数学の基礎

　位相空間 X において、元を持つ開集合全体を O⁺ で表すとき、条件：

(27-1)  "O, O'ÎO+ : ( OÈO' = X  Þ  OÇO' ¹ Æ )

を満たす X は連結であるといいます。また、元を持つ X の閉集合全体を C ⁺ で表すとき、条件：

(27-2)  "F, F'ÎC + : ( FÈF' = X  Þ  FÇF' ¹ Æ )

を満たす X を強連結であるということにします。

　X は強連結なら連結です。
　実際、O, O'ÎO⁺ かつ OÈO' = X なら、O, O'ÎC ⁺ , OÈO' = X となるので、X の強連結性により OÇO' ¹ Æ となります。ゆえに OÇO' の元 a を取ると、 aÎOÈO' ですから aÎO 又は aÎO' で、前者の場合は O が a の近傍で、aÎO' ですから、O と O' は交わります。後者の場合も同様です。

　また連結空間の連続像は連結、強連結空間の擬連続像は強連結です。
　実際、X が連結、f : X ® Y は連続とし、O , O' を Y の元を持つ開集合で OÈO' = f [X] となったとすると、f ^-(O)Èf ^-(O' ) = X で、f の連続性により f ^-(O) も f ^-(O' ) も X の開集合ですから、X の連結性により両者は共通点 a を持ち、f(a)ÎOÇO' となるので、f [X] は連結です。
　同様に、X が強連結、f : X ® Y は擬連続とし、F , F' を Y の元を持つ閉集合で FÈF' = f [X] となったとすると、f ^-(F)Èf ^-(F' ) = X で、f の擬連続性により f ^-(F) も f ^-(F' ) も X の閉集合ですから、X の強連結性により両者は共通点 a を持ち、f(a)ÎFÇF' となるので、f [X] は強連結です。

　また、X と Y を（強）連結位相空間とすれば、その積 X ´ Y も（強）連結です。
　実際、C , C' を元を持つ X ´ Y の開（閉）集合で X ´ Y = CÈC' となるものとします。仮定から (a, b)ÎC , (a', b' )ÎC' が存在し、(a, b' )Î CÈC' なので (a, b' )ÎC 又は (a, b' )ÎC' となります。
　どちらでも同じなので、前者が成り立つと仮定します。xÎX に (x, b' )ÎX ´ Y を対応させる写像は、それに X 又は Y への射影を合成した写像が連続なので、位相空間の積位相の定義により連続です。よって、D :º {xÎX | (x, b' )ÎC } , D' :º {xÎX | (x, b' )ÎC' } は X の開（閉）集合で、aÎD , a'ÎD' かつ DÈD' = X ですから X の（強）連結性により DÇD' ¹ Æ となり、これは CÇC' ¹ Æ を意味しています。

　このことから、{ X_i | iÎI } を可識な添字集合 I に対する連結空間の族とすれば、それらの積 X º Õ_iÎI X_i は連結であることがわかります。
　実際、O , O' を X の開集合で、aÎO , a'ÎO' , X = OÈO' を満たすとします。O と O' は、それぞれ a と a' の近傍ですから、I の有限部分集合 J , J' と各 iÎJ と jÎJ' に対する X_i と X_j の開集合 O_i と O'_j が存在して、aÎ Õ_iÎJ O_i ´ Õ_{iÎI \ J} X_i Ì O かつ a'Î Õ_iÎJ' O'_i ´ Õ_{iÎI \ J'} X_i Ì O' となります。
　一方、a, a'ÎX なので、X したがって各 X_i は元を持ち、Õ_{iÎI \ (JÈJ')} X_i は元 c を持ちます。
　そこで b :º (a_i)_iÎJÈJ' , b' :º (a'_i)_iÎJÈJ' と置けば、(b, c)ÎO かつ (b', c)ÎO' となり、xÎX' :º Õ_iÎJÈJ' X_i に (x, c)ÎX を対応させる写像は連続なので、 G :º {xÎX' | (x, c)ÎO } , G :º {xÎX' | (x, c)ÎO' } と置くと、これらは X' の開集合で、bÎG , b'ÎG' , X' = GÈG' となります。
　ところで X' は連結空間の有限個の積ですから、上に示したことと帰納法により連結で、従って GÇG' ¹ Æ 、すなわち OÇO' ¹ Æ がわかり、X は連結であることが証明されました。

　さて、位相空間 X の部分集合 A は、部分位相空間として（強）連結であるとき（強）連結集合といいます。A が（強）連結集合であるための条件は、A と交わる X の開（閉）集合 C , C' が A Ì CÈC' を満たせば AÇCÇC' ¹ Æ となることです。

　位相空間 X の連結集合の閉包は連結集合です。実際、A を連結集合、O , O' を A と交わり A Ì OÈO' となる X の開集合とします。O , O' は共に A の点の近傍ですから A と交わり、A Ì OÈO' ですから、A が連結であることから AÇOÇO' ¹ Æ となるので AÇOÇO' ¹ Æ となり、これは A が連結であることを意味しています。

　さて、位相空間 X の（強）連結な部分集合の族 { A_i | iÎI } を考えます。もし、この族が共通元 c を持てば、その合併 A :º È{ A_i | iÎI } も（強）連結であることを証明しましょう。
　実際、A と交わる X の開（閉）集合 C , C' により A Ì CÈC' となったとすると、ある i, jÎI と aÎA_i ÇC , bÎA_j ÇC' が存在します。ところで c は A の元ですから cÎCÈC' となります。どちらでも同じですから cÎC と仮定すると、cÎA_j ですから、C と C' は共に A_j と交わり、A_j Ì CÈC' ですから、A_j の（強）連結性により CÇC'ÇA_j ¹ Æ すなわち CÇC'ÇA ¹ Æ となるので A は（強）連結です。

　このことから、任意の位相空間 X の任意の点 a に対して、a を元に持つ最大の（強）連結部分集合 X_a が存在することがわかります。実際、a を元に持つ（強）連結部分集合全体からなる族の和集合を X_a とすればよいからです。明らかに {a} は a を元に持つ（強）連結部分集合ですから aÎX_a です。この X_a を a の（強）連結成分、あるいは単に（強）成分とよび、ある点の（強）成分となっている部分集合を（強）成分といいます。
　X の２点 x , y が同一の（強）成分に属すとき x ~ y と書けば、~ は同値関係になります。実際、x ~ x と x ~ y  Þ  y ~ x は明らかです。また x ~ y かつ y ~ z とすると、x, zÎX_y ですから x ~ z となります。

　なお、成分は連結なのでその閉包は連結であることと、成分がその元を含む最大の連結集合であることから、成分の閉包はそれ自身に一致し、従って成分は閉集合であることがわかります。

　位相空間 X は、各点の近傍系が（強）連結な集合からなる基底を持つとき局所（強）連結であるといいます。X の各（強）成分 C の任意の元に対し、その点の連結な近傍 V は C と交わるので、CÈV は（強）連結、従って C に含まれるので、局所（強）連結空間の（強）成分は開集合であることがわかります。

　さて、次に実数値関数に関する中間値の定理について解説します。

　まず、R の連結集合 A の２点 a < b に対し、AÇ[a, b] は [a, b] で稠密であることを証明しましょう。
　実際、任意の cÎ[a, b] と任意の e > 0 に対し、O :º ] ¬, c + e [ および O' :º ] c - e, ® [ と置けば、これらは R の開集合で、実数の性質 (23-15b) により aÎO , bÎO' , OÈO' = R を満たすので、O , O' は共に A と交わり、A が連結であることから A Ç ] c - e, c + e [ = AÇOÇO' ¹ Æ となり、これは AÇ[a, b] が [a, b] で稠密であることを意味しています。

　ところで f を（強）連結空間 X で定義された実数値（擬）連続関数とすると、その像 f [X] は（強）連結、従って連結ですから、今得られた結果を適用すれば、次のような第１中間値の定理が得られます：

　さて、上記の第１中間値の定理は、よく知られている古典論理における中間値の定理とは異なり、近似値しか得られない形になっています。そこで、正確に f(c) = r となる c が存在するための十分条件を考えることにします。

　位相空間 X は、強連結性より更に強い条件：

(27-4)  "F, F'ÎC + : ( _____  FÈF' = X  Þ  FÇF' ¹ Æ )

を満たすとき極強連結であるということにします（排中律を仮定していないので、閉集合同士の合併は閉集合とは限らないことに注意）。
　また、位相空間 X から不等号 ¹ を持つ集合 Y への写像 f は、任意の cÎX の任意の近傍 V に対し、f(a) ¹ f(b) となる a, bÎV が存在するとき、局所非定数であるということにします。

　特に Y が R で、¹ が実数の不等号である場合を考えると、任意の実数 r と任意の cÎX の任意の近傍 V に対し、f(a) ¹ f(b) となる a, bÎV が存在しますが、(23-12) により f(a) < f(b) 又は f(a) > f(b) が成り立つので、(23-15b) により、前者の場合は r < f(b) 又は r > f(a) が、後者の場合は r < f(a) 又は r > f(b) が成り立ちます。
　これは、F :º { xÎX |  f(x) £ r } , F' :º { xÎX |  f(x) ³ r } と置くと、FÈF' が X で稠密であることを意味しています。そこで、もし f が擬連続なら F も F' も閉集合ですから、もし更に F と F' が元を持ち、X が極強連結なら、F と F' は共通元を持つ、言い換えると f(c) = r となる c が存在し、次のような第２中間値の定理が成り立つことがわかります：

　次に、極強連結空間の例として、実数の閉区間が極強連結であることを証明しましょう。

　まず証明に先立って、初等解析でよく用いられる実数の極限に関する補題を２つ証明しておきます。まず最初に

(27-6)  - 1 < a < 1  Þ  an ® 0       ( n ® ¥ )

を証明します。
　実際、(23-15b) により | a | < 1/2 又は | a | > 1/3 ですから、前者のときは d :º 1 、後者のときは d :º (1 - | a |) / | a | と置けば、0 £ | a | £ 1/(1 + d) となり、(12-32) により (1 + d)ⁿ ³ 1 + nd ですから、任意の e > 0 に対し、n > (1/e - 1)/d なる限り、| aⁿ | = | a |ⁿ £ 1/(1 + d)ⁿ £ 1/(1 + nd) < e となります。
　次に、

(27-7)  - 1 < a < 1  Þ

¥ å n = 0

an  =

1 ——–  1 - a

を証明します。ただし Þ の右辺は、0 £ n £ m に対する部分和の m ® ¥ に対する極限が存在して = の右辺に一致する、という意味です。
　実際、m までの部分和に 1 - a を乗じると、項がキャンセルして 1 - a^m+1 となるので、部分和は (1 - a^m+1)/(1 - a) となることがわかり、(27-6) により (27-7) が得られます。

　さて、以上の準備の下で、実数の閉区間 [a, b] が (27-4) を満たすことを証明しましょう。(27-4) の前提を仮定すると、F, F'ÎC ⁺ ですから、a₀ÎF , b₀ÎF' を取ることができます。実数 M > 0 を | a₀ - b₀ | £ M となるように取り、以下 a_n , b_nÎX を

(27-8a)  anÎF

(27-8b)  bnÎF'

(27-8c)  | an - an-1 | , | bn - bn-1 | , | an - bn | £ (2/3)nM

を満たすように構成していきます。
　a_i , b_i が i < n まで定まったと仮定し、c :º (a_n-1 + b_n-1 ) / 2 と置くと、cÎX で、I :º [ c - 2^n-2M /3ⁿ , c + 2^n-2M /3ⁿ ] と置けば、これは c の近傍なので、(27-4) の仮定により、I は FÈF' と交わります。
　IÇF ¹ Æ の場合は a_nÎIÇF を取り、b_n :º b_n-1 と置きます。このとき (27-8a),(27-8b) の成立は明らかです。更に

(27-9a)  | an - an-1 | £ | an - c | + | c - an-1 | £

2n-2 —— 3n

M +

| bn-1 - an-1 | —————–  2

£

2n-2 —— 3n

M +

2n-1 ——— 2 · 3n-1

M =

2n —– 3n

M

(27-9b)  | an - bn | = | an - bn-1 | £ | an - c | + | c - bn-1 | £

2n-2 —— 3n

M +

| an-1 - bn-1 | —————–  2

£

2n-2 —— 3n

M +

2n-1 ——— 2 · 3n-1

M =

2n —– 3n

M

ですから (27-8c) も成り立ちます。
　また IÇF' ¹ Æ の場合は、 b_nÎIÇF' を取り、a_n :º a_n-1 と置けば、同様にして (27-8) が成り立つことがわかります。
　以上で (27-8) を満たす点列 { a_n } と { b_n } の存在がわかりました。ここで m > n なら

(27-10a)  | am - an | £

m å i = n+1

| ai - ai-1 | £

m å i = n+1

2i —– 3i

M £

2n+1 —— 3n+1

M ——— 1 - 2/3

= 2M

2n —– 3n

® 0       ( n ® ¥ )

　同様に、m > n のとき

(27-10b)  | bm - bn | ® 0       ( n ® ¥ )

がわかるので、{ a_n } と { b_n } は共にコーシー列で、しかも (27-8c) により、これらは同値なコーシー列です。ゆえに R の完備性により、これらは共通の極限 c を持ちます。
　一方、{ a_n } Ì F で F は閉集合ですから cÎF となり、同様に { b_n } Ì F' で F' は閉集合ですから cÎF' となるので、F と F' は共通元 c を持ち、[a, b] が (27-4) を満たす、すなわち極強連結であることがわかりました。

　ところで、位相空間 X の任意の２点 a , b に対し、この２点を含む X の（強）連結集合が存在すれば X は（強）連結です。
　なぜなら、元を持つ X の開（閉）集合 C , C' が X = CÈC' を満たすとすると、ある aÎC , bÎC' が存在し、仮定により a, bÎA となる（強）連結集合 A が存在しますが、A Ì CÈC' なので、A の（強）連結性により、AÇCÇC' ¹ Æ よって特に CÇC' ¹ Æ となるからです。

　この事実に注目して、任意の a, bÎX に対し、有限列 { c_i | 0 £ i £ n }Ì X （ ただし c₀ = a , c_n = b ）及び j_i(0) = c_i かつ j_i(1) = c_i+1 を満たす実数の閉区間 [0, 1] から X への（擬）連続写像の族 { j_i | 0 £ i < n } が存在するとき、X は弧状（擬）連結であるということにします。明らかに弧状連結なら弧状擬連結です。
　既に示したように、実数の閉区間は強連結ですから、その擬連続像 j_i[[0, 1]] も強連結です。また c_i Îj_i-1[[0, 1]]Ç j_i[[0, 1]] ですから、帰納法により A :º È{ j_i[[0, 1]] | 0 £ i < n } は（強）連結で、しかも a, bÎA です。従って上の注意により、弧状（擬）連結なら（強）連結です。

　また、弧状（擬）連結空間の（擬）連続像は弧状（擬）連結です。
　実際、弧状（擬）連結空間 X の（擬）連続像 f [X] の任意の２点 a , b を取ると、f(a) = a , f(b) = b となる a, bÎX が存在し、X の弧状（擬）連結性により、有限列 { c_i | 0 £ i £ n }Ì X （ ただし c₀ = a , c_n = b ）及び j_i(0) = c_i かつ j_i(1) = c_i+1 を満たす実数の閉区間 [0, 1] から X への（擬）連続写像の族 { j_i | 0 £ i < n } が存在します。
　そこで y_i :º f _° j_i , g_i :º f(c_i ) と置けば、g₀ = a , g_n = b で、y_i は、y_i(0) = g_i , y_i(1) = g_i+1 を満たす [0, 1] から f [X] への（擬）連続写像です。

　また位相空間 X の弧状（擬）連結部分集合の族 { A_i | iÎI } が共通元 c を持てば、その合併 A :º È{ A_i | iÎI } は明らかに弧状（擬）連結です。
　このことから、（強）成分のときと同様に、任意の位相空間 X の任意の点 a に対して、a を元に持つ最大の弧状（擬）連結部分集合が存在することがわかります。この最大の弧状（擬）連結部分集合を弧状（擬）連結成分とぶことにします。

　位相空間 X は、各点の近傍系が弧状（擬）連結な集合からなる基底を持つとき局所弧状（擬）連結であるといいます。X の各弧状（擬）連結成分 C の任意の元に対し、その点の弧状（擬）連結な近傍 V は C と交わるので、CÈV は弧状（擬）連結、従って C に含まれるので、局所弧状（擬）連結空間の弧状（擬）連結成分は開集合であることがわかります。

　さて、X を弧状連結な位相空間、Y を不等号 ¹ を持つ集合とします。このとき局所的に定数であるような写像 f : X ® Y は（大域的に）定数であることを証明しましょう。
　この証明のためには、任意に取った a, bÎX に対して f(a) = f(b) であることを証明すれば十分です。
　しかも X は弧状連結なので、連続写像 j_i : [0, 1] ® X ( 0 £ i < n ) で、j₀(0) = a , j_i-1(1) = j_i(0) , j_n-1(1) = b となるものが存在し、f _° j_i は j_i の連続性により局所的に定数ですが、これが 0 と 1 で同じ値を取ることを示せば十分です。すなわち局所定数写像 g : [0, 1] ® Y について g(0) = g(1) を証明すればよいわけですが、更に不等号に伴う同値関係 = の定義により、g(0) ¹ g(1) と仮定して矛盾を導けば十分です。
　そこで a₀ :º 0 , b₀ :º 1 と置き、以下 a_n , b_nÎ[0, 1] を、{ a_n } は単調増加、{ b_n } は単調減少で、b_n - a_n = 1/2ⁿ かつ g(a_n ) ¹ g(b_n ) となるように定義していきます。
　a_i , b_i が i < n まで定まったと仮定し、c :º (a_n-1 + b_n-1 ) / 2 と置くと、g(a_n-1 ) ¹ g(b_n-1 ) なので、不等号の性質 (13-30c) により、g(c) ¹ g(a_n-1 ) 又は g(c) ¹ g(b_n-1 ) となります。
　そこで、前者の場合は a_n :º a_n-1 , b_n :º c と置き、後者の場合は b_n :º b_n-1 、a_n :º c と置けばよいことがわかります。
　すると、{ a_n } , { b_n } は共に [0, 1] のコーシー列になり、しかも同値なので、共通の極限値 cÎ[0, 1] を持ちます。一方 g は局所的に定数なので、c のある近傍 V で一定値を取ります。ところが、ある n に対して a_n , b_nÎV となるので g(a_n ) ¹ g(b_n ) となり、g が V 上で一定であることに反します。

　さて本節の最後に、上述の結果を、正整数 n に対する R⁺ から R への連続写像 j(t) :º tⁿ に適用してみましょう。
　任意の a ³ 0 に対し、

(27-11a)  j(0) = 0 £ a

及び (12-32) により

(27-11b)  j(1 + a) = (1 + a)n =

n å k=0

nCk ak ³ nC1 a = na ³ a

が成り立ちます。一方

(27-12)  0 £ s < t  Þ  j(s) < j(t)

が成り立ちます。
　実際、n - 1 で正しいと仮定し、t > 0 に注意すれば、(23-24k) と (23-24i) により sⁿ = s^n-1s £ s^n-1t < t^n-1t = tⁿ ですから (27-12) は証明されます。

　ゆえに j は局所非定数なので、中間値の定理 (27-5) により、ある sÎ[0, 1 + a] に対して j(s) = a となります。
　また、(27-12) で s と t の役割を入れ替えることにより s ¹ t  Þ  j(s) ¹ j(t) が得られるので j(s) = a となる s ³ 0 の一意性もわかります。よってこのような s を a のn乗根とよんで

(27-13)  a1/n º nÖa

と書きます。特に n = 2 のときは平方根といい、習慣的に 2 を省略して Öa と書きます。
　なお、a > 0 のときは、a のn乗根を s とすれば、sⁿ = a > 0 ですから、(23-24i) と帰納法により s > 0 となるので、正数のn乗根は正であることがわかります。
　また、正整数 n , n' と、整数 m , m' に対し、m/n = m'/n' すなわち n'm = nm' が成り立っているとすれば（ただし m が負のとき、これは m' が負であることと同値ですが、この場合は a > 0 を仮定します）、(15-36b) により

(27-14)  {(a1/n )m }n n' = {(a1/n )n }m n' = am n' = am' n = {(a1/n' )n' }m' n = {(a1/n' )m' }n' n

となり、両辺のnn' 乗根を取れば、(a^1/n )^m = (a^1/n' )^m' となるので、a のm/n乗が、m と n > 0 の選び方によらず

(27-15)  am/n :º (a1/n )m

で定義できることがわかります。

　最後にn乗数でない自然数のn乗根は無理数であることを証明しましょう。ただしn乗数とは、ある自然数のn乗と表される自然数のことです。
　実際、m をn乗数でない自然数とし、m の（正の）n乗根を a とします。ここで任意に有理数 r を取ると、r £ 0 なら r ¹ a は明らかなので、r > 0 と仮定します。このとき、互に素な自然数の組 ( p, q) が存在して r = q/p と書けます。
　ここで rⁿ = m と仮定すると、両辺に pⁿ を乗じれば qⁿ = pⁿ m が得られ、p は q と互いに素なので qⁿ | m となります。すなわち自然数 k が存在して m = qⁿ k と書けます。これは qⁿ = pⁿ qⁿ k を意味しますから、両辺を qⁿ ¹ 0 で割れば、pⁿ k = 1 となります。
　ゆえに p = 1 となり、これは m = qⁿ を意味しますから、m がn乗数でないという仮定に反します。
　ゆえに Ø rⁿ = m が得られますが、有理数体における ¹ の定義により、これは rⁿ ¹ m = aⁿ と書けます。一方、n乗する演算は連続なので強関数ですから、これは r ¹ a を意味します。以上で a は無理数であることが証明されました。