代数の基礎

　本節では、R-加群 X が有限次元、すなわち X がある有限個の元からなる基底 { e_i | 1 £ i £ n } を持つ場合を考え、e_i成分というかわりに単に第 i 成分ということにします。各 i £ n に対し、eⁱÎX* を

(6-1)  ei(x) = xi

で定義します。ただし xⁱ は x の第 i 成分です：

(6-2)   x =

n å i=1

xiei

　任意の xÎX* に対して

(6-3)   x(x) =

n å i=1

xix(ei ) =

n å i=1

ei(x)x(ei )

　すなわち

(6-4)   x =

n å i=1

xiei       ( xi = x(ei )ÎR )

と表せます。一方

(6-5)  ei(ej ) = dij

ですから、もし (6-4) で x = 0 なら、両辺に e_i を代入すれば、(6-5) により x_j = 0 となるので、{ e_i | 1 £ i £ n } は X* の基底になっています。これを { e_i | 1 £ i £ n } の双対基底といいます。なお x_i は双対基底における x の第 i 成分にほかなりません。

　さて、このとき任意の f ÎX** に対し、

(6-6)  x =

n å i=1

f(ei ) ei

と置けば、任意の xÎX* に対し、

(6-7)   x(x) =

n å i=1

f(ei )x(ei ) =

n å i=1

f(ei )xi = f

æ è

n å i=1

xiei

ö ø

= f(x)

　すなわち f は (3-21) で定義された i_x に他なりません。ゆえに x に i_x を対応させる写像 i は全射です。
　逆に、ある xÎX に対して i_x = 0 となったとすると、すべての i に対して 0 = i_x(eⁱ ) = eⁱ(x) = xⁱ ですから x = 0 となり、i は単射です。よって i は同型射となり、

(6-8)  X** = X

が得られます。

　さて、1 £ i £ m に対し、X_i を基底 { e_ij | 1 £ j £ n_i } を持つR-加群とします。

　X を { X_i | 1 £ i £ m } の双積、i_i : X_i ® X を標準写像とするとき、X は { i_i(e_ij ) | 1 £ i £ m ; 1 £ j £ n_i } を基底に持つ有限次元R-加群です。
　実際、任意の xÎX は各 X_i から選んだ元 x_i に対する i_i(x_i) の i に対する和として一意的に書け、各 x_i は { e_ij | 1 £ j £ n_i } の (3-16) のような一次結合として一意的に書けるからです。

　また、B(X₁ , X₂ ,¼, X_m ) は

(6-9)  ei1i2¼im (e1 j1 , e2 j2 ,¼, em jm ) = di1 j1di2 j2 ¼ dim jm

で定義される { e^{i₁i₂¼i_m} | 1 £ i_k £ n_k ( 1 £ k £ m ) } を基底に持つ有限次元R-加群で、i : X₁* ´ ¼ ´ X_n* ® B(X₁ , X₂ ,¼, X_m ) を

(6-10)  i(x1 , x2 ,¼, xm )(x1 , x2 ,¼, xm ) = x1(x1 )x2(x2 ) ¼ xm(xm )

で定義すれば、i を標準写像として

(6-11)  B(X1 , X2 ,¼, Xm ) = X1* ÄX2* Ä ¼ ÄXm*

が成り立つことを証明しましょう。まず、任意の fÎB(X₁ , X₂ ,¼, X_m ) に対して

(6-12)  xi =

ni å  j=1

aijeij       ( 1 £ i £ m )

と表したものを代入すれば、

(6-13)  f(x1 , x2 ,¼, xm ) =

n1 å  j1=1

n2 å  j2=1

¼

nm å  jm=1

a1j1 a2j2 ¼amjm f(e1 j1 , e2 j2 ,¼, em jm ) =

n1 å  j1=1

n2 å  j2=1

¼

nm å  jm=1

fj1 j2 ¼ jm e j1 j2¼ jm (x1 , x2 ,¼, xm )

ただし

(6-14)  fj1 j2 ¼ jm =  f(e1 j1 , e2 j2 ,¼, em jm )ÎR

です。すなわち f は

(6-15)  f =

n1 å  j1=1

n2 å  j2=1

¼

nm å  jm=1

fj1 j2 ¼ jm e j1 j2¼ jm

と表され、更に f = 0 なら (6-15) に e_{1 j1} , e_{2 j2} ,¼, e_{m jm} を代入して (6-9) を用いれば f_{j1 j2 ¼ jm} = 0 がわかり、{ e^{i₁i₂¼i_m} | 1 £ i_k £ n_k ( 1 £ k £ m ) } が (6-11) の左辺の基底になっていることがわかります。

　次に (6-11) を証明しましょう。
　まず、i が多重線形であることは定義式 (6-10) から明らかです。また { e_ij | 1 £ j £ n_i } Ì X_i の双対基底を { e^ij | 1 £ j £ n_i } Ì X_i* とし、任意の FÎB(X₁* , X₂* ,¼, X_m* ; Y ) に対し、ΦÎHom (B(X₁ , X₂ ,¼, X_m ) ; Y ) を

(6-16)  Φ( f ) =

n1 å  j1=1

n2 å  j2=1

¼

nm å  jm=1

fj1 j2 ¼ jm F(e1 j1 , e2 j2 ,¼, em jm )

で定義すれば、(6-14) と (6-10) により i(x₁ , x₂ ,¼, x_m )_{j1 j2 ¼ jm} = x₁(e_{1 j1} )x₂(e_{2 j2} )¼x_m(e_{m jm} ) ですから

(6-17)  Φ(i(x1 , x2 ,¼, xm )) = F

æ è

n1 å  j1=1

x1(e1 j1)e1 j1  ,

n2 å  j2=1

x2(e2 j2)e2 j2  , ¼ ,

nm å  jm=1

xm(em jm)em jm

ö ø

= F(x1 , x2 ,¼, xm )

となり、これは Φ _° i = F を意味しています。逆にこの関係が成り立てば、i(e^{1 j₁} , e^{2 j₂} ,¼, e^{m j_m} ) = e ^{j₁ j₂¼j _m} ですから、(6-17) で x_i = e^ij_i とすれば、Φ の基底 { e^{i₁i₂¼i_m} | 1 £ i_k £ n_k ( 1 £ k £ m ) } における値が一意的に定まることがわかり、Φ の一意性が得られます。

　次に X º X₁Ä ¼ ÄX_m は E º { e_{1 j1}Ä e₂ j₂Ä ¼ Ä e_{m jm} | 1 £ j_i £ n_i } を基底に持つことを証明しましょう。
　まず任意の x_iÎX_i は (6-12) の形に表わせるので、

(6-18)  i(x1 , x2 ,¼, xm ) =

n1 å  j1=1

n2 å  j2=1

¼

nm å  jm=1

a1j1 a2j2 ¼ amjm e1 j1Ä e2 j2Ä ¼ Äem jm

と表され、X の任意の元は (6-18) の左辺の形の有限個の線形結合で書けるので、E は X を張ります。
　また (6-9) の ei1i2¼im に対し、テンソル積の定義により ei1i2¼im = ki1i2¼im ° i となる ki1i2¼im ÎX* が存在するので

(6-19)  ki1i2¼im (e1 j1Ä e2 j2Ä ¼ Äem jm ) = ei1i2¼im (e1 j1 , e2 j2 ,¼, em jm ) = di1 j1di2 j2 ¼ dim jm

となり、E の一時独立性も明らかです。

　さて、(6-11) ですべての X_i を共通の X とし、それと (4-25b) を組み合わせれば、

(6-20)  T n(X )* @ Tn(X ) = T n(X*)

が得られ、X の基底を { e_i | 1 £ i £ n } とすれば、{ e_i1Ä e_i2Ä ¼ Ä e_im | 1 £ i_k £ n } は T ⁿ(X ) の基底になります。

　このことから F º { ei1^ ei2^ ¼ ^ eim | 1 £ i1 < i2 < ¼ < im £ n } が An(X ) の基底になることが証明できます。
　実際、ik の大小に制限を付けない場合の ei1^ ei2^ ¼ ^ eim は、ik の中に同じものがあれば、互換で順序を入れ替えて隣に持ってくることにより (5-20),(5-19) により 0 となります。また同じものがない場合は、昇順に並び替えれば、(5-20) により F の元を ± 1倍したものになります。
　一方、(6-9) の ei1i2¼im を使って (5-4) によるm階交代形式 mi1i2¼im = (ei1i2¼im )alt を作れば、 Grassmann代数の定義により、li1i2¼imÎAm(X )* が存在して mi1i2¼im = li1i2¼im ° pm となるので、1 £ i1 < i2 < ¼ < im £ n かつ 1 £ j1 < j2 < ¼ < jm £ n ならば

(6-21)  li1i2¼im (ej1^ ej2^ ¼ ^ ejm)	= mi1i2¼im (ej1 , ej2 ,¼, ejm )
	= å sÎSm (sgn s) ei1i2¼im (ejs(1) , ejs(2) ,¼, ejs(m) )
	= å sÎSm (sgn s) di1 js(1)di2 js(2) ¼ dim js(m)
	= di1 j1di2 j2 ¼ dim jm

となります。ただし下から２段目で、右辺が 0 でないためには i < j  Þ  s(i) < s( j) でなければならず、このような置換 s は恒等置換しかないことを使いました。ゆえに (6-21) により F の一次独立性がわかり、これが Aⁿ(X ) の基底になっていることがわかりました。

　さて、次に A_m(X ) は M = { m^{i₁i₂¼i_m} | 1 £ i₁ < i₂ < ¼ < i_m £ n } を基底に持つ有限次元R-加群であることを証明しましょう。任意の fÎA_m(X ) に対して X の任意の元 x_i を (6-12) の形に表して f に代入すれば、(5-1),(6-14) により

(6-22)  f(x1 , x2 ,¼, xm )	=  n å  j1=1  n å  j2=1 ¼  n å  jm=1 a1j1 a2j2 ¼amjm f(ej1 , ej2 ,¼, ejm )
	=   å 1 £ i1 < i2 < ¼ < im £ n   å sÎSm a1is(1) a2is(2) ¼amis(m)  f(eis(1) , eis(2) ,¼, eis(m) )
	=   å 1 £ i1 < i2 < ¼ < im £ n   å sÎSm eis(1)is(2)¼is(m)(x1 , x2 ,¼, xm ) (sgn s) f(ei1 , ei2 ,¼, eim )
	=   å 1 £ i1 < i2 < ¼ < im £ n   å sÎSm ei1i2¼im(xs-1(1) , xs-1(2) ¼ xs-1(m) ) (sgn s)  fi1i2 ¼ im
	=   å 1 £ i1 < i2 < ¼ < im £ n   å tÎSm (sgn t) ei1i2¼im(xt(1) , xt(2) ¼ xt(m) )  fi1i2 ¼ im
	=   å 1 £ i1 < i2 < ¼ < im £ n mi1i2¼im(x1 , x2 ,¼, xm )  fi1i2 ¼ im

すなわち

(6-23)  f =

å 1 £ i1 < i2 < ¼ < im £ n

fi1i2 ¼ im  mi1i2¼im

と書けることがわかります。しかも (6-21) により M は一次独立であることがわかるので、M は A_m(X ) の基底であることがわかります。

　さて、(6-10) の i : (X*)^m ® T_m(X ) に対し、

(6-24)  i(x1 , x2 ,¼, xm )alt(x1 , x2 ,¼, xm )	= å sÎSm (sgn s) i(x1 , x2 ,¼, xm )(xs(1) , xs(2) ,¼, xs(m) )
	= å sÎSm (sgn s) x1(xs(1) ) x2(xs(2) ) ¼ xm(xs(m) )
	= å sÎSm (sgn s) xs-1(1)(x1 ) xs-1(2)(x2 ) ¼ xs-1(m)(xm )
	= å tÎSm (sgn t) xt(1)(x1 ) xt(2)(x2 ) ¼ xt(m)(xm )
	= å tÎSm (sgn t) i(xt(1) , xt(2) ,¼, xt(m) ))(x1 , x2 ,¼, xm )
	= ialt(x1 , x2 ,¼, xm )(x1 , x2 ,¼, xm )

すなわち

(6-25)  i(x1 , x2 ,¼, xm )alt = ialt(x1 , x2 ,¼, xm )

が成り立つので i^alt : (X*)^m ® A_m(X ) であることがわかりますが、更に、i^alt を標準写像として

(6-26)  Am(X ) = Am(X*)

が成り立つことを証明しましょう。
　まず任意の FÎA_m(X*, Y ) に対し、ΦÎHom ( A_m(X ), Y ) を、A_m(X ) の各基底 m^{i₁i₂¼i_m}ÎM に対して

(6-27)  Φ(mi1i2¼im ) = F(ei1 , ei2 ,¼, eim )

と置くことにより定義します。ところで

(6-28)  ialt(ei1 , ei2 ,¼, eim ) = i(ei1 , ei2 ,¼, eim )alt = (ei1i2¼im)alt = mi1i2¼im

ですから (e^i₁ , e^i₂ ,¼, e^i_m ) に対して、従ってそれらの張る空間 (X*)^m 上で F = Φ _° i^alt が成り立ちます。逆にこのような Φ は (6-27) を満たすので、その一意性も明らかです。

　なお、T_m(X ) を T ^m(X* ) とみなし、A_m(X ) を A^m(X* ) = T ^m(X* )/N_m とみなしたときの標準写像を p^m : T_m(X ) ® A_m(X ) とすると、i^alt = p^m _° i が成り立ちますから、(6-25) により

(6-29)  pm(i(x1 , x2 ,¼, xm )) = ialt(x1 , x2 ,¼, xm ) = i(x1 , x2 ,¼, xm )alt

が成り立ち、i の像は T_m(X ) を張りますから、p^m( f ) = f ^alt となることがわかります。したがって、(6-25) の見做しにおいて、jÎA_p(X ) と yÎA_q(X ) の交代積は、j = p^p( f ) , y = p^q(g) となる fÎT_p(X ) , gÎT_q(X ) を取れば、

(6-30)  j ^ y = pp( f ) ^ pq(g) = pp+q( f Äg) = ( f Äg)alt

で与えられます。ゆえに帰納法により、j_iÎA_pi(X ) ( i = 1, 2 ,¼, k ) なら、j_i = p^p_i( f_i) となる f_iÎT_pi(X ) を取れば、

(6-31)  j1 ^ j2 ^ ¼ ^ jk = ( f1Ä f2Ä ¼ Ä fk )alt

となり、特にすべての i に対して p_i = 1 の場合は、f_i = j_i と置くことができるので、

(6-32)  j1 ^ j2 ^ ¼ ^ jk = (j1Äj2Ä ¼ Äjk )alt

となります。
　なお、R が標数 0 の単位的可換環で Z Ì R^´ すなわち Q Ì R を満たすならば、(6-31) において f_i = j_i / p_i! と置くことができます。実際、(5-6) により p^p_i( f_i) = f_i^alt = p_i! f_i = j_i となるからです。従ってこの場合、(6-31) は

(6-33)  j1 ^ j2 ^ ¼ ^ jk =

1  —————  p1! p2! ¼pk!

(j1Äj2Ä ¼ Äjk )alt

となります。