数学の基礎

　Q の部分集合 a^- , a⁺ からなる順序対 (a^-, a⁺ ) は、条件：

(25-1a)  rÎa-  Þ  "s < r : sÎa-

(25-1b)  rÎa-  Þ  $s > r : sÎa-

(25-1c)  rÎa+  Þ  "s > r : sÎa+

(25-1d)  rÎa+  Þ  $s < r : sÎa+

(25-1e)  a-Ça+ = Æ

を満たすとき拡張実数といい、その全体を R と書くことにします。任意の拡張実数 (a^-, a⁺ ) に対し、

(25-2)  ( rÎa- Ù  sÎa+ )  Þ  r < s

が成り立ちます。実際、r ³ s と仮定すると、(25-1c) により sÎa^- となって (25-1e) に反するので、r , s は有理数ですから r < s が得られます。
　また、２つの拡張実数 a º (a^-, a⁺ ) と b º (b^-, b⁺ ) に対し、

(25-3a)  a < b  :º  a+Çb- ¹ Æ

(25-3b)  a £ b  :º  a-Ì b- Ù  b+Ì a+

(25-3c)  a ¹ b  :º  a < b  Ú  b < a

(25-3d)  a = b  :º  a £ b  Ù  b £ a

(25-3e)  a + b  :º  (a- + b-, a+ + b+ )

(25-3f)  - ¥  :º  (Æ, Q)

(25-3g)  ¥  :º  + ¥  :º  (Q, Æ)

と定義します。a + b を a と b の和とよび、¥ と - ¥ をそれぞれ正負の無限大とよびますが、これらが拡張実数であることを確かめておきましょう。
　正負の無限大については明らかですから、和 a + b について確かめます。
　まず rÎa^- , sÎb^- かつ t < r + s ならば、t - s < r なので、t - s < r' < r となる有理数 r' が存在します。そこで s' :º t - r' と置くと、s' < s となるので、(25-1a) により r'Îa^- かつ s'Îb^- となり、t = r' + s'Îa^- + b^- となります。
　同様に、rÎa⁺ , sÎb⁺ かつ t > r + s なら tÎa⁺ + b⁺ となります。
　また rÎa^- , sÎb^- なら、(25-1b) により、ある有理数 r'Îa^- , s'Îb^- が存在して r' > r , s' > s となり、r' + s' > r + s かつ r' + s'Îa^- + b^- となります。
　同様に rÎa⁺ , sÎb⁺ なら、(25-1d) により、ある有理数 r'Îa⁺ , s'Îb⁺ が存在して r' < r , s' < s となり、r' + s' < r + s かつ r' + s'Îa⁺ + b⁺ となります。
　また任意に rÎa^- , sÎb^- , r'Îa⁺ , s'Îb⁺ を取ると、(25-2) により r < r' かつ s < s' となり、r + s < r' + s' となるので (a^- + b^- )Ç(a⁺ + b⁺ ) = Æ がわかります。
　以上で a + b が拡張実数になっていることが証明されました。

　さて、拡張実数 a , b , c に対し、

(25-4a)  a £ a

(25-4b)  Ø a < a

(25-4c)  a < b  Þ  a £ b

(25-4d)  a £ b £ c  Þ  a £ c

(25-4e)  a < b £ c  Þ  a < c

(25-4f)  a £ b < c  Þ  a < c

(25-4g)  a < b < c  Þ  a < c

(25-4h)  Ø ( a < b  Ù  b £ a )

(25-4i)  a = a

(25-4j)  a = b  Þ  b = a

(25-4k)  ( a = b  Ù  b = c  )  Þ  a = c

(25-4l)  ( a = a'  Ù  b = b' )  Þ  ( a < b  Û  a' < b' )

(25-4m)  ( a = a'  Ù  b = b' )  Þ  ( a £ b  Û  a' £ b' )

(25-4n)  ( a = a'  Ù  b = b' )  Þ  ( a ¹ b  Û  a' ¹ b' )

(25-4o)  a + b = b + a

(25-4p)  ( a + b ) + c = a + ( b + c )

(25-4q)  a £ b  Þ  a + c  £ b + c

(25-4r)  a = b  Þ  a + c  = b + c

(25-4s)  a + c  < b + c  Þ  a < b

(25-4t)  a + c  ¹ b + c  Þ  a ¹ b

(25-4u)  - ¥ < ¥

(25-4v)  - ¥ £ a £ ¥

(25-4w)  a , b < ¥  Þ  a + b < ¥

(25-4x)  - ¥ < a , b  Þ  - ¥ < a + b

(25-4y)  - ¥ < a  Þ  ¥ + a = ¥

(25-4z)  a < ¥  Þ  - ¥ + a = - ¥

が成り立ちます。
　実際、(25-4a) は定義式 (25-3b) から、(25-4b) は定義式 (25-3a) と (25-1e) からそれぞれ明らかです。

　また (25-4c) については、a < b なら (25-3a) により a⁺Çb^- の元 s が存在し、rÎa^- なら (25-2) により r < s ですから、sÎb^- と (25-1a) により rÎb^- となるので a^-Ì b^- がわかります。
　同様に、rÎb⁺ なら (25-2) により s < r ですから、sÎa⁺ と (25-1c) により rÎa⁺ となるので b⁺Ì a⁺ となります。
　以上により a £ b が得られ、(25-4c) は証明されました。

　次の (25-4d) は定義式 (25-3b) から明らかです。

　次の (25-4e) については、a < b と (25-3a) により a⁺Çb^- の元 s が存在し、b £ c と (25-3b) により b^-Ì c^- ですから sÎa⁺Çc^- ¹ Æ となって a < c がわかります。

　次の (25-4f) については、b < c と (25-3a) により b⁺Çc^- の元 s が存在し、a £ b と (25-3b) により b⁺Ì a⁺ ですから sÎa⁺Çc^- ¹ Æ となって a < c がわかります。

　次の (25-4g) は、(25-4e) 又は (25-4f) と (25-4c) から明らかです。

　また (25-4h) は、a < b  Ù  b £ a と仮定すると、(25-4e) により a < a となり、(25-4b) に反するので明らかです。

　また (25-4i) は (25-4a) と (25-3d) から、(25-4j) は (25-3d) から、(25-4k) は (25-4d) と (25-3d) から明らかです。

　また (25-4l),(25-4m) は (25-3d) と (25-4d)~(25-4f) から、(25-4n) は (25-4l) と (25-3c) から明らかです。

　また (25-4o) は、a^± + b^± = b^± + a^± により、(25-4p) は、( a^± + b^± ) + c ^± = a^± + ( b^± + c ^± ) により、それぞれ明らかです。

　また (25-4q) は、左辺の仮定から a^-Ì b^- と b⁺Ì a⁺ が得られ、これから a^- + c^- Ì b^- + c^- と b⁺ + c⁺ Ì a⁺ + c⁺ が得られ、これは (25-4q) を意味します。

　また (25-4r) は (25-4q) と (25-3d) から明らかです。

　また (25-4s) は、左辺を仮定すると、(25-3a) により r + t = s + t' となる rÎa⁺ , tÎc⁺ , sÎb^- , t'Îc^- が存在しますが、(25-2) により t' < t ですから r < s となり、(25-1c) により sÎa⁺ となるので sÎa⁺Çb^- ¹ Æ となり、これは (25-4s) の右辺が成り立つことを意味します。

　また (25-4t) は、(25-4s) と (25-3c) から明らかです。

　また (25-4u),(25-4v) は、正負の無限大の定義 (25-3f),(25-3g) と大小関係の定義 (25-3a),(25-3b) から明らかです。

　また (25-4w) は、a < ¥ が a⁺ ¹ Æ と同値であることから明らかです。

　同様に、(25-4x) は、- ¥ < a が a^- ¹ Æ と同値であることから明らかです。

　また (25-4y) は、Æ + a⁺ = Æ と、- ¥ < a すなわち a^- ¹ Æ なら Q + a^- = Q となることから明らかです。

　同様に、(25-4z) は、Æ + a^- = Æ と、a < ¥ すなわち a⁺ ¹ Æ なら Q + a⁺ = Q となることから明らかです。

　拡張実数間の二項関係 £ は、(25-4a),(25-4d) により R 上の擬順序になりますが、(25-3d) により、= はこの擬順序に伴う同値関係になります。
　ここで、R の任意の部分集合 A は、この擬順序に対して上限と下限を持つことを証明しましょう。
　実際、

(25-5a)  u- :º È{ a- | aÎA }

(25-5b)  u+ :º ( Ç{ a+ | aÎA } )° = { rÎQ | $sÎÇ{ a+ | aÎA } : r > s }

(25-5c)  u  :º  (u-, u+ )

と置くと、明らかに u は拡張実数になります。
　また aÎA ならば、(25-5a) により a^-Ì u^- となり、(25-5b) により u⁺Ì a⁺ となるので、(25-3b) により a £ u が得られます。
　一方、拡張実数 b が任意の aÎA に対して a £ b すなわち a^-Ì b^- と b⁺Ì a⁺ を満たせば、(25-5a) により、まず u^-Ì b^- がわかります。
　また b⁺Ì Ç{ a⁺ | aÎA } で、(25-1d) により任意の rÎb⁺ に対して s < r であるような sÎb⁺ が存在しますから、sÎÇ{ a⁺ | aÎA } 、従って rÎu⁺ が言え、b⁺Ì u⁺ が成り立ちます。
　以上で u ÎR が A の上限になっていることがわかりました。

　対称的に、

(25-6a)  l  + :º È{ a+ | aÎA }

(25-6b)  l  - :º ( Ç{ a- | aÎA } )° = { rÎQ | $sÎÇ{ a- | aÎA } : r < s }

(25-6c)  l  :º  (l  -, l  + )

と置くと、l ÎR であって、これが A の下限になることがわかります。

　さて、上で定義した u と l は実はそれぞれ強い上限あるいは強い下限になっている、すなわち (24-1b)' と (24-2b)' を満たすことに注意します。
　実際、b < u なら、定義により b⁺Çu^- は元 r を持ち、(25-5a) により、rÎa^- となる aÎA が存在します。これは rÎb⁺Ça^- を、従って a < u を意味しますから、u は A の強い上限になっていることがわかります。
　l が A の強い下限になっていることの証明も同様です。

　さて、任意の実数 a に対して

(25-7a)  a- :º { rÎQ | r < a }

(25-7b)  a+ :º { rÎQ | r > a }

と置いて、

(25-7c)  a :º (a- , a+ )

と定義します。明らかに a は拡張実数ですが、実数 a , b に対して

(25-8a)  a < b  Û  a < b

(25-8b)  a £ b  Û  a £ b

(25-8c)  a ¹ b  Û  a ¹ b

(25-8d)  a = b  Û  a = b

(25-8e)  a + b = a + b

(25-8f)  - ¥ < a < ¥

が成り立ちます。
　実際、(25-8a) の左辺は (23-30) により a < r < b となる有理数 r の存在と同値であり、これはまた rÎa₊Çb_- と同値であり、このような r の存在は a < b すなわち (25-8a) の右辺と同値です。

　次に (25-8b) の左辺を仮定すると、rÎa_- なら r < a £ b ゆえ r < b すなわち rÎb_- ですから a_-Ì b_- が成り立ちます。また、rÎb₊ なら r > b ³ a ゆえ r > a すなわち rÎa₊ ですから b₊Ì a₊ が成り立ちます。これは a £ b すなわち (25-8b) の右辺が成り立つことを意味しています。
　また、(25-8b) の右辺を仮定し、更に a > b を仮定すると、(25-8a) により a > b となり、これは (25-4h) により (25-8b) の右辺と矛盾します。ゆえに実数に関する (23-13) により (25-8b) の左辺が成り立ちます。

　また、(25-8c) は (23-12) と (25-8a),(25-3c) から得られ、(25-8d) は (23-14) と (25-8b),(25-3d) から得られます。

　次に (25-8e) ですが、rÎa_- かつ sÎb_- なら r < a かつ s < b ですから、r + s < a + b すなわち r + sÎ(a + b)_- が成り立ちます。これは (25-3e) により ( a + b )^- = a^- + b^- = a_- + b_- Ì (a + b)_- = ( a + b )^- が成り立ちます。
　同様に、rÎa₊ , sÎb₊ つまり r > a , s > b から r + s > a + b つまり r + sÎ(a + b)₊ が得られ、( a + b )⁺ = a⁺ + b⁺ = a₊ + b₊ Ì (a + b)₊ = ( a + b )⁺ が成り立ちます。
　また、rÎ( a + b )^- = (a + b)_- すなわち r < a + b なら、r - b < a ですから、(23-30) により r - b < s < a となる有理数 s が存在します。このとき r - s < b ですから、sÎa_- かつ r - sÎb_- となり r = s + (r - s)Îa_- + b_- = ( a + b )^- が得られ、( a + b )^- Ì ( a + b )^- が得られます。
　同様に、rÎ( a + b )⁺ = (a + b)₊ すなわち r > a + b なら、r - b > a ですから、(23-30) により r - b > s > a となる有理数 s が存在します。このとき r - s > b ですから、sÎa₊ かつ r - sÎb₊ となり r = s + (r - s)Îa₊ + b₊ = ( a + b )⁺ が得られ、( a + b )⁺ Ì ( a + b )⁺ が得られます。
　以上により (25-8e) は証明されました。

　最後に (25-8f) は、a_± ¹ Æ ですから明らかです。

　この (25-8) により、任意の実数は、その加法 + と大小関係 < , £ 及び相等 = 、不等号 ¹ も含めて R の元とみなせることがわかります：

(25-9)  R Ì R

　なお、a > 0 あるいは a < 0 である拡張実数 a はそれぞれ正あるいは負であるといいます。また a ³ 0 のとき非負であるといいます。

　さて、拡張実数 a と有理数 r に対して

(25-10a)  a < r  Û  rÎa+

(25-10b)  r < a  Û  rÎa-

が成り立ちます。
　実際、a < r と仮定すれば、ある sÎa⁺Çr_- が存在します。ゆえに s < r ですから (25-1c) により rÎa⁺ が得られます。逆に rÎa⁺ なら、(25-1d) により s < r となる sÎa⁺ が存在し、これは sÎa⁺Çr_- ¹ Æ すなわち a < r を意味するので、これで (25-10a) は証明されました。
　a⁺ を a^- に置き換え、不等号の向きを逆にすれば (25-10b) が得られます。

　また任意の拡張実数 a に対して

(25-11)  a + 0 = a

が成り立ちます。
　実際、0_- = { sÎQ | s < 0 } , 0₊ = { sÎQ | s > 0 } ですから、rÎa^- , sÎ0_- なら r + s < r となるので (25-1a) により r + sÎa^- となります。同様に、rÎa⁺ , sÎ0₊ なら r + s > r となるので (25-1c) により r + sÎa⁺ となります。
　逆に、任意の rÎa^- に対し、(25-1b) により s > r となる sÎa^- が存在するので、e :º r - s と置けば、e < 0 すなわち eÎ0_- かつ r = s + e となります。
　同様に、任意の rÎa⁺ に対し、(25-1d) により s < r となる sÎa⁺ が存在し、e :º r - s と置けば、e > 0 すなわち eÎ0₊ かつ r = s + e となります。
　以上で (25-9) は証明されましたが、これは実数の 0 が R における加法 + の単位元になっていることを示しています。

　次に拡張実数 a が加法の逆元を持つための必要十分条件を求めてみましょう。
　まず、(25-8e) により a + ( - a ) = 0 ですから、任意の実数 a は加法の逆元 - a を持つことがわかります。
　逆に、拡張実数 a が加法の逆元 b を持てば、0 = a + b ですから、0_- Ì a^- + b^- かつ 0₊ Ì a⁺ + b⁺ が成り立つので、任意の自然数 n > 0 に対して

(25-12a)  -

1 —–  n

= rn + sn

(25-12b)

1 —–  n

= r'n + s'n

を満たす r_nÎa^- , s_nÎb^- , r'_nÎa⁺ , s'_nÎb⁺ が存在します。(25-2) により、任意の自然数 n, m > 0 に対して r_n < r'_m , s_n < s'_m が成り立つので、

(25-13)  0 < r'm - rn =

1 —–  m

+

1 —–  n

- s'm + sn <

1 —–  m

+

1 —–  n

が成り立ちます。これは { r_n | n > 0 } と { r'_m | m > 0 } が同値なコーシー列であることを意味していますから、R の完備性により、実数 a が存在して、共に a に収束します。
　そこで、任意に pÎa_- , qÎa₊ を取ると、p < a < q ですから、] p, q [ は a の近傍なので、p < r_n , r'_m < q となる自然数 n , m が存在します。ゆえに (25-1a),(25-1c) により pÎa^- , qÎa⁺ がわかります。
　逆に任意に pÎa^- , qÎa⁺ を取ると、(25-1b),(25-1d) により p < p' , q' < q となる p'Îa^- , q'Îa⁺ が存在します。
　ここで p' > a すなわち p'Îa₊ と仮定すると、上で示したように p'Îa⁺ となって (25-1e) と矛盾するので p' £ a が得られ、p < p' £ a すなわち pÎa_- がわかります。
　同様に、q' < a すなわち q'Îa_- と仮定すると、上で示したように q'Îa^- となって (25-1e) と矛盾するので q' ³ a が得られ、q > q' ³ a すなわち qÎa₊ がわかります。
　以上で a = a が証明され、拡張実数 a が加法の逆元を持つためには、a が実数であることが必要十分であることがわかりました。

　なお、今後は a が加法の逆元 b を持つとき b を - a と書き、c に - a を加えたものを c - a と書くことにすれば、(25-4p) と (25-11) により、任意の拡張実数 a と任意の実数 x に対して

(25-14)  ( a + x ) - x = a + ( x - x ) = a + 0 = a

が成り立ちます。
　一方、実数 x に対し、(25-4q) と (25-4s) で c に - x を代入すれば、a £ b  Þ  a - x  £ b - x と a - x  < b - x  Þ  a < b が得られますが、ここで a と b をそれぞれ a + x と b + x に置き換えれば、a + x £ b + x  Þ  a £ b と a < b  Þ  a + x < b + x が得られるので、結局

(25-15a)  a £ b  Û  a + x  £ b + x

(25-15b)  a < b  Û  a + x  < b + x

が成り立ち、従って

(25-15c)  a = b  Û  a + x  = b + x

(25-15d)  a ¹ b  Û  a + x  ¹ b + x

が成り立つことがわかります。すなわち実数を加える演算は順序を保つので、R の任意の部分集合 A と任意の実数 x に対して

(25-16a)  sup ( x + A ) = x + sup A

(25-16b)  inf ( x + A ) = x + inf A

が成り立ちます。
　また一般に A , B Ì R に対して aÎA , bÎB なら inf A £ a £ sup A , inf B £ b £ sup B ですから、(25-4q) により inf A + inf B £ a + b £ sup A + sup B となるので

(25-17a)  inf A + inf B £ inf ( A + B )

(25-17b)  sup A + sup B ³ sup ( A + B )

が成り立ちますが、更に inf A Î R かつ B Ì R なら

(25-18a)  inf A + inf B = inf ( A + B )

が成り立ちます。
　実際、左辺が A + B の下限であることを示せばよいのですが、(25-17a) により、まず下界になっていることがわかります。
　更に、任意の aÎA と bÎB に対して c £ a + b となる任意の拡張実数 c に対し、bÎR ですから、その加法の逆元 - b を両辺に加えれば、c - b £ a となり、aÎA は任意ですから c - b £ inf A が得られます。
　ここで両辺に b を加え、更に inf A Î R なのでその加法の逆元 - inf A を両辺に加えれば c - inf A £ b となり、bÎB は任意なので c - inf A £ inf B が得られ、更に両辺に inf A を加えれば c £ inf A + inf B となりますが、これは (25-18a) の左辺が A + B の下界の最大値、すなわち下限であることを意味しています。
　同様にして、sup A Î R かつ B Ì R なら

(25-18b)  sup A + sup B = sup ( A + B )

が成り立つことがわかります。

　さて、拡張実数 a , b に対して

(25-19a)  a < b  Þ  $rÎQ : a < r < b

(25-19b)  a < b  Þ  $eÎQ+ : a + e < b

(25-19c)  a < b  Þ  $eÎQ+ : a < b - e

(25-19d)  ( "eÎQ+ : a £ b + e )  Þ  a £ b

(25-19e)  ( "eÎQ+ : a - e £ b )  Þ  a £ b

が成り立つことを証明しましょう。
　まず (25-19a) ですが、a < b ならば、有理数 rÎa⁺Çb^- が存在しますが、(25-1) により、p < r < q となる 有理数 pÎa⁺ と qÎb^- が存在します。これは pÎr_- 及び qÎr₊ を意味するので、a⁺Ç r_- ¹ Æ かつ r₊Çb^- ¹ Æ すなわち a < r かつ r < b となります。

　次に (25-19b),(25-19c) ですが、上記の r , q に対し、0 < e < q - r となる有理数 e を取ると、q - rÎe₊ ですから q = r + (q - r) Î a⁺ + e₊ = (a + e )⁺ となり、これと qÎb^- から a + e < b が得られ、この両辺に - e を加えれば、(25-15b) と (25-14) により a < b - e が得られます。

　次に (25-19d),(25-19e) ですが、"eÎQ⁺ : a £ b + e と仮定して任意に rÎa^- を取ると、(25-1b) により s > r となる sÎa^- が存在するので、e :º s - r と置くと、a^- Ì b^- + e_- により s = p + q となる pÎb^- と qÎe_- すなわち有理数 q < e が存在します。ゆえに r = s - e < s - q = p ですから、(25-1a) により rÎb^- が得られます。
　また、(25-14) と (25-15a) により、仮定 "eÎQ⁺ : a £ b + e と仮定 "eÎQ⁺ : a - e £ b が同値であることに注意して、任意に rÎb⁺ を取ると、(25-1d) により s < r となる sÎb⁺ が存在するので、e :º r - s と置くと、b⁺ Ì a⁺ + ( - e )₊ により s = p + q となる pÎa⁺ と qÎ( - e )₊ すなわち有理数 q > - e が存在します。 ゆえに r = e + s > - q + s = p ですから、(25-1c) により rÎa⁺ が得られます。
　以上により、(25-19d) と (25-19e) が同時に証明されました。

　次に、{ x_i | iÎI } を、有向集合 I を添字に持ち、R に値を持つ族とします。このとき

(25-20a)  limsupiÎI xi  :º  inf { sup { xk | kÎI , k ³ i } | iÎI }

(25-20b)  liminfiÎI xi  :º  sup { inf { xk | kÎI , k ³ i } | iÎI }

と置き、それぞれ { x_i | iÎI } の上極限、下極限といいます。
　任意の m, nÎI に対し、I は有向集合ですから m, n £ l となる lÎI が存在し、sup { x_k | kÎI , k ³ i } は i について単調減少、inf { x_k | kÎI , k ³ i } は i について単調増加ですから、

(25-21)  inf { xk | kÎI , k ³ m } £ inf { xk | kÎI , k ³ l } £ sup { xk | kÎI , k ³ l } £ sup { xk | kÎI , k ³ n }

　ゆえにまず mÎI について上限を取り、次いで nÎI について下限を取れば、

(25-22)  liminfmÎI xm  £  limsupnÎI xn

が成り立つことがわかります。ここで { x_i | iÎI } Ì R のとき、この族がある実数に収束するための必要十分条件は

(25-23)  liminfmÎI xm  =  limsupnÎI xn Î R

が成り立つことであることを証明しましょう。また、そのときの極限値が (25-23) の共通の値に等しいことも併せて証明します。
　まず a = lim_mÎI x_m ÎR とすると、任意の実数 e > 0 に対し、lÎI が存在して、任意の i ³ l に対して a - e < x_i < a + e ですから

(25-24)  a - e £ inf { xi | i ³ l } £ sup { xi | i ³ l } £ a + e

となるので、

(25-25)  a - e £ liminfmÎI xm , limsupnÎI xn £ a + e

が成り立ち、(25-19d),(25-19e) により、(25-23) が得られ、かつこの共通の値が a に等しいことがわかります。

　逆に (25-23) が成り立つと仮定して、その共通の値を a と置きます。任意の実数 e > 0 に対し、R では上限は強い上限、下限は強い下限であることに注意すれば、

(25-26a)  a - e < inf { xi | i ³ m }

(25-26b)  sup { xi | i ³ n } < a + e

となる m, nÎI が存在します。I は有向集合ですから、m, n £ l となる lÎI が存在し、

(25-27)  "i ³ l : a - e < xi < a + e

が成り立つことがわかり、これは { x_i | iÎI } が a に収束することを意味しています。

　さて、拡張実数 a = ( a^-, a⁺ ) は、a^- = (a⁺)^e が成り立っているとき上半拡張実数ということにし、その全体を R^• と書くことにします。このとき

(25-28a)  a , b ÎR•  Þ  ( a £ b  Û  b+ Ì a+ )

(25-28b)  ± ¥ÎR•

(25-28c)  R Ì R•

(25-28d)  A Ì R•  Þ  inf A Î R•

(25-28e)  ( aÎR•  Ù  rÎR )  Þ  ( Ø a < r  Û  a ³ r )

が成り立つことを確かめましょう。ただし実数 a と (25-7c) で定義された a を同一視しています。
　まず (25-28a) は、a £ b  Þ  b⁺ Ì a⁺ は明らかで、逆に b⁺ Ì a⁺ ならば、(18-6a) により a^- = (a⁺)^e Ì (b⁺)^e = b^- となるので a £ b がわかります。
　次に (25-28b) は、Q^e = Æ° = Æ 及び Æ^e = Q° = Q により明らかです。
　次に (25-28c) は、a を実数とすると、rÎa_-  Û  r < a  Û  $eÎQ⁺ : r + e £ a  Û  $eÎQ⁺ : ] r - e, r + e [ Ç a₊ = Æ  Û  rÎ(a₊)^e から明らかです。
　次に (25-28d) は、(inf A)^- = (Ç{ a^- | aÎA })° = (Ç{ (a⁺)^e | aÎA })° = (Ç{ (Q \ a⁺)° | aÎA })° = (Ç{ Q \ a⁺ | aÎA })° = (Q \ È{ a⁺ | aÎA })° = (Q \ (sup A)⁺)° = ((sup A)⁺)^e が得られ、証明されました。
　最後に (25-28e) は Ø a < r  Û  Ø $rÎa⁺ : r < r  Û  "rÎa⁺ : r ³ r  Û  "rÎa⁺ : $sÎa⁺ : ( s < r Ù s ³ r )  Û  "rÎa⁺ : r > r  Û  a ³ r から得られます。

　ここで、二つの上半拡張実数 a , b の上半和を

(25-29a)  a

· +

b :º ((a+ + b+)e, a+ + b+)

で、また二つの非負上半拡張実数 a , b の積を

(25-29b)  ab :º ((a+b+)e, a+b+)

で定義します。明らかに上半和は上半拡張実数、積は非負上半拡張実数です。
　また、(25-28c) により、a と b が実数のときは、それらの通常の和は実数、したがって上半実数ですから、それらの上半和と一致します。
　更に、非負実数 a , b に対し、r, sÎQ が r > a ³ 0 , s > b ³ 0 を満たせば rs > rb ³ ab です。逆に qÎQ が q > ab を満たせば、十分小さい e > 0 に対して q > ab + eb ですから a + e > 0 なので q/(a + e) > b すなわち q/(a + e) > s > b ³ 0 となる有理数 s が存在し、r :º q/s > a + e > a となります。すなわち { rs | r, sÎ Q  Ù  r > a  Ù  s > b } = { qÎQ | q > ab } が成り立ち、a , b が共に非負実数のときは、その積は実数の積に一致します。

　また、a⁺ + b⁺ = b⁺ + a⁺ と a⁺ + (b⁺ + c⁺) = (a⁺ + b⁺) + c⁺ により、上半和についても、交換律と結合律：

(25-30a)  a

· +

b = b

· +

a

(25-30b)  a

· +

( b

· +

c ) = ( a

· +

b )

· +

c

が成り立つことがわかります。また、(25-28a) と (25-29a) により、

(25-30c)  ( a £ a'  Ù  b £ b' )  Þ  a

· +

b £ a'

· +

b'

が成り立ち、また３個の拡張実数 a , b , c に対して、(25-28a),(25-29a) により

(25-30d)  a £ b

· +

c  Û  "rÎb+ : "sÎc+ : r + sÎa+

が成り立つことがわかります。

　同様に、a⁺b⁺ = b⁺a⁺ と a⁺(b⁺c⁺) = (a⁺b⁺)c⁺ により、積についても、交換律と結合律：

(25-31a)  ab = ba

(25-31b)  a (bc ) = (ab )c

が成り立つことがわかります。また、(25-28a) と (25-29b) により、

(25-31c)  ( 0 £ a £ a'  Ù  0 £ b £ b' )  Þ  ab £ a'b'

が成り立ち、また３個の非負拡張実数 a , b , c に対して、(25-28a),(25-29b) により

(25-31d)  a £ bc  Û  "rÎb+ : "sÎc+ : rsÎa+

が成り立つことがわかります。