数学の基礎

　i = 1, 2 に対し、m_i を集合 S_i 上の特性写像からなる集合 Ω_i 上の測度とします。jÎF(Ω₁ ) と yÎF(Ω₂ ) に対し、D(j) ´ D(y) 上の写像 j ´ y を

(36-1)  (j ´ y)(x, y) :º j(x)y( y)

で定義します。そこで、{ a_i | 0 £ i £ n } Ì R , { A_i | 0 £ i £ n } Ì Ω₁ , { B_i | 0 £ i £ n } Ì Ω₂ に対する

(36-2)  j :º åi £ n ai Ai ´ Bi

という形の写像の全体を Φ と書くことにし、これが (32-5) の条件を満たすことを確かめましょう。
　これらの条件のうち (32-5a),(32-5b) の成立は明らかです。そこで、残る (32-5c) を証明するため、任意の s, tÎB_n に対して

(36-3)  ast :º ås(i) =1, t(i) =1 ai

と置くとき

(36-4)  j = ås, tÎBn ast As ´ Bt

が成り立つことを証明しましょう。
　まず、(36-4) の右辺を y と置くと、(34-13a) により

(36-5)  D(j) = Çi £ n{D(Ai ) ´ D(Bi )} = {Çi £ nD(Ai )} ´ {Çi £ nD(Bi )} = D(As ) ´ D(Bt ) = Çs, tÎBn{D(As ) ´ D(Bt )} = D(y)

となるので、(36-4) の両辺の定義域は一致します。
　そこで任意に (x, y)ÎD(j) を取り、任意の i £ n に対して a(i) :º A_i(x) 及び b(i) :º B_i(x) と定義します。
　もし a 又は b が恒等的に 0 の場合は、j(x, y) = 0 で、しかも (34-13f) により、任意の s, tÎB_n に対して (A_s ´ B_t )(x, y) = A_s(x)B_t( y) = 0 ですから y(x, y) = 0 となり、j(x, y) と y(x, y) は一致します。
　また、a も b も恒等的に 0 でない場合は、a, bÎB_n で、j(x, y) = a_ab = y(x, y) となることがわかります。以上で j = y が成り立つことがわかり、(36-4) は証明されました。

　さて、任意の jÎΦ を (36-4) の形に表したとき、{ A_s | sÎB_n } も { B_t | tÎB_n } も互いに素ですから、任意の cÎR⁺ に対して

(36-6)  j Ù c = ås, tÎBn (ast Ù c) As ´ Bt

が成り立ち、この右辺はやはり (36-2) の形をしているので Φ に属し、(32-5c) が成り立つことがわかります。以上で Φ が (32-5) の条件をすべて満たすことがわかりました。

　さて、任意の jÎF(S₁ ´ S₂ ) と各 xÎS₁ に対し、(x, y)ÎD(j) となる y を定義域とする写像 j_x を

(36-7a)  jx( y) :º j(x, y)

で定義します。さて、任意の jÎΦ に対し、これを (36-2) の形に表わしたとき、xÎÇ_{i £ n}D(A_i ) に対して

(36-7b)  jx = åi £ n ai Ai(x)Bi

ですから j_xÎΦ_Ω2 で、I_{m i} を I_i と略記すれば、

(36-7c)  I2(jx ) = åi £ n ai Ai(x) m2(Bi )

となります。そこで、j_xÎΦ_Ω2 となる xÎS₁ を定義域とする写像 I₂(j) を

(36-7d)  I2(j)(x) :º I2(jx )

で定義すれば、

(36-7e)  I2(j) = åi £ n ai m2(Bi ) Ai

ですから I₂(j)ÎΦ_Ω1 で、

(36-7f)  I1(I2(j)) = åi £ n ai m2(Bi ) m1(Ai )

となります。同様に、任意の jÎF(S₁ ´ S₂ ) と各 yÎS₂ に対し、(x, y)ÎD(j) となる x を定義域とする写像 j ^y を

(36-8a)  j y(x) :º j(x, y)

で定義します。さて、任意の jÎΦ に対し、これを (36-2) の形に表わしたとき、yÎÇ_{i £ n}D(B_i ) に対して

(36-8b)  j y = åi £ n ai Bi( y) Ai

ですから j ^yÎΦ_Ω1 で、

(36-8c)  I1(j y ) = åi £ n ai Bi( y) m1(Ai )

となります。そこで、j ^yÎΦ_Ω1 となる yÎS₂ を定義域とする写像 I₁(j) を

(36-8d)  I1(j)( y) :ºI1(j y )

で定義すれば、

(36-8e)  I1(j) = åi £ n ai m1(Ai )Bi

ですから I₁(j)ÎΦ_Ω2 で、

(36-8f)  I2(I1(j)) = åi £ n ai m1(Ai ) m2(Bi )

となります。(36-7f) と (36-8f) の右辺は一致するので、この値を I(j) と書くことにします：

(36-9)  I(j) :º I1(I2(j)) = I2(I1(j)) = åi £ n ai m1(Ai ) m2(Bi )

　この I が Φ 上の積分になっている、すなわち (32-6) を満たすことを証明しましょう。
　まず、(36-7e) により

(36-10a)  I2(j + y) = I2(j) + I2(y)

(36-10b)  I2(cj) = cI2(j)

ですから

(36-11a)  I(j + y) = I1(I2(j + y)) = I1(I2(j) + I2(y)) = I1(I2(j)) + I1(I2(y)) = I(j) + I(y)

(36-11b)  I(cj) = I1(I2(cj)) = I1(cI2(j)) = cI1(I2(j)) = cI(j)

となって、(32-6a),(32-6b) が成り立つことがわかります。

　また、(34-2b) により、m₁(A) > 0 となる AÎΩ₁ と m₂(B) > 0 となる BÎΩ₂ が存在するので、A ´ BÎΦ で I(A ´ B) = m₁(A) m₂(B) > 0 となり、(32-6c) も成り立ちます。

　次に jÎΦ⁺ を任意に取り、j を (36-3) の形に表わせば、

(36-12)  j = j Ú 0 = ås, tÎBn (ast Ú 0) As ´ Bt

となるので、b_st :º a_st Ú 0 ³ 0 と置けば、任意の cÎR⁺ に対して (36-11) と (36-9) により

(36-13)  I(j Ù c) = ås, tÎBn (bst Ù c) m1(As ) m2(Bt )

となるので

(36-14a)  limn (bst Ù n) = bst

(36-14b)  limn (bst Ù n-1 ) = 0

により (32-6d),(32-6e) が成り立つことは明らかです。

　最後に jÎΦ⁺ と { j_n | nÎN }Ì Φ⁺ が与えられ、å_n I(j_n ) < I(j) となっているとします。これは、(36-9) により

(36-15)  ån I1(I2(jn )) < I1(I2(j))

と書けますが、I₁ は Φ_Ω1 上の積分ですから (32-6f) を満たすので、

(36-16)  ån I2(jn )(x) < I2(j)(x)

となるような xÎS₁ が存在します。ところが (36-16) は (36-7d) により

(36-17)  ån I2((jn )x ) < I2(jx )

と書け、今度は I₂ が Φ_Ω2 上の積分であることから (32-6f) を満たすので、

(36-18)  ån (jn )x( y) < jx( y)

となるような yÎS₂ が存在します。ところが (36-18) は (36-7a) により

(36-19)  ån jn(x, y) < j(x, y)

と書けるので、これは I が (32-6f) を満たすことを意味しています。
　以上で I は (32-6) の条件をすべて満たすことがわかったので、Φ 上の積分になることがわかりました。この (Φ, I ) の完備化を ( Φ , I  ) とするとき、I  から構成した測度 m_I  を m₁ と m₂ の積測度といい、m₁Äm₂ と書きます。

　さて、(33-1) により、任意の fÎΦ に対し、

(36-20a)  ån I( |jn | ) < ¥

(36-20b)  ån jn Ì  f

となる { j_n | nÎN }Ì Φ が存在し、(33-8) により

(36-21)  I ( f ) = ån I(jn )

が成り立ちます。ところで I₂( |j_n | )ÎΦ₁ で、(36-9) と (36-20a) により

(36-22)  ån I1(I2( |jn | )) = ån I( |jn | ) < ¥

ですから、Φ₁ の定義 (33-1) により、å_n I₂( |j_n | )ÎΦ₁ となりますが、

(36-23)  | (jn )x |( y) = | (jn )x( y) | = | jn(x, y) | = |jn |(x, y) = |jn |x( y)

と (36-7d) により

(36-24)  I2( | (jn )x | ) = I2( |jn |x ) = I2( |jn | )(x)

となるので

(36-25)  E :º { xÎS1 | ån I2( | (jn )x | ) < ¥ } = D( ån I2( |jn | ) )

は、積分 I ₁ に対する S₁ の充満集合です。
　さて、任意の xÎE に対し、(j_n )_xÎΦ₂ で、(36-20b) により

(36-26)  ån (jn )x Ì  fx

ですから、Φ₂ の定義 (33-1) により f_xÎΦ₂ で、積分 I ₂ の定義 (33-8) と (36-7d) により

(36-27)  ån I2(jn )(x) = ån I2((jn )x ) = I 2( fx ) = I 2( f )(x)

すなわち

(36-28)  ån I2(jn ) = I 2( f )     I 1-a.e.

がなりたつことがわかります。更に (36-7d),(32-8d),(36-24) により

(36-29)  | I2(jn ) |(x) = | I2(jn )(x) | = | I2((jn )x ) | £ I2( | (jn )x | ) = I2( |jn | )(x)

すなわち | I₂(j_n ) | £ I₂( |j_n | ) ですから、(36-22) により

(36-30)  ån I1( | I2(jn ) | ) £ ån I1(I2( |jn | )) < ¥

ですから、(36-30) と (33-1) により å_n I₂(j_n )ÎΦ₁ で、これと (36-28),(32-27) により I ₂( f )ÎΦ₁ で

(36-31a)  I 1( I 2( f )) = ån I1(I2(jn )) = ån I(jn ) = I ( f )

が成り立ちます。ただしここで (36-9),(36-21) を使いました。なお、添字 1 と 2 の役割を入れ替えれば

(36-31b)  I 2( I 1( f )) = I ( f )

が成り立つこともわかります。(36-31) をFubiniの定理といいます。