数学の基礎

(35-1a)  ΩΦ :º { AÎΦ | A² = A }

(35-1b)  mI (A) = I(A)       ( AÎΩΦ )

と置くと、m_I は Ω_Φ 上の測度になることを証明します。

　まず A, BÎΩ_Φ に対し、(32-6a),(32-6b),(32-7a) により A \ B = A - AB = A - (A Ù B)ÎΦ ですから A \ BÎΩ_Φ となるので Ω_Φ は (34-3) を満たします。

　次に m_I が (34-4) を満たすことを確かめましょう。
　A, BÎΩ_Φ のとき、AB + (A \ B) = AB + A(1 - B) = A + AB - AB Ì A すなわち AB + (A \ B) = A   a.e. ですから、(32-10),(32-6a) により、

(35-2)  mI (A) = I(A) = I(AB + (A \ B)) = I(AB) + I(A \ B) = mI (AB) + mI (A \ B)

となるので (34-4a) が成り立ちます。
　次に AÎΩ_Φ と { A_n | nÎN }Ì Ω_Φ が å_n m(A_n ) < m(A) を満たすと仮定すると、これは å_n I(A_n ) < I(A) とも書けるので、(32-6f) により å_n A_n(x) < A(x) となる xÎD(A)ÇÇ_n D(A_n ) が存在します。
　ところが左辺は非負整数、右辺は 0 か 1 なので、すべての n に対して A_n(x) = 0 かつ A(x) = 1 となり、これは xÎ(A \ _n A_n )¹ を意味し、m_I は (34-4c) を満たすことがわかります。

　残る (34-4b) を示すための準備として、任意の jÎF(S) と任意の実数 t > 0 に対して特性写像 { j > t } と { j ³ t } を

(35-3a)  { j > t } :º ( { xÎD(j) | j(x) > t } , { xÎD(j) | j(x) £ t } )

(35-3a)  { j ³ t } :º ( { xÎD(j) | j(x) ³ t } , { xÎD(j) | j(x) < t } )

で定義します。このとき、 I が Φ 上の完備な積分ならば、任意の jÎΦ に対し、R⁺⁺ :º { tÎR | t > 0 } の可算部分集合 C が存在して

(35-4)  tÎR++ \\ C  Þ  { j > t }, { j ³ t }ÎΩΦ  ,  mI ({ j > t }) = mI ({ j ³ t })

が成り立つことを証明しましょう。
　実際、任意の実数 t > 0 に対して (32-5c) により j Ù t ÎΦ ですから、

(35-5)   f(t) :º I(j Ù t)

という関数を定義することができます。0 < r < s < t なら

(35-6a)  (t - s)(j Ù r) + (s - r)(j Ù t) £ (t - s)j + (s - r)j = (t - r)j

(35-6b)  (t - s)(j Ù r) + (s - r)(j Ù t) £ (t - s)r + (s - r)t = (t - r)s

ですから

(35-7)  (t - s)(j Ù r) + (s - r)(j Ù t) £ (t - r)j Ù (t - r)s = (t - r)(j Ù s)

となるので、両辺の積分を取ると、(32-6a),(32-6b),(32-8c) により

(35-8)  (t - s)I(j Ù r) + (s - r)I(j Ù t) £ (t - r)I(j Ù s)

となり、これを (35-5) により f で表せば、

(35-9)  (r - s) f(t) + (s - t) f(r) + (t - r) f(s) ³ 0

が得られ、これは (31-10b) が成り立っていることを意味し、f は凹関数であることがわかります。ゆえに第31節の議論により、f は可算個の例外点 C を除いて微分可能です。
　以下、f が t で右微分可能なら、{ j > t }ÎΩ_Φ で

(35-10a)  D+f(t) = I({ j > t })

が成り立ち、f が t で左微分可能なら、{ j ³ t }ÎΩ_Φ で

(35-10b)  D-f(t) = I({ j ³ t })

が成り立つことを証明しましょう。これが示せれば、f(t) は tÎR⁺ \\ C のとき微分可能なので、(35-4) が成り立つことがわかります。

　一般に (32-4f) により y - (y Ù t) = (y Ú t) - t = (y - t) Ú (t - t) = (y - t) Ú 0 ですから、y :º j Ù (t + n^-1 ) を代入すれば、

(35-11a)  {j Ù (t + n-1 )} - (j Ù t) = {j Ù (t + n-1 ) - t} Ú 0 = {(j - t) Ù n-1 } Ú 0 = {(j - t) Ú 0} Ù (n-1 Ú 0) = (j - t)+ Ù n-1

　よって両辺に n を乗じれば、

(35-11b)  rn :º

{j Ù (t + n-1 )} - (j Ù t) —————————— n-1

= {n(j - t)+ } Ù 1

は nÎN について単調非減少です。
　また、各 xÎD({ j > t }) に対し、j(x) > t なら、ある n から先すべて r_n(x) = 1 であり、 j(x) £ t なら、すべての n に対して r_n(x) = 0 です。
　逆に xÎD(j) に対して a :º lim_n r_n(x) が存在すれば、a > 0 又は a < 1 ですが、前者なら、ある n に対して n(j - t)⁺(x) > 0 すなわち j(x) > t となり、後者なら、十分大きな任意の n に対して n(j - t)⁺(x) < 1 すなわち (j - t)⁺(x) = 0 すなわち j(x) £ t となります。すなわち

(35-11c)  limn rn = { j > t }

が成り立ちます。また、

(35-11d)  I(rn ) =

I(j Ù (t + n-1 )) - I(j Ù t) ——————————– n-1

= Δf(t, t + n-1 )

ですから、f が t で右微分可能なら

(35-11e)  limn I(rn ) = limn Δf(t, t + n-1 ) = D+f(t)

が存在するので、(32-14b) により { j > t } = lim_n r_nÎΦ かつ (35-10a) が成り立つことがわかります。

　次に、(35-11a) の t に t - n^-1 を代入すると、

(35-12a)  (j Ù t) - {j Ù (t - n-1 )} = (j - t + n-1 )+ Ù n-1 = {(j - t + n-1 ) Ú 0} Ù n-1 = {(j - t + n-1 ) Ù n-1 }Ú 0

　よって両辺に n を乗じれば、

(35-12b)  ln :º

(j Ù t) - {j Ù (t - n-1 )} —————————— n-1

= {{n(j - t) + 1} Ù 1}+ = {{n(j - t) Ù 0} + 1}+ = {1 - n(j - t)- }+

は nÎN について単調非増加です。
　また、各 xÎD({ j ³ t }) に対し、j(x) ³ t なら、すべての n に対して l_n(x) = 1 であり、 j(x) < t なら、ある n から先すべて l_n(x) = 0 です。
　逆に xÎD(j) に対して b :º lim_n l_n(x) が存在すれば、b < 1 又は b > 0 ですが、前者なら、ある n に対して n(j - t)^-(x) > 0 すなわち j(x) < t となり、後者なら、十分大きな任意の n に対して n(j - t)^-(x) < 1 すなわち (j - t)^-(x) = 0 すなわち j(x) ³ t となります。すなわち

(35-12c)  limn ln = { j ³ t }

が成り立ちます。また、

(35-12d)  I(ln ) =

I(j Ù t) - I(j Ù (t - n-1 )) ——————————– n-1

= Δf(t, t - n-1 )

ですから、f が t で左微分可能なら

(35-12e)  limn I(ln ) = limn Δf(t, t - n-1 ) = D-f(t)

が存在するので、(32-14c) により { j ³ t } = lim_n l_nÎΦ かつ (35-10b) が成り立つことがわかります。

　さて、(34-4b) を証明するため、(32-6c) により I(j) ¹ 0 となる jÎΦ を取ります。I(j⁺ ) - I(j^- ) = I(j) ¹ 0 ですから j^± どちらかの積分が 0 と異なる、すなわち正ですが、j^±ÎΦ ですから、最初から

(35-13a)  jÎΦ+

(35-13b)  I(j) > 0

と仮定することができます。ここで (32-6d),(32-6e) により、ある正整数 n , m が存在して

(35-14a)  I(j Ù n) > 0

(35-14b)  I(j Ù m-1 ) < I(j Ù n)

となります。一方、C :º { c_i | iÎN } と書くと、各 O_i :º R \\ {c_i} は完備距離空間 R の稠密な開集合ですから、Baireの定理（第26節 (26-45) 参照）により Ç_i O_i = R \\ C は R で稠密です。ゆえに f が微分可能であるような tÎ] 0, m^-1 [ が存在します。

　ところで一般に、0 < g £ a £ b なら

(35-15)  (j Ù b) - (j Ù a) £ (b - a){ j > g }

が成り立ちます。
　実際、xÎD({ j > g }) なら j(x) > g 又は j(x) £ g です。
　ここで前者なら、(j Ù a)(x) + (b - a) = {(j + b - a) Ù (a + b - a)}(x) ³ (j Ù b)(x) となり、しかも (b - a){ j > g }(x) = b - a ですから (35-15) は成り立ち、後者なら、j(x) £ a, b なので (j Ù b)(x) - (j Ù a)(x) = j(x) - j(x) = 0 = b{ j > g }(x) となって、やはり (35-15) は成り立ちます。
　そこで、(35-15) を a :º m^-1 , b :º n , g :º t として適用し、その積分を取れば、(35-14b) により

(35-16)  0 < I(j Ù n) - I(j Ù m-1 ) £ n mI ({ j > t })

となって、測度が正であるような特性写像 { j > t }ÎΩ_Φ が存在することがわかり、(34-4b) は証明されました。
　以上で m_I は Ω_Φ 上の測度であることがわかりました。

　さて、前節では測度から積分を構成する方法を解説し、本節では逆に完備な積分から測度を構成する方法を解説しました。
　そこで、I を Φ 上の完備な積分とし、これから上記の方法で構成した Ω_Φ 上の測度 m_I から、前節の方法で構成した Φ_ΩΦ 上の積分 I_mI を考えます。明らかに Φ_ΩΦÌ Φ で、 Φ_ΩΦ 上 I_mI = I ですから、(Φ_ΩΦ, I_mI ) の完備化を (Φ', I' ) と書くと、Φ' Ì Φ かつ Φ' 上 I' = I となりますが、実は Φ' = Φ であることを証明しましょう。
　そのために、まず任意の jÎΦ⁺ と任意の正整数 n に対し、

(35-17a)  D(y) Ì D(j)

(35-17b)  0 £ y £ j

(35-17c)  xÎD(y) , j(x) £ n  Þ  j(x) - y(x) < n-1

(35-17d)  I(j) - ImI(y) £ n-1

となる yÎΦ_ΩΦ が存在することを証明します。
　まず、(32-6d),(32-6e) により、ある正整数 m > n が存在して

(35-18a)  I(j) - I(j Ù m) <

1 —– 3n

(35-18b)  I(j Ù m-1 ) <

1 —– 3n

となります。さて、f を (35-5) で定義すると、f は、ある可算個の例外点 C :º { c_i | iÎN } を除いて微分可能です。R \\ C は R で稠密ですから、まず aÎ] 0, m^-1 [ \\ C を取ると、{ j > a }ÎΩ_Φ ですから、dÎ] 0, n^-1 [ を

(35-19)  d mI ({ j > a }) <

1 —– 3n

となるように取ります。更に、帰納法で { a_i | 0 £ i £ k } Ì ] 0, m [ \\ C を

(35-20a)  a0 = a

(35-20b)  0 < ai+1 - ai < d       ( i < k )

(35-20c)  0 < m - ak < d

となるように取り、

(35-21)  y :º a0{ j > a0 } + å1 £ i £ k (ai - ai-1 ){ j > ai }

と置きます。{ j > a_i }ÎΩ_Φ ですから yÎΦ_ΩΦ で (35-17a) を満たし、明らかに y ³ 0 です。
　また xÎD(y) なら、すべての i に対して j(x) > a_i 又は j(x) £ a_i となりますが、

(35-22a)  j(x) £ a0  Þ  y(x) = 0 £ j(x)

(35-22b)  ai < j(x) £ ai+1  Þ  y(x) = a0 + å1 £ j £ i (aj - aj-1 ) = ai £ j(x)       ( 0 £ i < k )

(35-22c)  ak < j(x)  Þ  y(x) = a0 + å1 £ j £ k (aj - aj-1 ) = ak £ j(x)

ですから (35-17b) が成り立つことがわかりました。また xÎD(y) かつ j(x) £ n のときは、

(35-23a)  j(x) £ a0  Þ  j(x) - y(x) = j(x) £ a0 = a < m-1 < n-1

(35-23b)  ai < j(x) £ ai+1  Þ  j(x) - y(x) = j(x) - ai £ ai+1 - ai < d < n-1       ( 0 £ i < k )

(35-23c)  ak < j(x)  Þ  j(x) - y(x) = j(x) - ak £ n - ak < m - ak < d < n-1

ですから (35-17c) が成り立つことがわかりました。また (35-15),(35-20) により

(35-24a)  j Ù a0 = j Ù a £ j Ù m-1

(35-24b)  (j Ù ai ) - (j Ù ai-1 )	£ (ai - ai-1 ){ j > ai-1 }
	= (ai - ai-1 ){ j > ai } + (ai - ai-1 )({ j > ai-1 } - { j > ai })
	£ (ai - ai-1 ){ j > ai } + d({ j > ai-1 } - { j > ai })

(35-24c)  (j Ù m) - (j Ù ak ) £ (m - ak ){ j > ak } £ d{ j > ak }

が成り立ちます。ゆえに (35-24),(35-18),(35-21),(35-19) により

(35-25)  I(j)	= I(j Ù a0 ) + å1 £ i < k { I(j Ù ai ) - I(j Ù ai-1 ) } + { I(j Ù m) - I(j Ù ak ) } + { I(j) - I(j Ù m) }
	£ I(j Ù m-1 ) + å1 £ i < k (ai - ai-1 )mI ({ j > ai }) + å1 £ i < k d{ mI ({ j > ai-1 }) - mI ({ j > ai }) } + dmI ({ j > ak }) + { I(j) - I(j Ù m) }
	= I(j Ù m-1 ) + å1 £ i < k (ai - ai-1 )mI ({ j > ai }) + dmI ({ j > a }) + { I(j) - I(j Ù m) }
	£ 1 —– 3n + ImI(y) + 1 —– 3n + 1 —– 3n

となって (35-17d) が得られます。

　そこで、各 nÎN に対して (35-17) を満たす y を y_n と書くことにします。このとき Ú_{i £ n} y_i を改めて y_n と書けば、これも (35-17) を満たすので、{ y_n | nÎN } は単調非減少と仮定することができます。
　そこで j₀ :º y₀ , j_n :º y_n - y_n-1 ( n ³ 1 ) と置けば、j_nÎΦ_ΩΦ⁺ で、å_n I_mI (j_n ) = I(j) < ¥ で å_n j_n Ì j ですから、完備化の定義により jÎΦ' がわかります。
　以上で Φ⁺ Ì Φ' がわかりました。一般の jÎΦ については、j^±ÎΦ⁺ ですから j^±ÎΦ' 従って j = j⁺ - j^-ÎΦ' となって Φ Ì Φ' が証明されました。

　さて、測度についても、任意に与えられた Ω 上の測度 m から Φ_Ω 上の積分 I_m を構成し、これの完備化 I' から再度構成した測度 m_I' のことを、もとの測度 m の完備化といいます。また、完備化がもとの測度と一致する測度は完備であるといいます。
　任意の測度の完備化は完備です。なぜなら、上で証明したことから I_mI' の完備化は I' に一致するからです。

　測度 m が完備なら、

(35-26a)  A, BÎΩ  Þ  A Ú BÎΩ

(35-26b)  A, BÎΩ , A £ B , m(A) = m(B) , AÇB Ì C  Þ  CÎΩ , m(C) = m(A) = m(B)

(35-26c)  AÎΩ , A Ì B  Þ  BÎΩ , m(B) = m(A)

(35-26d)  { An | nÎN }Ì Ω , ån m(An ) < ¥ , Ai Aj = Æ ( i ¹ j )  Þ  m( ån An ) = ån m(An )

(35-26e)  { An | nÎN }Ì Ω , "nÎN : An £ An+1 , limn m(An ) < ¥  Þ  limn AnÎΩ , m( limn An ) = limn m(An )

(35-26f)  { An | nÎN }Ì Ω , "nÎN : An ³ An+1 , limn m(An ) < ¥  Þ  limn AnÎΩ , m( limn An ) = limn m(An )

(35-26g)  { An | nÎN }Ì Ω , ån m(An ) < ¥  Þ  Ún AnÎΩ , m( Ún An ) £ ån m(An )

が成り立ちます。
　実際、m が完備なら、ある Φ 上の完備な積分 I が存在して m = m_I となり、Ω は Φ に属す特性写像の全体になることに注意します。
　まず (35-26a) は、A, BÎΦ ですから、(32-7e) により A Ú BÎΦ となり、左辺は特性写像ですから A Ú BÎΩ となります。
　また、(35-26b) は I に対する (32-26) から得られ、更に B に A を、C に B を代入すれば (35-26c) が得られます。
　また (35-26d)~(35-26f) は、それぞれ I に対する (32-14b) と (32-14c) から明らかです。
　また (35-26g) は、B_k :º Ú_{n £ k} A_n と置けば、B_k £ B_k+1 £ B_k + A_k ですから、(32-6a),(32-8c) により I(B_k ) £ I(B_k+1 ) £ I(B_k ) + I(A_k ) なので、(35-1b) により

(35-27)  0 £ m(Bk+1 ) - m(Bk ) £ m(Ak )

となり、これは { m(B_k ) | kÎN } がコーシー列であることを意味するので収束し、従って (35-26e) により Ú_n A_n = Ú_n B_nÎΩ が得られ、また (35-27) により m(B_k ) £ å_{n £ k} m(A_n ) ですから、k ® ¥ とすれば (35-26e) により (35-26g) が得られます。

　ところで、完備な測度 ( Ω , m ) と AÎΩ に対し、

(35-28)  m(A) = 0  Û  Aº は ( ΦΩ , Im ) の充満集合

が成り立ちます。実際、m(A) = 0 なら å_n AÎΦ_Ω で D( å_n A) = Aº なので (35-28) の右辺が成り立ちます。逆に (35-28) の右辺が成り立てば、A と 0_A は殆ど至るところ等しいので、(32-10) と (34-6) と (35-1b) により m(A) = 0 が得られます。