数学の基礎

　集合 X に対し、P (X ²) の部分集合 U が、フィルターと同様な条件：

(19-1a)  X ² ÎU

(19-1b)  U, VÎU  Þ  UÇVÎU

(19-1c)  ( UÎU  Ù  U Ì V )  Þ  VÎU

に加え、任意の UÎU に対して

(19-2a)  DX ÌU

(19-2b)  $VÎU : V -1 Ì U

(19-2c)  $VÎU : V ° V Ì U

(19-2d)  $VÎU : U È CV = X ²

をすべて満たすとき、U を X 上の一様構造といい、一様構造の与えられた集合 ( X, U ) を一様空間といいます。
　ここで D_X は X ² の対角集合、V ^-1 は V の第１成分と第２成分を入れ替えた集合、CV は V の X ² における補集合 X ² \ V を表わします。
　なお、(19-2d) は直観主義論理特有の条件で、古典論理では V として U 自身を取れば自明に成り立つので無意味な条件になります。

　ちなみに X は元を持つとは限らないので、条件 (19-1) にもかかわらず U はフィルターであるとは限りません。ただし、例えば集合 X 上にフィルターが存在すれば、X は元を持ち、従って U はフィルターになります。

　さて、P (X ²) の部分集合 U が (19-2) の条件を満たすとき、U の有限部分集合の共分を含む X ² の部分集合の全体を filU と書けば、これは (19-1),(19-2) を満たし、X の一様構造を定めます。
　実際、filU が (19-1) 及び (19-2a) を満たすことは明らかです。
　また、任意の UÎfilU に対し、U の有限部分集合 { U_i | 0 £ i < n } が存在して Ç{ U_i | 0 £ i < n } Ì U となりますが、各 U_i に対し、(19-2b),(19-2c) 又は (19-2d) を満たす V_i を取り、V :º Ç{ V_i | 0 £ i < n } と置けば、V が (19-2b) 又は (19-2c) を満たす filU の元であることは明らかです。
　残る (19-2d) ですが、任意の zÎX ² に対し、各 i に対して zÎU_i 又は zÏV_i ですから、n に関する帰納法により、" i < n : zÎU_i 又は $ i < n : zÏV_i が成り立つことがわかり、前者なら zÎU が、後者なら zÏV が成り立ち、これは (19-2d) が成り立つことを意味しています。
　そこで、(19-2) の条件を満たす P (X ²) の部分集合 U に対し、filU のことを、P (X ²) の部分集合 U の生成する一様構造とよぶことにします。

　さて、(19-2) を満たす P (X ) の部分集合の族 {U_i | iÎI } に対し、それらの合併 È{U_i | iÎI } も明らかに (19-2) を満たすので、それの生成する一様構造 U :º fil È{U_i | iÎI } を考えることができます。U は明らかに一様構造の族 { filU_i | iÎI } の包含関係に対する上限になっています。そこでこれを sup {U_i | iÎI } と書くことにします。

　次に、一様空間 ( Y, U ) と集合 X から Y への写像  f : X ® Y に対し、各 UÎP (Y ²) に対して ( f ´ f )^-(U ) :º {(x, y)ÎX ² | ( f(x), f( y))ÎU }ÎP (X ²) を対応させる P (Y ²) から P (X ²) への写像を考えると、この写像による U Ì P (Y ²) の像は (19-2) を満たします。
　実際、任意の UÎU を取れば、任意の xÎX に対して ( f(x), f(x))ÎD_Y ですから D_X Ì ( f ´ f )^-(D_Y ) が成り立ち、これと (19-2a) により

(19-3a)  DX Ì ( f ´ f )-(U )

が成り立ちます。また、(19-2b) を満たす V を取ると、(x, y)Î{( f ´ f )^-(V )}^-1 Þ ( y, x)Î( f ´ f )^-(V ) Þ ( f( y), f(x))ÎV Þ ( f(x), f( y))ÎV ^-1 Þ (x, y)Î( f ´ f )^-(V ^-1) Ì ( f ´ f )^-(U ) が導けますから、

(19-3b)  {( f ´ f )-(V )}-1 Ì ( f ´ f )-(U )

が成り立ちます。また、(19-2c) を満たす V を取ると、(x, y)Î( f ´ f )^-(V ) _° ( f ´ f )^-(V ) ならば (x, z), (z, y)Î( f ´ f )^-(V ) となる zÎY が存在しますが、( f(x), f(z)), ( f(z), f(y))ÎV となるので ( f(x), f(y))ÎV _° V Ì U すなわち (x, y)Î( f ´ f )^-(U ) が成り立ちますから

(19-3c)  ( f ´ f )-(V ) ° ( f ´ f )-(V ) Ì ( f ´ f )-(U )

が成り立ちます。また、(19-2d) を満たす V を取ると、

(19-3d)  ( f ´ f )-(U ) È C( f ´ f )-(V ) = ( f ´ f )-(U È CV ) = ( f ´ f )-(Y ²) = X ²

が成り立ちます。以上で ( f ´ f )^-[U ] :º { ( f ´ f )^-(U ) Ì X ² | UÎU  } が (19-2) を満たすことがわかりました。ゆえにその生成する X の一様構造：

(19-4)  f #U :º fil ( f ´ f )-[U ]

が存在します。明らかに (19-2) を満たす P (Y ) の 部分集合 U に対して

(19-5)  fil ( f ´ f )-[filU ] = fil ( f ´ f )-[U ]

が成り立ち、(19-2) を満たす P (X ) の 部分集合の族 {U_i | iÎI } に対し、

(19-6)  fil È{Ui | iÎI } = fil È{ filUi | iÎI }

が成り立ちます。
　ゆえに、(6-48b) を写像 ( f ´ f )^- について適用すれば、集合 X 、一様空間の族 { ( X_i , U_i ) | iÎI } 、及び写像の族 { f_i : X ® X_i | iÎI } に対し、

(19-7)  f #sup{Ui | iÎI } = fil ( f ´ f )-[fil È{Ui | iÎI }] = fil ( f ´ f )-[ È{Ui | iÎI }] = fil È{ ( f ´ f )-[Ui] | iÎI } = sup{ f #Ui | iÎI }

が成り立ちます。

　さて、一様空間 ( X, U ) から一様空間 ( Y, U' ) への写像  f : X ® Y は、

(19-8)  f #U' Ì U

を満たすとき一様連続であるといいます。
　写像 f : X ® Y , g : Y ® Z と Z の一様構造 U に対し、(19-5) により

(19-9)  (g ° f )#U = fil ((g ´ g) ° ( f ´ f ))-[U ] = fil ( f ´ f )-[(g ´ g)-[U ]] = fil ( f ´ f )-(g#U ) = f #g#U

が成り立ち、また Y の２つの一様構造 U , U' に対し、

(19-10)  U Ì U'  Þ  f #U Ì f #U'

が成り立つので、f が ( X, U ) から ( Y, U' ) への一様連続、g が ( Y, U' ) から ( Z, U" ) への一様連続写像なら

(19-11)  (g ° f )#U" = f #g#U" Ì f #U' Ì U

となるので f _° g も一様連続になります。また明らかに一様空間 ( X, U ) からそれ自身への恒等写像は一様連続です。

　さて、一様空間 ( X, U ) に対し、X 上の同値関係 = は

(19-12)  x = y  Þ  "UÎU : (x, y)ÎU

を満たすとき、一様構造 U と両立するといいます。同値関係 = を持つ集合 X 上に、= と両立する一様構造を与えたものを同値関係を持つ一様空間ということにします。

　同様に、X 上の不等号 ¹ は

(19-13)  ( $UÎU : (x, y)ÏU )  Þ  x ¹ y

を満たすとき、U と両立するといいます。不等号 ¹ を持つ集合 X 上に、¹ と両立する一様構造を与えたものを不等号を持つ一様空間ということにします。

　不等号 ¹ が U と両立すれば、¹ に伴う等号 = も U と両立します。実際、(19-13) の対偶により

(19-14)  x = y  Þ  "VÎU : Ø (x, y)ÏV

となりますが、この右辺を仮定すると、任意の UÎU に対して (19-2d) を満たす V を取れば、(x, y)ÏV が成り立たないので (x, y)ÎU が成り立つことがわかり、(19-12) の右辺が成立します。

　さて、一様空間 ( X, U ) には、その一様構造と両立する（関係の包含関係として）最大の等号

(19-15)  x = y  :º  "UÎU : (x, y)ÎU

と（関係の包含関係として）最小の不等号

(19-16)  x ¹ y  :º  $UÎU : (x, y)ÏU

があります。実際、最初に ¹ が不等号になっていることを確かめましょう。
　まず x ¹ x と仮定すると、定義により (x, x)ÏU となる UÎU が存在しますが、(19-2a) により (x, x)ÎD_X Ì U ですから矛盾します。
　次に x ¹ y と仮定すると、定義により (x, y)ÏU となる UÎU が存在し、更に (19-2b) により V ^-1 Ì U となる VÎU が存在します。すると (x, y)ÏV ^-1 すなわち ( y, x)ÏV ÎU ですから y ¹ x がわかります。
　また x ¹ y であるような x, y, zÎX が与えられたとします。定義により (x, y)ÏU となる UÎU が存在し、更に (19-2c) により V _° V Ì U となる VÎU が存在します。すると (19-2d) により V È CW = X を満たす WÎU が存在するので、(x, z)ÎV 又は (x, z)ÏW が成り立ち、同様に (z, y)ÎV 又は (z, y)ÏW が成り立ちます。場合分けにより、少なくとも

(19-17a)  (x, z)ÏW

(19-17b)  (z, y)ÏW

(19-17c)  (x, z)ÎV Ù (z, y)ÎV

の少なくとも一つが成立しますが、(19-17c) は成り立ちません。なぜなら (19-17c) を仮定すると (x, y)Î V _° V Ì U となって矛盾するからです。ゆえに (19-17a) か (19-17b) が成り立ち、x ¹ y  Þ  ( x ¹ z  Ú  z ¹ y ) が成り立つことがわかりました。
　以上で ¹ が不等号であることが証明されました。(19-15) の右辺は (19-16) の右辺の否定と同値でしたから、= が ¹ に伴う同値関係であることもわかりました。これらの最大性と最小性は明らかです。
　(19-15) 又は (19-16) で定義される同値関係及び不等号を、一様構造 U に伴う同値関係及び不等号とよぶことにします。ゆえに一様空間は同値関係（不等号）を持つ集合とみなせることがわかります。

　さて、一様空間 ( X, U ) が与えられたとき、xÎX と UÎU に対して

(19-18)  U(x) :º { yÎX | (x, y)ÎU }

は、(19-2a) により x を元に持ちますから { U(x) | UÎU } は有限交叉的です。そこで

(19-19)  V (x) :º fil{ U(x) | UÎU }

と置くと、( X, V  ) は X 上の位相を定めます。
　実際、xÎU(x) により条件 (17-10a) は満たされます。
　また、任意の UÎU に対し、(19-2c) により V _° V Ì U となる VÎU を取れば、任意の yÎV(x) に対し、(x, y)ÎV ですから、zÎV( y) なら ( y, z)ÎV なので (x, z)ÎV _° V Ì U よって zÎU(x) となり、V( y) Ì U(x) が得られます。 これは U(x)ÎV ( y) すなわち yÎU(x)° を意味するので V(x) Ì U(x)° となり、これは U(x)°ÎV (x) を意味するので、(17-10b) が成り立つことがわかります
　ゆえに、一様空間は位相空間とみなすことができ、この (19-18) で定義された位相を、一様構造 ( X, U ) が定める位相とよびます。

　( Y, U ) を一様空間、V をその一様構造が定める位相、f : X ® Y を写像とします。任意の UÎU , xÎX に対し、[( f ´ f )^-(U )](x) = f ^-(U( f(x))) ですから、f ^#U が定める位相は f ^#V に一致することがわかります。
　また、X 上の一様構造 U₁ と U₂ に対し、それぞれの定める位相を V₁ と V₂ とすれば、U₁ £ U₂  Þ  V₁ £ V₂ が成り立ちます。
　ゆえに、U' を Y の一様構造、V ' をそれが定める位相とすれば、f ^#U £ U'  Þ  f ^#V £ V ' が成り立ちますから、一様連続写像は連続であることがわかります。特にこれを恒等写像について適用すれば、同型な一様空間は同一の位相空間を定めることがわかります。

　さて、f を一様空間 ( Y, U ) から ( X, U' ) への連続写像とし、X が X と両立する任意の同値関係（不等号）を持ち、Y が U' に伴う同値関係（不等号）を持てば、f は（強）関数になることを確かめましょう。
　まず同値関係の場合、x, yÎY が x = y を満たせば、任意の VÎU' に対し、f の x における連続性により f [U(x)] Ì V( f(x)) を満たす UÎU が存在しますが、yÎU(x) なので f( y)ÎV( f(x)) となり、V の任意性により f(x) = f( y) が成り立ち、したがって f は関数です。
　次に不等号の場合、x, yÎY が f(x) ¹ f( y) を満たせば、( f(x), f( y))ÏV すなわち f( y)ÏV( f(x)) を満たす VÎU' が存在します。ところが f の x における連続性により f [U(x)] Ì V( f(x)) を満たす UÎU が存在しますから、yÎU(x) と仮定すると矛盾するので yÏU(x) すなわち (x, y)ÏU すなわち x ¹ y が成り立ち、したがって f は強関数です。

　さて、同値関係（不等号）を持つ一様空間を対象、一様連続な（強）関数を射とよべば、これは一つの圏を定めることがわかります。これを（強い）一様空間の圏とよぶことにします。

　さて、（強い）一様空間の圏から、その一様構造を“忘れ”ることにより、同値関係（不等号）を持つ集合の圏への関手が得られます。この関手は明らかに忠実ですから、（強い）一様空間は、同値関係（不等号）を持つ集合の圏の上の構造を定めます。

　ここで第９節に従えば、同値関係（不等号）を持つ集合 X 上の一様空間 U と V に対する擬順序関係 U £ V が、(19-8) で f を X の恒等写像とした場合の式、すなわち U Ì V で定義されます。特に同じ集合上の一様空間が同型であることと集合として等しいことは同値になります。
　また、同型な一様空間の間の恒等写像は一様連続なので、この恒等写像はそれぞれに伴う同値関係（不等号）に対して（強）関数となりますから、同型な（強い）一様構造に伴う同値関係（不等号）は一致することがわかります。

　さて、集合 X と一様空間 ( Y, U ) は同値関係（不等号）を持つものとすれば、（強）関数 f : X ® Y に対し、f ^#U は X の同値関係 = （不等号 ¹ ）と両立します。
　実際、f が関数で、x, yÎX が x = y を満たせば、f(x) = f( y) なので、任意の UÎU' に対して ( f(x), f( y))ÎU すなわち (x, y)Î( f ´ f )^-(U ) となるので f ^#U は X の同値関係 = と両立します。
　また、f が強関数で、x, yÎX が、ある UÎU に対して (x, y)Ï( f ´ f )^-(U ) すなわち ( f(x), f( y))ÏU を満たせば、f(x) ¹ f( y) ですから x ¹ y となるので f ^#U は X の不等号 ¹ と両立します。

　以上で f ^#U は X 上の構造になっていることがわかりました。また、(19-7) と (19-9) により (9-11a),(9-11b) が成り立つので、第９節の議論が適用できて、（強い）一様空間の圏は完備かつ余完備であり、一様構造を“忘れる”関手は極限保存関手かつ余極限保存関手であることがわかります。

　なお、等号を持つ集合 Y から一様空間 ( X, U ) への一対一関数 i : Y ® X による Y 上の導入一様構造を部分（一様）空間といいます。
　双対的に、一様空間 ( X, U ) から等号を持つ集合 Z への上への関数 p : X ® Z による Y 上の余導入一様構造を商（一様）空間といいます。

　次に、X に位相 V が与えられたとき、X の一様構造 U で、( X, V  ) から ( X, U ) への恒等写像が連続で、かつ任意の一様空間 ( Y, U' ) と任意の連続写像 f : X ® Y に対し、f が U から U' へ一様連続になるようなものが同型を除いてただ一つ存在することを確かめましょう。
　あらゆる一様空間 ( Y, U' ) と連続写像 f : X ® Y に対する f ^#U' を集めた類を考え、それらすべての上限一様構造を U とします。このとき任意の一様空間 ( Y, U' ) と連続写像 f : X ® Y に対して f ^#U' £ U となりますから、f は一様連続です。
　また、一様空間 ( Y, U' ) と連続写像 f : X ® Y に対し、U' の定める位相を V ' とすれば、f ^#U' の定める位相は f ^#V ' で、f は連続なので f ^#V ' £ V が成り立ちます。一方、U の定める位相を V " と書くと、V "(x) は ( f ^#V ' )(x) たちの合併が生成するフィルターなので V " £ V が成り立ち、( X, V  ) から ( X, U ) への恒等写像は連続です。以上で存在は証明できました。
　また、一意性については、U' が U と同様な X の一様構造とすると、( X, V  ) から ( X, U' ) への恒等写像が連続なので、仮定により ( X, U ) から ( X, U' ) への恒等写像は一様連続、すなわち U Ì U' がわかります。U' と U の役割を交換すれば、両者が一致することがわかります。
　このような一様構造 U を、位相 V の一様化とよぶことにします。これは、各一様空間にその定める位相を対応させる、一様空間の圏から位相空間の圏への関手を考えたときの普遍構造に他なりません。したがって、第９節の結果により、この関手は極限保存関手であることがわかります。

　ところで、一様空間 ( X, U ) に伴う位相空間は、その一様構造に伴う同値関係のもとでHausdorff空間になります。
　実際、U に伴う位相と同値関係をそれぞれ V , = と書くとき、V (x) と V (x) が共終なら、任意の UÎU に対して (19-2b),(19-2c) により V _° V ^-1 Ì U となる VÎU を取ると、V(x)ÎV (x) , V( y)ÎV ( y) ですから、仮定により V(x) と V( y) は共通元を持ちます。これは (x, y)ÎV _° V ^-1 Ì U を意味し、U は任意なので x = y となります。

　また、一様空間 ( X, U ) に伴う不等号を ¹ と書くと、次のような強Hausdorff性：

(19-20)  x ¹ y  Þ  $UÎV (x), $VÎV ( y) : UÇV = Æ

が成り立ちます。実際、x ¹ y なら、(x, y)ÏU となる UÎU が存在し、V _° V ^-1 Ì U となる VÎU を取ると、V(x)ÎV (x) , V( y)ÎV ( y) ですが、もし V(x) と V( y) が共通元を持てば、(x, y)ÎV _° V ^-1 Ì U となって矛盾します。

　さて、一様空間 ( X, U ) の部分集合 A Ì X に対し、(19-2b) により { U ^- | UÎU } = U であり、U ^-(x)ÇA ¹ Æ  Û  xÎU[A] ですから

(19-21)  A = Ç{ U[A] | UÎU }

　また、(19-2b) により { U ^- | UÎU } = U であり、C Ì X ´ Y と x, yÎX に対して {U(x) ´ V ^-( y)}ÇC ¹ Æ  Û  (x, y)Î V _° C _° U  ですから

(19-22)  C = Ç{ V ° C ° U | U, VÎU } = Ç{ U ° C ° U | UÎU }

　特に C = D_X と置けば U _° D_{X °} U = U _° U ですから、これと (19-2c) により、

(19-23)  DX = ÇU

が成り立つことがわかります。すなわち、X がHausdorff空間であるための必要十分条件は

(19-24)  ÇU = DX

が成り立つことです。

　また、任意の UÎU に対して (19-2b),(19-2c) を繰り返し用いれば V ^-1 = V かつ V _° V _° V Ì U となる VÎU が存在することがわかるので、任意の (x, y)ÎV に対して V(x) ´ V( y) Ì V _° V _° V Ì U となるので (x, y)ÎU° すなわち

(19-25a)  "UÎU : $VÎU : V Ì U° ÌU

となり、これは任意の一様構造には開集合からなる基底が存在することを意味しています。また、任意の (x, y)ÎV  に対して {V(x) ´ V( y)}ÇV ¹ Æ ですから (x, y)ÎV _° V _° V Ì U すなわち

(19-25b)  "UÎU : $VÎU : V Ì V Ì U

となり、任意の一様構造には閉集合からなる基底が存在することもわかります。