数学の基礎

　F(S) の元は、その取りうる値が 0 か 1 のみであるとき特性写像といいます。特性写像 A は、s = 1, 0 に対する A^s :º { xÎS | A(x) = s } のみによって定まるので、A¹ を A の内成分、Aº を A の外成分とよび、A = ( A¹, Aº ) とも書くことにします。
　A , B が特性写像なら、明らかに AB = A Ù B も A Ú B も特性写像ですが、{ C_n | n £ k } を特性写像の族とするとき

(34-1a)  A \ B :º A(1 - B)

(34-1b)  A \ n £ k Cn :º A Õn £ k(1 - Cn )

も特性写像です。また、特性写像の列 { C_n | nÎN } に対し、lim_k (A \ _{n £ k} C_n )(x) が存在するような x を定義域とし、この極限値を取る写像を A \ _n C_n と書きます。これも明らかに特性写像です。
　また、特性写像 A に対し、（定数写像を含む）F(S) の元 j の D(A) への制限を j_A と書き、A が写像として B の拡張となっているとき B Ì A と書くことにします。
　特性写像 A と B に対し、明らかに

(34-2a)  AB Ì 0  Û  A¹ÇB¹ = Æ  Û  A \ B = A(1 - B) = A - AB Ì A  Û  B \ A Ì B

(34-2b)  A \ B Ì 0  Û  A¹ÇBº = Æ  Û  A £ B

が成り立ちます。(34-2a) の条件が成り立つとき、A と B は互いに素であるといいます。更に、特性写像の族 { C_i | i £ k } は、i ¹ j に対して C_i と C_j が互いに素であるとき互いに素であるといい、このとき å_{i £ k} C_i = Ú_{i £ k} C_i が成り立ち、これも特性写像です。

　さて、特性写像からなる F(S) の部分集合 Ω で、

(34-3)  A, BÎΩ  Þ  A \ BÎΩ

を満たすものが与えられたとします。このとき AB = A - A + AB = A{1 - A(1 - B)} = A \ (A \ B)ÎΩ となりますが、

(34-4a)  A, BÎΩ  Þ  m(A) = m(AB) + m(A \ B)

(34-4b)  $AÎΩ : m(A) > 0

(34-4c)  AÎΩ , { An | nÎN }Ì Ω , ån m(An ) < m(A)  Þ  (A \ n An )¹ ¹ Æ

を満たす関数 m : Ω ® R⁺ を Ω 上の測度といいます。

　さて、(34-3) とその直後に示したことにより

(34-5a)  A, BÎΩ  Þ  ABÎΩ

(34-5b)  AÎΩ  Þ  0A = A \ AÎΩ

(34-5c)  A, BÎΩ  Þ  BA = B \ 0AÎΩ

が成り立ちます。ゆえに (34-4a) で B に A を代入すれば、AA = A と A \ A = 0_A により m(A) = m(A) + m(0_A ) となるので

(34-6)  AÎΩ  Þ  m(0A ) = 0

が得られます。ゆえに (34-4c) を A_n :º 0_A の場合に適用すれば、A \ _n A_n = A なので

(34-7)  m(A) > 0  Þ  A¹ ¹ Æ

が成り立つことがわかります。また、B Ì A ならば、AB = B , A \ B = 0_B と (34-4a) により m(A) = m(B) + m(0_B ) となるので、(34-6) により

(34-8)  A, BÎΩ , B Ì A  Þ  m(A) = m(B)

が得られます。また { C_i | 0 £ i £ l }Ì Ω が互いに素なら

(34-9a)  A \ i £ k Ci = A \ åi £ k CiÎΩ

(34-9b)  m(A) = åi £ k m(ACi ) + m(A \ i £ k Ci )

が成り立ちます。
　実際、D_-1 :º A 及び D_k :º A \ _{i £ k} C_i ( 0 £ k £ l ) と置くと、D_k = D_k-1 \ C_k ( 0 £ k £ l ) となるので、帰納法により D_kÎΩ がわかります。
　また i < k なら互いに素の仮定により C_iC_k Ì 0 なので、D_k-1 = A \ å_{i £ k-1} C_i と仮定すると

(34-10)  Dk = Dk-1 \ Ck = A(1 - åi £ k-1 Ci )(1 - Ck ) = A(1 - åi £ k-1 Ci - Ck + åi £ k-1 CiCk ) = A(1 - åi £ kCi ) = A \ åi £ kCi

となるので、帰納法により (34-9a) の等式が得られます。
　また、i < k なら互いに素の仮定と (34-2a) により C_k \ C_i Ì C_k なので、D_k-1C_k = A(C_k \ _{i < k} C_i ) Ì AC_k となり、これと D_k-1 \ C_k = D_k と (34-4a),(34-8) により、k ³ 1 ならば

(34-11)  m(Dk-1 ) = m(Dk-1Ck ) + m(Dk-1 \ Ck ) = m(ACk ) + m(Dk )

が成り立ち、しかも (34-11) は k = 0 でも成り立ちます。よって (34-11) から (34-9b) が順次得られます。

　さて、{ a_i | 0 £ i £ n } Ì R と { A_i | 0 £ i £ n } Ì Ω に対して { 0, 1 ,¼, n } から { 0, 1 } への写像のうち恒等的に 0 でないものの全体を B_n と書くことにし、各 sÎB_n と s = 0, 1 に対して s^s :º { i £ n | s(i) = s } と置き、

(34-12a)  As :º ( ÕiÎs¹ Ai ) \ iÎsº Ai

(34-12b)  as :º åiÎs¹ ai

と置くと、s, tÎB_n のとき

(34-13a)  D(As ) = Çi £ nD(Ai )

(34-13b)  AsÎΩ

(34-13c)  As(x) = 1  Û  "i £ n : Ai(x) = s(i)

(34-13d)  s ¹ t  Þ  As At Ì 0

(34-13e)  [ xÎÇi £ nD(Ai ) , $i £ n : Ai(x) = 1 ]  Û  $sÎBn : As(x) = 1

(34-13f)  "i £ n : Ai(x) = 0  Û  "sÎBn : As(x) = 0

(34-13g)  BÎΩ  Þ  B \ i £ n Ai = B \ sÎBn As

(34-13h)  åi £ n ai Ai = åsÎBn as As

が成り立ちます。
　実際、まず (34-13a) は定義から明らかです。
　また、(34-13b) は、s^s が有限集合であることと (34-5a),(34-3) から明らかです。
　また (34-13c) は、(34-12a) により、A_s(x) = 1 と、"iÎs¹ : A_i(x) = 1 かつ "iÎsº : A_i(x) = 0 であることが同値であることから明らかです。
　また (34-13d) は、s(i) ¹ t(i) となる i を取り、どちらでも同じなので s(i) = 1 , t(i) = 0 と仮定すると、(34-13c) により、A_s(x) = 1 なら A_i(x) = 1 であり、A_t(x) = 1 なら A_i(x) = 0 であることから、A_s と A_t が同時に 1 となることはあり得ないので明らかです。
　また (34-13e) は、左辺を仮定し、各 i £ n に対して s(i) :º A_i(x) と置くと、s(i) = 1 となる i が存在するので sÎB_n となり、(34-13c) により A_s(x) = 1 となって右辺が得られます。逆に右辺を仮定すると、(34-13a),(34-13c) と、B_n の定義より s(i) = 1 となる i が存在することから左辺が得られます。
　また (34-13f) は、xÎÇ_{i £ n}D(A_i ) を仮定して (34-13e) の対偶を取ると (34-13f) が得られますが、(34-13f) は左辺、右辺のいずれを仮定しても (34-13a) により xÎÇ_{i £ n}D(A_i ) が導かれるので、仮定なしで (34-13f) が得られます。
　また (34-13g) は、(34-13a) により両辺の定義域は一致し、いずれも特性写像ですから、両辺の定義域に属す x で左辺が 1 となることと右辺が 1 となることが同値であることを示せば十分です。ところがこれは、B(x) = 1 と (34-13f) の左辺又は右辺が成り立つことと同値ですから、(34-13f) により明らかです。
　最後に (34-13h) は、まず (34-13a) により両辺の定義域は一致しますが、その定義域に属す x を任意に取ると、(34-13d),(34-2a) により A_s(x) = 1 となる sÎB_n が唯一つ存在するか、又はすべての sÎB_n に対して A_s(x) = 0 となります。
　前者の場合、(34-13h) の x における両辺の値は、左辺は (34-13c) により、右辺は (34-13d) により、共に a_s となることがわかります。
　また後者の場合は、(34-13f) により (34-13h) の x における値は両辺共に 0 となります。以上により (34-13h) は証明されました。

　さて、ある { a_i | 0 £ i £ n }Ì R と { A_i | 0 £ i £ n }Ì Ω によって (34-13h) の左辺の形に表される写像のことを、Ω の元による階段写像といい、その全体を Φ_Ω と書くことにします。明らかに

(34-14)  Ω Ì ΦΩ

が成り立ちます。さて、

(34-15)  åi £ n ai m(Ai ) = åsÎBn as m(As )

が成り立つことを n に関する帰納法で証明しましょう。
　まず n = 0 のときは明らかです。次に n - 1 まで正しいとすると、帰納法の仮定と (34-4a),(34-9b),(34-13g),(34-12a) により

(34-16)  åi £ n ai m(Ai )	= ås'ÎBn-1as' m(As' ) + an m(An )
	= ås'ÎBn-1as' { m(As' An ) + m(As' \ An ) } + an { ås'ÎBn-1 m(An As' ) + m(An \ s'ÎBn-1As' ) }
	= ås'ÎBn-1 (as' + an ) m(As' An ) + ås'ÎBn-1as' m(As' \ An ) + an m(An \ i £ n-1 Ai )
	= åsÎBn as m(As )

となって帰納法が完成しました。

　さてここで、Φ_Ω が (32-5) の各条件を満たすことと、m の拡張となっているような Φ_Ω 上の積分 I_m が唯一つ存在することを証明しましょう。
　まず、Φ_Ω が (32-5a),(32-5b) を満たすことは Φ_Ω の定義から明らかです。
　次に、任意の jÎΦ_Ω を (34-13h) 右辺の形に表せば、(34-13d) により

(34-17)  j Ù c = åsÎBn (as Ù c) cAs

となり、B_n は有限集合で、(34-17) の右辺は (34-13h) の左辺の形をしており、j Ù cÎΦ_Ω すなわち (32-5c) が成り立っています。以上で Φ_Ω が (32-5) の条件をすべて満たすことがわかりました。

　次に、２つの階段写像

(34-18a)  j = åi £ n ai Ai

(34-18b)  j' = åi £ n'  a'i A'i

に対して

(34-19)  åi £ n ai m(Ai ) < åi £ n'  a'i m(A'i )  Þ  $xÎD(j)ÇD(j') : j(x) < j'(x)

が成り立つことを証明しましょう。
　実際、b_i , B_i ( 0 £ i £ m :º n + n' + 1 ) を b_i :º a'_i , B_i :º A'_i ( i £ n' ) と b_i :º - a_i-n'-1 , B_i :º - A_i-n'-1 ( i > n' ) で定義すれば、(34-18),(34-15) により

(34-20a)  j' - j = åi £ n'  a'i A'i + åi £ n (- ai )Ai = åi £ m bi Bi = åsÎBmbs Bs

(34-20b)  åi £ n'  a'i m(A'i) - åi £ n ai m(Ai ) = åi £ m bi m(Bi ) = åsÎBmbs m(Bs )

となります。ここで (34-19) の仮定のもとでは、å_sÎBm b_s m(B_s ) > 0 が成り立つので、(23-17j) を繰り返し適用することにより、b_s m(B_s ) > 0 を満たす sÎB_m が存在します。ところが m(B_s ) ³ 0 ですから、(23-24i) により b_s > 0 かつ m(B_s ) > 0 が成り立ちます。
　ゆえに (34-7) により (B_s )¹ は元 x を持ち、(34-13a),(34-13d) により tÎB_m , t ¹ s  Þ  xÎ(B_t )º となるので j'(x) - j(x) = å_tÎBmb_t B_t(x) = b_s > 0 が得られ、(34-19) は証明されました。

　さて、(34-19) で j と j' を入れ替えて対偶を取れば、

(34-21)  j £ j'  Þ  åi £ n ai m(Ai ) £ åi £ n'  a'i m(A'i )

が得られ、従って、これと j , j' を入れ替えたものにより

(34-22)  j = j'  Þ  åi £ n ai m(Ai ) = åi £ n'  a'i m(A'i )

がわかります。このことから、各 jÎΦ_Ω に対して j を (34-13h) 左辺の形に表して、Φ_Ω から R への関数 I_m を

(34-23)  Im(j) :º åi £ n ai m(Ai )

で定義することができます。明らかに

(34-24)  AÎΩ  Þ  Im(A) = m(A)

が成り立ち、(34-21) は

(34-25)  j £ j'  Þ  Im(j) £ Im(j')

が成り立つことを意味しています。以下、I_m が Φ_Ω 上の積分になっている、すなわち (32-6) の各条件を満たすことを確かめましょう。
　まず、(32-6a),(32-6b) については I_m の定義により明らかです。また (32-6c) は、(34-4b) の A が条件を満たします。
　次に、任意の jÎΦ_Ω⁺ を (34-13e) 右辺の形に表せば、

(34-26)  j = j Ú 0 = åsÎBn (as Ú 0) cAs

ですから、係数を b_s :º a_s Ú 0 ³ 0 に置き換えることができます。ゆえに (34-17) と

(34-27a)  limn (bs Ù n) = bs

(34-27b)  limn (bs Ù n-1 ) = 0

により、(32-6d),(32-6e) は明らかに成り立ちます。

　最後に、残る (32-6f) を証明するための準備として、Ω の互いに素な１個以上の有限列の和の全体からなる集合を Ω' と書き、Ω' 上の関数 m' を

(34-28)  m'( åi £ k Ai ) :º Im( åi £ k Ai ) = åi £ k Im(Ai ) = åi £ k m(Ai )

で定義すると、m' は Ω' 上の測度になることを証明しておきましょう。
　まず、Ω' の元が特性写像であることは明らかです。また { A_i | i £ k } と { B_i | i £ l } を Ω の互いに素な有限列とすると、(24-9a) により

(34-29)  ( åi £ k Ai ) \ ( åj £ l Bj ) = ( åi £ k Ai )(1 - åj £ l Bj ) = åi £ k Ai(1 - åj £ l Bj ) = åi £ k (Ai \ åj £ l Bj )

で、(34-9a) により { A_i \ å_{j £ l} B_j  |  j £ k } は Ω の互いに素な有限列ですから、(34-29) の右辺、従って左辺は Ω' に属すことがわかり、Ω' は (34-3) を満たすことがわかりました。
　次に A' :º å_{i £ k} A_i , B' :º å_{j £ l} B_j と置くと、(34-29),(34-28),(34-9) により

(34-30)  m'(A' \ B' ) = åi £ k m(Ai \ åj £ l Bj ) = åi £ k{m(Ai ) - åj £ l m(AiBj )} = Im( åi £ k Ai ) - Im( åi £ k åj £ l AiBj ) = m'(A' ) - m'(A'B' )

となるので m' は (34-4a) を満たします。また Ω Ì Ω' で Ω 上 m' = m ですから m' は (34-4b) を満たします。
　最後に、各自然数 n に対して Ω の互いに素な有限列 { C_{n i} | i £ k_n } が与えられ、C'_n :º å_{i £ kn}C_{n i} と置いたとき

(34-31)  ån m'(C'n ) < m'(A' )

を満たすとします。

(34-32)  A'i :º Ai \ j £ k 0Aj

と置くと、(34-1a),(34-5b) により、これは Ω に属し、しかも明らかに

(34-33)  D(A'i ) = D(A' )

ですが、更に (34-6) と (34-9b) により

(34-34)  m(Ai ) = åj £ k m(Ai 0Aj ) + m(A'i ) = åj £ k m(0Ai Aj ) + m(A'i ) = m(A'i )

となります。また、{ C_{n i} | nÎN , i £ k_n } を一列に並べ替えたものを { D_j |  jÎN } と書くと、(34-28),(34-34) により、(34-31) は

(34-35)  åj m(Dj ) < åi £ k m(A'i )

となりますが、(34-9b) により m(D_j ) ³ å_{i £ k} m(D_j A'_i ) となるので

(34-36)  åi £ k {m(A'i ) - åj m(Dj A'i )} > 0

が成り立ち、従ってある i £ k に対して m(A'_i ) - å_j m(D_j A'_i ) > 0 となりますが、m は (34-4c) を満たすので、ある xÎ(A'_i \ _j A'_i D_j )¹ が存在します。
　ゆえに、まず xÎA'_i¹ Ì (A' )¹ が、従って任意の j に対して xÎ(A'_i D_j )º が、従って xÎD_jº が成り立つことがわかります。これは xÎ(A' )¹ かつ任意の n に対して xÎ(C'_n )º すなわち xÎ(A' \ _n C'_n )¹ を意味しますから、m' は (34-4c) を満たし、従って Ω' 上の測度になっていることがわかりました。

　次に、任意の jÎΦ_Ω⁺ を取ります。これを (34-13e) 右辺の形に表わし、M :º sup { a_s | sÎB_n } と置けば

(34-37)  0 £ j £ M

が成り立ちます。また、実数 r > 0 がどの a_s とも異なるならば、任意の sÎB_n に対して a_s > r 又は a_s < r のいずれか一方が成り立つので、前者を満たす s の全体を { s(i) | i £ m } と表すことができて

(34-38)  { j > r } :º ( { xÎD(j) | j(x) > r } , { xÎD(j) | j(x) £ r } ) = ( È{ As¹ | as > r } , Ç{ Asº | as > r } ) = åi £ m As(i)ÎΩ'

となります。明らかに、(34-38) を満たす r > 0 の全体は R⁺ で稠密です。

　さて、以上の準備のもとで、(32-6f) を示すために、å_n I_m(j_n ) < I_m(j) を満たす jÎΦ_Ω⁺ と { j_n | nÎN }Ì Φ_Ω⁺ を任意に取ります。

(34-39)  c :º Im(j) - ån Im(jn ) > 0

と置き、j を (34-13e) の形に表して

(34-40)  A :º åsÎBn AsÎΩ'

と置き、e > 0 を

(34-41)  2em'(A) < c

となるように取ります。更に e_n > 0 ( nÎN ) を

(34-42)  ån 2en < e

となるように取り、(34-37) を満たす M を取り、更に d_n > 0 ( nÎN ) を

(34-43)  ån dn <

c - 2em'(A) ————— M

となるように取ります。次に、自然数の列 k₀ < k₁ < k₂ ¼ を

(34-44)  åi ³ kn Im(ji ) < dn en

となるように選び、

(34-45a)  y :º (j - åi < k0ji )+

(34-45b)  yn :º åkn £ i < kn+1ji       ( nÎN )

と置きます。このとき

(34-46a)  y, ynÎΦΩ+

(34-46b)  0 £ y £ j £ M

(34-46c)  Im(yn ) < dn en

(34-46d)  c = Im(j) - ån Im(jn ) £ Im(j) - ån < k0 Im(jn ) = Im(j - ån < k0jn ) £ Im(y)

(34-46e)  xÎD(y)ÇD( ån yn ) , y(x) > 0  Þ  y(x) - ån yn(x) = j(x) - ån jn(x)

が成り立ちます。ここで (34-37),(34-38) により、正実数 h を

(34-47a)  e < h < 2e

(34-47b)  B :º { y > h }ÎΩ'

となるように取ると、

(34-48)  y £ hA + M B

が成り立ちます。なぜなら、Aº 上では左辺が 0 であり、A¹ÇBº 上では y £ h かつ右辺は h 以上であり、B¹ 上では右辺は M 以上となるからです。
　ゆえに両辺の I_m を取ると、(34-46d),(34-47a),(34-28),(34-25) により

(34-49)  c £ Im(y) £ 2em'(A) + M m'(B)

となるので、これと (34-43) により

(34-50)  ån dn < m'(B)

が得られます。また、(34-37),(34-38) により、正実数 h_n を

(34-51a)  en < hn < 2en

(34-51b)  Bn :º { yn > hn }ÎΩ'

となるように取ると、

(34-52)  hn Bn £ yn

が成り立ちます。なぜなら、B_n¹ 上では左辺が h_n に等しく、かつ h_n < y_n が成り立ち、B_nº 上では左辺が 0 となるからです。
　ゆえに両辺の I_m を取ると、(34-51a),(34-28),(34-25),(34-46c) により

(34-53)  en m'(Bn ) £ Im(yn ) < en dn

となるので、これと (34-50) により

(34-54)  ån m'(Bn ) £ ån dn < m'(B)

が得られます。ゆえに、m' が (34-4c) を満たすことから、ある xÎ(B \ _n B_n )¹ が存在しますが、これは xÎB¹ 及びすべての n に対して xÎB_nº であることを意味するので、(34-47) により y(x) > h > e が、(34-51) により y_n(x) £ h_n < 2e_n が得られるので、これらと (34-42) により

(34-55)  ån yn(x) £ ån 2en < e < y(x)

となり、これと (34-46e) により

(34-56)  ån jn(x) < j(x)

が得られ、(32-6f) は証明されました。以上により、I_m は (32-6) の条件をすべて満たし、Φ_Ω 上の積分になっていることがわかりました。