解析学の基礎

　K を位相体とし、K-線型空間 X が、X の加法に対する位相群になっていて、かつ K の元と X の元の乗法が K ´ X から X への連続写像になっているとき、X を K 上の位相線型空間といいます。特に K が実数体のときを実位相線型空間、K が複素数体のときを複素位相線型空間といい、本稿ではこのいずれかの場合のみを扱います。
　なお、本稿では省略記法として、線型空間 X の元 x, X の部分集合 A , B 及び aÎK と C Ì K に対して

(6-1a)  A ± B :º { y ± z |  yÎA  Ù  zÎB }

(6-1b)  x ± A :º { x ± y |  yÎA }

(6-1c)  A ± x :º { y ± x |  yÎA }

(6-1d)  - A :º { - y |  yÎA }

(6-1e)  aA :º { ay |  yÎA }

(6-1f)  CA :º { cy | cÎC  Ù  yÎA }

といった記法を用います。

　位相線型空間 X は、位相アーベル群ですから、その位相は原点の近傍系のみで定まり、かつ右一様構造と左一様構造は一致します。これを X の位相に伴う一様構造といいます。X の原点の近傍系を U と書くと、X が位相群であることから

(6-2a)  UÎU  Þ  0ÎU

(6-2b)  U, VÎU  Þ  UÇVÎU

(6-2c)  UÎU  Þ  - UÎU

(6-2d)  UÎU  Þ  $VÎU : V + V Ì U

が成り立ち、更に K の元との積演算の連続性から

(6-2e)  UÎU  Þ  KU = X

(6-2f)  U, VÎU  Þ  UÇVÎU

　X を複素線型空間、f を複素線型汎関数とし、その実部を j 、虚部を y と書けば、これらは明らかに実線型で、

(6-1)  f(x) = j(x) + i y(x)

　f は複素線型ですから

(6-2)  j(i x) + i y(i x) = f(i x) = i f(x) = i (j(x) + i y(x)) = i j(x) - y(x)

が成り立ちます。この両辺の実部を比較すれば

(6-3)  y(x) = - j(i x)

　これを (6-1) に代入すれば、

(6-4)  f(x) = j(x) - i j(i x)

が成り立ちます。逆に、複素線型空間 X で定義された実線型汎関数 j に対し、X 上の複素数値関数 f を (6-4) で定義すると、x, yÎX と a + i bÎC ( a, bÎR ) に対して、j の実線型性により

(6-5a)  f(x + y)	= j(x + y) - i j(i (x + y))
	= j(x + y) - i j(i x + i y)
	= j(x) + j( y) - i {j(i x) + j(i y)}
	= {j(x) - i j(i x)} + {j( y) - i j(i y)}
	= f(x) + f( y)

(6-5b)  f((a + i b)x)	= j((a + i b)x) - i j(i (a + i b)x)
	= j(ax + b i x) - i j(a i x - bx)
	= aj(x) + bj(i x) - i {aj(i x) - bj(x)}
	= (a + i b){j(x) - i j(i x)}
	= (a + i b) f(x)

　すなわち f は複素線型汎関数です。以上により、複素線型空間上の実線型汎関数 j と複素線型汎関数 f は、(6-4) の関係により一対一に対応していることがわかりました。