数学の基礎

　本節では、距離空間 ( X, d ) に値を持つ写像に対する測度収束と概収束という概念を定義します。

　I を集合 S 上の写像族 Φ 上の完備な積分、m を I に伴う Ω 上の完備な測度とします。S の充満集合上で定義され、X に値を持つ写像の全体を F(S, X ) と書き、各 f , gÎF(S, X ) , jÎΦ⁺ に対して、上半拡張実数 r_j( f, g) を

(37-1)  rj( f, g) :º inf { I(y) | yÎΦ , j Ù d( f, g) £ y }

で定義します。ただし d( f, g) は xÎD( f )ÇD(g) に d( f(x), g(x)) を対応させる写像を表します。
　まず j Ù d( f, g) £ j ですから

(37-2)  0 £ rj( f, g) £ I(j)

が成り立ちます。ところで非負実数 a , b , c に対して

(37-3)  inf { a, b + c } £ inf { a, b } + inf { a, c }

が成り立ちます。実際、inf { a, b } < b かつ inf { a, c } < g なら、a < b 又は b < b であって、かつ a < g 又は c < g となりますが、いずれの組み合わせでも a < b + g 又は b + c < b + g となるので inf { a, b + c } < b + g が得られ、(25-30d) により (37-3) は証明されました。

　ゆえに、任意の f, g, hÎF(S, X ) に対し、j Ù d( f, g) £ y かつ j Ù d(g, h) £ y' なら

(37-4)  j Ù d( f, h) £ j Ù{d( f, g) + d(g, h)} £{j Ù d( f, g)} + {j Ù d(g, h)} £ y + y'

ですから、D(c) Ì D(g) となる cÎΦ を取り、y" :º y' + c - c と置けば、

(37-5a)  j Ù d( f, h) £ y + y"

(37-5b)  I(y + y" ) = I(y) + I(y' ) + I(c) - I(c) = I(y) + I(y' )

となるので、(25-30d) により

(37-6)  rj( f, h) £ rj( f, g)

·  +

rj(g, h)

が成り立ちます。ゆえに r_j は擬距離の定義 (26-1) のうち (26-1d) 以外の条件を満たし、fÎF(S, X ) に対して

(37-7a)  Bj( f ,e) :º { gÎF(S, X ) | rj( f, g) < e }

(37-7b)  V ( f ) :º { Bj( f ,e) | jÎΦ+ , eÎR++ }

と置けば、F(S, X ) は V を近傍系とする位相空間になります。この位相を測度収束の位相といい、この位相による収束を測度収束といいます。

　測度収束を、別の表現で表してみましょう。以下、Ω の元のうち測度が d 以下のものの全体を Ω_d と書くことにします。
　任意の jÎΦ⁺ と任意の実数 e > 0 に対し、AÎΩ と実数 d > 0 をうまく選べば、

(37-8)  $BÎΩd : "xÎA¹ÇBºÇD( f )ÇD(g) : d( f(x), g(x)) < d

を満たす任意の gÎF(S, X ) は B_j( f ,e) に属すことが証明できます。
　実際、(32-6d) により、nÎN を

(37-9a)  I(j) - I(j Ù n) <

e — 4

となるように取ることができます。また (32-6e) と (35-4) により、実数 h > 0 を

(37-9b)  I(j Ù h) <

e — 4

(37-9c)  A :º { j > h }ÎΩ

となるように取ることができます。そこで、実数 d > 0 を

(37-9d)  dm(A) , dn <

e — 4

となるように取ります。このとき、(37-8) を満たす任意の g に対して

(37-10)  j Ù d( f, g) £ nB + dA + (j Ù h) + (j - j Ù n)

が成り立ちます。実際、任意に xÎD(j)ÇD(A)ÇD(B)ÇD( f )ÇD(g) を取ります。
　もし xÎAº なら、(37-9c) により j(x) £ h ですから {j Ù d( f, g)}(x) £ j(x) = (j Ù h)(x) となって (37-10) は成り立ちます。
　また xÎB¹ なら、{j Ù d( f, g)}(x) £ j(x) = (j Ù n)(x) + (j - j Ù n)(x) £ n + (j - j Ù n)(x) = nB(x) + (j - j Ù n)(x) となり (37-10) は成り立ちます。
　また xÎA¹ÇBº なら、{j Ù d( f, g)}(x) £ d( f, g) £ d = dA(x) となって (37-10) は成り立ちます。
　以上で (37-10) は証明されました。(37-10) の右辺は Φ⁺ に属すので、その積分を取れば、(37-8),(37-9) により

(37-11)  I(nB + dA + (j Ù h) + (j - j Ù n)) = nm(B) + dm(A) + I(j Ù h) + {I(j) - I(j Ù n)} <

e — 4

+

e — 4

+

e — 4

+

e — 4

= e

ですから、定義式 (37-1) により r_j( f, g) < e となって、これは gÎB_j( f ,e) を意味します。

　逆に、任意の AÎΩ と任意の実数 d > 0 に対し、jÎΦ⁺ と実数 e > 0 をうまく選べば、任意の gÎB_j( f ,e) は (37-8) を満たすことが証明できます。
　実際、j :º A と置き、j Ù d( f, g) £ y かつ I(y) < e となる yÎΦ⁺ を取り、正実数 h < inf { 1, d } を B :º { y > h }ÎΩ となるように取り、e :º dh と置きます。
　このとき hB £ y ですから、hm(B) £ I(y) < e = dh となるので m(B) < d です。
　また xÎA¹ÇBºÇD( f )ÇD(g) なら、xÎD(j)ÇD(y) で、j(x) = A(x) = 1 かつ y(x) £ h < 1 ですから

(37-12)  inf {1, d( f(x), g(x))} = {j Ù d( f, g)}(x) £ y(x) £ h < 1

となり、(24-16a) によりまず d( f(x), g(x)) < 1 が、従って再度 (37-12) により d( f(x), g(x)) £ h < d が得られ、(37-8) が成り立つことがわかります。

　以上により、F(S, X ) のフィルター F が f に測度収束するためには

(37-13a)  "AÎΩ : "d > 0 : $FÎF : "gÎF : $BÎΩd : "xÎA¹ÇBºÇD( f )ÇD(g) : d( f(x), g(x)) < d

が成り立つことが必要十分であることがわかりました。この条件は、更に

(37-13b)  "AÎΩ : "d > 0 : "e > 0 : $FÎF : "gÎF : $BÎΩd : "xÎA¹ÇBºÇD( f )ÇD(g) : d( f(x), g(x)) < e

とも同値です。実際、(37-13b) の d と e に対し、inf{d, e} を (37-13a) の d だと思えばよいからです。

　そこで、これより条件を強めて、

(37-14a)  "AÎΩ : "d > 0 : $BÎΩd : $FÎF : "gÎF : "xÎA¹ÇBºÇD( f )ÇD(g) : d( f(x), g(x)) < d

あるいは同じことですが、

(37-14b)  "AÎΩ : "d > 0 : "e > 0 : $BÎΩd : $FÎF : "gÎF : "xÎA¹ÇBºÇD( f )ÇD(g) : d( f(x), g(x)) < e

が成り立つとき、F は f に概収束するといいます。概収束は、一見これより強い条件：

(37-14c)  "AÎΩ : "d > 0 : $BÎΩd : "e > 0 : $FÎF : "gÎF : "xÎA¹ÇBºÇD( f )ÇD(g) : d( f(x), g(x)) < e

と実は同値です。
　実際、任意に取った AÎΩ , d > 0 と自然数 n に対し、(37-14b) の d に 2^-n-1d を、e に 1/n を代入したときに存在が保証される B と F をそれぞれ B_n , F_n と書き、B :º Ú_n B_n と置けば、(35-26g) により、BÎΩ で

(37-15)  m(B) £ ån m(Bn ) £ ån 2-n-1d = d

となります。
　ゆえに、任意の e > 0 に対して 1/n < e となる自然数 n を取れば、gÎF_n かつ xÎA¹ÇBºÇD( f )ÇD(g) のとき xÎB_nº なので d( f(x), g(x)) < 1/n < e となり、(37-14c) が成り立つことが証明されました。

　また、F が f に概収束すれば、

(37-16)  "AÎΩ : $BÎΩ0 : "xÎA¹ÇBºÇD( f ) : "e > 0 : $FÎF : "gÎF : [ xÎD(g)  Þ  d( f(x), g(x)) < e ]

が成り立ちます。
　実際、自然数 n に対して d :º 1/n に対して (37-14c) を満たす B を B_n と書き、B :º Ù_n B_n と置きます。k ® ¥ のとき m( Ù_{n £ k} B_n ) £ m(B_k ) ® 0 ですから、(35-26f) により B = lim_k Ù_{n £ k} B_nÎΩ で、m(B) = lim_k m( Ù_{n £ k} B_n ) = 0 となります。
　ゆえに、任意の xÎA¹ÇBºÇD( f )ÇD(g) と e > 0 に対して xÎBº Ì È_n B_nº となるので (37-16) が成り立ちます。

　さて、R も距離空間ですから、Φ の元に関しても測度収束の概念が意味を持ちます。
　そこで一般に、Ú_n A_n Ì 1 を満たし、1 に測度収束する Ω の列 { A_n | nÎN } が存在するとき、m はσ-有限であるといいます。
　例えば、必ずしも完備とは限らない Ω 上の測度 m に対し、

(37-17a)  Ún An Ì 1

(37-17b)  "AÎΩ : $nÎN : A £ An

を満たす単調増加な Ω の列 { A_n | nÎN } が存在すれば、m の完備化 m はσ-有限です。
　実際、任意の e > 0 と任意の jÎΦ⁺ に対し、完備化の定義から I _m( |j - c| ) < e となる階段写像 c = å_{i £ n} a_i B_i = å_sÎBn a_s B_s が存在します。
　このとき "sÎB_n : B_s £ A_k となる k を取れば、"n ³ k : B_s(1 - A_n ) Ì 0 ですから

(37-18)  | c | Ù | 1 - An | = åsÎBn | as | Bs Ù (1 - An ) Ì 0     ( n ³ k )

　一方 (37-3) により

(37-19)  j Ù | 1 - An | £ ( | c | + |j - c| ) Ù | 1 - An | £ ( | c | Ù | 1 - An | ) + ( |j - c| Ù | 1 - An | ) £ | c | Ù | 1 - An | + |j - c|

なので、n ³ k のとき

(37-20)  I m(j Ù | 1 - An | ) £ I m( | c | Ù | 1 - An | ) + I m( |j - c| ) < e

となり、これは { A_n | nÎN } が測度 m のもとで 1 に測度収束することを意味しています。

　また、Ω 上の測度 μ と Ω' 上の測度 μ' が共にσ-有限なら、その積測度 μÄμ' もσ-有限です。
　実際、Ú_n C_n Ì 1 を満たし、1 に測度収束する Ω の列 { C_n | nÎN } と Ú_n D_n Ì 1 を満たし、1 に測度収束する Ω' の列 { D_n | nÎN } を取ります。
　ここで E_ij :º C_i ´ D_j と置けば、明らかに Ú_{i, j} E_ij Ì 1 となります。
　また、(36-4) の形の任意の j （ただし a_st ³ 0 ）に対し、{2 - C_i(x) - D_j( y)} - {1 - C_i(x)D_j( y)} ³ {1 - C_i(x)}{1 - D_i(x)} ³ 0 ですから

(37-21)  (As ´ Bt )(1 - Ci ´ Dj )(x, y) = As(x)Bt( y){1 - Ci(x)Dj( y)} £ As(x)Bt( y){2 - Ci(x) - Dj( y)} = As(x){1 - Ci(x)}Bt( y) + As(x)Bt( y){1 - Dj( y)}

ですから、y :º inf{1, j} , b_st :º inf{1, a_st } と書けば、

(37-22)  j Ù |1 - Eij | = y Ù |1 - Eij | = y|1 - Eij | = ås, tÎBn bst (As ´ Bt )(1 - Ci ´ Dj ) £ ås, tÎBn bst {As(1 - Ci ) ´ Bt + As ´ Bt(1 - Dj )}

となるので

(37-23)  ImÄm' (j Ù |1 - Eij | )	£ ås, tÎBn bst {m(As(1 - Ci ))m' (Bt ) + m(As)m'(Bt(1 - Dj ))}
	= ås, tÎBn bst {Im(As Ù |1 - Ci | )m'(Bt ) + m(As )Im' (Bt Ù |1 - Dj | )}

となりますが、i, j ® ¥ のとき I_m(A_s Ù |1 - C_i | ) ® 0 かつ I_m' (B_t Ù |1 - D_j | ) ® 0 となるので (37-23) は 0 に収束します。
　一般の j に対しては、(37-20) と同様な論法で k, l ® ¥ のとき I _mÄm' (j Ù |1 - E_ij | ) ® 0 となることがわかります。

　さて、μ がσ-有限なら、f に概収束する点列は、ほとんど至るところ f に各点収束することが証明できます。
　実際、F = { f_n | nÎN } は f に概収束するとし、A :º Ú_n A_n Ì 1 かつ 1 に測度収束する Ω の列 { A_n | nÎN } を取ります。
　各 A_m に対して (37-16) を満たす B を B_m と書いて、B :º Ú_m B_m と置けば、

(37-24)  m( Úm Bm ) £ åm m(Bm ) = 0

ですから (35-26g) により BÎΩ₀ となります。ゆえに (35-28) により Bº = D(B') は充満集合で、C :º A¹ÇBºÇD( f )ÇÇ_nD( f_n ) も充満集合になります。
　そこで、任意に xÎC を取ると、xÎA_m¹ となる m が存在し、xÎB_mº なので、(37-16) により "e > 0 : $NÎN : "n ³ N : d( f(x), f_n(x)) < e となり、これは F が f に充満集合 C 上で各点収束することを示しています。

　さて、一般に概収束すれば測度収束しますが、逆に μ がσ-有限なら、f に測度収束する点列は f に概収束する部分列を持つことを証明しましょう。
　実際、F = { f_n | nÎN } が f に測度収束するとし、1 に測度収束する Ω の列 { A_m | mÎN } を取ります。
　次に、任意の自然数 k に対し、(37-13a) で、d のかわりに 2^-k (k + 1)^-1 が与えられたと考えることにより

(37-25)  "kÎN : $NkÎN : "n ³ Nk : "m £ k : $Bk, m, nÎΩ2-k (k+1)-1 : "xÎAm¹ÇBk, m, nºÇD( f )ÇD( fn ) : d( f(x), fn(x)) < 2-k (k + 1)-1

が成り立つので、n(k)ÎN を n(k) ³ N_k かつ n(k + 1) > n(k) となるように取ります。このとき F の部分列 { f_{n (k)} | kÎN } が f に概収束することを証明しましょう。
　任意の AÎΩ と d > 0 に対し、自然数 l を 2^-l+1 < d / 2 となるように取り、B :º Ú_{k ³ l}Ú_{m £ k} B_{k, m, n (k)} と置けば、

(37-26a)  m( Úm £ k Bk, m, n (k) ) £ åm £ k m(Bk, m, n (k) ) £ (k + 1)2-k(k + 1)-1 = 2-k

ですから、BÎΩ 及び

(37-26b)  m(B) £ åk ³ l m( Úm £ k Bk, m, n (k) ) £ åk ³ l 2-k = 2-l+1 < d / 2

が得られ、自然数 m ³ l を 2^-m (m + 1)^-1 < d が成り立つように十分大きく取れば、

(37-27)  "k ³ m : "xÎAm¹ÇBºÇD( f )ÇD( fn (k) ) : d( f(x), fn (k)(x)) < 2-k (k + 1)-1 £ 2-m (m + 1)-1 < d

が成り立ちます。一方 { A_m | mÎN } が 1 に測度収束することから、m を十分大きく取れば

(37-28)  m(A \ Am ) = I(A Ù |1 - Am | ) = rA(1, Am ) < d / 2

となります。よって C :º B Ú (A \ A_m ) と置けば、(37-26b),(37-28) により m(C) £ m(B) + m(A \ A_m ) < d となります。
　しかも (A \ A_m )º Ì Aº È A_m¹ ですから A¹ÇCº = A¹ÇBºÇ(A \ A_m )º Ì A¹ÇBºÇ(Aº ÈA_m¹) Ì A_m¹ÇBº となるので

(37-29)  "k ³ m : "xÎA¹ÇCºÇD( f )ÇD( fn (k) ) : d( f(x), fn (k)(x)) < d

となり、これは { f_{n (k)} | kÎN } が f に概収束することを意味しています。