前節の (23-14),(23-16a),(23-16b)
によれば、R
上の二項関係 £ は R
の擬順序関係で、= はこの擬順序に伴う同値関係になっています。そこで、R
の部分集合 A に対して
(24-1a) |
(24-1b) |
を満たす実数 a が存在するとき、これを A の上限と呼んで sup
A(23-14)
により、上限は存在すれば一意的です。また、(24-1b)
のかわりに条件
(24-1b)' |
を満たすとき強い上限であるといい、s-sup
A(24-1b)'
の対偶を取って (23-13)
を用いることにより、強い上限は上限であることがわかり、特に、強い上限も存在すれば一意的です。
同様に、R
の部分集合 A に対して
(24-2a) |
(24-2b) |
を満たす実数 a が存在するとき、これを A の下限と呼んで inf
A(24-2b)
のかわりに条件
(24-2b)' |
を満たすとき強い下限であるといい、s-inf
A(23-14)
により、下限も存在すれば一意的です。(24-2b)'
の対偶を取って (23-13)
を用いることにより、強い下限は下限であることがわかり、特に、強い下限も存在すれば一意的です。
一般に、(24-1a)
を満たす実数 a のことを A の上界といい、(24-2a)
を満たす実数 a のことを A の下界といいます。上限とは上界の最小値のことに、下限とは下界の最大値のことに他なりません。
また、A に上界が存在するとき A は上に有界であるといいます。同様に、A に下界が存在するとき A は下に有界であるといいます。上に有界かつ下に有界なとき、単に有界であるといいます。
さて、A を、元を持つ R
の可視的（第20節参照）な部分集合とします。このとき A が上に有界なら強い上限が、下に有界なら強い下限が存在することを証明しましょう。
実際、 Ì R
1 を加えたものを b とします。
A が可視的であることから、任意の自然数 > 0
(24-3) |
が成り立つような実数 e > 0(23-31)
により、
(24-4) a |
となる整数 N が存在しますが、 < 0 £ - 1 < a + (N
+ 1)e £ a < b ³ 0 £ Nxi :º a + ie
このとき (24-3)
により、各 £ N]
xi - 1/n, xi + 1/n [ Ç A ¹ Æ]
xi - e, xi + e [ Ç A = Æ £ N
(24-5) f(i) |
と置けば、ε
量化記号の性質により
(24-6a) f(i) |
(24-6b) f(i) |
が成り立ち、 :º { i
ÎN | i < N , f(i) = 0 }(11-38)
参照）です。しかも Î A Ç ]
x0 - e, x0 + e [(24-6b)
の対偶により (
0) = 00ÎI ¹ Æ
ゆえに I の最大値を l と書けば、]
xl - 1/n, xl + 1/n [ Ç A ¹ Æh とします：
(24-7) |
このとき
(24-8) |
—– n |
が成り立つことを証明しましょう。まず、 > l(i)
= 1]
xi - e, xi + e [ Ç A = Æ
(24-9) ( |
が成り立つことに注意します。
さて、zÎAz > hn + 1/n(24-7)
により hn > xl - 1/n = a + le - 1/nz > a + le(23-31)
により
(24-10) a |
となる整数 i が存在します。ここで < lz < a + le < z ³ l = lz > a + le(24-10)
は実は = l + 1 > l(24-10)
が成り立つので、(24-9)
により zÏA
よって (23-13)
により z £ hn + 1/nzÎA(24-8)
は証明されました。
さて、hnÎA(24-8)
により、特に
(24-11) |
—– n |
すなわち
(24-12) |
é ë |
—– m |
, |
—– n |
ù û |
が成り立つので、h はコーシー列です。よって R
の完備性により、h はある実数 a に収束します。この a が A の強い上限になっていることを証明しましょう。
まず (24-1a)
を証明するため、任意に zÎAz > ae :º (
z - a)/2 > 01/n ® 01/m < eh は a に収束するので hn - a < e ³ m
(24-13) |
—– n |
—– m |
となって (24-8)
に反します。ゆえに (23-13)
によりz £ azÎA(24-1a)
が成り立つことがわかります。
次に (24-1b)'
を示すため、任意に z < ae :º a - z > 0h は a に収束するので a - hn < ez = a - e < hnÎA(24-1b)'
が成り立つことを意味しています。
以上で R
の元を持つ可視的で上に有界な集合は強い上限を持つことがわかりました。逆向きの順序を考えることにより、R
の元を持つ可視的で下に有界な集合は強い下限を持つこともわかります。
さて、R
のプレコンパクト集合は有界です。
実際、 Ì R
R
の有限集合 F が存在して Ì F + ]
- 1, 1 [xÎFx < n < m + 1
第20節によりプレコンパクトなら可視的ですから、上述の結果により、元を持つ R
のプレコンパクト集合は強い上限と強い下限を持ち、特に元を持つ有限集合は強い上限と強い下限を持つことがわかります。
また、(24-1b)'
により、a が A の強い上限なら、任意の自然数 n に対し、a - 1/n < xnxnÎA(24-1a)
により xn £ aa は A 上のコーシー列 x の極限になります。ゆえに A が完備なら x は A に極限 b を持ち、a = bb も A の強い上限になります。
下限についても同様ですから、元を持つ R
のコンパクト部分集合は最大値と最小値を持つことがわかりました（直観主義論理においては、R
の有限部分集合は必ずしも完備であるとはいえず、従ってコンパクトであるとはいえないので、最大値や最小値も存在するとはいえないことに注意します）。
ちなみに R
の可視的な有界閉集合はコンパクトです。
実際、可視的な有界閉集合は、ある実数の組 a < b[
a, b ]
また、２つの実数の上限と下限については
(24-14a) ( |
(24-14b) ( |
が成り立ちます。
実際、下限の定義 (24-2a)
により inf {
a, b} £ ainf {
a, b} £ b(24-14a)
の右辺から左辺が得られることは明らかです。
逆に (24-14a)
の左辺が成り立てば、(23-30)
により x < r < ax < s < bmin {r, s}
£ r < amin {r, s}
£ s < b(24-2b)
により min {r, s}
£ inf {a, b}min {r, s}
= rmin {r, s}
= sx < min {r, s}
x < min {r, s}
£ inf {a, b}(24-14a)
の右辺が得られます。
順序の向きを逆にすれば、同様にして (24-14b)
が得られます。
また、上限と下限の定義 (24-1b),(24-2b)
により
(24-15a) ( |
(24-15b) ( |
が成り立ちます。
更に、有限集合はプレコンパクトですから強い上限と強い下限を持つので、特に２つの実数 a と b の上限と下限はそれぞれ実は強い上限と強い下限に一致します。ゆえに強い上限と強い下限の定義 (24-1b)',(24-2b)'
により
(24-16a) ( |
(24-16b) ( |
が成り立ちます。
次に、R
の部分集合 A , B に対し、次の各等式の右辺に出てくる各上限・下限が存在すれば、左辺も存在して
(24-17a)A |
(24-17b)A |
(24-17c)A |
(24-17d)A |
(24-17e) sup (A |
(24-17f) inf (A |
(24-17g) sup ( AB |
(24-17h) inf ( AB |
(24-17i) sup ( AB |
(24-17j) inf ( AB |
(24-17k) sup ( AA |
(24-17l) inf ( AA |
(24-17m) sup { |
(24-17n) sup ( A |
(24-17o) inf ( A |
が成り立ちます。
実際、(24-17a)
については、a :º sup
AÎA(24-1a)
により £ a(23-24e)
により x £ xa
一方、(23-24a)
により x-1 > 0ÎAx £ h(23-24e)
により £ h/x(24-1a)
により a £ h/x(23-24e)
により xa £ hxaxA
また (24-17b)
については、a :º inf
AÎA(24-2a)
により ³ a(23-24e)
により x ³ xa
一方、(23-24a)
により x-1 > 0ÎAx ³ h(23-24e)
により ³ h/x(24-2a)
により a ³ h/x(23-24e)
により xa ³ hxaxA
また、(24-17c)
については、a :º inf
AÎA(24-2a)
により ³ a(23-24f)
により x £ xa
一方、(23-24b)
により x-1 < 0ÎAx £ h(23-24f)
により ³ h/x(24-2a)
により a ³ h/x(23-24f)
により xa £ hxax A
また、(24-17d)
については、a :º sup
AÎA(24-1a)
により £ a(23-24f)
により x ³ xa
一方、(23-24b)
により x-1 < 0ÎAx ³ h(23-24f)
により £ h/x(24-1a)
により a £ h/x(23-24f)
により xa ³ hxax A
次に、(24-17e)
と (24-17f)
は、それぞれ (24-17c)
と (24-17d)
で a = - 1
次に (24-17g)
ですが、a :º sup
Ab :º sup
BÎAÎB(24-1a)
により £ a £ b(23-17b)
により + y £ a + b
一方、任意の ÎAÎB + y £ xx に対し、任意の ÎB + y £ x £ x - y(24-1a)
により a = ysup
A £ x - £ x - aÎB(24-1a)
により b = sup
B £ x - aa + b £ x
以上で a + b + B
次に (24-17h)
は、inf ( A
B + B ) = - sup ( - A - B ) = - { sup ( - A ) + sup ( - B ) } = - sup ( - A ) - sup ( - B ) = inf A + inf
また (24-17i)
は、sup ( A
B - B ) = sup A + sup ( - B ) = sup A - inf
また (24-17j)
は、inf ( A
B - B ) = inf A + inf ( - B ) = inf A - sup
また (24-17k)
と (24-17l)
は、それぞれ (24-17g)
と (24-17h)
で :º {
a}
また (24-17m)
は、(24-17e),(24-17l)
により a + b - inf {
a, b} = a + b + sup {- a, - b} = sup ({a + b - a, a + b - b}) = sup {a, b}
次に (24-17n)
ですが、a :º sup
Ab :º sup
B(24-1a)
により "xÎA :
x £ a £ sup {
a, b}"xÎB :
x £ b £ sup {
a, b}"xÎAÈBy :
x £ "xÎAy :
x £ "xÎBy :
x £ a = sup
A £ yb = sup
B £ ysup {
a, b} £ y
次の (24-17o)
も同様です。
また、,
B Ì R
(24-18a) s-sup { inf { |
が成り立ちます。
実際、任意の aÎAbÎBinf {
Aa, b} £ a £ s-sup inf {
Ba, b} £ s-sup inf {
a, b} £ inf { s-sup A , s-sup B }
ゆえにあとは、g < inf { s-sup A , s-sup B }
g < inf {
a, b}aÎAbÎB
まず (24-14a)
により、g < s-sup
Ag < s-sup
Bg < ag < baÎAbÎB(24-14a)
により g < inf {
a, b}
同様に、,
B Ì R
(24-18b) s-inf { sup { |
が成り立ちます。特にこれらを :º {
a} :º {
b, g}
(24-19a) sup { inf { |
(24-19b) inf { sup { |
が得られます。
さて、ここで実数 a の絶対値 |
a |
(24-20) | |
で定義します。このとき
(24-21a) | |
(24-21b) |
(24-21c) |
(24-21d) |
(24-21e) |
(24-21f) |
(24-21g) |
(24-21h) | |
(24-21i) | |
(24-21j) | |
(24-21k) | |
(24-21l) |
(24-21m) | |
が成り立ちます。
実際、(24-21a)
については、|
a | = sup {- a, a} < 0(24-14b)
により - a < 0a < 0(23-17f)
から a > 0(23-15a)
により矛盾しますから、(23-13)
により |
a | ³ 0
次に (24-21b)
ですが、(24-16b)
により |
a | = sup {- a, a} > 00 < - a Ú 0 < a(23-17f)
により、これは 0 > a Ú 0 < a(23-12)
により a ¹ 0
次に (24-21c)
ですが、(24-21b)
の対偶を取れば a = 0|
a | £ 0(24-21a)
により |
a | £ 0|
a | = 0
次に (24-21d)
ですが、まず (24-1a)
により a £ sup {
- a, a}(23-16g)
により a ¹ |
a | = sup {- a, a}a < sup {
- a, a}(24-16b)
により a < - a Ú a < a2a = a + a < 0a < 0
次に (24-21e)
ですが、まず (24-1a)
により - a £ sup {
- a, a}(23-16g)
により - a ¹ |
a | = sup {- a, a}- a < sup {
- a, a}(24-16b)
により - a < - a Ú - a < a2a = a + a > 0a > 0
また、(24-21f)
と (24-21g)
は、それぞれ (24-21d)
と (24-21e)
の対偶から得られます。
次に (24-21h)
は、(24-14b)
により sup {
- a, a} = | a | < b Û ( - a < b Ù a < b ) Û ( - b < a Ù a < b )
次に (24-21i)
は、(24-15b)
により sup {
- a, a} = | a | £ b Û ( - a £ b Ù a £ b ) Û ( - b £ a Ù a £ b )
次に (24-21j)
は、(24-17g)
により |
a ± b | = sup {a ± b, - a ± b} £ sup {a + b, a - b, - a + b, - a - b} = sup {- a, a} + sup {- b, b} = | a | + | b |
次に (24-21k)
を証明するために、|
ab | ¹ | a | | b |a ¹ 0b ¹ 0(23-12)
により a > 0a < 0b > 0b < 0
ここで a,
b > 0(23-24i)
により ab > 0(23-16g),(24-21f)
により |
ab | = ab = | a | | b |
また、a,
b < 0(23-24i)
により ab > 0(24-21f),(14-48),(23-16g),(24-21g)
により |
ab | = ab = (- a)(- b) = | a | | b |
また、a < 0 < b(23-24j)
により ab < 0(24-21g),(14-47a),(23-16g),(24-21f)
により |
ab | = - ab = (- a)b = | a | | b |
また、b < 0 < ab = 0|
ab | = 0 = | a | | b |a = 0|
ab | = 0 = | a | | b ||
ab | ¹ | a | | b |(24-21k)
が得られます。
また (24-21l)
は、(24-21k)
で b :º a-1|
1 | = 1
最後に (24-21m)
は、(24-21a)
と (23-17i)
と (24-21c)
と n に関する帰納法により明かです。
さて、片開片閉区間を
(24-22a) [ |
(24-22b) ] |
で定義すると、一般の区間の閉包について
(24-23a)_______ |
(24-23b)_______ |
(24-23c)_______ |
が成り立ちます。
実際、閉区間は閉集合で、閉包を取る前の各区間を含みますから、閉区間が閉包を取った各区間を含むことは明らかです。
逆に、xÎ[
a, b ]a £ x £ ba - e < a £ xa < x + ea < b(24-14a)
により a < inf {
x + e, b}x £ b < b + ex - e < bx - e < x + e(24-14a)
により x - e < inf {
x + e, b}(24-14b)
により sup {
a, x - e} < inf{x + e, b}
ゆえにこの両辺を加えて 2 で割った値を h と書けば、sup {
a, x - e} < h < inf{x + e, b}(24-14)
により a < h < bx - e < h < x + eh Î ]
a, b [ Ç ] x - e, x + e [ ¹ Æe は任意ですから、これは x は閉包を取る前の区間の閉包に属すことを意味していますから、(24-23a)
は証明されました。
残る (24-23b)
と (24-23c)
は、上記の証明でそれぞれ sup {
a, x - e}x - einf {
x + e, b}x + e