数学の基礎

　本節では、R の区間で定義された実数値関数の微分に関する性質を調べます。

　まず最初はRollの定理の構成主義版です。j を実数の区間 [a, b] で定義された微分可能な実数値関数とします。このとき

(30-1a)  j(a) = j(b)  Þ  "e > 0 : $cÎ[a, b] : j'(c) £ e

(30-1b)  j(a) = j(b)  Þ  "e > 0 : $cÎ[a, b] : j'(c) ³ - e

が成り立ちます。ここで (30-1a) と (30-1b) では e の差が許容されている点が特徴的ですが、この両式に出てくる c は同じものが取れるとは限らないことに注意します。
　さてこの証明ですが、(30-1b) は、- j を j とみなせば (30-1a) の場合に帰着されるので、(30-1a) のみを証明すれば十分です。
　a₀ :º a , b₀ :º b と置き、以下帰納法により非減少な実数列 { a_n | nÎN } と非増加な実数列 { b_n | nÎN } で

(30-2a)  bn - an = 2-n (b - a)

(30-2b)  Δj(an , bn ) £ Δj(an-1 , bn-1 ) + 2-n e       ( n ³ 1 )

を満たすものを構成しましょう。n - 1 まで構成できたとします。ここで c_n :º (a_n-1 + c_n-1 ) / 2 と置きます。このとき

(30-3a)  j(cn ) <

j(an-1 ) + j(bn-1 ) ———————  2

+ 2-2n (b - a)e

又は

(30-3b)  j(cn ) >

j(an-1 ) + j(bn-1 ) ———————  2

- 2-2n (b - a)e

が成り立つので、前者の場合は a_n :º a_n-1 , b_n :º c_n と置き、後者の場合は a_n :º c_n , b_n :º b_n-1 と置きます。ここで b_n - a_n = (b_n-1 - a_n-1 ) / 2 に注意すれば、n に対する (30-2) が得られます。
　ゆえに (30-2b) と Δj(a₀ , b₀ ) = 0 により、

(30-4)  Δj(an , bn ) £ e

が成り立ちます。
　一方 { a_n | nÎN } は単調非減少で { b_n | nÎN } は単調非増加ですから、(30-2a) により、これらは同値なコーシー列になるので、共通の極限値 c を持ちます。a_n > c と仮定すると、任意の i ³ n に対して a_i ³ a_n により a_i - c ³ a_n - c > 0 となって a_i ® c に反するので a_n £ c です。同様に c £ b_n となります。ゆえに任意の d > 0 に対して自然数 n が存在して

(30-5a)  | j(an ) - j(c) - j'(c)(an - c) | £ d (c - an )

(30-5b)  | j(bn ) - j(c) - j'(c)(bn - c) | £ d (bn - c)

が成り立ちます。ゆえに

(30-6)  | j(bn ) - j(an ) - j'(c)(an - bn ) | = |{j(bn ) - j(c) - j'(c)(bn - c)} - {j(an ) - j(c) - j'(c)(an - c)}| £ d (c - an ) + d (bn - c) = d (bn - an )

　すなわち

(30-7)  | Δj(an , bn ) - j'(c) | £ d

となり、これと (30-4) と、d > 0 が任意であることにより j'(c) £ e が得られ、(30-1a) は証明されました。

　この結果を用いると、平均値の定理の構成主義版として、区間 [a, b] で定義された実数値連続関数 j が ] a, b [ で微分可能なら

(30-8)  "e > 0 : $c, c'Î] a, b [ : j'(c) - e £ Δj(a, b) £ j'(c') + e

が成り立つことが証明できます。
　実際、j が a と b で連続であることから、a > a と b < b をそれぞれ a と b に十分近く取れば、| Δj(a, b) - Δj(a, b) | £ e / 2 とできます。
　そこで y(t) :º j(t) - Δj(a, b)t と置けば、y(b) - y(a) = 0 ですから、区間 [a, b] で微分可能な y に対して、e のかわりに e / 2 として (30-1) を適用すれば、y'(c) = j'(c) - Δj(a, b) ですから (30-8) が得られます。

　さて、j と y は、共に区間 [a, b] で連続かつその内部で微分可能で、

(30-9a)  y(a) ¹ y(b)

(30-9b)  "h > 0 : $d > 0 : "tÎ[a + h, b - h] : | y'(t) | ³ d

が成り立つとします。このとき、Cauchyの平均値の定理の構成主義版として、

(30-10)  "e > 0 : $c, c'Î] a, b [  :

j'(c) ——– y'(c)

- e £

j(b) - j(a) ————— y(b) - y(a)

£

j'(c') ——– y'(c')

+ e

が成り立つことを証明しましょう。
　実際、j と y の連続性により、h > 0 を十分小さく取れば、a :º a + h と b :º b - h と置けば、y(a) ¹ y(b) かつ

(30-11)

½ ½ ½

j(b) - j(a) ————— y(b) - y(a)

-

j(b) - j(a) ————— y(b) - y(a)

½ ½ ½

£

e — 2

が成り立つようにすることができます。この h に対して (30-9b) を満たす d > 0 を取ると、

(30-12)  "cÎ[a, b] : | y'(c) | ³ d

となります。ここで c(t) :º {y(b) - y(a)}j(t) - {j(b) - j(a)}y(t) と置けば、

(30-13)  c(a) = j(a)y(b) - j(b)y(a) = c(b)

すなわち Δc(a, b) = 0 となるので、区間 [a, b] で微分可能な c に対して、e のかわりに | y(b) - y(a) |de / 2 として (30-8) を適用すれば、

(30-14a)  $cÎ ] a, b [ : c'(c) £

| y(b) - y(a) |de ———————– 2

(30-14b)  $cÎ ] a, b [ : c'(c) ³ -

| y(b) - y(a) |de ———————– 2

が成り立ちます。c'(c) :º {y(b) - y(a)}j'(c) - {j(b) - j(a)}y'(c) ですから、(30-14) の両辺を {y(b) - y(a)}y'(c) ¹ 0 で割れば、(30-12) により

(30-15a)

j'(c) ——– y'(c)

-

j(b) - j(a) ————— y(b) - y(a)

£

e — 2

(30-15b)

j'(c) ——– y'(c)

-

j(b) - j(a) ————— y(b) - y(a)

³ -

e — 2

が得られます。ただし {y(b) - y(a)}y'(c) が正のときは (30-14a) から (30-15a) が、(30-14b) から (30-15b) が得られ、負のときは (30-14b) から (30-15a) が、(30-14a) から (30-15b) が得られることに注意します。
　よって (30-11),(30-15) から (30-10) が得られます。

　ここでCauchyの平均値の定理の応用として、不定形の極限に関するde l'Hôpitalの定理を証明しましょう。
　ただしその前に、記号 - ¥ と ¥ を導入して、任意の実数 t に対して - ¥ < t < ¥ 及び t ¹ ± ¥ が成り立つものと約束します。例えば a = - ¥ のとき、 a < t < b あるいは tÎ] a, b [ と書いた場合は、t が t < b を満たす実数であることを意味します。
　また、¥ の“近傍”とは、fil {  ] a, ¥ [  |  aÎR  } のことを、- ¥ の“近傍”とは、fil {  ] - ¥, a [  |  aÎR  } のことを意味します。ただし R 上のフィルターや点列が ± ¥ に“収束”するというかわりに ± ¥ に発散するといい、単に“収束する”といえば、実数に収束することを意味することにし、また R のフィルターの極限値が実数であるとき、これを有限な極限値ということにします。

　さて、a を実数又は - ¥ とし、開区間 ] a, b [ で微分可能な実数値関数 j と y が

(30-16)

lim t ¯ a

j(t) =

lim t ¯ a

y(t) = 0

及び

(30-17a)  y(t) ¹ 0

(30-17a)  "cÎ ] a, b [  :  $d > 0  :  "tÎ [c, b [  :  | y'(t) | ³ d

を満たし、更に j'(t) / y'(t) が a において（有限又は無限の）右極限を持てば、j(t) / y(t) も a で右極限を持ち、

(30-18)

lim t ¯ a

j(t) —— y(t)

=

lim t ¯ a

j'(t) ——– y'(t)

が成り立つことを証明しましょう。
　実際、(30-18) の右辺の極限を a とすると、a の任意の近傍 U に対し、a の近傍であるような区間 V , W と e > 0 を

(30-19a)  V + [- e, e] Ì U

(30-19b)  W + [- e, e] Ì V

となるように取ることができます。このとき、W が a の近傍であることから、任意の rÎ] a, c [ に対して

(30-20)

j'(r) ——– y'(r)

ÎW

となるような c > a が存在します。一方 (30-16) により、任意の tÎ] a, c [ に対して

(30-21)

½ ½ ½

j(t) —— y(t)

-

j(t) - j(s) ————— y(t) - y(s)

½ ½ ½

£ e

となるような sÎ] a, t [ が存在します。一方 (30-10) によれば

(30-22)

j'(r) ——– y'(r)

- e £

j(t) - j(s) ————— y(t) - y(s)

£

j'(r') ——– y'(r')

+ e

を満たす r, r'Î] s, t [ が存在し、r, r'Î] a, c [ なので、(30-20),(30-22),(30-19b) と、V が区間なので u, vÎV ; u £ w £ v  Þ  wÎV となることから

(30-23)

j(t) - j(s) ————— y(t) - y(s)

Î V

が成り立ち、これと (30-21),(30-19a) により、任意の tÎ] a, c [ に対して

(30-24)

j(t) —— y(t)

ÎU

が成り立つことがわかり、これは (30-18) が成り立つことを意味しています。

　次に a を実数又は - ¥ とし、開区間 ] a, b [ で微分可能な実数値関数 j と y が、

(30-25)

lim t ¯ a

y(t) = ± ¥

と (30-17) を満たし、更に j'(t) / y'(t) が a において（有限又は無限の）右極限を持てば、この場合にも j(t) / y(t) は a で右極限を持ち、(30-18) が成り立つことが証明できます。
　実際、(30-18) の右辺の極限を a とすると、a の任意の近傍 U に対し、a の近傍であるような区間 V , W と e > 0 を

(30-26a)  [1 - e, 1 + e] V + [- e, e] Ì U

(30-26b)  W + [- e, e] Ì V

となるように取ることができます。このとき、W が a の近傍であることから、任意の rÎ] a, s [ に対して (30-20) が成り立つような　s > a が存在します。また、(3-10) により、任意の tÎ] a, s [ に対し、(30-22) を満たす r, r'Î] t, s [ が存在するので、(30-20),(30-22),(30-26b) により (30-23) が成り立ちます。一方 (30-25) により、任意の tÎ] a, c [ に対して

(30-27a)  1 - e £ 1 -

y(s) —— y(t)

£ 1 + e

(30-27b)  - e £

j(s) —— y(t)

£ e

となるような cÎ] a, s [ が存在しますから、(30-23),(30-27),(30-26a) により、任意の tÎ] a, c [ に対して

(30-28)

j(t) —— y(t)

=

ì í î

1 -

y(s) —— y(t)

ü ý þ

j(t) - j(s) ————— y(t) - y(s)

+

j(s) —— y(t)

ÎU

が成り立つことがわかり、これは (30-18) が成り立つことを意味しています。

　以上の結果と同様な定理は左極限についても成り立ちます。すなわち b を実数又は ¥ とし、開区間 ] a, b [ で微分可能な関数 j と y が

(30-29)

lim t ｭ b

j(t) =

lim t ｭ b

y(t) = 0

又は

(30-29)'

lim t ｭ b

y(t) = ± ¥

のいずれか一方と、

(30-30a)  y(t) ¹ 0

(30-30a)  "cÎ ] a, b [  :  $d > 0  :  "tÎ ] a, c]  :  | y'(t) | ³ d

を満たし、更に j'(t) / y'(t) が b において（有限又は無限の）左極限を持てば、j(t) / y(t) も b で左極限を持ち、

(30-31)

lim t ｭ b

j(t) —— y(t)

=

lim t ｭ b

j'(t) ——– y'(t)

が成り立ちます。

　次に、平均値の定理とCauchyの平均値の定理の応用として、関数の冪級数展開について考察します。

　j を実数の区間 I で定義されたn階微分可能な実数値関数とします。このとき任意の n ³ 1 , aÎI , e > 0 , tÎI \\ {a} に対し、

(30-32)

n-1 å k=0

j(k)(a) ———  k!

(t - a)k +

ì í î

j(n)(c) ———  n!

± e

ü ý þ

(t - a)n  £  j(t)  £

n-1 å k=0

j(k)(a) ———  k!

(t - a)k +

ì í î

j(n)(c') ———  n!

± e

ü ý þ

(t - a)n

を満たす c, c'Î] min{a, t}, max{a, t} [ が存在することを証明しましょう。ただし複号は、n が偶数又は t > a のときは上側を、n が奇数で t < a のときは下側を取ります。

　さて、(30-32) の証明ですが、

(30-33a)  y(t) :º j(t) -

n-1 å k=0

j(k)(a) ———  k!

(t - a)k

(30-33b)  c(t) :º (t - a)n

と置くと、

(30-34a)  y(k)(a) = c(k)(a) = 0       ( 0 £ k < n )

(30-34b)  y(n)(c) = j(n)(c)       ( cÎI )

(30-34c)  c(n)(c) = n!       ( cÎI )

が成り立ちます。そこで、c₀ :º c'₀ :º t と置き、任意の e に対し、y^(k) , c^(k) に対して e のかわりに e / n として (30-10) を適用すれば、帰納法により、

(30-35a)

y(k+1)(ck+1 ) —————– c(k+1)(ck+1 )

-

e —  n

£

y(k)(ck) - y(k)(a) ———————– c(k)(c'k) - c(k)(a)

=

y(k)(ck) ———– c(k)(ck)

( 0 £ k < n )

を満たす c_k+1Î] min{a, c_k}, max{a, c_k} [ と

(30-35b)

y(k)(c'k) ———– c(k)(c'k)

=

y(k)(c'k) - y(k)(a) ———————– c(k)(c'k) - y(k)(a)

£

y(k+1)(c'k+1 ) —————– c(k+1)(c'k+1 )

+

e —  n

( 0 £ k < n )

を満たす c'_k+1Î] min{a, c'_k}, max{a, c'_k} [ を順に選ぶことができます。ただし (30-35a),(30-35b) それぞれの等号は (30-34a) によります。よって、 c :º c_n , c' :º c'_n と置いて、(30-35) のそれぞれについて k について辺々加えれば、

(30-36a)

j(n)(c) ——– n!

- e =

y(n)(cn ) ———– c(n)(cn )

- e £

y(c0 ) ——— c(c0 )

=

y(t)  ——— (t - a)n

(30-36b)

j(n)(c') ——— n!

+ e =

y(n)(c'n ) ———– c(n)(c'n )

+ e ³

y(c'0 ) ——— c(c'0 )

=

y(t)  ——— (t - a)n

となるので、両辺に (t - a)ⁿ を乗じれば

(30-37)

ì í î

j(n)(c) ———  n!

± e

ü ý þ

(t - a)n  £  y(t)  £

ì í î

j(n)(c') ———  n!

± e

ü ý þ

(t - a)n

が得られます。ただし (t - a)ⁿ < 0 すなわち n が奇数で t < a のときは c を c' に、c' を c に書き直します。以上で (30-32) は証明されました。

　さて、(30-32) では t ¹ a という条件が付いていますが、a の近傍では、任意の n ³ 1 , aÎI , e > 0 に対し、d > 0 をうまく選べば

(30-38)  | t - a | £ d  Þ

½ ½ ½

j(t) -

n-1 å k=0

j(k)(a) ———  k!

(t - a)k -

j(n)(a) ———  n!

(t - a)n

½ ½ ½

£ e | t - a |n

が成り立つことが証明できます。実際、まず最初に t ¹ a の場合について証明することとし、y^(k) と c^(k) ( 0 £ k £ n - 2 ) に対してde l'Hôpitalの定理 (30-18) 又は (30-31) を用い、最後に (29-21) を用いれば、

(30-39)

lim t ® a

y(t)  ——— (t - a)n

=

lim t ® a

y(t) —— c(t)

=

lim t ® a

y'(t) —— c'(t)

=

lim t ® a

y"(t) —— c"(t)

= ¼ =

lim t ® a

y(n-1)(t) ———– c(n-1)(t)

=

y(n)(a) ——— c(n)(a)

=

j(n)(a) ——– n!

　ゆえに任意の e > 0 に対して d > 0 を

(30-40)  0 < | t - a | £ d  Þ

½ ½ ½

y(t)  ——— (t - a)n

-

j(n)(a) ——–  n!

½ ½ ½

£ e

が成り立つように取ることができます。ゆえに両辺に | t - a |ⁿ を乗じれば、t ¹ a の場合について (30-38) が得られます。
　次に | t - a | £ d を満たす t を任意に取り、

(30-41)

½ ½ ½

j(t) -

n-1 å k=0

j(k)(a) ———  k!

(t - a)k -

j(n)(a) ———  n!

(t - a)n

½ ½ ½

> e | t - a |n

と仮定します。ここで更に t ¹ a と仮定すると、今証明したことから (30-38) が成り立ち、(30-41) と矛盾するので t = a となりますが、この場合は (30-38) の右辺が自明に成り立つのでやはり (30-41) と矛盾します。ゆえに (30-41) の否定が成り立ち、(30-38) が得られます。

　さて、無限階微分可能な j が、与えられた a, tÎI に対して

(30-42)  "h > 0 : $NÎN : "n ³ N : "cÎ[inf{a, t}, sup{a, t}] :

½ ½ ½

j(n)(c) ——–  n!

(t - a)n

½ ½ ½

£ h

を満たすとします。このとき (30-32),(30-38),(32-10) により

(30-43)  "h > 0 : $NÎN : "n ³ N : "e > 0 : $cÎ[inf{a, t}, sup{a, t}] :

½ ½ ½

j(t) -

n-1 å k=0

j(k)(a) ———  k!

(t - a)k

½ ½ ½

£

ì í î

½ ½ ½

j(n)(c) ——–  n!

½ ½ ½

+ e

ü ý þ

| t - a |n £ h + e | t - a |n

が成り立つので、e > 0 の任意性により

(30-44)  "h > 0 : $NÎN : "n ³ N :

½ ½ ½

j(t) -

n-1 å k=0

j(k)(a) ———  k!

(t - a)k

½ ½ ½

£ h

が成り立ち、これは、j が

(30-45)  j(t) =

¥ å k=0

j(k)(a) ———  k!

(t - a)k

と t - a の冪級数で表わされることを意味します。この表示を j の点 a のまわりのTaylor展開といい、特に点 0 のまわりのTaylor展開をMaclaurin展開といいます。