代数の基礎

　一般に集合 X から Y への写像の全体を F (X, Y ) と書くことにします。fÎF (X ´ Y, Z ) と f 'ÎF (X, F (Y, Z )) と f "ÎF (Y, F (X, Z )) は、関係

(4-1)  f(x, y) = f '(x)( y) = f ''( y)(x)

によって互いに同一視することができます。すなわち

(4-2)  F (X ´ Y, Z ) = F (X, F (Y, Z )) = F (Y, F (X, Z ))

とみなすことができます。ゆえにこのことを繰り返し用いれば、

(4-3)  F (X1 ´ X2 ´ ¼ ´ Xn , Y ) = F (X1 , F (X2 ,¼, F (Xn-1 , F (Xn , Y ))¼))

という同一視が可能です。特にすべての X_i と Y がR-加群のとき、右辺の F を Hom で置き換えた集合に対する左辺の部分集合を

(4-4)  B(X1 , X2 ,¼, Xn ; Y ) = Hom (X1 , Hom (X2 ,¼, Hom (Xn-1 , Hom (Xn , Y ))¼))

と書くことにし、その元を多重線形写像といいます（n = 2 のときは双線形写像ともいいます）。なお Y = R のときは、Y を省略して B(X₁ , X₂ ,¼, X_n ) とも書きます。なお、(4-4) により

(4-5a)  B(X1 , X2 ,¼, Xn ; Y ) = Hom (X1 , B(X2 ,¼, Xn ; Y )) = B(X1 ,¼, Xn-1 , Hom(Xn , Y ))

(4-5b)  B(X1 , X2 ,¼, Xn , Y1 , Y2 ,¼, Ym ; Z ) = B(X1 , X2 ,¼, Xn ; B(Y1 , Y2 ,¼, Ym ; Z ))

が成り立ちます。また X , Y , Z がすべてR-加群のときは、(4-1)(4-2) の同一視により

(4-6)  Hom (X, Hom (Y, Z )) = Hom (Y, Hom (X, Z ))

が成り立つので、(4-4),(4-6) と、任意の置換 sÎS_n に対し、s が隣り合う互換の積で表わされる（第１節参照）ことに注意すれば、

(4-7)  B(X1 , X2 ,¼, Xn ; Y ) = Hom (Xs(1) , Hom (Xs(2) ,¼, Hom (Xs(n-1) , Hom (Xs(n) , Y ))¼)) = B(Xs(1) , Xs(2) ,¼, Xs(n) ; Y )

が成り立ちます。さて、

(4-8)  fÎB(X1 , X2 ,¼, Xn ; Y ) , jÎHom (Y, Z )  Þ  j ° fÎB(X1 , X2 ,¼, Xn ; Z )

を帰納法で証明しましょう。
　実際、f に対応する (4-5a) の右辺の元を f 'ÎB(X₁ ,¼, X_n-1 , Hom(X_n , Y )) と書き、gÎHom (X_n , Y ) に j _° gÎHom (X_n , Z ) を対応させる写像を j' と書けば、j' は線形ですから、帰納法の仮定により j' _° f 'ÎB(X₁ ,¼, X_n-1 , Hom(X_n , Z )) となります。一方

(4-9)  (j' ° f ' )(x1 ,¼, xn-1 )(xn ) = j'( f '(x1 ,¼, xn-1 ))(xn ) = {j ° ( f '(x1 ,¼, xn-1 ))}(xn ) = j( f '(x1 ,¼, xn-1 )(xn )) = j( f(x1 ,¼, xn ))

すなわち j' _° f ' = (j _° f )' が成り立つので、再び (4-5a) の同一視により (4-8) が得られます。

　さて、R-加群 X₁ , X₂ ,¼, X_n に対し、R-加群 Y と fÎB(X₁ , X₂ ,¼, X_n ; Y ) の組を対象とよび、２つの対象 (Y, f ) と (Z, g) に対して j _° f = g を満たす jÎHom (Y , Z ) を前者から後者への射とよべば、これは一つの圏を構成します。
　そこで、この圏の始対象 ( X₁Ä ¼ ÄX_n , i ) を X₁ , X₂ ,¼, X_n のテンソル積といい、i をその標準写像といいます。すなわち X₁ , X₂ ,¼, X_n のテンソル積とは、任意のR-加群 Y に対して

(4-10)  "fÎB(X1 , X2 ,¼, Xn ; Y ) : $!jÎHom (X1Ä ¼ ÄXn , Y ) :  f = j ° i

を満たすR-加群 X₁Ä ¼ ÄX_n と多重線形写像 i : X₁ ´ ¼ ´ X_n ® X₁Ä ¼ ÄX_n の組のことです。なお、i(x₁ , x₂ ,¼, x_n ) のことを x₁Äx₂Ä ¼ Äx_n と書くこともあります。
　以下、任意のR-加群 X₁ , X₂ ,¼, X_n に対してそのテンソル積が存在することを証明しましょう。
　A と i : X₁ ´ X₂ ,¼ ´ X_n ® A の組を X₁ ´ X₂ ,¼ ´ X_n の生成する自由加群とします。このとき

(4-11)  N = sp { i(x1 ,¼, xk-1 , ax + by, xk-1 ,¼, xn ) - ai(x1 ,¼, xk-1 , x, xk-1 ,¼, xn ) - bi(x1 ,¼, xk-1 , y, xk-1 ,¼, xn ) | a, bÎR ; x, yÎXk ; 1 £ k £ n }

と置いて、X₁Ä ¼ ÄX_n = A/N と置き、A から A/N への標準写像を p として i = p _° i と置きます。
　このとき、(4-11) により i は多重線形です。次に任意の fÎB(X₁ , X₂ ,¼, X_n ; Y ) に対し、自由加群の定義により、線形写像 y: A ® Y で f = y _° i となるものが存在します。ここで y が N 上で 0 となることを示しましょう。y の線形性と f の多重線形性により、

(4-12)	y(i(x1 ,¼, xk-1 , ax + by, xk-1 ,¼, xn ) - ai(x1 ,¼, xk-1 , x, xk-1 ,¼, xn ) - bi(x1 ,¼, xk-1 , y, xk-1 ,¼, xn ))
	= y(i(x1 ,¼, xk-1 , ax + by, xk-1 ,¼, xn )) - ay(i(x1 ,¼, xk-1 , x, xk-1 ,¼, xn )) - by(i(x1 ,¼, xk-1 , y, xk-1 ,¼, xn ))
	= f(x1 ,¼, xk-1 , ax + by, xk-1 ,¼, xn ) - af(x1 ,¼, xk-1 , x, xk-1 ,¼, xn ) - bf(x1 ,¼, xk-1 , y, xk-1 ,¼, xn )
	= 0

が成り立ち、Ker y は線形空間ですから、y は N 上で 0 になることがわかりました。よって、線形写像 j : A/N ® Y を y = j _° p となるように定義することができ、f = y _° i = j _° p _° i = j _° i となります。
　また j _° i = j' _° i なら y' = j' _° p と置けば y _° i = y' _° i となるので、自由加群における一意性条件により y' = y となり、p が全射であることから j' = j となるので一意性も証明されました。
　なお、i の像が A を張り、p が全射であることから、i の像は X₁ÄX₂Ä ¼ ÄX_n を張ることがわかります。

　ところで (4-7) により、テンソル積は順序交換について不変、すなわち任意の sÎS_n に対して

(4-13)  Xs(1)ÄXs(2)Ä ¼ ÄXs(n) = X1ÄX2Ä ¼ ÄXn

が成り立つことがわかります。また、テンソル積の定義から直ちに

(4-14a)  Hom (X1ÄX2Ä ¼ ÄXn , Y ) @ B(X1 , X2 ,¼, Xn ; Y )

　特に Y = R とすれば

(4-14b)  (X1ÄX2Ä ¼ ÄXn )* @ B(X1 , X2 ,¼, Xn )

が成り立ちます。

　次に、R-加群 X₁ ,¼, X_n のテンソル積を ( X , i_X ) 、R-加群 Y₁ ,¼, Y_m のテンソル積を ( Y , i_Y ) 、X と Y のテンソル積を ( XÄY , i ) とし、

(4-15)  i = i ° (iX ´ iY )

と置くと、( XÄY , i ) は X₁ , X₂ ,¼, X_n , Y₁ , Y₂ ,¼, Y_m のテンソル積になっていることを証明しましょう。

　実際、まず iÎB(X, Y ; XÄY ) = Hom (X, Hom (Y, XÄY )) ですから、i に対応するこの式の右辺の元を i' とします。
　次に、各 gÎHom (Y, XÄY ) に g _° i_Y ÎB(Y₁ , Y₂ ,¼, Y_m ; XÄY ) を対応させる写像を k とします：

(4-16)  k(g) = g ° iY

　これは明らかに線形写像ですから、(4-8) により k _° i'ÎB(X, B(Y₁ , Y₂ ,¼, Y_m ; XÄY )) = Hom (X, B(Y₁ , Y₂ ,¼, Y_m ; XÄY )) となります。
　一方 i_X ÎB(X₁ , X₂ ,¼, X_n ; X ) ですから、(4-8) により k _° i' _° i_X ÎB(X₁ , X₂ ,¼, X_n ; B(X, B(Y₁ , Y₂ ,¼, Y_m ; XÄY )) となり、

(4-17)  (k ° i' ° iX )(x1 , x2 ,¼, xn )( y1 , y2 ,¼, ym )	= k(i'(iX (x1 , x2 ,¼, xn )))( y1 , y2 ,¼, ym )
	= i'(iX (x1 , x2 ,¼, xn ))(iY ( y1 , y2 ,¼, ym ))
	= i(iX (x1 , x2 ,¼, xn ), iY ( y1 , y2 ,¼, ym ))
	= i(x1 , x2 ,¼, xn , y1 , y2 ,¼, ym )

ですから、i は k _° i' _° i_X に (4-5b) の意味で対応する多重線形写像になっていることがわかります。

　次に任意のR-加群 Z と fÎB(X₁ , X₂ ,¼, X_n , Y₁ , Y₂ ,¼, Y_m ; Z ) に対し、f に対応する (4-5b) 右辺の元を f 'ÎB(X₁ , X₂ ,¼, X_n , B(Y₁ , Y₂ ,¼, Y_m ; Z )) とします。このとき、X から B(Y₁ , Y₂ ,¼, Y_m ; Z ) への線形写像 y が唯一つ存在して

(4-18)  f ' = y ° iX

が成り立ちます。一方 (4-5a),(4-7) により、yÎHom (X, B(Y₁ ,¼, Y_m ; Z )) = B(X, Y₁ ,¼, Y_m ; Z ) = B(Y₁ ,¼, Y_m , X ; Z ) = B(Y₁ ,¼, Y_m , Hom(X, Z )) なので、この式の右辺の y に対応する元を y' とすれば、Y から Hom (X, Z ) への線形写像 c が唯一つ存在して

(4-19)  y' = c ° iY

が成り立ちます。一方 (4-4),(4-7) により、cÎHom (Y, Hom(X, Z)) = B(Y, X ; Z ) = B(X, Y ; Z ) なので、この式の右辺の c に対応する元を c' とすれば、XÄY から Z への線形写像 j が唯一つ存在して

(4-20)  c' = j ° i

が成り立ちます。このとき

(4-21)  f(x1 , x2 ,¼, xn , y1 , y2 ,¼, ym )	= f '(x1 , x2 ,¼, xn )( y1 , y2 ,¼, ym )
	= y(iX (x1 , x2 ,¼, xn ))( y1 , y2 ,¼, ym )
	= y'( y1 , y2 ,¼, ym )(iX (x1 , x2 ,¼, xn ))
	= c(iY ( y1 , y2 ,¼, ym ))(iX (x1 , x2 ,¼, xn ))
	= c'(iX (x1 , x2 ,¼, xn ), iY ( y1 , y2 ,¼, ym ))
	= j(i(iX (x1 , x2 ,¼, xn ), iY ( y1 , y2 ,¼, ym )))
	= j(i(x1 , x2 ,¼, xn , y1 , y2 ,¼, ym ))

ですから

(4-22)  f = j ° i

が成り立ちます。
　逆に j が (4-22) を満たせば、c' を (4-20) で定義し、c をそれに対応する写像とし、y' を (4-19) で定義し、y をそれに対応する写像とすれば、f に対応する写像 f ' に対して (4-18) が成り立ちます。ゆえに各段階の一意性条件により、これらの写像の一意性が連鎖的に導かれ、j の一意性が証明されます。

　上記の定理は

(4-23)  (X1Ä ¼ ÄXn )Ä(Y1Ä ¼ ÄYm ) = X1Ä ¼ ÄXnÄY1Ä ¼ ÄYm

が成り立つことを意味しています。特に (4-13) と (4-23) を、それぞれ２個と３個のR-加群のテンソル積の場合に適用すれば、交換律と結合律：

(4-24a)  XÄY = Y ÄX

(4-24b)  (XÄY )ÄZ = XÄ(Y ÄZ)

が得られます。

　さて、X_i がすべて共通の X であるときの (4-14a) の右辺を T_n(X, Y ) と書き、特に Y = R のときを T_n(X ) と書きます。また X のm個のテンソル積を T ^m(X ) と書くことにします。このとき、(4-14) により

(4-25a)  Tn(X, Y ) @ Hom (T n(X ), Y )

(4-25b)  Tn(X ) @ T n(X )*

が成り立ちます。
　なお、X ⁿ から T ⁿ(X ) への標準写像を i_n 、T ^m(X ) ´ T ⁿ(X ) から T ^m+n(X ) への標準写像 i_{T ^m(X ), T ⁿ(X )} を i_{m, n} と書くと、(4-15) により

(4-26)  im+n = im, n ° (im ´ in )

が成り立ちます。

　最後に R-加群 X , Y に対してテンソル積 Z = YÄXÄX* とその標準写像 i : Y ´ X ´ X* ® YÄXÄX* を考えます。Y ´ X ´ X* から Y への写像 f を

(4-27)  f( y, x, x*) = x*(x) y

で定義すると、明らかに fÎB(Y, X, X* ; Y ) ですから、テンソル積の定義により、f = j _° i となる jÎHom (YÄXÄX*, Y ) が唯一つ存在します。そこで xÎYÄXÄX* に対し、j(x)ÎY のことを x の X 成分と X* 成分に関する縮約といいます。