本節では、任意に与えられた理論 を満たすとき、圏（ が成り立ち、対称的に
が成り立つので ある圏が与えられたとき、O 、 対象 a と b は、 ですから、逆射は存在すれば一意的です。よって f の逆射の一つを 対象 e は、任意の対象 a に対して射 同様に
が言えますから、 始対象と終対象が存在してそれらが同型であるとき、これを零対象（ 一般に、２つの圏が与えられているとき、それらを区別するために、それぞれの対象の類と射の集合に、A とか B といったラベルをつけて区別することにし、それぞれの元を、圏 圏 t 上の再帰的集合論 t' 上の集合論 t'*
理論 t'*
,
bÎO(a, b)
(a, b)
=abÎH(a, b)
ÎH(b, c)
ÎH(a, c)
ÎO1aÎH(a, a)
(7-1a) ( f
fÎH(a, b) Ù gÎH(b, c) Ù hÎH(c, d) ) Þ h(g f ) =ad (hg) (7-1b) ( f , f '
ÎH(a, b) Ù g, g'ÎH(b, c) Ù f =ab f ' Ù g =bc g' ) Þ g f =ac g' f '(7-1c) f
ÎH(a, b) Þ f 1a =ab 1b f =ab fcategory
）が与えられたといい、O の元をその圏の対象（object
）、(a, b)
domain
） a から余域（codomain
） b への射（morphism
）といいます。また、1a を a の恒等射 と呼びます。
なお、表記の煩雑さを避けるため、同値関係 =ab= と書くことがあります。
さて、対象 a の恒等射は同値関係 =aa1'a を (7-1c)
を満たす別の射とすれば、(7-1c)
で f に 1'a を代入すれば
(7-2a)
1'a1a = 1a1'a = 1'a
(7-2b)
1a1'a = 1'a1a = 1a1'a = 1a1a(a, b)
(b, a)
dual category
）といいます。
ÎH(a, b)
ÎH(b, a)
= 1a = 1b @ b
(7-3) g
h = g1b = g( f h) = (g f ) = 1ah = h -1
また明らかに、恒等射、同型射の逆射、２つの同型射の合成射は同型射ですから、関係 @ は同値関係になっていることがわかります。
ÎH(e, a)
initial object
）といいます。また、双対圏の始対象を終対象（final object
）といいます。いいかえると、e が終対象であるとは、任意の対象 a に対して唯一つの射 ÎH(a, e)
e と e' が共に始対象であるとすると、射 ÎH(e, e')
ÎH(e', e)
1e も e から e への射ですから、e が始対象であることから、この両者は同値でなければなりません：
(7-4a)
g f = 1e
(7-4b)
f g = 1e' @ e'zero object
）といい、その一つを 0 で表わします。射 ÎH(a, b)
jÎH(a,
0)yÎH(
0, b)yj0 で表わします。
零射と任意の射の合成は、やはり零射です。また、零対象が存在すれば、始対象と終対象の定義により、任意の対象 a , b に対し、(a, b)
(A)
(B)
(A)
(B)
,
bÎOA(a, b)
(F(a), F(b))
(7-5a) ( f |
(7-5b) ( f, f ' |
(7-5c) a |
を満たすとき、圏 (A)
(B)
functor
）が与えられたといい、記法の簡便のため、F と各 (A)
(B)
(B)
(C)
° F(
a)
F(
b)
° Fab(A)
(C)
,
bÎOAÎHA(a, b)
ÎHA(b, a)
= 1a = 1b(7-5)
を用いれば、(
g)
F(
f )
= 1F(
a)
(
f )
F(
g)
= 1F(
b)
(a)
(b)
なお、圏 (A)
の対象の類 (B)
の対象の類 ,
bÎOA(a, b)
(F(b), F(a))
A
から圏 B
の双対圏への関手になっているとき、F を反変関手といいます。これに対し、通常の関手のことを共変関手と言うことがあります。
さて、圏 (D)
また、小圏 (D)
(A)
ÎOA(a, F(v))
( v
ÎOD )(F(v), a)
( v
ÎOD )
特に、小圏 (D)
vertex
）、射を矢（arrow
）とよぶとき、(D)
(A)
(D)
diagram
）（略して (D)-
図式）とよぶことにし、見易さのために、(v)
(
j)j と書くことにします。
さて、(D)-
図式 d が与えられたとき、(A)
j :º (
vjvÎHA(a, v ) )ÎOD
(7-6) |
を満たすものの組 (a,
j)(a,
j)(b,
y)
(7-7) |
を満たす ÎHA(a, b)
(a,
j)(b,
y)
そこで、この圏の終対象が存在するとき、この終対象を d の極限（limit
）、逆極限（inverse limit
）あるいは射影極限（projective limit
）といい、その一つを lim
d
すなわち (b,
y)"u,
vÎOD :
"iÎHD(u, v) : i yu = yv(7-6)
を満たす任意の (a,
j)(7-7)
を満たす ÎHA(a, b)
特に、圏 (D)
product
）または直積（direct product
）とよばれ、Õ d :º ODÕuÎI u(7-6)
は空な条件になることに注意します。
すなわち (b,
y)(a,
j)(7-7)
を満たす ÎHA(a, b)
更に、u がすべて同一の a であるときは、この積を
なお、圏 (D)
(A)
圏 (A)
complete
）であるといいます。
双対的に、(D)-
図式 d が与えられたとき、(A)
j :º (
vjvÎHA(v, a) )ÎOD
(7-8) |
を満たすものの組 (a,
j)(a,
j)(b,
y)
(7-9)f |
を満たす ÎHA(b, a)
(b,
y)(a,
j)colimit
）、順極限（direct limit
）あるいは帰納極限（inductive limit
）といい、その一つを colim
d
すなわち (b,
y)"u,
vÎOD :
"iÎHD(v, u) : yu i = yv(7-8)
を満たす任意の (a,
j)(7-9)
を満たす ÎHA(b, a)
特に、圏 (D)
coproduct
）または直和（direct sum
）とよばれ、Õ d :º ODÕuÎI u(7-8)
は空な条件になります。
すなわち (b,
y)(a,
j)(7-9)
を満たす ÎHA(b, a)
なお、圏 (D)
(A)
圏 (A)
(B)
(A)
(B)
(D)
(A)
° d(D)
(B)
ÎOA(
vjvÎHA(a, v ) )ÎOD(a)
ÎOB( Fav(
vjv)ÎHB(F(a), F(v )) )ÎOD ° dlimit-preserving functor
）といいます。
双対的に、圏 (A)
(B)
(A)
(B)
colimit-preserving functor
）といいます。
さてここで、極限の例をいくつか挙げてみましょう。
{u, v}
(D)
(D)
は小圏ですが、(D)
(A)
への関手 d はすべて小関手です。ゆえに d の極限（この場合は d の積）を考えることができ、これを ´ v
また、(u, u)
(v, v)
(u, v)
i, k からなるときも、同様に d の極限を考えることができ、これを i と k の等化子（equalizer
）とよびます。
また、等化子の双対概念にあたる余極限を余等化子（coequalizer
）とよびます。
特に、考察している圏が零対象を持つとき、ÎH(a, b)
0ÎH(a, b)
kernel
）といい、f と 0 の余等化子を f の余核（cokernel
）といいます。
また、(u, u)
(v, v)
(w, w)
(u, w)
(v, w)
i , k からなり、(D)
i と k の引き戻し（pullback
）とよびます。
引き戻しの双対概念にあたる余極限を押し出し（pushout
）とよびます。
図式をしばしば絵で表示することがあります。例えば、,
gÎH(a, b)
e ® |
f ® g |
b |
と書き、eÎOcÎH(
e, a)e から b への射 y も存在するのですが、射に対する条件 (7-6)
により y = fc = gcy の記述は通常は省略します。
以下 e を Eq( f, g)
c を eq( f, g)
同様に、,
gÎH(b, a)
| b | f ® g |
a ® e |
において、e を Coeq( f, g)
c を coeq( f, g)
次に、零対象を持つ圏の場合、核と余核について、Ker f
:ºEq( f, 0)ker f
:ºeq( f, 0)Coker f
:ºCoeq( f, 0)coker f
:ºcoeq( f, 0)
ある射の ker
と書ける射は正規（normal
）であるといい、ある射の coker
と書ける射は余正規（conormal
）であるといいます。
なお、一般に
(7-10) fは同型射 coeq( f, g)は同型射 |
が成り立ちます。
実際、c = gcc が同型射なら、左から c の逆射を合成すれば = g
逆に = g1acÎH(
e, a)c = gcc = 1a c
双対的に２番目の同値性が示されます。
次に、ÎH(a, c)
ÎH(b, c)
| f a | ||
y | ||
と書き、pÎOjÎH(
p, a)yÎH(
p, b)p から c への射 c も存在するのですが、射に対する条件 (7-6)
により c = fj = gyc の記述は通常は省略します。
p を Pull( f, g)
j と y の組 (
j, y)pull( f, g)
なお、零対象を持つ圏の場合、 = 0 = 0Pull( f,
f0) = Ker pull( f,
0) = (ker f, 0)
同様に、ÎH(c, a)
ÎH(c, b)
a ® p | ||
| f |
||
| c g | ||
において、p を Push( f, g)
j と y の組 (
j, y)push( f, g)
同様に、零対象を持つ圏の場合、 = 0 = 0Push( f,
f0) = Coker push( f,
0) = (coker f, 0)
なお、eq( f, g)
push( f, g)
eq( f, g)
= でなく @ を用いることにします。
さて、射 ÎH(a, b)
ÎOjH,
yÎ(c, a)
j = fyj = ymonomorphism
）であるといい、双対的に、任意の ÎOjH,
yÎ(b, c)
jf = yfj = yepimorphism
）であるといいます。
明らかに、単射 f と単射 g の合成
さて、ÎH(a, b)
| f a | ||
c | ||
が引き戻しになれば f は単射です。
実際、jH,
yÎ(c, a)
j = fyj を図の左上の a に繋げ、y を図の右下の a に繋げれば、引き戻しの定義により rÎH(c,
p)j = cry = crj = y
逆に f が単射なら、図で p º ac º 1a
実際、jH,
yÎ(c, a)
j = fyj = yj = cry = crr として j = y
(7-11a)f |
は単射 | pull( f, f ) |
と書ける | pull( f, f ) |
と書ける |
が成り立ち、双対的に、
(7-11b)f |
は全射 | push( f, f ) |
と書ける | push( f, f ) |
と書ける |
が得られます。
関手は、単射を単射に移すとき単関手（monofunctor
）といい、全射を全射に移すとき全関手（epifunctor
）といいます。(7-11)
により、極限保存関手は単関手であり、余極限保存関手は全関手であることがわかります。
さて、等化子 c = eq( f, g)
ci = cjy と置けば、c = gcy = gyy = ck = jc が単射であることを意味しています。
特に、核も単射です。双対的に、余等化子、余核は全射です。
そこで、全ての単射が正規である圏を正規であるといい、全ての全射が余正規である圏を余正規であるといいます。
また、f , g の引き戻し (
j, y) º pull( f, g)y も単射です。実際、yi = yjji = gyi = gyj = fjjji = jjj' :º ji = jjy' :º yi = yjj' = jky' = yk = jy が単射であることを意味しています。
双対的に、f , g の押し出し (
j, y) º push( f, g)y も全射です。
一般に、全単射、すなわち全射かつ単射ならば同型射であるとは限りませんが、次の事実が成り立ちます。
ÎH(a, b)
ÎH(b, a)
= 1a
一方、左可逆な全射は同型射です。実際、( fg) f
= f(g f ) = f1a = f = 1b f = 1b
双対的に、右可逆なら全射であり、右可逆な単射は同型射です。
押し出しと等化子が存在する圏で、ÎH(a, b)
(
j, y) º push( f, f )Im( f )
:º Eq(j, y)im( f )
:º eq(j, y)im( f )
双対的に、引き戻しと余等化子が存在する圏で、ÎH(a, b)
(
j, y) º pull( f, f )Coim( f )
:º Coeq(j, y)coim( f )
:º coeq(j, y)coim( f )
(7-10),(7-11)
により、押し出しと等化子が存在する圏では
(7-12a)f |
は全射 | im( f ) |
は同型射 | Im( f ) |
が、引き戻しと余等化子が存在する圏では
(7-12b)f |
は単射 | coim( f ) |
は同型射 | Coim( f ) |
がそれぞれ成り立ちます。そこで
(7-13a) f |
が成り立つとき、f を効果的単射（effective monomorphism
）といい、
(7-13b) f |
が成り立つとき、f を効果的全射（effective epimorphism
）といいます。
定義から明らかに効果的単射な全射は同型射であり、双対的に効果的全射な単射は同型射です。また、im( f )
さて、押し出しと等化子が存在する圏において、ÎH(a, b)
(
j, y) º push( f, f )jf = yfim( f )
j と y の等化子なので、射 ÎH(a, Im( f ))
= im(
f )
fa
同様に、引き戻しと余等化子が存在する圏では 射 ÎH(Coim( f ), b)
= f b coim( f )
ゆえに、引き戻し、押し出し、等化子、余等化子がすべて存在する圏では、ÎH(a, b)
(
a, b) º pull( f, f )a = fb = im(
f )
faim( f ) fa
fa a = im( f ) bim( f )
a = fa bcoim( f )
a と b の余等化子なので、射 ÎH(Coim( f ), Im( f ))
= fab coim( f )
(7-14) f |
と分解できたことになります。これを f の標準分解とよびます。
特に epi-monic factorization
）を持つといいます。
全単射分解は、存在すれば、次の意味で“一意的”です。f が全射 e と単射 m により = mejme = jf = yf = ymejm = ymim( f )
j と y の等化子なので、射 s が存在して = im( f )
ss も単射です。双対的に、射 t が存在して = t coim( f )
t は全射です。
ゆえに、im( f )
st coim( f ) = me = f = im( f ) fab coim( f )im( f )
coim( f )
st = fabs は右可逆、t は左可逆であり、従って s は右可逆な単射なので同型射、t も左可逆な全射なので同型射であることがわかります。
以上の結果は @ im( f )
@ coim( f )
このことから、特に全単射分解を持つ射については、単（全）射であることと効果的単（全）射であることは同値であることがわかります。