代数の基礎

　X , Y をR-加群とし、ある i ¹ j に対して x_i = x_j であるような xÎX ⁿ の全体を N_n と書き、N_n 上で 0 となる fÎT_n(X, Y ) の全体を A_n(X, Y ) と書き、特に Y = R のときを A_n(X ) と書いて、その元を X 上のn階交代形式といいます。
　このとき任意の sÎS_n と任意の fÎA_n(X, Y ) に対して

(5-1)  f(xs(1) , xs(2) ,¼, xs(n) ) = (sgn s) f(x1 ,¼, xn )

が成り立ちます。実際、s は互換の積に分解できるので、(1-29) により s が互換 (i j) の場合について証明できれば十分です。
　そこで x₁ ,¼, x_i-1 , x_i+1 ,¼, x_j-1 , x_j+1 ,¼, x_n を任意に選んで固定し、

(5-2)  g(x, y) = f(x1 ,¼, xi-1 , x, xi+1 ,¼, xj-1 , y, xj+1 ,¼, xn )

と置くと、

(5-3)  0 = g(x + y, x + y) = g(x, x) + g(x, y) + g( y, x) + g( y, y) = g(x, y) + g( y, x)

ですから、これと sgn (i j) = - 1 により s = (i j) の場合について (5-1) が証明され、(5-1) は一般に証明されました。

　また、任意の fÎT_n(X, Y ) に対して

(5-4)  f alt(x1 , x2 ,¼, xn ) =

å sÎSn

(sgn s) f(xs(1) , xs(2) ,¼, xs(n) )

と置くと、f ^altÎA_n(X, Y ) です。実際、任意に相異なる i, j £ n を選んで固定し、t = (i j) と置きます。任意の sÎS_n に対し、ts ¹ s ですから、S_n の部分集合 S が存在して、S_n は S と { ts | sÎS } の直和に分解されます。このとき、sgn (ts) = (sgn t)(sgn s) = - sgn s ですから

(5-5)  f alt(x1 , x2 ,¼, xn )	=   å sÎS (sgn s) f(xs(1) , xs(2) ,¼, xs(n) ) +   å sÎS (sgn (ts)) f(xts(1) , xts(2) ,¼, xts(n) )
	=   å sÎS (sgn s) f(xs(1) , xs(2) ,¼, xs(n) ) -   å sÎS (sgn s) f(xts(1) , xts(2) ,¼, xts(n) )

が成り立つので、もし x_i = x_j なら、すべての k £ n に対して x_s(k) = x_ts(k) ですから f ^alt(x₁ , x₂ ,¼, x_n ) = 0 となり、i , j は任意ですから f ^altÎA_n(X, Y ) であることがわかります。

　また、特に fÎA_n(X, Y ) ならば、(5-1),(5-4) により

(5-6)  f alt = n! f

が成り立つことがわかります。

　さて、(5-1) を使って、任意の fÎA_m+n(X, Y ) に対して

(5-7)  f( y1 , y2 ,¼, ym , x1 , x2 ,¼, xn ) = (- 1)mn f(x1 , x2 ,¼, xn , y1 , y2 ,¼, ym )

が成り立つことを n に関する帰納法で証明しましょう。左辺で x₁ を y_m と入れ替え、次に x₁ を y_m-1 と入れ替え、これを m 回繰り返して x₁ を一番左に持ってくると、

(5-8a)  f( y1 , y2 ,¼, ym , x1 , x2 ,¼, xn ) = (- 1)m f(x1 , y1 , y2 ,¼, ym , x2 ,¼, xn )

　ここで x₁ を固定し、帰納法を用いると、

(5-8b)  f(x1 , y1 , y2 ,¼, ym , x2 ,¼, xn ) = (- 1)m(n-1) f(x1 , x2 ,¼, xn , y1 , y2 ,¼, ym )

となるので、(5-8) を組み合わせれば (5-7) が得られます。

　R-加群 X に対し、R-加群 Y と fÎA_n(X, Y ) の組を対象とよび、２つの対象 (Y, f ) と (Z, g) に対して j _° f = g を満たす jÎHom (Y , Z ) を前者から後者への射とよべば、これは一つの圏を構成します。この圏の始対象 ( Aⁿ(X ), p_n ) を X 上のn次Grassmann代数といいます。
　すなわち ( Aⁿ(X ), p_n ) が X 上のn次Grassmann代数であるとは、p_nÎA_n(X, Aⁿ (X )) であって、かつ任意の fÎA_n(X, Y ) に対して f = j _° p_n を満たす jÎHom ( Aⁿ(X ), Y ) が唯一つ存在することをいいます。従って特に、

(5-9a)  An(X, Y ) @ Hom ( A n(X ), Y )

(5-9b)  An(X ) @ A n(X )*

が成り立ちます。

　さて、任意のR-加群 X と任意の自然数 n に対し、X 上のn次Grassmann代数が存在することを証明しましょう。
　X ⁿ から T ⁿ(X ) への標準写像 i_n による N_n の像が生成する T ⁿ(X ) の部分R-加群を N_n とし、T ⁿ(X )/N_n を Aⁿ(X ) と書き、i_n と T ⁿ(X ) から Aⁿ(X ) への標準写像 p_n の合成写像を p_n と置くと、これらの組が X 上のn次Grassmann代数になります。
　実際、fÎA_n(X, Y ) を任意に取ると、fÎT_n(X, Y ) ですから、テンソル積の定義により f = j _° i_n となる jÎHom (T ⁿ(X ), Y ) が唯一つ存在します。
　ところが f は N_n 上で 0 ですから、j は N_n 上で 0 です。ゆえに yÎHom ( A ⁿ(X ), Y ) が唯一つ存在して j = y _° p_n となり、ゆえに f = y _° p_n となります。y の一意性も明らかです。

　さて、N_n の定義より明らかに N_m ´ X_n Ì N_m+n ですから、(4-26) により、任意の xÎN_m と yÎX ⁿ に対して i_{m, n} (i_m(x), i_n( y)) Î i_m+n [N_m+n ] Ì N_m+n が成り立ちます。
　そこで、まず y を任意に固定して i_{m, n} (x, i_n( y)) Î i_m+n [N_m+n ] Ì N_m+n を満たす x の全体を考えると、これは i_m [N_m ] を含む線形部分空間なので N_m を含みます。
　ゆえに、今度は xÎN_m を任意に固定して i_{m, n} (x, h) Î i_m+n [N_m+n ] Ì N_m+n を満たす h の全体を考えると、これは i_n の像を含む線形部分空間なので T ⁿ(X ) を含みます。以上により

(5-10a)  im, n [Nm ´ T n(X )] Ì Nm+m

がわかり、同様に

(5-10b)  im, m [T n(X ) ´ Nn ] Ì Nm+m

が成り立ちます。

　さて、任意の aÎA^m(X ) と bÎAⁿ(X ) に対して a = p_n(x) , b = p_n(h) となる xÎT ^m(X ) と hÎT ⁿ(X ) を取ります。このとき

(5-11)  im, n(x, h)ÎT m(X )ÄT n(X ) = T m+n(X )

ですが、

(5-12)  a ^ b = pm+n(im, n(x, h))

と置いて、これを a と b のGrassmann積あるいは交代積とよべば、これは x , h の取り方に依存しません。
　実際、p_n(x) = p_n(x' ) , p_n(h) = p_n(h' ) とすれば、x - x'ÎN_m , h - h'ÎN_n ですから、i_{m, n} の双線形性と (5-10) により

(5-13)  im, n(x, h) - im, n(x', h' ) = im, n(x - x', h) + im, n(x', h - h' )ÎNm+m

ですから、これに p_m+m を施せば 0 になるからです。交代積は、(4-24b) により、明らかに結合律：

(5-14)  (a ^ b ) ^ g = a ^ (b ^ g )

が成り立ちます。また任意の aÎA^m(X ) と bÎAⁿ(X ) に対して

(5-15)  b ^ a = (- 1)mn a ^ b

が成り立つことを証明しましょう。(5-12) によれば、(5-15) を証明するには

(5-16)  pm+n(in, m(h, x)) = (- 1)mn pm+n(im, n(x, h))

を示せば十分です。(5-7) により、任意の xÎX ^m と yÎX ⁿ に対して

(5-17)  pm+n(in, m(in( y), im(x))) = pm+n(im+n( y, x)) = pm+n( y, x) = (- 1)mn pm+n(x, y) = (- 1)mn pm+n(im+n(x, y)) = (- 1)mn pm+n(im, n(im(x), in( y)))

ですから、まず任意に固定した xÎX ^m に対し、

(5-18)  pm+n(in, m(h, im(x))) = (- 1)mn pm+n(im, n(im(x), h))

を満たす h の全体は i_n[X ⁿ] を含む T ⁿ(X ) の線形部分集合ですから T ⁿ(X ) に一致します。ゆえに任意の hÎT ⁿ(X ) に対して (5-16) を満たす x の全体は i_m[X ^m] を含む T ^m(X ) の線形部分集合ですから T ^m(X ) に一致します。以上で (5-16) は一般に証明されました。

　さて、aÎX のとき、A²(X ) の具体的定義 A²(X ) = T ²(X )/N_n から明らかなように

(5-19)  a ^ a = 0

が成り立ちます。また、a_iÎX ( 1 £ i £ n ) のとき、任意の sÎS_n に対して

(5-20)  as(1) ^ as(2) ^ ¼ ^ as(n) = (sgn s) a1 ^ a2 ^ ¼ ^ an

が成り立ちます。
　実際、s が隣り合う互換のときは、互換の符号が - 1 であることと m = n = 1 とした場合の (5-15) より明らかです。また任意の s に対しては、s は隣り合う互換の積に分解されるので、(1-29) により明らかです。