数学の基礎
21．位相代数系
(Ω, | · |, Λ )-
代数系の圏において、集合 A と一対一の写像 a :
A ® Ω が与えられ、項数 |a(a)|
( aÎA )
が共通の値 |a|
を取るとき a を A に対する外演算の型といいます。Ω がいくつかの外演算の型の像 a[A]
とそれ以外の演算（これを内演算とよぶことにします）の型から成る集合の排他的な和となっているとき、この代数系を外演算を持つ代数系ということにします。
外演算を持つ代数系において、外演算の A がすべて位相空間であるとき、(Ω, | · |, Λ )-
空間 (X, j, V )
が位相(Ω, | · |, Λ )-
空間であるとは、X が位相空間であって、すべての内演算と外演算が連続である、すなわち内演算の型 w に対する
(21-1a) x |® jw(x) ( xÎX |w | ) |
及び外演算の型 a に対する
(21-1b) (a, x) |® ja (a)(x) ( (a, x)ÎA ´ X |a | ) |
がすべて連続であることをいいます。
そこで、位相(Ω, | · |, Λ )-
空間を対象、連続な (Ω, | · |, Λ )-
準同型 f を射とよべば、これは一つの圏を構成します。この圏を位相(Ω, | · |, Λ )-
空間の圏といいます。
写像 f が(Ω, | · |, Λ )-
空間 (X, j)
から (Y, y)
への準同型であるという条件を外演算と内演算に分けて書けば、
(21-2a) f ° j = yw ° f(|w|) ( w が内演算のとき ) |
(21-2b) f ° ja = ya ° f0(|a|) ( a が外演算のとき ) |
となります。ただし
(21-3a) f(n)(x1 ,¼, xn ) :º ( f(x1) ,¼, f(xn )) ( (x1 ,¼, xn )ÎX n ) |
(21-3b) f0(n)(a, x) :º (a, f(n)(x)) ( aÎA , xÎX n ) |
(21-3c) ja(a, x) :º ja (a)(x) ( aÎA , xÎX |a | ) |
です。また、演算 jw 及び ja の連続性は、X の位相を V 、A の位相を VA 、X n の位相を V (n)
、A ´ X n の位相を VA(n)
と書けば、
(21-4a) jw#V Ì V (|w|) ( w が内演算のとき ) |
(21-4b) ja#V Ì VA(|a|) ( a が外演算のとき ) |
と書くことができます。したがって、X 上の位相(Ω, | · |, Λ )-
空間の族 { (X, Vi ) | iÎI }
に対し、フィルターの上限を sup
で表わして
(21-5) V (x) :º sup{ Vi(x) | iÎI } = fil È{ Vi(x) | iÎI } |
と置けば、各 Vi(x)
が (21-4)
を満たすことから、X n から第 k 成分の X への標準写像を pk と書けば、
(21-6a) jw#V (x) |
= sup{ jw#Vi(x) | iÎI } |
|
Ì sup{ Vi(|w|)(x) | iÎI } |
|
= sup{ pk#Vi(x) | iÎI, 1 £ k £ |w| } |
|
= sup{ pk#V (x) | 1 £ k £ |w| } |
|
= V (|w|)(x) |
また、A ´ X n から A への標準写像を p0 、第 k 成分の X への標準写像を pk と書けば、
(21-6b) ja#V (a, x) |
= sup{ ja#Vi(a, x) | iÎI } |
|
Ì sup{ Vi A(|a|)(a, x) | iÎI } |
|
= sup{ pk#Vi(a, x) , p0#VA(a, x) | iÎI, 1 £ k £ |w| } |
|
= sup{ pk#V (a, x) , p0#VA(a, x) | 1 £ k £ |w| } |
|
= VA(|a|)(a, x) |
これらは V が (21-4)
を満たすことを意味しますから、(X, V )
は { ( X, Vi ) | iÎI }
の上限の位相(Ω, | · |, Λ )-
空間になります。
また、f を (Ω, | · |, Λ )-
空間 (X, j)
から位相(Ω, | · |, Λ )-
空間 (Y, y, V )
への準同型とすれば、
(21-7a) f(n)#V (n)(x) |
= f(n)# sup{ pk#V (x) | 1 £ k £ n } |
|
= sup{ f(n)#pk#V (x) | 1 £ k £ n } |
|
= sup{ (pk ° f(n) )#V (x) | 1 £ k £ n } |
|
= sup{ ( f ° pk)#V (x) | 1 £ k £ n } |
|
= sup{ pk#f #V (x) | 1 £ k £ n } |
|
= ( f #V )(n)(x) |
(21-7b) f0(n)#VA (n)(a, x) |
= f0(n)# sup{ pk#V (a, x) , p0#VA(a, x) | 1 £ k £ n }
|
|
= sup{ f0(n)#pk#V (a, x) , f0(n)#p0#VA(a, x) | 1 £ k £ n } |
|
= sup{ (pk ° f0(n) )#V (a, x) , (p0 ° f0(n) )#VA(a, x) | 1 £ k £ n } |
|
= sup{ ( f ° pk)#V (a, x) , p0#VA(a, x) | 1 £ k £ n } |
|
= sup{ pk#f #V (x) , p0#VA(a, x) | 1 £ k £ n } |
|
= ( f #V )A(n)(x) |
ですから、これと (21-4)
の j を y に置き換えた式と (21-2)
により
(21-8a) jw#f #V (x) = ( f ° jw )#V (x) = (yw ° f(|w|) )#V (x) = f(|w|)#yw#V (x) Ì f(|w|)#V (|w|)(x) = ( f #V )(|w|)(x) |
(21-8b) ja#f #V (a, x) = ( f ° ja )#V (a, x) = (ya ° f0(|a|) )#V (a, x) = f0(|a|)#ya#V (a, x) Ì f0(|a|)#VA(|a|)(a, x) =( f #V )A(|a|)(a, x) |
となって、これは (X, j, f #V )
が位相(Ω, | · |, Λ )-
空間であることを示しています。
ところで、位相(Ω, | · |, Λ )-
空間の圏において、その位相構造を“忘れ”ると、(Ω, | · |, Λ )-
空間の圏と考えることができます。上述の議論により、位相空間の圏と集合の圏の間で成り立った (9-11a),(9-11b)
の関係は、位相(Ω, | · |, Λ )-
空間の圏と (Ω, | · |, Λ )-
空間の圏の間でもそのまま成り立ちますから、第９節の議論が適用できて、位相(Ω, | · |, Λ )-
空間の圏は完備かつ余完備であり、位相構造を“忘れる”関手は極限保存関手かつ余極限保存関手であることがわかります。
