数学の基礎

　A を単位的(可換)モノイド環とするとき、集合 A' :º A ´ A 上に、演算 + , - , · を

(15-1a)  (a, b) + (a', b') :º (a + a', b + b')

(15-1b)  - (a, b) :º (b, a)

(15-1c)  (a, b)(a', b') :º (aa' + bb' , ab' + ba')

で定義します。このとき A' は、(0, 0) と (1, 0) をそれぞれ加法と乗法の単位元に持つ単位的(可換)半環で、しかも - を * とみなすことにより (14-50) が成り立つことがわかります。実際、

(15-2)  {(a, b) + (a', b')} + (a", b")	= (a + a', b + b') + (a", b")
	= (a + a' + a", b + b' + b")
	= (a, b) + (a' + a", b' + b")
	= (a, b) + {(a', b') + (a", b")}

(15-3)  {(a, b)(a', b')}(a", b")	= (aa' + bb' , ab' + ba')(a", b")
	= (aa'a" + bb'a" + ab'b" + ba'b" , aa'b" + bb'b" + ab'a" + ba'a")
	= (a, b)(a'a" + b'b" , a'b" + b'a")
	= (a, b){(a', b')(a", b")}

により、加法と乗法の結合法則が確かめられました。また、

(15-4)  (a, b) + (a', b') = (a + a', b + b') = (a' + a, b' + b) = (a', b') + (a, b)

により加法の交換律が、

(15-5)  (a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)

により (0, 0) が加法の単位元であることが、

(15-6a)  (a, b)(1, 0) = (a1 + b0 , a0 + b1) = (a + 0 , 0 + b) = (a, b)

(15-6b)  (1, 0)(a, b) = (1a + 0b , 1b + 0a) = (a + 0 , b + 0) = (a, b)

により (1, 0) が乗法の単位元であることが、

(15-7a)  {(a', b') + (a", b")}(a, b)	= (a' + a", b' + b")(a, b)
	= (a'a + a"a + b'b + b"b , a'b + a"b + b'a + b"a)
	= (a'a + b'b , a'b + b'a) + (a"a + b"b , a"b + b"a)
	= (a', b')(a, b) + (a", b")(a, b)

(15-7b)  (a, b){(a', b') + (a", b")}	= (a, b)(a' + a", b' + b")
	= (aa' + aa" + bb' + bb" , ab' + ab" + ba' + ba")
	= (aa' + bb' , ab' + ba') + (aa" + bb" , ab" + ba")
	= (a, b)(a', b') + (a, b)(a", b")

により加法と乗法の分配律が証明されました。また、A の乗法が可換なら、

(15-8)  (a, b)(a', b') = (aa' + bb' , ab' + ba') = (a'a + b'b , a'b + b'a) = (a', b')(a, b)

により乗法の交換律が成り立ちます。次に、- が (14-50) を満たすことを確かめましょう。

(15-9a)  - (0, 0) = (0, 0)

(15-9b)  - {- (a, b)} = - (b, a) = (a, b)

(15-9c)  - {(a, b) + (a', b')} = - (a + a', b + b') = (b + b', a + a') = (b, a) + (b', a') = {- (a, b)} + {- (a', b')}

(15-9d)  - {(a, b)(a', b')} = - (aa' + bb', ab' + ba') = (ab' + ba', aa' + bb')

(15-9d')  (ab' + ba', aa' + bb') = (b, a)(a', b') = {- (a, b)}(a', b')

(15-9d")  (ab' + ba', aa' + bb') = (a, b)(b', a') = (a, b){- (a', b')}

　さて、A' の部分集合 N を、(14-52) が成り立つように定めてみましょう。

(15-10a)  (a, b) + {- (a, b)} = (a, b) + (b, a) = (a + b, a + b)

(15-10b)  (c, c) = (c, 0) + (0, c) = (c, 0) + {- (c, 0)}

ですから、A' の対角集合を D と書けば、条件 (14-52a) は

(15-11a)  D Ì N

と書けます。また、条件 (14-52b) は、

(15-11b)  N + N* Ì N

と書けます。ただし、A' の部分集合 B , C に対し、{ x* | xÎB } を B* 、{ x + y | xÎB , yÎC } を B + C などと書きました。また、条件 (14-52c) は、(15-10) により

(15-11c)  xÎA' , yÎD , x + yÎN  Þ  xÎN

となります。また、条件 (14-52d) は、

(15-11d)  A'N, NA' Ì N

となります。
　さて、(15-11a),(15-11c) により、ある yÎD に対して x + yÎD なら xÎN となりますが、そのような最小の集合を N と置く、すなわち

(15-12)  N :º { xÎA' | $yÎD : x + yÎD } = { (a, b)ÎA' | $cÎA : a + c = b + c }

と置けば、これは (15-11) を満たすことがわかります。実際、D + (0, 0) Ì D ですから (15-11a) は明らかで、x, yÎN ならば x + u, y + vÎD となる u, vÎD が存在するので、D* = D , D + D Ì D により

(15-13a)  (x + y*) + (u + v*) = (x + u) + ( y + v)* Î D + D* = D + D Ì D

(15-13b)  u + v* Î D + D* = D + D Ì D

ですから x + y*ÎN となり、(15-11b) が成り立ちます。また、xÎA' に対し、

(15-14)  $yÎD : x + yÎN  Þ  $y, zÎD : x + y + zÎD  Þ  xÎN

ですから (15-11c) が成り立ちます。また、

(15-15a)  A'D = { (a, b)(c, c) | a, b, cÎA } = { (ac + bc, ac + bc) | a, b, cÎA } Ì D

(15-15b)  DA' = { (c, c)(a, b) | a, b, cÎA } = { (ca + cb, ca + cb) | a, b, cÎA } Ì D

ですから、任意の aÎA' に対して

(15-16a)  aN = a{ x | $yÎD : x + yÎD } = { ax | $yÎD : x + yÎD } Ì { ax | $yÎD : ax + ayÎaD } Ì { ax | $zÎD : ax + zÎD } Ì N

(15-16b)  Na = { x | $yÎD : x + yÎD }a = { xa | $yÎD : x + yÎD } Ì { xa | $yÎD : xa + yaÎDa } Ì { xa | $zÎD : xa + zÎD } Ì N

となって (15-11d) が成り立つことがわかりました。

　ゆえに、A' 上に２項関係 » を

(15-17)  x » y :º x + y*ÎN

すなわち

(15-18)  (a, b) » (a', b')  :º  (a, b) + (a', b')* ÎN  Û  $cÎA : (a, b) + (a', b')* + (c, c) ÎD  Û  $cÎA : a + b' + c = b + a' + c

で定義すれば、これが A' の演算と両立する同値関係となり、同値関係 » を持つ集合 A' は単位的(可換)環になることがわかります。

　次に、i : A ® A' を

(15-19)  i(x) :º (x, 0)

で定義すると、(A', i) が A の単位的(可換)環の圏における普遍構造になることを証明しましょう。まず、

(15-20a)  i(a + b) = (a + b, 0) = (a, 0) + (b, 0) = i(a) + i(b)

(15-20b)  i(0) = (0, 0)

(15-20c)  i(ab) = (ab, 0) = (ab + 0 , a0 + 0b) = (a, 0)(b, 0) = i(a)i(b)

(15-20d)  i(1) = (1, 0)

ですから i は単位的(可換)モノイド環の準同型です。
　次に、f : A ® B を単位的(可換)環 B への単位的(可換)モノイド環準同型とします。もし f = g _° i となる単位的(可換)環の準同型 g : A' ® B があったとすると、

(15-21)  g(a, b) = g((a, 0) + (0, b)) = g((a, 0) - (b, 0)) = g(a, 0) - g(b, 0) = g(i(a)) - g(i(b)) = f(a) - f(b)

が成り立つので、g は存在すれば一意的です。一方存在については、逆に g(a, b) を (15-21) の右辺で定義すれば、

(15-22)  (a, b) » (a', b')  Þ  $cÎA : a + b' + c = b + a' + c  Þ  f(a) + f(b') + f(c) = f(b) + f(a') + f(c)  Þ  f(a) - f(b) = f(a') - f(b')  Þ  g(a, b) = g(a', b')

となるので g は関数です。また

(15-23a)  g((a, b) + (a', b')) = g(a + a' , b + b') = f(a + a') - f(b + b') = f(a) + f(a') - f(b') - f(b) = g(a, b) + g(a', b')

(15-23b)  g(1, 0) = f(1) - f(0) = 1 - 0 = 1

(15-23c)  g((a, b)(a', b'))	= g(aa' + bb' , ab' + ba')
	= f(aa' + bb') - f(ab' + ba')
	= f(aa') + f(bb') - f(ba') - f(ab')
	= f(a) f(a') + f(b) f(b') - f(b) f(a') - f(a) f(b')
	= { f(a) - f(b)}{ f(a') - f(b')}
	= g(a, b)g(a', b')

となるので、これらと (14-9) の直後の注意により、g は単位的(可換)環の準同型であることがわかります。
　以上で (A', i) が A の単位的(可換)環の圏における普遍構造になっていることがわかりました。

　さて、以上の結果を自然数の集合 N に対して適用してみましょう。
　まず N は明らかに単位的可換モノイド環ですが、それだけでなく、単位的(可換)モノイド環の圏における始対象になっています。実際、j : N ® A を単位的(可換)モノイド環の準同型とすると、

(15-24a)  j(0) = 0

(15-24b)  j(s(n)) = j(n + 1) = j(n) + j(1) = j(n) + 1

が成り立たなければなりませんから、帰納的定義による解の一意性により、このような j は存在しても唯一つであることがわかります。
　一方、存在証明ですが、関数の帰納的定義により、(15-24) を満たす j が存在します。この j が準同型であることを帰納法により証明しましょう。まず

(15-25)  j(n + k) = j(n) + j(k)

が成り立つことを k に関する帰納法で証明しましょう。まず k が 0 のときは、n + 0 º n と (15-24a) により明らかです。また k で正しいと仮定すると、

(15-26)  j(n + s(k)) = j(s(n + k)) = j(n + k) + 1 = (j(n) + j(k)) + 1 = j(n) + (j(k) + 1) = j(n) + j(s(k))

となって、s(k) でも正しいことがわかり、帰納法が完成しました。また、

(15-27)  j(nk) = j(n)j(k)

が成り立つことを k に関する帰納法で証明しましょう。まず k が 0 のときは、n0 º 0 と (15-24a) と (14-44b) により明らかです。また k で正しいと仮定すると、

(15-28)  j(ns(k)) = j(nk + n) = j(nk) + j(n) = j(n)j(k) + j(n)1 = j(n)(j(k) + 1) = j(n)j(s(k))

となって、s(k) でも正しいことがわかり、帰納法が完成しました。また、(15-24) により

(15-29)  j(1) = j(s(0)) = j(0) + 1 = 0 + 1 = 1

となり、j が準同型であることがわかり、N が始対象であることがわかりました。

　そこで、単位的環の圏の始対象のことを Z と書き、Z の元を整数とよびます。このとき、第９節の (9-9) の次の段落の注意により、単位的モノイド環の準同型 i : N ® Z が唯一つ存在し、(Z, i) が N の、単位的環の圏における普遍構造になります。
　ゆえに先述の結果を適用すると、Z は N から (15-1)~(15-18) の方法で構成した集合で具体的に与えられます。よって特に、Z は単位的可換環の圏の始対象にもなっています。
　さて、今後は整数の相等関係を = で表わすことにします。自然数の性質 (11-2) により、整数の相等関係 (15-18) は、

(15-30)  (n, m) = (n', m')  Û  n + m' º m + n'

という簡単な形になります。この定義から、i(n) = i(m) すなわち (n, 0) = (m, 0) なら n = m となるので、i は一対一、すなわち N は Z の部分集合とみなすことができます。

　さて、２つの整数 (n, m) と (n', m') の間の２項関係 < を

(15-31)  (n, m) < (n', m')  :º  (n', m') > (n, m)  :º  n + m' < m + n'

で定義します。このとき、整数 l , m , n に対して次の性質が成り立ちます：

(15-32a)  m < n  Ú  m = n  Ú  m > n

(15-32b)  Ø ( m < n  Ù  m = n )

(15-32c)  ( l < m  Ù  m < n )  Þ  l < n

(15-32d)  m < n  Þ  m + l < n + l

(15-32e)  ( n > 0  Ù  m > 0 )  Þ  mn > 0

　実際、(15-32a) は (11-5) から、(15-32b) は (11-12a) からそれぞれ明らかです。
　また (15-32c) は、(n, m) < (n', m') かつ (n', m') < (n", m") なら n + m' < m + n' かつ n' + m" < m' + n" ですから、(11-9) を二度用いることにより n + m' + m" < m + n' + m" < m + m' + n" となるので、再び (11-9) により n + m" < m + n" すなわち (n, m) < (n", m") が得られます。
　次に (15-32d) は、(n, m) < (n', m') すなわち n + m' < m + n' なら、(11-9) により n + m' + n" + m" < m + n' + n" + m" となりますが、これは (n, m) + (n", m") < (n', m') + (n", m") を意味しています。
　最後に (15-32e) は、(n, m) > 0 かつ (n', m') > 0 なら n > m かつ n' > m' ですから、ある自然数 k, k' > 0 が存在して n º m + k かつ n' º m' + k' が成り立ちます。よって nn' + mm' º (m + k)(m' + k') + mm' º 2mm' + mk' + m'k + kk' > 2mm' + mk' + m'k º mn' + m'n すなわち (n, m)(n', m') > 0 が得られます。

　一般に (15-32) を満たす２項関係 < が与えられた環のことを順序環とよぶことにします。順序環では m < n  Ú  m = n のことを m £ n と書きますが、これは (15-32a)~(15-32c) により Ø m > n と同値で、しかも £ は擬順序になり、= はこの擬順序に伴う同値関係（第６節 (6-24c)' 直後の注意参照）になっています。
　さて、順序環では次の性質が成り立ちます：

(15-33a)  Ø ( m < n  Ù  n < m )

(15-33b)  m = n  Ú  Ø m = n

(15-33c)  m < n  Ú  Ø m < n

(15-33d)  ( Ø m = n )  Û  ( m < n  Ú  n < m )

(15-33e)  ( m < n  Ù  m = m'  Ù  n = n' )  Þ  m' < n'

(15-33f)  m < n  Û  m ± l < n ± l

(15-33g)  m > n  Û  m - n > 0  Û  - n > - m

(15-33h)  ( n > 0  Ù  m < 0 )  Þ  mn < 0

(15-33i)  ( n < 0  Ù  m < 0 )  Þ  mn > 0

(15-33j)  ( n = 0  Ú  m = 0 )  Û  mn = 0

(15-33k)  ( Ø n = 0 )  Þ  n² > 0

(15-33l)  l > 0  Þ  ( n < m  Û  ln < lm )

(15-33m)  l < 0  Þ  ( n < m  Û  ln > lm )

(15-33n)  ( Ø l = 0 )  Þ  ( n = m  Û  ln = lm )

(15-33o)  ( Ø 0 = 1 )  Þ  0 < 1

(15-33p)  Ø 0 = 1 で、n が乗法の逆元を持てば、n > 0  Û  n-1 > 0

(15-33q)  Ø 0 = 1 で、n が乗法の逆元を持てば、n < 0  Û  n-1 < 0

(15-33r)  Ø 0 = 1 で、m , n が乗法の逆元を持ち、m > n > 0 ならば n-1 > m-1 > 0

　実際、(15-33a) は、m < n  Ù  n < m と仮定すると、(15-32c) により m < m となって (15-32b) に反します。

　ゆえに (15-32a),(15-32b),(15-33a) により、m < n , m = n , n < m の三者はそのいずれか唯一つが必ず成り立つことがわかるので、(15-33b)~(15-33d) は明らかです。

　次に (15-33e) ですが、m' が m のときと n' が n のときに分けて示せば十分です。
　m < n かつ n = n' とします。もし m = n' なら = が同値関係であることから m = n となるので (15-32b) に反し、もし m > n' なら (15-32c) により n' < n となるのでやはり (15-32b) に反します。よって (15-32a) により m < n' が得られます。
　次に m < n かつ m = m' とします。もし m' = n なら = が同値関係であることから m = n となるので (15-32b) に反し、もし m' > n なら (15-32c) により m < m' となるのでやはり (15-32b) に反します。よって (15-32a) により m' < n が得られます。
　以上で (15-33e) は証明されました。これは < が相等関係 = と両立することを意味しています。

　次に (15-33f) ですが、Þ は (15-32d) により明らかです。逆は、m , n のかわりにそれぞれ m ± l , n ± l を代入すれば (15-32d) から得られます。
　また (15-33g) は、まず両辺から n を引き、次に両辺から更に m を引けば、(15-33f) により明らかです。
　次の (15-33h) は、仮定から (15-33g) により - m > 0 が得られるので、(15-32e) により - mn = (- m)n > 0 となるので、再び (15-33g) を使えば結論が得られます。
　次の (15-33i) は、仮定から (15-33g) により - n > 0 が得られるので、(15-33h) により - mn = m(- n) < 0 となるので、再び (15-33g) を使えば結論が得られます。
　次の (15-33j) は、(15-32e),(15-33h),(15-33i) と (15-32b) により明らかです。
　次の (15-33k) は、(15-33d),(15-32e),(15-33i) により明らかです。
　次の (15-33l),(15-33m) は、(15-33g) と (15-32e),(15-33h) から明らかです。
　次の (15-33n) は、(15-33l),(15-33m) と (15-32a),(15-32b),(15-33a) から従います。
　次の (15-33o) は、1² = 1 と (15-33k) から明らかです。
　次の (15-33p) と (15-33q) は、nn^-1 = 1 > 0 と (15-33l) 又は (15-33m) でそれぞれ n を 0 とすれば明らかです。
　最後の (15-33r) は m > n の両辺に m^-1n^-1 > 0 を乗じれば明らかです。

　0 = 1 でない単位的可換順序環は、性質 (15-33j) と (15-33b) により、同値関係 = の否定を不等号と定義すれば (14-76) を満たすので整域になります。従って特に整数環 Z は整域です。

　さて、任意の自然数 (n, m) に対し、(11-5) の３とおりのいずれか一つが成り立ちます。自然数をラテン文字、整数をギリシャ文字で表わせば、

(15-34a)  (n, m) > 0  Û  m < n  Û  $!k > 0 : n º m + k  Û  $!k > 0 : (n, m) = (k, 0) = i(k)

(15-34b)  (n, m) = 0  Û  m º n  Û  (n, m) = (0, 0) = i(0)

(15-34c)  (n, m) < 0  Û  n < m  Û  $!k > 0 : m º n + k  Û  $!k > 0 : (n, m) = (0, k) = - i(k)

ゆえに

(15-35)  Z = i[N] È { - i(n) | nÎN } = N È -N

となります。ただし２番目の = は N Ì Z とみなした上での表現です。
　ところで (15-35) 第２辺の集合は、m = n  Û  m º n 、すなわち相等関係が等号で表わされるという便利な性質を持っています。そこで、N のときと同様に、今後は Z の具体的な定義として、その同値関係が º で与えられるものを採用することにし、整数についても m , n のような自然数のときと同じ変数を用いることにします。
　また、n > 0 であるような整数を正の整数、n < 0 であるような整数を負の整数とよび、正であるか負であるかということを、その整数の符号ということにします。
　更に、n が非負すなわち自然数のときは n を、n が負のときは正の整数 - n を対応させる関数を絶対値といい、n の絶対値を |n| と書きます。

　さて、第10節 (10-35),(10-47) によれば、a が群 G の元なら、自然数 n と m に対して指数法則：

(15-36a)  an+m = anam

(15-36b)  an m = (an )m

が成り立ち、さらに G が可換群なら、(10-46) により任意の a, bÎG に対して

(15-36c)  (ab)n = anbn

が成り立ちますが、負の整数 - n に対しても

(15-37)  a-n :º (an )-1

と定義すれば、(15-36) がすべての整数 n , m について成り立つことを証明しましょう。まず (15-37) は、逆元を取ることにより、任意の整数 n に対して成り立つことに注意しておきます。
　まず最初に n + m ³ 0 のときに (15-36a) が成り立つことを証明します。
　もし n < 0 なら、(15-36a) の n に - n > 0 を、m に n + m ³ 0 を代入すれば a^m = a^-na^n+m が得られるので、これの左から aⁿ を乗じれば (15-36a) が得られます。
　一方 m < 0 なら、(15-36a) の n に n + m ³ 0 を、m に - m > 0 を代入すれば aⁿ = a^n+ma^-m が得られるので、これの右から a^m を乗じれば (15-36a) が得られます。
　次に n + m < 0 のときは、- n - m ³ 0 ですから a^-(n+m) = a^-m-n = a^-ma^-n が成り立ちますが、これの逆元を取れば (15-36a) が得られます。以上ですべての場合について (15-36a) が成り立つことがわかりました。
　次に (15-36b) を証明するために、自然数 m に対して

(15-38)  a-m = (a-1 )m

が成り立つことを m に関する帰納法で示します。m が 0 なら明らかで、m で正しいとすると、(15-36a) により a^-m-1 = a^-ma^-1 = (a^-1 )^ma^-1 = (a^-1 )^m+1 となって証明されました。
　さて、n < 0 かつ m ³ 0 と仮定すると、- n ³ 0 なので、自然数に対する (15-36b) と (15-37),(15-38) により a^{-n m} = (a^-n )^m = ((aⁿ )^-1)^m = (aⁿ )^-m となり、両辺の逆元を取れば (15-36b) が証明されます。これで (15-36b) は任意の整数 n と任意の自然数 m に対して証明されました。
　次に m < 0 のときは、- m ³ 0 なので a^{-n m} = (aⁿ )^-m となり、両辺の逆元を取れば (15-36b) が証明されます。以上ですべての場合に対して (15-36b) が成り立つことがわかりました。
　最後に (15-36c) は、n < 0 のときは、- n に対する (15-36c) の逆元を取れば明らかです。以上で (15-36) の証明が完成しました。

　さて、可換強環 R に対し、S を

(15-39)  S :º { aÎR | "xÎR : ( x ¹ 0  Þ  ax ¹ 0 ) }

で定義するとき、S は元を持つものとします（例えば R が乗法の単位元 1 を持てば 1ÎS です）。明らかに S は乗法に関して閉じています。
　そこで、(a, b)ÎR ´ S に対して、関係 ¹ を

(15-40)  (a, b) ¹ (a', b')  :º  ab' ¹ a'b

で定義し、R ´ S のかわりに q[R] と書き、(a, b) のかわりに a/b と書いて a を分子、b を分母とよぶことにします。定義 (15-40) から明らかなように、関係 ¹ に関する「二重否定がもとと同値」「排中律が成り立つ」といった性質は R から q[R] に“遺伝”することがわかります。

　さて、R が 0 ¹ 1 を満たす単位的可換強環のとき、(15-39) で x º 1 とすることにより、aÎS  Þ  a ¹ 0 となりますから、S は { aÎR | a ¹ 0 } の部分集合です。そしてこれらが一致する、すなわち S = { aÎR | a ¹ 0 } となるための条件は、(14-76) が成り立つ、すなわち R が整域であることです。

　q[R] は単位的可換強環であることを確かめましょう。
　まず、(14-73) と (15-39) から

(15-41)  ( a ¹ b  Ù  cÎS )  Þ  ( a - b ¹ 0  Ù  cÎS )  Þ  (a - b)c ¹ 0  Þ  ac ¹ bc

がいえることに注意します。
　まず最初に ¹ が不等号であることを証明しましょう。定義により Ø a/b ¹ a/b と a/b ¹ a'/b'  Þ  a'/b' ¹ a/b は明らかです。
　また、a/b ¹ a'/b' で a"/b"Îq[R] とすると、ab' ¹ a'b ですから b"ÎS と (15-41) により ab'b" ¹ a'bb" となりますが、(8-33c) により a"bb' ¹ ab'b" 又は a"bb' ¹ a'bb" が成立し、(14-65) により a"b ¹ ab" 又は a"b' ¹ a'b" が得られ、これは a"/b" ¹ a/b 又は a"/b" ¹ a'/b' が成り立つことを意味します。
　次に、q[R] 上の加法を

(15-42)  a/b + c/d :º (ad + bc)/(bd)

で定義すれば、明らかに交換律が成立します。また、結合律についても、

(15-43)  (a/b + c/d) + e/f = (ad + bc)/(bd) + e/f = {(ad + bc)f + bde}/(bdf ) = {adf + b(cf + de)}/(bdf ) = a/b + (cf + de)/(df ) = a/b + (c/d + e/f )

となるので成立します。また、任意に sÎS を取ると、(a/b + 0/s) = (as + b0)/(bs) = (as)/(bs) で、asb = bsa ですから、(as)/(bs) = a/b となるので、0/s が加法の単位元になっていることがわかります。
　次に、

(15-44)  - (a/b) :º (- a)/b

と定義すると、(a/b) + {- (a/b)} = (a/b) + (- a)/b = (ab - ba)/b² = 0/b² = 0 ですから、(15-44) は q[R] における a/b の加法の逆元になります。
　次に、q[R] 上の乗法を

(15-45)  (a/b)(c/d) :º (ac)/(bd)

で定義すると、明らかに交換律が成立します。また、結合律についても、

(15-46)  {(a/b)(c/d)}(e/f ) = {(ac)/(bd)}(e/f ) = (ace)/(bdf ) = (a/b){(ce)/(df )} = (a/b){(c/d)(e/f )}

となるので成立します。また、任意に sÎS を取ると、(a/b)(s/s) = (as)/(bs) = a/b となるので、s/s が乗法の単位元になっていることがわかります。
　最後に分配律についても、

(15-47)  (a/b + c/d)(e/f ) = {(ad + bc)/(bd)}(e/f ) = {(ad + bc)e}/(bdf ) = {(ad + bc)ef }/(bdff ) = {(ae)/(bf )} + {(ce)/(df )} = (a/b)(e/f ) + (c/d)(e/f )

となるので成立します。
　あとは q[R] の不等号 ¹ が (14-73) と (14-74) を満たすことを確かめれば十分です。
　まず a/b ¹ c/d と仮定すると、ad ¹ bc ですから R において (14-73) が成り立つことから ad - bc ¹ 0 が成り立ち、従って (15-39) を２度用いることにより (ad - bc)bd ¹ 0 が得られるので a/b - c/d = (ad - bc)/(bd) ¹ 0/(bd) = 0 が得られます。
　逆に a/b - c/d ¹ 0 なら (ad - bc)bd ¹ 0 が得られ、R における (14-74) により ad - bc ¹ 0 が、更に R における (14-73) により ad ¹ bc すなわち a/b ¹ c/d が得られます。以上で q[R] が (14-73) を満たすことがわかりました。
　また、(a/b)(c/d) = (ac)/(bd) ¹ 0 = 0/s なら acs ¹ 0 ですから、R における (14-74) により as ¹ 0 と cs ¹ 0 すなわち a/b ¹ 0/s = 0 と c/d ¹ 0/s = 0 が得られ、これは q[R] が (14-74) を満たすことを意味します。
　以上で q[R] が単位的可換強環であることがわかりました。この環を、R の商環といいます。

　さらに q[R] では、aÎS のとき、a/b は乗法の逆元 b/a を持ちます。
　また、sÎS を任意に取って固定し、i : R ® q[R] を i(x) º (xs)/s で定義すれば、(14-73),(14-74) と s²ÎS により

(15-48)  (sx)/s ¹ (sy)/s  Û  xs² ¹ ys²  Û  (x - y)s² ¹ 0  Û  x - y ¹ 0  Û  x ¹ y

ですから、i は強単射の強写像です。また、

(15-49a)  i(a) + i(b) = (sa)/s + (sb)/s = (as² + bs²)/s² = {s(a + b)}/s = i(a + b)

(15-49b)  i(a)i(b) = {(sa)/s}{(sb)/s} = (abs²)/s² = (sab)/s = i(ab)

ですから、i は環の準同型、したがって強準同型です。以上で、任意の可換強環 R は、(15-39) で定義される S の元がすべて乗法の逆元を持つような単位的可換強環 q[R] の部分環とみなせることがわかりました。この同一視のもとでは、a/bÎq[R] と bÎR の積に対して

(15-50)  (a/b)b = (a/b){(sb)/s} = (sab)/(sb) = a

が成り立ちます。

　R が 0 ¹ 1 を満たせば 0/1 ¹ 1/1 です。また、R が整域なら、a, bÎR , b ¹ 0 のとき、a/b ¹ 0  Û  a/b ¹ 0/s  Û  sa ¹ 0  Û  a ¹ 0  Û  aÎS ですから、 a/b ¹ 0 なら b/a が a/b の乗法の逆元になります。つまり R が整域ならば q[R] は体です。このとき q[R] を整域 R の商体といいます。

　さて、Ø 0 = 1 を満たす単位的順序環 R を考えます。(15-33b) により = に対して排中律が成り立つので、不等号 ¹ を = の否定で定義することができます。また (15-33j) の対偶を取ることにより R は整域であることがわかります。
　ここで、0 ¹ 1 を満たす単位的順序環 R の商体 K º q[R] 上には、R Ì K とみなしたとき、R 上でもとの順序と一致し、(15-32) を満たす２項関係が唯一つ存在することを証明しましょう。
　まず一意性ですが、a/b , c/d ÎK のとき、(15-33k),(15-33l),(15-50) により

(15-51)  a/b < c/d  Û  (a/b)b²d² < (c/d)b²d²  Û  abd² < cdb²

となっていなければならないので一意性は明らかです。逆に存在を示すため、K 上の２項関係 a/b < c/d を abd² < cdb² で定義し、これが (15-32) を満たすことを確かめていきましょう。
　まず (15-32a) ですが、R の大小関係が (15-32a) を満たすことから、abd² < cdb² , abd² = cdb² , abd² > cdb² のいずれかが成り立ちます。R に対する (15-33n) により、２番目の式は ad = cb と同値ですから、a/b < c/d , a/b = c/d , a/b > c/d のいずれかが成り立ち、K に対する (15-32a) が成り立っていることがわかります。
　次に (15-32b) ですが、a/b < c/d かつ a/b = c/d と仮定すると、abd² < cdb² かつ ad = cb すなわち abd² = cdb² となるので R に対する (15-32b) に反します。
　次に (15-32c) ですが、a/b < c/d かつ c/d < e/f とすると、abd² < cdb² かつ cdf ² < efd² ですから、(15-33k),(15-33l) により、前者の両辺に f ² を、後者の両辺に b² を乗じることができて、abd²f ² < cdb²f ² と cdf ²b² < efd²b² が得られます。ここで R が (15-32c) を満たすことから abd²f ² < efd²b² が得られ、R が (15-33k),(15-33l) を満たすことから abf ² < efb² すなわち a/b < e/f が得られます。
　次に (15-32d) ですが、a/b < c/d すなわち abd² < cdb² のとき、e/fÎK をとると、a/b + e/f = (af + be)/(bf ) , c/d + e/f = (cf + de)/(df ) ですから (af + be)bf(df )² = abd²f ⁴ + b²d²ef ³ < cdb²f ⁴ + b²d²ef ³ = (cf + de)df(bf )² つまり (af + be)/(bf ) < (cf + de)/(df ) が得られます。
　最後に (15-32e) ですが、a/b > 0 かつ c/d > 0 なら、K の 0 を 0/1 と表わすことにより、ab > 0 かつ cd > 0 となりますから、R に対する (15-32e) により acbd > 0 が得られ、これは (a/b)(c/d) = (ac)/(bd) > 0 を意味します。

　以上で K は順序環であることがわかりました。順序環であるような体を順序体とよぶことにします。

　そこで、整域 Z の商体を Q と書いて有理数体とよび、Q の元を有理数といいます。Q は順序体です。また有理数を整数 m ¹ 0 と n により n/m と書いたとき、これを分数とよびます。

　最後に Z と Q 固有の性質について調べてみましょう。

　まず Z と Q は可算集合です。
　実際、任意の nÎN は、n = 2k + l ( k, lÎN ; 0 £ l < 2 ) と一意的に表示されますが、l = 0 のときは n に k を、l = 1 のときは n に - k を対応させる N から Z への写像は N から Z の上への関数ですから、これは Z が可算集合であることを示しています。
　次に、任意の正の自然数 n に対し、集合 Q(n) :º { k/n | kÎZ  Ù  |k| £ n² } は個数 2n² + 1 の有限集合ですから、Q :º È{ Q(n) | nÎN , n > 0 } は明らかに可算集合です。あとは Q の元が Q の元のどれかと同値であることを証明すれば、Q が可算集合であることが証明されます。
　任意の有理数 q/p ( p, qÎZ ; p ¹ 0 ) に対し、p > 0 と仮定してもよいので、|q| = lp + r ( 0 £ r < p ) と書けますが、n :º (l + 1)p と置けば、|q| £ n ですから q/p = (qn)/( pn) で |qn| = |q|n £ n² £ (np)² が成り立つので、q/p は Q(np) の元と同値になり、証明は完成しました。

　また、自然数の場合の (12-1) と同様に、n と m ¹ 0 を整数とするとき、

(15-52)  n = mk + r       ( 0 £ r < | m | )

となる整数 k , r が唯一組存在します。

　実際、(12-1) により |n| = |m| p + q ( 0 £ q < |m| ) となる自然数 p , q が存在し、従って、ある整数 i と j により n = mi + j ( - |m| < j < |m| ) と書けますが、j ³ 0 のときは k :º i , r :º j と置き、j < 0 のときはまず r :º |m| + j と置き、m > 0 なら k :º i - 1 、m < 0 なら k :º i + 1 と置けば、(15-52) が成り立ちます。
　更に、m' と k' も (15-52) を満たすとすれば、mk + r = mk' + r' すなわち m(k' - k) = r - r' なので、k ¹ k' と仮定すると、左辺の絶対値は |m| 以上で、右辺の絶対値は |m| より小さいので矛盾し、k = k' が、従って r = r' が得られ、一意性も証明されました。

　次に、任意の有理数 r は、ある正整数 m によって r = n/m と書けますが、m ¹ 0 なので、必要なら分子と分母に - 1 を乗じることにより m > 0 と仮定することができます。
　また、m と |n| の最大公約数を k とすれば、n = ik , m = jk と書け、n/m = (ik)/( jk) = i/j ですから、任意の有理数は、分母が正の既約分数（すなわち分子と分母が互いに素であるような分数）の形に一意的に表すことができます。
　すなわち、分母が正の既約分数の全体 Q' は Q と同型で、しかも a = b と a º b が同値になります。
　ゆえに、今後は有理数体として、その同値関係が º であるものを採用することにします。このように約束しておくと、Q から同値関係（不等号）を持つ集合への写像はすべて（強）関数となり、便利です。

　有理数 a ¹ 0 に対し a の乗法の逆元を a の逆数といいます。有理数 a と、0 と異なる有理数 b の逆数の積を a/b と書きます。
　任意の有理数の組 a < b に対し、g :º (a + b)/2 と置くと、2g = a + b < b + b = 2b で 2 > 0 ですから g < b です。同様に 2g = a + b > a + a = 2a ですから g > a です。すなわち相異なる有理数の間には、それらに挟まれる有理数が存在することがわかります。