代数の基礎

　本節では線形写像を A , B 等で表し、A(x) のかわりに Ax のように書くことにします。

　X を有限次元のR-加群とし、{ e_i | 1 £ i £ n } をその基底とします。
　前節 (6-22) の直前の結果により、A_m(X ) は M = { m^{i₁i₂¼i_m} | 1 £ i₁ < i₂ < ¼ < i_m £ n } を基底に持つので、m > n なら M = Æ ですから A_m(X ) = {0} となり、m = n なら M は w :º m^{1 2 ¼ n} = (e^{1 2 ¼ n} )^alt ¹ 0 のみからなります。すなわち

(7-1a)  m > n  Þ  Am(X ) = {0}

(7-1b)  An(X ) = sp {w} ¹ {0}

及び

(7-2)  "aÎAn(X ) : $!cÎR : a = cw

が成り立ち、また (6-21) により

(7-3)  w(e1 , e2 ,¼, en ) = 1

が成り立ちます。ゆえに (7-1) により、有限次元R-加群 X に対しては、X の次元とよばれる自然数：

(7-4)  dimR X = max { mÎN | Am(X ) ¹ {0} }

が定義でき、X の基底の元の個数は、基底の取り方によらず、共通の値 dim_R X を取ることがわかります。なお、dim_R X は R を省いて dim X と書くこともあります。従って、第６節の結果により

(7-5a)  dim X* = dim X

(7-5b)  dim (X1 ´ X2 ´ ¼ ´ Xm ) = dim X1 + dim X2 + ¼ + dim Xm

(7-5c)  dim B(X1 , X2 ,¼, Xm ) = dim (X1ÄX2Ä ¼ ÄXm ) = dim X1 dim X2 ¼ dim Xm

(7-5d)  dim Tm(X ) = dim T m(X ) = (dim X )m

(7-5e)  dim Am(X ) = dim Am(X ) = dim X Cm

が成り立ちます。ただし _nC_m は二項係数で、

(7-6)  nCm = card { (i1 , i2 ,¼, im )ÎNm | 1 £ i1 < i2 < ¼ < im £ n } = card { I Ì { 1, 2 ,¼, n } | card I = m }

で定義されます。

(7-7)  { (i1 ,¼, im+1 ) | 1 £ i1 < i2 < ¼ < im+1 £ n + 1 } = { (i1 ,¼, im+1 ) | 1 £ i1 < i2 < ¼ < im+1 £ n } È { (i1 ,¼, im , n + 1) | 1 £ i1 < i2 < ¼ < im £ n }

ですから、公式 _n+1C_m+1 = _nC_m+1 + _nC_m が導かれ、これは「数学の基礎」第12節 (12-30) と同一の式ですから、n に関する帰納法により、m £ n の場合は同 (12-29) で定義されたものと同一のものであることがわかります。

　さて、任意に AÎEnd (X ) を取ります。(x₁ , x₂ ,¼, x_n )ÎX ⁿ に w(Ax₁ , Ax₂ ,¼, Ax_n ) を対応させる写像はn階の交代形式ですから、(7-2) により、R の元 det A が唯一つ存在して、任意の (x₁ , x₂ ,¼, x_n )ÎX ⁿ に対して

(7-8)  w(Ax1 , Ax2 ,¼, Axn ) = (det A) w(x1 , x2 ,¼, xn )

が成り立ちます。det A を A の行列式といいます。再度 (7-2) を使えば、任意の aÎA_n(X ) に対して

(7-9)  a(Ax1 , Ax2 ,¼, Axn ) = (det A) a(x1 , x2 ,¼, xn )

が成り立ちます。ここで任意の BÎEnd (X ) に対し、(7-8) の x_i に Bx_i を代入すると、

(7-10)  w(ABx1 , ABx2 ,¼, ABxn ) = (det A) w(Bx1 , Bx2 ,¼, Bxn )

　ここで (7-8) の A を B に置き換えたものを右辺に代入すれば、

(7-11)  w(ABx1 , ABx2 ,¼, ABxn ) = (det A)(det B) w(x1 , x2 ,¼, xn )

　したがって、AB の行列式の定義により、

(7-12)  det(AB) = (det A)(det B)

となることがわかります。

　さて、行列式を用いると、AÎEnd (X ) の可逆性が判定できます。まず A が全射、すなわち A[X ] = X と仮定します。このとき Ax_i = e_i となる x_iÎX ( 1 £ i £ n ) が存在しますから、(7-8) と (7-3) により、

(7-13)  (det A) w(x1 , x2 ,¼, xn ) = w(Ax1 , Ax2 ,¼, Axn ) = w(e1 , e2 ,¼, en ) = 1

　すなわち det A は R で乗法の逆元 (det A)^-1 = w(x₁ , x₂ ,¼, x_n ) を持ちます。

　次に、この逆を考えるために、次のような余因子写像 A^#ÎEnd (X ) を考えます：

(7-14)  A#x =

n å i=1

w(Ae1 ,¼, Aei-1 , x, Aei+1 ,¼, Aen ) ei

　まず、勝手な x = å_i aⁱe_iÎX を取り、(7-14) で x に Ax を代入すると、(7-8),(7-3) と w が交代形式であることから、

(7-15)  A#Ax	=  n å i=1 w(Ae1 ,¼, Aei-1 , Ax, Aei+1 ,¼, Aen ) ei
	=  n å i=1 (det A) w(e1 ,¼, ei-1 , x, ei+1 ,¼, en ) ei
	= (det A)  n å i=1  n å k=1 w(e1 ,¼, ei-1 , akek , ei+1 ,¼, en ) ei
	= (det A)  n å i=1 w(e1 ,¼, ei-1 , aiei , ei+1 ,¼, en ) ei
	= (det A)  n å i=1 aiei
	= (det A) x

　次に AA^# を計算するために、次の恒等式が成り立つことに注意します：

(7-16)

n å i=1

w(z1 ,¼, zi-1 , x, zi+1 ,¼, zn ) zi = w(z1 , z2 ,¼, zn ) x

　実際、左辺で、ある特定の i < j £ n の組に対して z_i = z_j º y である場合、w が交代形式であることから、左辺は

(7-17)	w(z1 ,¼, zi-1 , x, zi+1 ,¼, zn ) zi + w(z1 ,¼, zj-1 , x, zj+1 ,¼, zn ) zj
	= {w(z1 ,¼, zi-1 , x, zi+1 ,¼, zj-1 , y, zj+1 ,¼, zn ) + w(z1 ,¼, zi-1 , y, zi+1 ,¼, zj-1 , x, zj+1 ,¼, zn )} y

となり、w が交代形式であることからこれは 0 となります。ゆえに (7-16) の左辺は、z₁ , z₂ ,¼, z_n に関するn階の交代形式ですから、(7-2) によりこれは w(z₁ , z₂ ,¼, z_n ) の倍元になります。
　ゆえに (7-1b) により、(7-16) は z_i = e_i ( 1 £ i £ n ) の場合に証明できれば十分です。ところがこのとき、x の第 i 成分を xⁱ とすれば、左辺は

(7-18)

n å i=1

n å k=1

w(e1 ,¼, ei-1 , xkek , ei+1 ,¼, en ) ei =

n å i=1

w(e1 , e2 ,¼, en ) xiei = w(e1 , e2 ,¼, en ) x

となって、これは右辺に一致します。

　さて、(7-14) の両辺に A を施し、(7-16),(7-8),(7-3) を用いて変形すると、

(7-19)  AA#x =

n å i=1

w(Ae1 ,¼, Aei-1 , x, Aei+1 ,¼, Aen ) Aei =

n å i=1

w(Ae1 , Ae2 ,¼, Aen ) x = (det A) w(e1 , e2 ,¼, en ) x = (det A) x

　ゆえに、(7-15),(7-19) により、もし det AÎR^´ なら、AÎAut (X ) で

(7-20)  A-1 = (det A)-1A#

となっていることがわかります。以上で有限次元のR-加群 X に関する AÎEnd (X ) に対して

(7-21)  A[X ] = X  Û  det AÎR´  Û  AÎAut (X )

が成り立つことがわかりました。これは、X が有限次元の場合は、X からそれ自身への線形写像は全射なら単射であることを意味していますが、さらに R が体の場合は、逆に単射なら全射です。
　実際、AÎEnd (X ) が単射なら、Ax に x を対応させる写像は X の部分空間 A[X ] から X への線形写像ですから、第３節により X 全体で定義された BÎEnd (X ) に拡張できます。このとき BA は X 上の恒等写像です：

(7-22)  BA = 1X

　ゆえに B は全射ですから、(7-21) により BÎAut (X ) です。ゆえに (7-22) の両辺に B ^-1 を乗じれば、A = B ^-1ÎAut (X ) がわかります。

　さて、前節により Aⁿ(X ) = sp { e₁ ^ e₂ ^ ¼ ^ e_n } で、(6-21) の記号を用いると、(7-3) により

(7-23)  l1 2 ¼ n (c e1 ^ e2 ^ ¼ ^ en ) = c l1 2 ¼ n (e1 ^ e2 ^ ¼ ^ en ) = c m1 2 ¼ n (e1 , e2 ,¼, en ) = c w(e1 , e2 ,¼, en ) = c

ですから l^{1 2 ¼ n} は単射です。一方 (7-8) により、x_iÎX ならば

(7-24)  l1 2 ¼ n (Ax1 ^ Ax2 ^ ¼ ^ Axn )	= m1 2 ¼ n (Ax1 , Ax2 ,¼, Axn )
	= (det A ) m1 2 ¼ n (x1 , x2 ,¼, xn )
	= (det A ) l1 2 ¼ n (x1 ^ x2 ^ ¼ ^ xn )
	= l1 2 ¼ n ((det A ) x1 ^ x2 ^ ¼ ^ xn )

ですから

(7-25)  Ax1 ^ Ax2 ^ ¼ ^ Axn = (det A ) x1 ^ x2 ^ ¼ ^ xn

が成り立ちます。

　さて、AÎEnd (X ) なら A*ÎEnd (X*) ですが、{ e_i | 1 £ i £ n } の双対基底を { eⁱ | 1 £ i £ n } とすれば、(7-3),(7-25),(6-32),(5-4),(7-8) により

(7-26)  det A*	= (det A*) w(e1 , e2 ,¼, en )
	= (det A*)(e1Äe2Ä ¼ Äen )alt(e1 , e2 ,¼, en )
	= (det A*)(e1 ^ e2 ^ ¼ ^ en )(e1 , e2 ,¼, en )
	= (A*e1 ^ A*e2 ^ ¼ ^ A*en )(e1 , e2 ,¼, en )
	= (A*e1ÄA*e2Ä ¼ ÄA*en )alt(e1 , e2 ,¼, en )
	= å sÎSn (A*e1 )(es(1) ) (A*e2 )(es(2) ) ¼ (A*en )(es(n) )
	= å sÎSn e1(Aes(1) ) e2(Aes(2) ) ¼ en(Aes(n) )
	= (e1Äe2Ä ¼ Äen )alt(Ae1 , Ae2 ,¼, Aen )
	= w(Ae1 , Ae2 ,¼, Aen )
	= (det A ) w(e1 , e2 ,¼, en )
	= det A

　すなわち

(7-27)  det A* = det A

が成り立ちます。

　さて、次に別の有限次元R-加群 Y を考え、{ e'_i | 1 £ i £ m } をその基底とします。AÎHom (X, Y ) , BÎHom (Y, X ) とすれば、BAÎEnd (X ) ですから、その行列式を考えることができます。一般に、これらの基底に対する A の(i j)-成分を a_i^j , B の(i j)-成分を b_i^j と書けば、

(7-28a)  Ae1 ^ Ae2 ^ ¼ ^ Aen	=  m å i1=1  m å i2=1 ¼  m å in=1 a1i1 a2i2 ¼anin  e'i1 ^ e'i2 ^ ¼ ^ e'im
	=   å 1 £ i1 < i2 < ¼ < in £ m   å sÎSn a1is(1) a2is(2) ¼anis(n)  e'is(1) ^ e'is(2) ^ ¼ ^ e'is(n)

(7-28b)  Be'i1 ^ Be'i2 ^ ¼ ^ Be'in	=  n å  j1=1  n å  j2=1 ¼  n å  jn=1 bi1j1 bi2j2 ¼binjn  ej1 ^ ej2 ^ ¼ ^ ejn
	=   å sÎSn bi1s(1) bi2s(2) ¼bins(n)   es(1) ^ es(2) ^ ¼ ^ es(n)

ですから、A^{i₁i₂ ¼ i_n} と B_{i1i2 ¼ in} を

(7-29a)  Ai1i2 ¼ in =

å sÎSn

(sgn s) a1is(1) a2is(2) ¼anis(n) =

å tÎSn

(sgn t) at(1)i1 at(2)i2 ¼at(n)in

(7-29b)  Bi1i2 ¼ in =

å sÎSn

bi1s(1) bi2s(2) ¼bins(n)

で定義すれば、(5-20) により

(7-30a)  Ae1 ^ Ae2 ^ ¼ ^ Aen =

å 1 £ i1 < i2 < ¼ < in £ m

Ai1i2 ¼ in  e'i1 ^ e'i2 ^ ¼ ^ e'in

(7-30b)  Be'i1 ^ Be'i2 ^ ¼ ^ Be'in = Bi1i2 ¼ in e1 ^ e2 ^ ¼ ^ en

となります。そこで det (BA) を (7-29) の係数を用いて表してみましょう。
　まず ( y₁ , y₂ ,¼, y_n )ÎY ⁿ に w(By₁ , By₂ ,¼, By_n ) を対応させる写像を a と書くと、aÎA_n(Y ) ですから、(5-9b) の対応で a に対応する fÎAⁿ(Y )* を取れば、

(7-31)  det (BA) w(e1 , e2 ,¼, en )	= w(BAe1 , BAe2 ,¼, BAen )
	= a(Ae1 , Ae2 ,¼, Aen )
	= f(Ae1 ^ Ae2 ^ ¼ ^ Aen )
	=   å 1 £ i1 < i2 < ¼ < in £ m Ai1i2 ¼ in  f(e'i1 ^ e'i2 ^ ¼ ^ e'in )
	=   å 1 £ i1 < i2 < ¼ < in £ m Ai1i2 ¼ in  a(e'i1 , e'i2 ,¼, e'in )
	=   å 1 £ i1 < i2 < ¼ < in £ m Ai1i2 ¼ in  w(Be'i1 , Be'i2 ,¼, Be'in )
	=   å 1 £ i1 < i2 < ¼ < in £ m Ai1i2 ¼ in  l1 2 ¼ n (Be'i1 ^ Be'i2 ^ ¼ ^ Be'in )
	=   å 1 £ i1 < i2 < ¼ < in £ m Ai1i2 ¼ in  Bi1i2 ¼ in l1 2 ¼ n (e1 ^ e2 ^ ¼ ^ en )
	=   å 1 £ i1 < i2 < ¼ < in £ m Ai1i2 ¼ in  Bi1i2 ¼ in w(e1 , e2 ,¼, en )

　ゆえに (7-3) により

(7-32)  det (BA) =

å 1 £ i1 < i2 < ¼ < in £ m

Bi1i2 ¼ in  Ai1i2 ¼ in

が成り立ちます。特に n > m なら、右辺の和は空ですから

(7-33)  det (BA) = 0

となります。また、(7-32) で Y = X 及び B を恒等写像に取れば、行列式の成分表示：

(7-34)  det A = A1 2 ¼ n =

å sÎSn

(sgn s) a1s(1)a2s(2)¼ans(n) =

å tÎSn

(sgn t) at(1)1 at(2)2 ¼at(n)n

が得られます。

　さて、X と Y は上と同様とし、{ e_i | 1 £ i £ n } と { e'_i | 1 £ i £ m } の双対基底をそれぞれ { eⁱ | 1 £ i £ n } , { e' ⁱ | 1 £ i £ m } とします。このとき (6-1),(6-2) により

(7-35)

m å  j=1

e' j( ABe'j ) =

m å  j=1

e' j( A

n å i=1

ei(Be'j ) ei ) =

m å  j=1

n å i=1

e' j( Aei ) ei(Be'j ) =

n å i=1

ei( B

m å  j=1

e' j( Aei ) e'j ) =

n å i=1

ei(BAei )

が成り立ちます。従って、特に Y = X 及び B を恒等写像に取れば、AÎEnd (X ) に対し、

(7-36)  tr A =

n å i=1

ei(Aei )

が基底の取り方によらないことがわかります。これを A のトレースといいます。明らかに tr は End (X ) から R へのR-線形写像です。また、(7-35) は

(7-37)  tr(AB) = tr(BA)

が成り立つことを意味しています。A の (i j)-成分を a_i^j と書いて、A のトレースを成分で表せば、

(7-38)  tr A =

n å i=1

aii

となります。