数学の基礎

　本節では、圏の概念を使って構造の概念を定義しましょう。

　圏 (A) から圏 (B) への関手 F は、すべての x, yÎO_A に対して F_xy が一対一、すなわち

(9-1)  (  f, f 'ÎHA(x, y)  Ù  Fxy( f ) = Fxy( f ' ) )  Þ    f = f '

を満たすとき忠実（faithful）であるといい、各 aÎO_B に対し、類 S_a º F ^-1({a}) の元を a 上の構造（structure）といいます。
　このとき、圏 (A) の対象 x と y に対し、jÎH_B(F(x), F( y)) は、それがある fÎH_A(x, y) によって j = F_xy( f ) と書けるとき x から y への構造射であるといいます。関手の忠実性により、そのような f は一意的です。
　また、明らかに x から y への構造射と y から z への構造射の合成射は x から z への構造射です。

　a 上の2つの構造 x と y に対し、1_a が x から y への構造射であるとき、x は y より強い（ y は x より弱い） といって y £ x 又は x ³ y と書くことにします。
　関係 £ は明らかに擬順序関係ですが、この擬順序関係に伴う同値関係は、対象間の同型 @ に他なりません。
　実際、x £ y かつ y £ x とすると、F_xy(j) = 1_a となる射 jÎH_A(x, y) と F_yx(y) = 1_a となる射 yÎH_A( y, x) が存在し、(7-5) により

(9-2)  Fxx(yj) = Fyx(y)Fxy(j) = 1a1a = 1a = Fxx(1x)

ですから、F の忠実性により F_xx が一対一であることから yj = 1_x がわかります。同様に jy = 1_y もわかるので、同型の定義により x @ y です。

　さて、F を圏 (A) から圏 (B) への忠実な関手、I を集合、a を圏 (B) の対象、( y_i )_iÎI を圏 (A) の対象の族で、I を射を持たない小圏とみなしたとき、各 iÎI に F( y_i ) を対応させる写像が I から (B) への小関手になっているようなものとします。

　ここで、任意に圏 (B) の射の族 j :º ( j_iÎH_B(a, F( y_i )) )_iÎI を取ります（仮定により、この族は集合です）。
　このとき、xÎO_A と、すべての iÎI に対して j_ix が x から y_i への構造射であるような xÎH_B(F(x), a) の組 (x, x) を対象とよび、２つの対象 (z, z) , (x, x) に対して z = xF_zx( f ) となる fÎH_A(z, x) を (z, z) から (x, x) への射とよべば、これは一つの圏を定めます。
　そこで、この圏に終対象 (x, x) が存在するとき、(x, x) を j による a の導入構造（induced structure）とよびます。
　また、その終対象が特に xÎS_a かつ x = 1_a を満たすように取れるとき、x を j による a 上の導入構造といいます。

　定義により、x が j による a 上の導入構造であるとは、各 j_i が x から y_i への構造射であって、しかも任意の zÎO_A と任意の zÎH_B(F(z), a) に対し、すべての iÎI に対して j_iz が z から y_i への構造射ならば、z は z から x への構造射である、ということに他なりません。
　以上の定義はまた、「任意の zÎO_A と任意の zÎH_B(F(z), a) に対し、すべての iÎI に対して j_iz が z から y_i への構造射である」ことと、「z が z から x への構造射である」ことが同値であること、とも言い換えることができます。
　なぜなら、x が j による a 上の導入構造なら、j_iz は z から x への構造射と x から y_i への合成射なので x から y_i への構造射です。逆に後者から前者が言えれば、特に z として x を、z として 1_x を取れば、j_i は x から y_i への構造射であることがわかるからです。

　ここで更に、z として a 上の任意の構造をとり、z を 1_a とすれば、すべての j_i が z から y_i への構造射なら、z は x より強いことがわかります。従って、x は、すべての j_i がそこから y_i への構造射になるような a 上の構造のうちで最も弱い構造であることがわかります。

　双対的に、任意に圏 (B) の射の族 j :º ( j_iÎH_B(F( y_i), a) )_iÎI を取ります（仮定により、この族は集合です）。
　このとき、xÎO_A と、すべての iÎI に対して xj_i が y_i から x への構造射であるような xÎH_B(a, F(x)) の組 (x, x) を対象とよび、２つの対象 (z, z) , (x, x) に対して z = F_xz( f )x となる fÎH_A(x, z) を (z, z) から (x, x) への射とよべば、これは一つの圏を定めます。
　そこで、この圏に始対象 (x, x) が存在するとき、(x, x) を j による a の余導入構造（co-induced structure）とよびます。
　また、その終対象が特に xÎS_a かつ x = 1_a を満たすように取れるとき、x を j による a 上の余導入構造といいます。

　定義により、x が j による a 上の余導入構造であるとは、各 j_i が y_i から x への構造射であって、しかも任意の zÎO_A と任意の zÎH_B(a, F(z)) に対し、すべての iÎI に対して zj_i が y_i から z への構造射ならば、z は x から z への構造射である、ということに他なりません。
　以上の定義はまた、「任意の zÎO_A と任意の zÎH_B(a, F(z)) に対し、すべての iÎI に対して zj_i が y_i から z への構造射である」ことと、「z が x から z への構造射である」ことが同値であること、とも言い換えることができます。

　ここで更に、z として a 上の任意の構造をとり、z を 1_a とすれば、すべての j_i が y_i から z への構造射なら、z は x より弱いことがわかります。従って、x は、すべての j_i が y_i からそこへの構造射になるような a 上の構造のうちで最も強い構造であることがわかります。

　なお、I が空（従って j に関する条件がない）のとき、a の余導入構造を a の普遍構造（universal structure）といいます。
　すなわち xÎO_A と xÎH_B(a, F(x)) の組 (x, x) が a の普遍構造であるとは、任意の zÎO_A と任意の zÎH_B(a, F(z)) に対し、z = F_xz( f )x を満たす fÎH_A(x, z) が唯一つ存在することを意味します。

　さて、次に圏 (D) から (A) への (D)-図式 d で F との合成関手 F _° d が (D) から (B) への (D)-図式であるようなものを考えます。

　ここで、aÎO_B と j :º ( j_vÎH_B(a, F( v )) )_vÎOD の組 (a, j) が F _° d の極限で、(x, x) が j による a の導入構造であるとします。
　このとき任意の vÎO_D に対して j_vx は x から v への構造射ですから、F_xv( f_v ) = j_vx となる f_v が唯一つ存在するので、f :º (  f_vÎH_A(x, v )) )_vÎOD と置くと、(x, f ) は d の極限になることを証明しましょう。
　実際、任意の u, vÎO_D と任意の iÎH_D(u, v) に対し、(a, j) が F _° d の極限であることから F_uv( i )j_u = j_v が成り立つので

(9-3)  Fxv( i fu ) = Fuv( i )Fxu( fu ) = Fuv( i )jux = jvx = Fxv( fv )

となり、F の忠実性により i f_u = f_v が成り立ちます。
　次に、任意の yÎO_A と、射の族 g :º ( g_vÎH_A( y, v )) )_vÎOD で、任意の u, vÎO_D と任意の iÎH_D(u, v) に対して i g_u = g_v を満たすものを取ります。
　ここで、各 vÎO_D に対して y_v :º F_yv(g_v ) と置いて射の族 y :º ( y_vÎH_B(F( y), F( v )) )_vÎOD を定義すれば、任意の u, vÎO_D と任意の iÎH_D(u, v) に対して

(9-4)  Fuv( i )yu = Fuv( i )Fyu(gu ) = Fyv( i gu ) = Fyv(gv ) = yv

が成り立ちます。
　ゆえに、(a, j) が F _° d の極限であることにより、任意の vÎO_D に対して y_v = j_vc となる cÎH_B(F( y), a) が唯一つ存在します。
　すると、任意の vÎO_D に対して y_v = j_vc は構造射ですから、導入構造の定義により、c = xF_yx(h) となる hÎH_A( y, x) が唯一つ存在します。このとき、任意の vÎO_D に対して

(9-5)  Fyv(gv) = yv = jvc = jvxFyx(h) = Fxv( fv)Fyx(h) = Fyv( fvh)

が成り立ちますから、F の忠実性により g_v = f_vh が成り立ちます。h の一意性も明らかですから、これは (x, f ) が d の極限であることを意味します。
　以上により、完備な圏 (B) の対象の導入構造が常に存在する圏 (A) は完備であることがわかります。

　特に、aÎO_B 上の導入構造が常に存在するときは、F(x) = a かつ F_xv( f_v) = j_v となりますから、F は極限保存関手で、従って特に単関手になることがわかります。

　双対的に、完備な圏 (B) の対象の余導入構造が常に存在する圏 (A) は余完備であり、aÎO_B 上の余導入構造が常に存在するときは、F は余極限保存関手で、従って特に全関手になることがわかります。

　ゆえに aÎO_B 上の導入構造と余導入構造が共に存在し、圏 (B) が完備かつ余完備ならば、圏 (A) において射の像（余像）が存在し、余域（域）からの導入構造（余導入構造）を持ちます。
　ゆえにこの場合、圏 (A) の射 fÎH_A(x, y) が効果的単（全）射であるためには、F_xy( f ) が圏 (B) の効果的単（全）射で、かつその域（余域）が余域（域）からの f による導入構造（余導入構造）を持つことが必要十分であることがわかります。

　次に、任意の aÎO_B が普遍構造を持てば、F は極限保存関手であることを証明しましょう。
　実際 xÎO_A と f :º (  f_vÎH_A(x, v )) )_vÎOD の組が (D) から (A) への図式 d の極限で、F _° d が (D) から (B) への図式になっていると仮定します。
　このとき a :º F(x) , j_v :º F_xv( f_v ) と置くと、aÎO_B と j :º ( j_vÎH_B(F(x), F( v ))) )_vÎOD の組が F _° d の極限になることを証明すれば十分です。
　まず、(x, f ) が d の極限であることから、任意の u, vÎO_D と任意の iÎH_D(u, v) に対し、i f_u = f_v が成り立つので

(9-6)  Fuv( i )ju = Fuv( i )Fxu( fu ) = Fxv( i fu ) = Fxv( fv ) = jv

となります。
　次に、任意に bÎO_B と、任意の u, vÎO_D と任意の iÎH_D(u, v) に対して F_uv( i )y_u = y_v を満たす射の族 y :º ( y_vÎH_B(b, F( v ))) )_vÎOD が与えられたとします。
　仮定により b の普遍構造 ( y, h) が存在し、普遍構造の定義から、任意の vÎO_D に対して y_v = F_yv(g_v)h となる射の族 g :º ( g_vÎH_A( y, v )) )_vÎOD が唯一つ存在します。一方、任意の u, vÎO_D と任意の iÎH_D(u, v) に対し、

(9-7)  Fyv( i gu )h = Fuv( i )Fyu(gu )h = Fuv( i )yu = yv = Fyv(gv )h

となるので、まず普遍構造における射の一意性条件から F_yv( i g_u ) = F_yv(g_v ) が得られ、更に F の忠実性により i g_u = g_v が得られます。
　ゆえに、(x, f ) が d の極限であることから、hÎH_A( y, x) が存在して、任意の vÎO_D に対して g_v = f_vh となるので

(9-8)  yv = Fyv(gv)h = Fyv( fvh)h = Fxv( fv )Fyx(h)h = jvFyx(h)h

が成り立ち、しかも F_yx(h)hÎH_B(b, a) です。
　逆に、任意の vÎO_D に対して y_v = j_vc となるような cÎH_B(b, a) が存在したとすると、( y, h) が b の普遍構造であることから、c = F_yx(k)h となるような kÎH_A( y, x) が存在し、

(9-9)  Fyv(gv)h = yv = jvc = Fxv( fv )Fyx(k)h = Fyv( fvk)h

ですから、普遍構造における一意性条件から F_yv(g_v) = F_yv( f_vk) が得られ、F の忠実性から g_v = f_vk が得られ、d の極限における一意性条件から k = h が得られ、c = F_yx(h)h がわかります。
　以上で (a, j) が F _° d の極限であることが証明されました。これは F が極限保存関手であることを示しています。

　次に、圏 (A) も圏 (B) もそれぞれ始対象 x と a を持つとします。
　このとき、始対象の定義により iÎH_B(a, F(x)) が唯一つ存在しますが、(x, i) が a の普遍構造になることを証明しましょう。
　実際、任意の yÎO_A と fÎH_B(a, F( y)) に対し、x が (A) の始対象であることから jÎH_A(x, y) が唯一つ存在します。一方 f も F_xy(j)i も H_B(a, F( y)) の元ですから、a が (B) の始対象であることから、射の一意性により両者は一致します。これは (x, i) が a の普遍構造になっていることを意味しています。

　さて、ここで aÎO_B 上の導入構造が常に存在するための一つの十分条件を求めてみましょう。
　すべての aÎO_B に対して任意の S Ì S_a が強さに関する上限 x を持つ、すなわち条件：

(9-10a)  "yÎS : y £ x

(9-10b)  "zÎSa : ( ( "yÎS : y £ z ) Þ x £ z )

を満たす xÎS_a が存在すると仮定します。このとき、z も S の上限なら z @ x です。
　実際、z が上限であることから (9-10a) により "yÎS : y £ z となり、x が上限であることから (9-10b) により x £ z となりますが、x と z の役割を入れ替えれば z £ x となり、z @ x が得られます。
　そこで、S の上限の一つを sup S と表すことにします。

　次に、jÎH_B(a, b) に対し、同値関係 @ と両立（前節 (8-1) 参照）する写像 j^# : S_b ® S_a が与えられ、任意の S Ì S_b に対して

(9-11a)  j#( sup S ) @ sup j#[S]

が成り立ち、任意の yÎH_B(b, c) と任意の zÎS_c に対して

(9-11b)  (yj)#(z) @ j#(y#(z))

が成り立つものとし、更に、j が x から y への構造射であることと j^#( y) £ x が同値であるものとします。

　このとき、圏 (B) の対象 a と、圏 (A) の対象の族 ( y_i )_iÎI で、I を射を持たない小圏とみなしたとき、各 iÎI に F( y_i ) を対応させる写像が I から (A) への小関手になっているようなものと、圏 (B) の射の族 j :º ( j_iÎH_B(a, F( y_i )) )_iÎI が与えられたとき、

(9-12)  x :º sup { ji#( yi ) | iÎI }

と置けば、これが a 上の j による導入構造になることが証明できます。
　実際、任意の zÎO_A と任意の yÎH_B(F(z), a) に対し、y が z から x への構造射であることは y^#(x) £ z と書けます。
　一方、iÎI に対して j_iy が z から y_i への構造射であることは y^#(j_i^#( y_i)) @ (j_iy)^#( y_i) £ z と書けるので、これがすべての iÎI について成り立つという条件は

(9-13)  y#(x) º y#( sup { ji#( yi ) | iÎI } ) @ sup { y#(ji#( yi )) | iÎI } £ z

と同値です。これで主張は証明されました。

　ちなみに、j^# は順序を保つ、すなわち

(9-14)  x £ y  Þ  j#(x) £ j#( y)

が成り立ちます。なぜなら (9-11a) により

(9-15)  x £ y  Û  y @ sup { x, y }  Þ  j#( y) @ j#( sup {x, y}) @ sup {j#(x), j#( y)}  Þ  j#(x) £ j#( y)

が成り立つからです。

　ところで上記の仮定のもとでは、すべての aÎO_B に対して S_a の任意の部分集合 S が強さに関する下限 x º inf S を持つ、すなわち条件：

(9-16a)  "yÎS : x £ y

(9-16b)  "zÎSa : { ( "yÎS : z £ y ) Þ z £ x }

を満たす xÎS_a が存在することがわかります。
　実際、S の下界 S' を S' :º { zÎS_a | "yÎS : z £ y } で定義すれば、x :º sup S' が S の下限になることを証明しましょう。
　まず、任意の yÎS に対し、"zÎS' : z £ y が成り立つので、(9-10b) を S' に適用すれば x £ y が得られ、これは (9-16a) の成立を意味します。
　また、"yÎS : z £ y を仮定すると、これは zÎS' を意味するので、(9-10a) を S' に適用すれば z £ x が得られ、これは (9-16b) の成立を意味します。

　次に、上記の写像 j^# に対して、写像 j_# : S_a ® S_b を

(9-17)  j#(x) :º sup { yÎSb |  j#( y) £ x }

で定義します。
　このとき x £ z なら { yÎS_b |  j^#( y) £ x } Ì { yÎS_b |  j^#( y) £ z } なので j_#(x) £ j_#(z) が成り立ち、x と z を交換すれば x @ z  Þ  j_#(x) @ j_#(z) が得られるので、写像 j_# は同値関係 @ と両立しますが、更に、

(9-18a)  j#( inf S ) @ inf j#[S]

及び、任意の yÎH_B(b, c) と任意の xÎS_a に対して

(9-18b)  (yj)#(x) @ y#(j#(x))

が成り立つことが証明できます。
　実際、(9-17) により j^#( y) £ x  Þ  y £ j_#(x) が成り立ち、逆に y £ j_#(x) なら (9-14),(9-17),(9-11a) により

(9-19)  j#( y) £ j#(j#(x)) @ sup { j#( y) |  yÎSb  Ù  j#( y) £ x } £ x

ですから逆も成り立ちます：

(9-20)  j#( y) £ x  Û  y £ j#(x)

　したがって、(9-17),(9-20) により

(9-21)  j#( inf S ) º sup { yÎSb | j#( y) £ inf S } @ sup { yÎSb | "xÎS : j#( y) £ x } @ sup { yÎSb | "xÎS : y £ j#(x) } @ sup (j#[S])' º inf j#[S]

となるので (9-18a) が言え、(9-17),(9-11b),(9-20) により

(9-22)  (yj)#(x)	º sup { yÎSb |  (yj)#( y) £ x }
	@ sup { yÎSb | j#(y#( y)) £ x }
	@ sup { yÎSb | y#( y) £ j#(x) }
	@ sup { yÎSb |  y £ y#(j#(x)) }
	@ y#(j#(x))

となって、(9-18b) も証明されました。
　ゆえに、圏 (B) の対象 a と、圏 (A) の対象の族 ( y_i )_iÎI で、I を射を持たない小圏とみなしたとき、各 iÎI に F( y_i ) を対応させる写像が I から (A) への小関手になっているようなものと、圏 (B) の射の族 j :º ( j_iÎH_B(F( y_i ), a) )_iÎI が与えられたとき、

(9-23)  x :º inf { ji#( yi ) | iÎI }

と置けば、これが a 上の j による余導入構造になることがわかります。