数学の基礎

　本節では、Φ 上の積分 I に対し、その拡張となっているような完備な積分が存在することを証明します。まず

(33-1)  Φ º {  fÎF(S) | ${ jn | nÎN }Ì Φ : ån I(|jn |) < ¥ , ån jn Ì  f  }

と置きます。このような { j_n | nÎN } は、f を表現するということにします。特に { j_n | nÎN } は å_n j_n を表現し、従って å_n j_nÎΦ です。
　また一般に、f, gÎF(S) に対し、D(h) Ì D( f )ÇD(g) を満たす hÎΦ が存在し、任意の xÎD(h) に対して f(x) = g(x) あるいは f(x) £ g(x) となっているとき、それぞれ  f = g  Φ-a.e. あるいは f £ g  Φ-a.e. と書くことにします。このとき

(33-2)   fÎF(S) , gÎΦ ,  f = g  Φ-a.e.  Þ  fÎΦ

が成り立ちます。
　実際、hÎΦ の定義域上で f = g とすると、g を表現する { j_n | nÎN } と、h を表現する { y_n | nÎN } が存在します。そこで { c_n | nÎN } Ì Φ を c_3n :º j_n , c_3n+1 :º y_n , c_3n+2 :º - y_n で定義すれば、 D( å_n c_n ) = D( å_n j_n )ÇD( å_n y_n ) なので { c_n | nÎN } は f を表現し、fÎΦ となります。

　また、{ j_n | nÎN } が f を、{ y_n | nÎN } が g を表現しているとき、任意の hÎΦ に対して

(33-3)  ån I(jn ) < ån I(yn )  Þ  $xÎD( f )ÇD(g)ÇD(h) : f(x) < g(x)

が成り立ちます。
　実際、{ c_n | nÎN } が h を表現しているとします。 このとき { q_n | nÎN } Ì Φ を q_6n :º 2j_n⁺ , q_6n+1 :º y_n⁺ , q_6n+2 :º c_n⁺ , q_6n+3 :º j_n^- , q_6n+4 :º 2y_n^- , q_6n+5 :º c_n^- で定義し、 { r_n | nÎN } Ì Φ を r_6n :º j_n⁺ , r_6n+1 :º 2y_n⁺ , r_6n+2 :º c_n⁺ , r_6n+3 :º 2j_n^- , r_6n+4 :º y_n^- , r_6n+5 :º c_n^- で定義すれば、

(33-4)  D( ån qn ) = D( ån rn )

が成り立ち、(33-3) の仮定から å_n I(q_n ) < å_n I(r_n ) が得られるので、å_n I(q_n ) < å_{n £ k} I(r_n ) = I( å_{n £ k} r_n ) となるような自然数 k が存在します。したがって (32-6f) により

(33-5)  å_n q_n(x) < å_{n £ k} r_n(x)

となるような xÎD( å_n q_n ) が存在します。 ところが (33-4) により xÎD( å_n r_n ) なので、(33-5) と r_n(x) ³ 0 により å_n q_n(x) < å_n r_n(x) すなわち å_n j_n(x) < å_n y_n(x) となり、しかも xÎD(h) ですから (33-3) が得られます。

　さて、(33-3) の対偶を取れば

(33-6)   f  ³ g  Φ-a.e.  Þ  ån I(jn ) ³ ån I(yn )

が得られます。また (33-6) と、その f と g を入れ替えたものを考えることにより、

(33-7)   f = g  Φ-a.e.  Þ  ån I(jn ) = ån I(yn )

が成り立ちます。
　なお、(33-3),(33-6),(33-7) において f と g の一方又は両方が Φ の元である場合は、å_n I(j_n ) 又は å_n I(y_n ) をそれぞれ I( f ) 又は I(g) に置き換えたものが成り立ちます。
　なぜなら、j₀ :º  f , j_n :º  f - f  ( n ³ 1 ) あるいは y₀ :º g , y_n :º g - g ( n ³ 1 ) と置けばよいからです。

　特に (33-7) において g = f の場合を考えると、fÎΦ を表現する { j_n | nÎN } に対して

(33-8)  I ( f ) :º ån I(jn )

と定義すれば、これは { j_n | nÎN } の取り方に依存せず値が定まり、Φ 上の関数になることがわかります。しかも (33-7) 直後の注意により、 Φ Ì Φ かつ I  が I の拡張になっていることもわかり、特に Φ と I  が (32-6c) を満たすこともわかります。

　以下、I  が Φ 上の完備な積分になっていることを確かめます。

　f, gÎΦ に対し、{ j_n | nÎN } と { y_n | nÎN } がそれぞれ f と g を表現するとします。

　まず { c_n | nÎN } を c_2n :º j_n , c_2n+1 :º y_n で定義すれば、{ c_n | nÎN } は f + g を表現するので f + gÎΦ がわかり、更に

(33-9)  I ( f + g) = ån I(cn ) = ån I(jn ) + ån I(yn ) = I ( f ) + I (g)

となります。

　次に、任意の cÎR に対し、{ c_n | nÎN } を c_n = cj_n で定義すれば、{ c_n | nÎN } は cf を表現するので cfÎΦ がわかり、更に

(33-10)  I (cf ) = ån I(cn ) = c ån I(jn ) = cI ( f )

となります。

　次に、cÎR⁺ に対し、{ c_n^c | nÎN } を

(33-11a)  c0c = j0 Ù c

(33-11b)  ckc = ( ån £ k jn ) Ù c - ( ån < k jn ) Ù c       ( k ³ 1 )

で定義すると、(32-5) により c_k^cÎΦ ですが、k ³ 1 のとき q_k = å_{n < k} j_n と置けば、c_k^c = (q_k + j_k ) Ù c - q_k Ù c となり、

(33-12a)  (qk + jk ) Ù c - |jk | = (qk + jk - |jk |) Ù (c - |jk |) £ qk Ù c

(33-12b)  (qk Ù c) - |jk | = (qk - |jk |) Ù (c - |jk |) £ (qk + jk ) Ù c

が成り立つので、

(33-13a)  |ckc | £ |jk|

が成り立ちます。ゆえに

(33-13b)  ån I(|cnc |) < ¥

となります。また (33-12) で、j_k のかわりに f - q_k を代入すれば |  f Ù c - q_k Ù c | £ |  f - q_k | が得られるので、 å_n j_n の定義域 A の上で

(33-14)  |  f Ù c - ån < k cnc | = |  f Ù c - qk Ù c | £ |  f - qk | £ ån ³ k |jn |  ® 0     ( k ® ¥ )

が成り立ちますから A 上 å_n c_n^c =  f Ù c となり、これと (33-1),(33-2) により f Ù cÎΦ が得られます。
　また、(32-4g) により、(33-11) は

(33-15a)  c0c = j0+ Ù c - j0-

(33-15b)  ckc = ( åi £ k ji )+ Ù c - ( åi < k ji )+ Ù c - ( åi £ k ji )- + ( åi < k ji )-       ( k ³ 1 )

と書けます。従って、(32-6d),(32-6e) により

(33-16a)  limn I(c0n ) = limn I(j0+ Ù n) - I(j0- ) = I(j0+ ) - I(j0- ) = I(j0)

(33-16b)  limn I(ckn )	= limn I(( åi £ k ji )+ Ù n) - limn I(( åi < k ji )+ Ù n) - I(( åi £ k ji )- ) + I(( åi < k ji )- )
	= I(( åi £ k ji )+ ) - I(( åi < k ji )+ ) - I(( åi £ k ji )- ) + I(( åi < k ji )- )
	= I( åi £ k ji ) - I( åi < k ji )
	= I(jk )       ( k ³ 1 )

(33-17a)  limn I(c0n-1 ) = limn I(j0+ Ù n-1 ) - I(j0- ) = - I(j0- ) = I(c00 )

(33-17b)  limn I(ckn-1 )	= limn I(( åi £ k ji )+ Ù n-1 ) -limn I(( åi < k ji )+ Ù n-1 ) - I(( åi £ k ji )- ) + I(( åi < k ji )- )
	= - I(( åi £ k ji )- ) + I(( åi < k ji )- )
	= I(ck0 )       ( k ³ 1 )

　さて、任意の e > 0 に対し、

(33-18)  åk > K I(|jk |) <

e — 3

となるような正整数 K を取ります。(33-16) により、各 kÎN に対し、

(33-19)  "n > Nk : | I(ckn ) - I(jk ) | £

e —–  3K

となるような自然数 N_k が存在します。N :º max { N_k | 0 £ k £ K } と置けば、任意の n > N に対し、(33-13a),(33-18),(33-19) により

(33-20)  | I ( f Ù n) - I ( f ) |	= | åk I(ckn ) - åk I(jk ) |
	£ åk £ K | I(ckn ) - I(jk ) | + åk > K I(|ckn |) + åk > K I(|jk |)
	£ K e —–  3K + e — 3 + e — 3
	= e

となり、これは I  が (32-6d) を満たすことを意味しています。

　また、(33-17) により、各 kÎN に対し、

(33-21)  "n > Mk : | I(ckn-1 ) - I(ck0 ) | £

e —–  3K

となるような自然数 M_k が存在します。M :º max { M_k | 0 £ k £ K } と置けば、任意の n > M に対し、f Ù 0 = 0 と (33-13a),(33-18),(33-21) により

(33-22)  | I ( f Ù n-1 ) |	= | I ( f Ù n-1 ) - I ( f Ù 0) |
	= | åk I(ckn-1 ) - åk I(ck0 ) |
	= åk £ K | I(ckn-1 ) - I(ck0 ) | + åk > K I(|ckn-1 |) + åk > K I(|ck0 |)
	£ K e —–  3K + e — 3 + e — 3
	= e

となり、これは I  が (32-6e) を満たすことを意味しています。

　次に {  f_n | nÎN }Ì Φ ⁺ が

(33-23)  ån I ( fn ) < ¥

を満たすとします。{ j_{n i} | iÎN } が f_n を表現するとすれば、

(33-24)  I ( fn ) = åi I(jn i )

が成り立ちます。また、各 n に対して自然数 k_n が存在して

(33-25)  åi > kn I(|jn i |) < 2-n

となります。そこで

(33-26a)  yn 0 :º åi £ kn jn i

(33-26b)  yn i :º jn  kn+ i       ( i ³ 1 )

と置くと、{ y_{n i} | iÎN } は f_n を表現します。また f_n ³ 0 ですから

(33-27)  |yn 0 | £ | fn | + | fn - yn 0 | =  fn + |  fn - åi £ kn jn i | £  fn + åi > kn |jn i |   Φ-a.e.

　従って、(33-27),(33-6),(33-26),(33-25) により

(33-28)  åi I(|yn i |) = I(|yn 0|) + åi ³ 1 I(|yn i |) £ I ( fn + åi > kn |jn i |) + åi ³ 1 I(|yn i |) = I ( fn ) + 2 åi > kn I(|jn i |) £ I ( fn ) + 2-n+1

ですから、{ y_{n i} | n, iÎN } を一列に並べ替えたものを { c_n | nÎN } と書けば、

(33-29a)  ån I(|cn |) = ån, i I(|yn i |) £ ån I ( fn ) + ån 2-n+1 < ¥

(33-29b)  ån cn Ì ån  fn

　すなわち { c_n | nÎN } は f :º å_n  f_n を表現していることがわかり、fÎΦ および

(33-30)  I ( f ) = ån I(cn ) = ån, i I(yn i ) = ån I ( fn )

が証明されました。したがって、もし gÎΦ ⁺ が

(33-31)  ån I ( fn ) < I (g)

を満たせば、(33-30) により I ( f ) < I (g) ですから、(33-3) と I  の定義 (33-8) により f(x) < g(x) となる x が存在します。これは I  が (32-6f) を満たしていることを意味しています。以上で I  が I の拡張であるような積分になっていることが証明されました。

　さらに、hÎF(S) が å_n  f_n Ì h を満たせば、{ c_n | nÎN } は h を表現するので hÎΦ となり、I  が完備であることもわかりました。

　最後に、任意の fÎΦ に対し、f を表現する { j_n | nÎN } を取り、f_± :º å_n j_n^± と置けば、

(33-32)  ||  f± - ån £ kjn± || = I ( f± - ån £ kjn± ) = I ( f± ) - I( ån £ kjn± ) = ån > k I(jn± )  ® 0       ( n ® ¥ )

で、å_{n £ k}j_n^±ÎΦ ですから、f_± は、従って f = f₊ - f_- は Φ の元で近似でき、これは Φ がBanach空間 Φ で稠密である、いいかえると Φ は Φ の一様空間としての完備化になっていることを意味しています。
　そこで、Φ 上の積分 I  のことを、Φ 上の積分 I の完備化とよぶことにします。