解析学の基礎

　Y を実線型空間 X の部分空間、p を X のセミノルムとし、実線型汎関数 f : Y ® R が

(8-1)  | f(x) | £ p(x)       ( xÎY )

を満たすとすれば、f は不等式 (8-1) を満たしたまま定義域を X 全体に拡張できます。正確にいうと、

(8-2a)  | g(x) | £ p(x)       ( xÎX )

(8-2b)  g(x) = f(x)       ( xÎY )

を満たす実線型汎関数 g : X ® R が存在します。これを（実線型空間の）Hahn-Banachの定理といいます。
　この証明にはZornの補題を用います。Y Ì Z Ì X であるような部分空間 Z と、線型汎関数 g : Z ® R で

(8-3a)  | g(x) | £ p(x)       ( xÎZ )

(8-3b)  g(x) = f(x)       ( xÎY )

を満たすものの組 ( Z, g ) の全体に Z の包含関係で順序を入れた順序集合を S とします。( Y, f )ÎS ですから S は空でなく、S の任意の全順序部分集合 T に対し、

(8-4a)  Zo = È{ Z | ( Z, g )ÎT }

(8-4b)  go = È{ g | ( Z, g )ÎT }

と置けば、( Z_o , g_o ) は T の上界になります。よってZornの補題により T は極大元 ( Z, g ) を持ちます。以下 Z ¹ X と仮定して矛盾を導きます。

　もし Z ¹ X なら、aÎX \ Z が存在します。g の線形性と、x, yÎZ なら x - yÎZ であることと、(8-3a) と、p に関する三角不等式により

(8-5)  g(x) - g( y) = g(x - y) £ | g(x - y) | £ p(x - y) = p((x - a) - ( y - a)) £ p(x - a) + p( y - a)       ( x, yÎZ )

　すなわち

(8-6)  g(x) - p(x - a) £ g( y) + p( y - a)       ( x, yÎZ )

が成り立ちますが、x , y がそれぞれ任意に取れることから

(8-7)  sup { g(x) - p(x - a) | xÎZ } £ inf { g( y) + p( y - a) | yÎZ }

が成り立つので、実数 c を

(8-8)  sup { g(x) - p(x - a) | xÎZ } £ c £ inf { g( y) + p( y - a) | yÎZ }

を満たすように取ることができます。これは

(8-9)  g(x) - p(x - a) £ c £ g( y) + p( y - a)       ( x, yÎZ )

と書き直せますが、x = y = - z と置いて g(- z) = - g(z) 及び p(- w) = p(w) を用いると、

(8-10)  - p(z + a) £ g(z) + c £ p(z + a)       ( zÎZ )

　すなわち

(8-11)  | g(z) + c | £ p(z + a)       ( zÎZ )

が成り立ちます。そこで任意の xÎZ と任意の実数 t ¹ 0 に対し、(8-11) を z = x/t について適用すれば、

(8-12)  | g(x) + tc | = | g(tz) + tc | = | tg(z) + tc | = | t | | g(z) + c | £ | t | p(z + a) = p(tz + ta) = p(x + ta)

が成り立ちます。そこで、線型部分空間 Z₁ = Z + R a = { x + ta | xÎZ , tÎR } 上の汎関数 g₁ を

(8-13)  g1(x + ta) = g(x) + tc       ( xÎZ , tÎR )

で定義すれば、aÏZ ですから Z₁ の元の表現 x + ta は一意に定まるので g₁ はうまく定義されて線型で、しかも (8-12) と (8-3a) により

(8-14)  | g1(x) | £ p(x)       ( xÎZ1 )

が成り立つので、( Z₁ , g₁ ) は S に属すことがわかります。ところが Z₁ は Z を真に含み、g₁ は g の拡張になっているので ( Z, g ) の極大性に反します。以上で実線型空間の場合のHahn-Banachの定理は証明されました。

　次に複素線型空間の場合を考えます。Y を複素線型空間 X の部分空間、p を X のセミノルムとし、複素線型汎関数 f : Y ® C が (8-1) を満たすとします。f の実部を j と書けば、j は実線型で

(8-15)  f(x) = j(x) - i j(i x)

及び

(8-16)  | j(x) | £ p(x)       ( xÎY )

が成り立ちます。ゆえに実線型空間のHahn-Banachの定理により、j の X への拡張 y が存在します。正確にいえば

(8-17a)  | y(x) | £ p(x)       ( xÎX )

(8-17b)  y(x) = j(x)       ( xÎY )

を満たす実線型汎関数 y : X ® R が存在します。そこで

(8-18)  g(x) = y(x) - i y(i x)

と置けば、g は X で定義された複素線型汎関数で、(8-15) により f の拡張になっています。さらにこの場合も (8-2a) が成り立つことを証明しましょう。任意に選んだ xÎX に対し、g(x) の偏角を q とすれば、g は複素線型ですから、

(8-19)  g(e-iqx) = e-iq g(x) Î R

であり、y は実数値なので (8-18) により一般に y(z) = Â(g(z)) が成り立ちますから、特に z = e^-iqx として

(8-20)  g(e-iqx) = Â(g(e-iqx)) = y(e-iqx)

が成り立ちます。よって (8-20),(8-17a) により

(8-21)  | g(x) | = | eiqg(e-iqx) | = | g(e-iqx) | = | y(e-iqx) | £ p(e-iqx) = | e-iq | p(x) = p(x)

となって (8-2a) が証明され、複素線型空間の場合でも (8-2) を満たす複素線型汎関数 g : X ® C が存在することがわかりました。