解析学の基礎

　ノルム空間 X は、次の中線定理：

(14-1)  || x + y ||² + || x - y ||² = 2 || x ||² + 2 || y ||²       (  x, yÎX  )

を満たすときpre-Hilbert空間といい、完備なpre-Hilbert空間をHilbert空間といいます。すなわちHilbert空間とは (14-1) を満たすBanach空間のことに他なりません。
　また、（pre-）Hilbert空間の位相線形空間としての基礎体 K が R の場合を実（pre-）Hilbert空間、C の場合を複素（pre-）Hilbert空間とよびます。
　なお、条件 (14-1) は、一見弱い条件：

(14-2a)  || x + y ||² + || x - y ||² £ 2 || x ||² + 2 || y ||²       (  x, yÎX  )

又は条件：

(14-2b)  || x + y ||² + || x - y ||² ³ 2 || x ||² + 2 || y ||²       (  x, yÎX  )

と実は同値です。なぜなら x と y のところにそれぞれ x + y と x - y を代入し、両辺を 2 で割れば、(14-2a) からは (14-2b) が、逆に (14-2b) からは (14-2a) が導かれ、結局どちらを仮定しても (14-1) が得られるからです。

　さて、最初に条件 (14-1) の直接の応用として、Hilbert空間 H の空でない凸閉集合 C に対して { || x || | xÎC } の最小値を与える xÎC が唯一つ存在することを証明しましょう（最短点定理）。
　まず、C は空でないので、

(14-3)  m :º inf { || x || | xÎC } < ¥

が存在します。したがって、点列 { x_n | nÎN } Ì C で、

(14-4)  || xn || ® m       ( n ® ¥ )

となるものが存在します。一方、(14-1) の x に x_n / 2 を、y に x_m / 2 をそれぞれ代入して左辺第１項を右辺に移項すれば、

(14-5)

|| || ||

xn - xm ———–  2

|| || ||

²

=

|| xn ||² ——–  2

+

|| xm ||² ——–  2

-

|| || ||

xn + xm ———–  2

|| || ||

²

となりますが、C は凸集合なので、

(14-6)

xn + xm ———–  2

ÎC

　したがって、(14-3) により

(14-7)

|| || ||

xn + xm ———–  2

|| || ||

³ m

が成り立ちます。したがって、(14-5) と (14-7) により、

(14-8)

|| || ||

xn - xm ———–  2

|| || ||

²

£

|| xn ||² ——–  2

+

|| xm ||² ——–  2

- m²

となりますが、(14-4) により、(14-8) の右辺は n, m ® ¥ のとき 0 に収束します。よって { x_n | nÎN } は H のコーシー列であることがわかり、ある x_¥ に収束し、C は閉集合なのでこれは C に属します。(14-4) により

(14-9)  || x¥ || = m

が成り立つので、x_¥ はノルムが最小であることがわかります。
　また、x, yÎC が共にノルムが最小だとすると、

(14-10)  || x || = || y || = m

　ところで C は凸集合なので、

(14-11)

x + y ——– 2

ÎC

したがって、(14-3) により

(14-12)

|| || ||

x + y ——– 2

|| || ||

³ m

が成り立ちます。したがって、(14-1) と (14-10),(14-12) により

(14-13)

|| || ||

x - y ——– 2

|| || ||

²

=

|| x ||² —— 2

+

|| y ||² —— 2

-

|| || ||

x + y ——– 2

|| || ||

²

£

m² —– 2

+

m² —– 2

- m² = 0

となり、これは x = y を意味しますから、ノルムが最小となる元の一意性も証明されました。

　さて次に、Hilbert空間は内積とよばれる２変数関数の存在によって特徴付けられることを確かめましょう。

(14-14a)  (x | y)R :º

|| x + y ||² - || x - y ||² ————————– 4

(  x, yÎH  )

と置いてこれを x と y の（実）内積と呼び、特に H が複素Hilbert空間のときは、更に

(14-14b)  (x | y)C :º (x | y)R - i (x | i y)R º

|| x + y ||² - || x - y ||² - i || x + i y ||² + i || x - i y ||² ———————————————————– 4

と置いてこれを x と y の（複素）内積と呼びます。このとき

(14-15a)  ( y | x)R = (x | y)R

(14-15b)  ( y | x)C = (x | y)C*

(14-15c)  (x | x) = || x ||²

(14-15d)  (x | y + z) = (x | y) + (x | z)

(14-15e)  (x + y | z) = (x | z) + ( y | z)

(14-15f)  (x | ay)R = a (x | y)R       ( aÎR )

(14-15g)  (ax | y)R = a (x | y)R       ( aÎR )

(14-15h)  (x | ay)C = a (x | y)C       ( aÎC )

(14-15i)  (ax | y)C = a* (x | y)C       ( aÎC )

が成り立つことを証明しましょう。ただし ( · | · ) とだけ書いてあるのは、同じ等式に現れる ( · | · ) を一斉に ( · | · )_R と解釈しても ( · | · )_C と解釈しても成り立つことを意味します。
　実際、|| x - y || = || y - x || ですから (14-15a) は明らかです。
　また、定義式 (14-14a) から明らかに

(14-16a)  (x | y)RÎR

(14-16b)  (x | - y)R = - (x | y)R

(14-16c)  (x | 0)R = 0

(14-16d)  (ax | ay)R = | a |² (x | y)R       ( aÎK )

が成り立ち、特に (14-16d) は、H が複素Hilbert空間の場合は aÎC に対しても成り立つことに注意します。ゆえに

(14-17)  ( y | x)C = ( y | x)R - i ( y | i x)R = (x | y)R - i ( i x | y)R = (x | y)R - i ( i x | - i² y)R = (x | y)R + i ( i x | i² y)R = (x | y)R + i (x | i y)R

となるので、定義式 (14-14b) と (14-17) を比較して (14-16a) に注意すれば、(14-15b) が得られます。

　また、(14-15c) については、定義式と || x + x ||² = || 2x ||² = 4 || x ||² から (x | x)_R = || x ||² の方は明らかです。一方

(14-18)  (x | i x)R =

|| x + i x ||² - || x - i x ||² —————————– 4

=

|| (1 + i) x ||² - || (1 - i) x ||² ——————————– 4

=

| 1 + i |² || x ||² - | 1 - i |² || x ||² ———————————– 4

=

2|| x ||² - 2|| x ||² ——————– 4

= 0

ですから、これと定義式 (14-14b) により (x | x)_C = (x | x)_R = || x ||² が得られ、以上で (14-15c) は証明されました。
　次に、(14-1) により

(14-19)  || 2x ± ( y + z) ||² + || y - z ||² = || (x ± y) + (x ± z) ||² + || (x ± y) - (x ± z) ||² = 2 || x ± y ||² + 2 || x ± z ||²

ですから、複号の + の式から - の式を辺々差し引いて両辺を 4 で割れば、実内積の定義式 (14-14a) により

(14-20)  (2x | y + z)R = 2 (x | y)R + 2 (x | z)R

が得られます。
　そこで、I :º { tÎR | "x, yÎH : (x | ty)_R = t (x | y) } と置くと、

(14-21a)  0ÎI

(14-21b)  1ÎI

(14-21c)  tÎI , t ¹ 0  Þ  t-1ÎI

(14-21d)  tÎI  Þ  - tÎI

(14-21e)  s, tÎI  Þ

s + t ——– 2

ÎI

が成り立つことを証明しましょう。
　実際、(14-21a) は (14-16c) により明らか、また (14-21b) は自明です。
　また (14-21c) は、任意の x, yÎI と 0 でない任意の tÎI に対して z :º t^-1 y と置くと、t(x | t^-1 y)_R = t(x | z)_R = (x | tz)_R = (x | y)_R ですから、全辺に t^-1 を乗じれば t^-1ÎI であることがわかります。
　また (14-21d) は、(14-16b) により (x | - ty)_R = - (x | ty)_R = - t(x | y)_R となるので明らかです。
　また (14-21e) は、

(14-22)  (x |	s + t ——– 2	y)R	= ( 2 · x —– 2  |  sy —– 2 + ty —– 2 )R
			= 2( x —– 2  |  sy —– 2 )R + 2( x —– 2  |  ty —– 2 )R       ( ∵ (14-20) )
			= 2 —–  2² (x | sy)R + 2 —–  2² (x | ty)R       ( ∵ (14-16d) )
			= s —– 2 (x | y)R + t —– 2 (x | y)R       ( ∵ s, tÎI )
			= s + t ——– 2 (x | y)R

となるので明らかです。
　さて、まず (14-21a),(14-21b),(14-21e) により、すべての正整数 n と 0 £ k £ 2ⁿ に対して k / 2ⁿÎI がわかり、これらの点は区間 [0, 1] で稠密ですが、ノルムの連続性と (14-14a) により内積も連続ですから I は閉集合であることがわかるので、まず [0, 1] Ì I であることがわかります。
　このことから (14-21c) によりすべての正実数が I に属すことがわかり、更に (14-21d) により I = R であることがわかり、以上で (14-15f) が証明されました。
　次に、(14-15g) は、(14-15f) と (14-15a) により明らかです。
　また (14-20) と (14-15g) により、(2x | y + z)_R = 2 (x | y)_R + 2 (x | z)_R = (2x | y)_R + (2x | z)_R ですから、x に x / 2 を代入すれば、まず (14-15d) が実内積に対して得られます。
　更に (x | i( y + z))_R = (x | i y + i z)_R = (x | i y)_R + (x | i z)_R となるので、定義式 (14-14b) により、(14-15d) は複素内積に対しても成り立つことがわかります。
　また、(14-15d) と、(14-15a) 又は (14-15b) により (14-15e) も得られます。
　また H の元 x , y と複素数 a :º a + i b ( a, bÎR ) に対して

(14-23)  (x | ay)C	= (x | (a + i b) y)R - i (x | i (a + i b) y)R       ( ∵ (14-14b) )
	= (x | ay + i by)R - i (x | i ay - by)R
	= (x | ay)R + (x | i by)R - i (x | i ay)R - i (x | - by)R       ( ∵ (14-15d) )
	= a(x | y)R + b(x | i y)R - i a(x | i y)R + i b(x | y)R       ( ∵ (14-15f) )
	= (a + i b){(x | y)R - i (x | i y)R }
	= a(x | y)C       ( ∵ (14-14b) )

となって (14-15h) が得られます。
　最後に (14-15i) は (14-15h) と (14-15b) から得られます。以上で (14-15) はすべて証明されました。

　さて、逆に実線形空間 H において、H ´ H 上の実数値関数 ( · | · ) で

(14-24a)  (x | x) ³ 0

(14-24b)  (x | x) = 0  Þ  x = 0

(14-24c)  ( y | x) = (x | y)

(14-24d)  (x | y + z) = (x | y) + (x | z)

(14-24e)  (x | ay) = a(x | y)       ( aÎR )

を満たすものが与えられたとします。ただし H が複素線形空間のときは、( · | · ) は複素数値で、(14-24) のうち (14-24c) と (14-24e) をそれぞれ

(14-24c)*   ( y | x) = (x | y)*

(14-24e)*   (x | ay) = a(x | y)       ( aÎC )

に置き換えたものを満たすものとします。このとき

(14-25)  || x || :º Ö(x | x)

と定義すれば、H は || · || をノルムとするpre-Hilbert空間になります。
　実際、まず

(14-26)  || x + y ||² + || x - y ||²	= (x + y | x + y) + (x - y | x - y)       ( ∵ (14-25) )
	=(x + y | x) + (x + y | y) + (x - y | x) + (x - y | - y)       ( ∵ (14-24d) )
	=(x + y | x) + (x + y | y) + (x - y | x) - (x - y | y)       ( ∵ (14-24e) )
	=(x | x + y)* + ( y | x + y)* + (x | x - y)* - ( y | x - y)*       ( ∵ (14-24c),(14-24c)* )
	=(x | x)* + (x | y)* + ( y | x)* + ( y | y)* + (x | x)* + (x | - y)* - ( y | x)* - ( y | - y)*       ( ∵ (14-24d) )
	=(x | x)* + ( y | y)* + (x | x)* + ( y | y)*       ( ∵ (14-24e),(14-24e)* )
	= 2 || x ||² + 2 || y ||²       ( ∵ (14-25) )

ですから (14-1) の中線定理が成り立ちます。
　また、任意の実数 t に対して

(14-27)  0 £ || tx + y ||² = (tx + y | tx + y) = (tx | tx) + (tx | y) + ( y | tx) + ( y | y) = t²(x | x) + t(x | y) + t( y | x) + ( y | y) = || x ||²t² + 2Â((x | y))t + || y ||²

が成り立ちます。ただしここで (x | y) + ( y | x) = (x | y) + (x | y)* = 2Â((x | y)) を用いました。
　ゆえに (14-27) の右辺の２次式の判別式（「数学の基礎」第51節 (51-11a) 参照）は非負でなければなりません。
　すなわち {2Â((x | y))}² - 4 || x ||² || y ||² £ 0 となるので、移項して両辺を 4 で割って平方根を取れば、| Â((x | y)) | £ || x || || y || が得られます。従って H が実線形空間のときは直ちに

(14-28)  | (x | y) | £ || x || || y ||

が得られます。
　また H が複素線形空間の場合は q :º arg (x | y) , a :º e^-iq と置けば、| Â(a(x | y)) | = | Â((x | ay)) | £ || x || || ay || = || x || | a | || y || = || x || || y || となり、更に a(x | y)ÎR に注意すれば | Â(a(x | y)) | = | a(x | y) | = | a | | (x | y) | = | (x | y) | が成り立つので、複素線形空間の場合でも (14-28) が成り立つことがわかります。
　ゆえに、(14-27) で t = 1 と置けば、|| x + y ||² = || x ||² + 2Â((x | y)) + || y ||² £ || x ||² + 2| (x | y) | + || y ||² £ || x ||² + 2|| x || || y || + || y ||² = ( || x || + || y || )² が得られます。ただし２番目の不等号で (14-28) を使いました。ゆえに両辺の平方根を取れば、三角不等式：

(14-29a)  || x + y || £ || x || + || y ||

が得られます。また (14-24c)*,(14-24e) により || ax ||² = (ax | ax) = a(ax | x) = a(x | ax)* = aa*(x | x) = | a |² || x ||² ですから、両辺の平方根を取れば

(14-29b)  || ax || = a || x ||

が得られ、更に (14-24b) により

(14-29c)  || x || = 0  Þ  x = 0

が成り立ちます。ゆえに (14-29) により || · || は確かに H のノルムになることがわかりました。更に

(14-30)  || x + y ||² - || x - y ||²	= (x + y | x + y) - (x - y | x - y)       ( ∵ (14-25) )
	=(x + y | x) + (x + y | y) - (x - y | x) - (x - y | - y)       ( ∵ (14-24d) )
	=(x + y | x) + (x + y | y) - (x - y | x) + (x - y | y)       ( ∵ (14-24e) )
	=(x | x + y)* + ( y | x + y)* - (x | x - y)* + ( y | x - y)*       ( ∵ (14-24c),(14-24c)* )
	=(x | x)* + (x | y)* + ( y | x)* + ( y | y)* - (x | x)* - (x | - y)* + ( y | x)* + ( y | - y)*       ( ∵ (14-24d) )
	=(x | y)* + ( y | x)* + (x | y)* + ( y | x)*       ( ∵ (14-24e),(14-24e)* )
	= 2(x | y) + 2(x | y)*       ( ∵ (14-24c),(14-24c)* )
	= 4Â((x | y))

　ゆえに H が実線形空間の場合は、(x |y)ÎR ですから、(14-14a) により (x | y)_R = (x | y) が成り立つことがわかります。
　また H が複素線形空間の場合は、(x | y)_R = Â((x | y)) ですから

(14-31)  (x | y)C = (x | y)R - i (x | i y)R = Â((x | y)) - i Â((x | i y)) = Â((x | y)) - i Â(i(x | y)) = Â((x | y)) + i Á((x | y)) = (x | y)

となって、実pre-Hilbert空間でも複素pre-Hilbert空間でも、ノルム || · || から作った内積がもとの ( · | · ) に一致することがわかりました。