を互換といいます。
　1 £ k £ N のとき、sÎS_n に対する { 1, 2 ,¼, k } への制限 s_k の全体は、全部で _nP_k 個（「数学の基礎」第12節 (12-22) 参照）存在します。なぜなら s_k+1 は、s_k と残り n - k 個の中から任意に選んだ s(k + 1) によって定まるからです。よって特に

(1-23)  #Sn = n!

であることがわかります。

　さて、任意のn次の置換は、巡回置換のいくつかの積で表わされることを n に関する帰納法で証明しましょう。
　任意に sÎS_n を取り、i₀ = 1 , i_k+1 = s(i_k) と置きます。s の定義域は有限集合ですから、i_k = i_l となる自然数 k < l の組が存在します。もし k > 0 なら s(i_k-1) = i_k = i_l = s(i_l-1) で、s は単射ですから、i_k-1 = i_l-1 となります。ゆえに帰納法により k = 0 と仮定しても一般性を失いません。いいかえると i_l = 1 となる l > 0 が存在します。
　l をそのような最小の正整数とします。もし 0 £ j < k < l に対して i_j = i_k となったとすると、上と同様な論法により 1 = i₀ = i_m となる正整数 m < l が存在して矛盾するので I = { i_k | k = 0, 1 ,¼, l - 1 } は互いに異なる l 個の元からなる集合です。
　ゆえに { 1, 2 ,¼, n } から I を除いた残りを J とすると、s は、s の I への制限 s_I と J への制限 s_J の積に分解され、s_IÎAut (I ) , s_JÎAut (J ) となります。このとき s_I はl次の巡回置換であり、s_J は card J = n - l < n ですから、帰納法の仮定により巡回置換の積に分解されます。以上で証明されました。

　ところで任意の巡回置換は ( i₁ i₂ ¼ i_m ) = ( i₁ i₂ )( i₂ i₃ )¼( i_m-1 i_m ) と書けますから、m次の巡回置換は、m - 1個の互換の積で表わされることもわかります。
　更に、i < j なら (i  j + 1) = (i  j)( j  j + 1)(i  j) ですから、j に関する帰納法により、任意の互換は、隣り合う互換 ( j  j + 1) のいくつかの積で表わされることもわかります。
　以上を組み合わせると、任意のn次の置換は、隣り合う互換のいくつかの積で表わされることがわかりました。

　sÎS_n は、P_n = { I Ì {1, 2 ,¼, n } | card I = 2 } の部分集合

(1-24)  Rev (s) = { {i, j}ÎPn | i < j  Û  s(i) > s( j) }

の濃度が偶数のとき偶置換、奇数のとき奇置換といいます。s, tÎS_n なら、1 £ i < j £ n のとき

(1-25)  st(i) > st( j)  Û  [ ( t(i) < t( j)  Ù  s(t(i)) > s(t(i)) )  Ú  ( t(i) > t( j)  Ù  s(t(i)) > s(t(i)) ) ]

ですから、P_n からそれ自身への写像 t⁺ を、t⁺({i, j}) = {t(i), t( j)} で定義すれば、

(1-26)  Rev (st) = [ (t+)-( Rev (s))  \  Rev (t) ] È [ Rev (t)  \  (t+)-( Rev (s)) ]

となり、集合 Rev (t) Ç (t⁺)^-( Rev (s)) の濃度を k とすれば、t⁺ は全単射ですから

(1-27)  card Rev (st) = [ card (t+)-( Rev (s)) - k ] + [ card Rev (t) - k ] = card Rev (s) + card Rev (t) - 2k

　そこで、置換 s の符号を

(1-28)  sgn s º (-)s º (- 1)card Rev (s)

で定義すれば、(1-27) により

(1-29)  sgn (st) = sgn s sgn t

が成り立ちます。また i < j のとき card Rev (i j) = card ( {{i, k} | i < k < j}È{{k, j} | i < k < j}È{{i, j}} ) = 2( j - i - 1) + 1 ですから互換の符号は - 1 です。ゆえに (1-29) を繰り返し用いることにより、m次の巡回置換の符号は (- 1)^m-1 であることがわかります。