数学の基礎

　本節では構成主義数学におけるLebesgue積分の理論を展開します。

　S を集合とし、S の部分集合 D( f )ÎP (S) 上で定義された実数値写像 f の全体を F(S) と書くことにします。
　２つの写像 f, gÎF(S) は、D( f ) Ì D(g) で、任意の xÎD( f ) に対して f(x) = g(x) であるとき f Ì g と書き、また、任意の xÎD( f )ÇD(g) に対して f(x) £ g(x) であることを、f £ g 又は g ³ f と略記します。
　さて、任意の f, gÎF(S) に対し、D( f )ÇD(g) を定義域とする写像  f ± g ,  fg ,  f Ù g ,  f Ú gÎF(S) を

(32-1a)  ( f ± g)(x) :º f(x) ± g(x)

(32-1b)  ( fg)(x) :º f(x)g(x)

(32-1c)  ( f Ù g)(x) :º inf { f(x) , g(x) }

(32-1d)  ( f Ú g)(x) :º sup { f(x) , g(x) }

で定義します。なお、任意の実数 c は、S 全体で定義された、値 c を取る定数写像ともみなすことにします。したがって特に、cÎR と fÎF(S) に対し、cf と | f | は、f と同一の定義域を持ち、

(32-1e)  (cf )(x) :º c f(x)

(32-1f)  | f |(x) :º | f(x)|

で定義される写像を意味します。次に

(32-2a)   f + :º f Ú 0 = - {(- f ) Ù 0}

(32-2b)   f - :º (- f )+ = (- f ) Ú 0 = - ( f Ù 0)

と置けば、f ^± ³ 0 で、任意の xÎD( f ) に対し、(24-17n),(24-20),(24-21a),(24-19b),(24-17f),(24-17m),(24-17g),(24-17k) により

(32-3a)  sup { f +(x) ,  f -(x)} = sup {sup { f(x), 0} , sup { - f(x), 0}} = sup { f(x), - f(x), 0} = sup{sup { f(x), - f(x)}, 0} = sup { | f(x)|, 0} = | f(x)|

(32-3b)  inf { f +(x) ,  f -(x)} = inf {sup { f(x), 0} , sup { - f(x), 0}} = sup{inf { f(x), - f(x)}, 0} = sup{ - sup {- f(x), f(x)}, 0} = sup { - | f(x)|, 0} = 0

(32-3c)   f +(x) - f -(x) = sup { f(x), 0} + inf { f(x), 0} = f(x) + 0 = f(x)

(32-3d)   f +(x) + f -(x) = sup { f(x), 0} + sup { - f(x), 0} = sup ({ f(x), 0} + { - f(x), 0}) = sup { f(x), - f(x), 0} = | f(x)|

(32-3e)  sup { f(x) , g(x)} = g(x) + sup { f(x) - g(x) , 0}

(32-3f)  inf { f(x) , g(x)} = f(x) + g(x) - sup { f(x) , g(x)}

ですから、

(32-4a)   f + Ú  f - = | f |

(32-4b)   f + Ù  f - = 0

(32-4c)   f + -  f - =  f

(32-4d)   f + +  f - = | f |

(32-4e)   f Ú g = g + ( f - g)+

(32-4f)   f Ù g =  f + g -  f Ú g

が成り立ちます。
　また、c ³ 0 のとき、(32-4b) により ( f ⁺ - c) Ù  f ^- £  f ⁺ Ù  f ^- = 0 ですから、両辺に c を加えると  f ⁺ Ù ( f ^- + c) £ c が得られます。
　一方  f ⁺ Ù ( f ^- + c) £  f ⁺ は明らかですから  f ⁺ Ù ( f ^- + c) £  f ⁺ Ù c となります。逆向きの不等号は明らかなので  f ⁺ Ù ( f ^- + c) =  f ⁺ Ù c となり、両辺から  f ^- を引いて

(32-4g)   f Ù c = ( f + -  f - ) Ù c =  f + Ù c -  f -       ( c ³ 0 )

が得られます。

　さて、写像の同値関係 = と両立する F(S) の部分集合 Φ で、

(32-5a)  j, yÎΦ  Þ  j + yÎΦ

(32-5b)  jÎΦ , cÎR  Þ  cjÎΦ

(32-5c)  jÎΦ , cÎR+  Þ  j Ù cÎΦ

を満たすものが与えられ、関数 I : Φ ® R が、Φ⁺ :º { jÎΦ | j ³ 0 } と書いて

(32-6a)  j, yÎΦ  Þ  I(j + y) = I(j) + I(y)

(32-6b)  jÎΦ , cÎR  Þ  I(cj) = cI(j)

(32-6c)  $jÎΦ : I(j) ¹ 0

(32-6d)  jÎΦ+  Þ  lim n I(j Ù n) = I(j)

(32-6e)  jÎΦ+  Þ  lim n I(j Ù n-1 ) = 0

(32-6f)  jÎΦ+ , { jn | nÎN }Ì Φ+ , ån I(jn ) < I(j)  Þ  $xÎD(j)ÇÇnD(jn ) : ån jn(x) < j(x)

を満たすとき、I を Φ 上の積分といいます。ただし、式の中に å_n a_n という項が含まれている場合は、この和が R で収束するという意味を含んでいるものとします。また、各 a_n が非負の場合は、単にこの和が収束することを å_n a_n < ¥ で表わすことにします。

　jÎΦ なら、(32-5b) で c = - 1 と置くことにより

(32-7a)  - jÎΦ

がわかります。ゆえにこれと (32-2) と、(32-5c) で c = 0 と置いたものにより

(32-7b)  j + = - {(- j) Ù 0}ÎΦ

(32-7c)  j - = - (j Ù 0)ÎΦ

がわかるので、これらと (32-5a) により

(32-7d)  |j| = j+ + j-ÎΦ

もわかります。また j, yÎΦ なら、(32-4e),(32-5a),(32-4f) により

(32-7e)  j Ú y , j Ù yÎΦ

もわかります。
　また、jÎΦ に対して、I(j) > 0 と仮定すると、(32-6a),(32-4c) により I(j⁺ ) - I(j^- ) = I(j⁺ - j^- ) = I(j) > 0 となります。
　そこで、y :º j⁺ , y₀ :º j^- , y_n :º j - j ( n ³ 1 ) と置くと、I(y_n ) = I(j) - I(j) = 0 ( n ³ 1 ) なので å_n I(y_n ) < I(y) が成り立ち、従って (32-6f) により å_n y_n(x) < y(x) となる x が存在し、これは j^-(x) < j⁺(x) すなわち j(x) > 0 を意味します。すなわち

(32-8a)  I(j) > 0  Þ  $xÎD(j) : j(x) > 0

が成り立ちます。ゆえにこれを - j に対して適用し、I(- j) = - I(j) に注意して対偶を取ると、

(32-8b)  j ³ 0  Þ  I(j) ³ 0

が得られます。従って

(32-8c)  j £ y  Þ  y - j ³ 0  Þ  I(y) - I(j) = I(y - j) ³ 0  Þ  I(j) £ I(y)

となります。特に ± j £ |j| に (32-8c) を適用すれば、± I(j) £ I(|j|) すなわち

(32-8d)  | I(j) | £ I(|j|)

が得られます。

　S の部分集合は、ある jÎΦ の定義域を含むとき、（Φ に関する）充満集合であるといいます。定義から充満集合を含む集合も充満集合ですが、(32-5a) により D(j + y) = D(j)ÇD(y) ですから充満集合の共分は充満集合です。また (32-6c) により充満集合は存在するので、特に S は充満集合です。
　また、任意の yÎΦ に対し、(32-6c) の j を取ると、I(y + j) = I(y) + I(j) ¹ I(y) ですから、I(y + j) ¹ 0 又は I(y) ¹ 0 が成り立ちます。ゆえに ± (y + j) , ± y の中から I(c) > 0 となる c を選んでくることができます。このとき (32-8a) により c(x) > 0 となる xÎD(c) Ì D(y) が存在します。すなわち充満集合は必ず元を持ちます。以上により、充満集合の全体はフィルターを成していることがわかります。

　xÎS に関する関係式 P(x) は、{ xÎS | P(x) } が充満集合になるとき、P   Φ-a.e. あるいは P   a.e. と書き、ほとんど至る所 P であるといいます。例えば f, gÎF(S) に対して f = g  a.e. は { xÎD( f )ÇD(g) |  f(x) = g(x) } が充満集合になることを意味し、f £ g  a.e. は { xÎD( f )ÇD(g) |  f(x) £ g(x) } が充満集合になることを意味します。関係 f = g  a.e. は明らかに同値関係です。

　さて、jÎΦ なら j - j = 0  a.e. ですから、特に (32-6c) により Φ はある元 j を持つので、この同値関係のもとで、j - j は Φ の加法の零元になります。また一般の jÎΦ に対し、- j は、この同値関係のもとで Φ における j の加法の逆元になります。
　更に、j, y, cÎΦ が j = y  a.e. を満たせば j + c = y + c  a.e. であり、cÎR なら cj = cy  a.e. ですから、各演算は、この同値関係と両立します。ゆえにこの同値関係のもとで Φ は線形空間になることがわかりました。

　さて、

(32-9)  j, yÎΦ , j £ y  a.e.  Þ  I(j) £ I(y)

が成り立ちます。
　実際、D(c) 上で j £ y となっているとすれば、j + c £ y + c ですから (32-6a) と (32-8c) により I(j) + I(c) £ I(y) + I(c) となり、両辺から I(c) を引けば、I(j) £ I(y) が得られます。
　ゆえに (32-9) で j と y を入れ替えることにより

(32-10)  j, yÎΦ , j = y  a.e.  Þ  I(j) = I(y)

が得られ、I は Φ の同値関係 j = y  a.e. と両立する関数であることがわかります。そこで、jÎΦ に対して

(32-11)  ||j|| :º I(|j|)

と定義します。これは上記の同値関係と両立しますが、更に |j + y| £ |j| + |y| ですから、(32-9) により

(32-12)  ||j + y|| = I(|j + y|) £ I(|j| + |y|) = I(|j|) + I(|y|) = ||j|| + ||y||

となるので、(32-11) は線形空間 Φ のノルムになります。これを (Φ, I ) のL¹-ノルムといいます。Φ はこのノルムによりノルム空間になります。

　さて、{ j_n | nÎN }Ì Φ に対し、å_n |j_n(x)| < ¥ であるような xÎÇ{ D(j_n ) | nÎN } の全体を定義域とし、その x に対して å_n j_n(x) を対応させる写像を å_n j_n と書きます。

　積分 I は、条件

(32-13)  fÎF(S) , { jn | nÎN }Ì Φ+ , ån I(jn ) < ¥ , ån jn Ì  f  Þ  fÎΦ

を満たすとき完備であるといいます。(32-13) で、特に å_n j_nÎΦ であることに注意します。

　I が完備なら、充満集合の可算個の共分は充満集合です。
　実際、{ j_n | nÎN }Ì Φ ならば、c_n :º I(|j_n |) , y_n :º 2^-n |j_n | / (1 + c_n ) と置けば、y_nÎΦ⁺ で I(y_n ) £ 2^-n ですから å_n I(y_n ) < ¥ となるので、å_n y_nÎΦ と D( å_n y_n ) Ì Ç{ D(j_n ) | nÎN } が成り立つからです。

　また、I が完備なら、{ j_n | nÎN }Ì Φ に対して

(32-14a)  ån I(|jn |) < ¥  Þ  ån jnÎΦ ,  I( ån jn ) = ån I(jn )

(32-14b)  "nÎN : jn £ jn+1 , limn I(jn )ÎR  Þ  limn jnÎΦ ,  I( limn jn ) = limn I(jn )

(32-14c)  "nÎN : jn ³ jn+1 , limn I(jn )ÎR  Þ  limn jnÎΦ ,  I( limn jn ) = limn I(jn )

が成り立ちます。ただし lim_n j_n は、xÎÇ_nD(j_n ) かつ lim_n j_n(x) が存在する x で定義され、この極限値を与える写像を意味します。
　実際、0 £ j_n^± £ |j_n | と (32-9) から 0 £ I(j_n^± ) £ I(|j_n |) が得られ、これと (32-14a) の仮定により å_n I(j_n^± ) < ¥ が得られるので、j_n^± ÎΦ⁺ と (32-13) により å_n j_n^±ÎΦ が、従って å_n j_n = å_n j_n⁺ - å_n j_n^-ÎΦ がわかります。
　ゆえに (32-14a) の等式が j_nÎΦ⁺ の場合に証明できれば

(32-15)  I( ån jn ) = I( ån jn+ ) - I( ån jn- ) = ån I(jn+ ) - ån I(jn- ) = ån {I(jn+ ) - I(jn- )} = ån I(jn+ - jn- ) = ån I(jn )

が得られ、(32-14a) は証明されます。そこで j_nÎΦ⁺ と仮定します。まず任意の k に対して å_{n £ k} j_n £ å_n j_n ですから、(32-6a) と (32-8c) により

(32-16)  ån £ k I(jn ) = I( ån £ k jn ) £ I( ån jn )

ですから、k ® ¥ として

(32-17)  ån I(jn ) £ I( ån jn )

が得られます。一方

(32-18)  ån I(jn ) < I( ån jn )

と仮定すると、(32-6f) により

(32-19)  ån jn (x) < ( ån jn )(x)

となる xÎD( å_n j_n ) が存在しますが、定義により (32-19) の右辺は左辺に等しいので矛盾です。ゆえに

(32-20)  ån I(jn ) ³ I( ån jn )

が成り立つことがわかり、(32-17),(32-20) により (32-14a) は証明されました。
　次に (32-14b) は、y_n :º j_n+1 - j_n と置けば、y_nÎΦ⁺ で I(y_n ) = I(j_n+1 ) - I(j_n ) ですから

(32-21)  ån I(yn ) = limn I(jn ) - I(j0 ) < ¥

となり、(32-13) により lim_n j_n = j₀ + å_n y_nÎΦ で、更に (32-14a),(32-21) により

(32-22)  I( limn jn ) = I(j0 ) + I( ån yn ) = I(j0 ) + ån I(yn ) = limn I(jn )

となって証明されます。
　また (32-14c) は、c_n :º j_n - j_n+1 と置けば、c_nÎΦ⁺ で I(c_n ) = I(j_n ) - I(j_n+1 ) ですから

(32-23)  ån I(cn ) = I(j0 ) - limn I(jn ) < ¥

となり、(32-13) により lim_n j_n = j₀ - å_n c_nÎΦ で、更に (32-14a),(32-23) により

(32-24)  I( limn jn ) = I(j0 ) - I( ån cn ) = I(j0 ) - ån I(cn ) = limn I(jn )

となって証明されます。以上で (32-14) はすべて証明されました。

　一般に f, gÎF(S) に対し、xÎD( f)ÇD(g) かつ f(x) = g(x) となる x を定義域とし、h(x) = f(x) となる写像 h を f Çg と書くことにします（この記号は h のグラフが f と g のグラフの共分になることに由来します）。

　さて、I を完備な測度とし、j, yÎΦ と fÎF(S) が

(32-25a)   j £ y

(32-25b)  I(j) = I(y)

(32-25c)  j Çy Ì  f

を満たせば

(32-26a)   fÎΦ

(32-26b)  I( f ) = I(j) = I(y)

が成り立つことを証明しましょう。
　まず y - j  ³ 0 で I(y - j) = 0 ですから、{ c_n | nÎN } を c_n :º y - j で定義すれば、c_n ³ 0 かつ å_n I(c_n ) = 0 < ¥ なので、(32-13) により å_n c_nÎΦ で、(32-14a) により I( å_n c_n ) = 0 です。
　また、xÎD( å_n c_n ) なら、まず xÎD(y - j) = D(j)ÇD(y) ですが、j(x) ¹ y(x) と仮定すると、(32-25a) により j(x) < y(x) つまり c_n(x) = c₀(x) > 0 となって å_n c_n (x) < ¥ に反するので j(x) = y(x) が、よって å_n c_n (x) = 0 がわかります。
　ゆえに (32-25c) により j + å_n c_n Ì  f となり、左辺は Φ に属すので、(32-27) により右辺、すなわち f は Φ に属し、I( f ) = I(j) + I( å_n c_n ) = I(j) となります。以上で (32-26) は証明されました。

　このことから、I が完備なら

(32-27)  fÎF(S) , jÎΦ ,  f = j  a.e.  Þ   fÎΦ ,  I( f ) = I(j)

が成り立つことが証明できます。
　実際、ある cÎΦ に対する D(c) 上で f = j なら、y :º: j + c - c と置けば (32-25) が成り立ち、(32-26) が得られるからです。

　また、I が完備なら、任意の fÎF(S) に対し、

(32-28)   f = 0  a.e.  Û  (  fÎΦ  Ù  || f || = 0 )

が成り立ちます。
　実際、まず f = 0  a.e.  Û  f ^± = 0  a.e. と fÎΦ  Û  f ^±ÎΦ と || f || = 0  Û  || f ^± || = 0 が成り立つので、fÎΦ⁺ と仮定して証明すれば十分です。また (32-6c) の j を取れば、0 = j - j   a.e. ですから (32-27) により 0ÎΦ であることに注意します。
　よって、f = 0  a.e. なら、(32-27) を j :º 0 として適用すれば、fÎΦ と || f || = I( f ) = I(0) = 0 が得られます。
　逆に、|| f || = 0 なら、0 £  f かつ I(0) = 0 = I( f ) ですから (32-26) により 0Ç fÎΦ となるので、この写像の定義域で f は 0 すなわち f = 0  a.e. がわかります。

　さて、この節の最後に、I が完備なら Φ はBanach空間になることを証明しましょう。
　そのためには、第28節により、Φ の任意の絶対収束級数 { j_n | nÎN }Ì Φ が収束することを示せば十分です。仮定により

(32-29)  ån I(|jn |) = ån ||jn || < ¥

ですから、(32-14a) により j :º å_n j_nÎΦ となり、一方

(32-30)  | j - ån £ k jn | £ ån > k |jn |   a.e.

で、しかも å_{n > k} |j_n |ÎΦ ですから、(32-30),(32-9),(32-14a) により

(32-31)  || j - ån £ k jn || = I(| j - ån £ k jn |) £ ån > k I(|jn |) ® 0       ( k ® ¥ )

ですから、級数 { j_n | nÎN } は j に収束することがわかります。以上で Φ はBanach空間であることが証明されました。