数学の基礎

　本節では前節で導入した測度収束の概念を用いて、写像の可測性を定義します。

　( X, d ) を非自明、すなわち X ¹ Æ であるような距離空間とし、条件

(38-1)  "AÎΩ : ${ ai | 0 £ i £ n }Ì X : ${ Ai | 0 £ i £ n }Ì Ω : [ A¹ÇD(j) = Èi £ n Ai¹ , "xÎAi¹ : j(x) = ai ]

を満たす jÎF(S, X ) の全体を M₀(S, X ) と書き、その F(S, X ) における測度収束位相での閉包を M(S, X ) と書いて、その元を可測写像といいます。測度収束の特徴付け (37-8) により

(38-2)   fÎM(S, X )  Û  "AÎΩ : "d > 0 : $jÎM0(S, X ) : $BÎΩd : "xÎA¹ÇBºÇD( f )ÇD(j) : d( f(x), j(x)) < d

が成り立ちます。さて、可測写像 f と aÎX を任意に取ると、(38-2) の j と A に対して (38-1) の a_i を用いて M :º d + sup{ d(a, a_i ) | 0 £ i £ n } と置けば、d( f(x), a) £ d( f(x), j(x)) + d(j(x), a) ですから

(38-3)   "fÎM(S, X ) : "aÎX : "lÎΛ : "AÎΩ : "d > 0 : $M > 0 : $BÎΩd : "xÎA¹ÇBºÇD( f ) : d( f(x), a) < M

が成り立つこともわかります。

　さて、次に可測性の“遺伝性”について調べてみましょう。
　( X, d ) を非自明な距離空間、( X_i , d_i ) ( 0 £ i £ N ) を非自明な距離空間の族とし、F は Õ_{i £ N}  X_i から X への写像で、単なる連続性よりは強く一様連続よりは弱い有界一様連続性条件：

(38-4)  "e > 0 :	$aiÎXi ( 0 £ i £ N ) : "M > 0 : $di > 0 ( 0 £ i £ N ) : "xi , yiÎXi ( 0 £ i £ N ) :
	di(xi , ai ), di( yi , ai ) £ M ,  di(xi , yi ) < di ( 0 £ i £ N )  Þ  d(F(x0 , x1 ,¼, xN ), F( y0 , y1 ,¼, yN )) < e

を満たすものとします。このとき f_iÎM(S, X_i ) ( 0 £ i £ N ) ならば

(38-5)  F( f0 , f1 ,¼, fN )(x) :º F( f0(x) , f1(x) ,¼, fN (x))

で定義される写像 F( f₀ , f₁ ,¼, f_N ) は M(S, X ) に属すことを証明しましょう。
　実際、任意の AÎΩ , d > 0 に対し、e = d とみなして (38-4) が成り立つような a_iÎX_i ( 0 £ i £ N ) を取ります。
　次に、(38-3) により、B_iÎΩ ( 0 £ i £ N ) と実数 M を、

(38-6)  m(Bi ) <

d ———– 2(N + 1)

かつ

(38-7)  "xÎA¹ÇBiºÇD( fi ) : di( fi(x), ai ) < M - d

となるように取ることができます。そこで、この M に対し、(38-4) を満たすような d_i £ d ( 0 £ i £ N ) を取ります。
　次に (38-2) により、j_iÎM₀(S, X ) と C_iÎΩ を、

(38-8)  m(Ci ) <

di ———–  2(N + 1)

£

d ———– 2(N + 1)

かつ

(38-9)  "xÎA¹ÇCiºÇD( fi )ÇD(ji ) : di( fi(x), ji(x)) <

di ———–  2(N + 1)

£ di

が成り立つように取り、D :º Ú_{i £ N} (B_i Ú C_i )ÎΩ と置きます。このとき D £ å_{i £ N} (B_i + C_i ) ですから

(38-10)  m(D) £ åi £ N I(Bi + Ci ) = åi £ N {m(Bi ) + m(Ci )} < 2(N + 1)

d ———– 2(N + 1)

= d

で、更に Dº = Ç_{i £ N} (B_iºÇC_iº) ですから、任意の xÎA¹ÇDºÇD(F( f₀ , f₁ ,¼, f_N ))ÇD(F(j₀ , j₁ ,¼, j_N )) に対し、(38-7),(38-9) 及びそれから得られる

(38-11)  di(ji(x), ai ) £ di( fi(x), ai ) + di( fi(x), ji(x)) < M - d + di £ M

を用いると、(38-4) から

(38-12)  d(F( f0 , f1 ,¼, fN )(x), F(j0 , j1 ,¼, jN )(x)) = d(F( f0(x) , f1(x) ,¼, fN (x)), F(j0(x) , j1(x) ,¼, jN (x))) < d

が得られます。一方 (38-1) により、各 i に対して { b_ij | 0 £  j £ n_i }Ì X_i と { B_ij | 0 £  j £ n_i }Ì Ω で

(38-13a)  A¹ÇD(ji ) = Èj £ ni Bij¹

(38-13b)  "xÎBij¹ : ji(x) = bij

を満たすものが存在します。ゆえに j :º ( j₀ , j₁ ,¼, j_N ) , n :º (n₀ , n₁ ,¼, n_N ) と置き、j £ n で "i £ N : j_i £ n_i を意味することとし、

(38-14a)  Bj :º Õi £ N Biji

(38-14b)  bj :º F(b0j0 , b1j1 ,¼, bN jN )

と置けば、

(38-15a)  A¹ÇD(F(j0 , j1 ,¼, jN )) = Çi £ N Èji £ ni Biji¹ = Èj £ n Çi £ N Biji¹ = Èj £ n Bj¹

(38-15b)  "xÎBj¹ : F(j0 , j1 ,¼, jN )(x) = F(j0(x) , j1(x) ,¼, jN (x)) = bj

となります。そこで、aÎX を任意に取り、Ç_{i £ N} D(j_i ) を定義域とする写像 g を、

(38-16)  g(x) :º

ì í î

F(j0 , j1 ,¼, jN )(x) a

( xÎA¹ ) ( xÎAº )

で定義すれば、gÎM₀(S, X ) で、かつ

(38-17)  xÎA¹ÇD(F(j0 , j1 ,¼, jN ))  Þ  g(x) = F(j0 , j1 ,¼, jN )(x)

ですから (38-12) により

(38-18)  "xÎA¹ÇDºÇD(F( f0 , f1 ,¼, fN ))ÇD(g) : d(F( f0 , f1 ,¼, fN )(x), g(x)) < d

となり、これは F( f₀ , f₁ ,¼, f_N )ÎM₀(S, X ) であることを示しています。

　さて、F を有界一様連続性 (38-4) を満たす写像とすれば、(38-6)~(38-12) の部分の議論は j_i を M(S, X ) の元であるとしてもそのまま成立するので、( f₀ , f₁ ,¼, f_N ) に F( f₀ , f₁ ,¼, f_N ) を対応させる写像は Õ_{i £ N} M(S, X_i ) から M(S, X ) への連続写像であることがわかります。

　次に、M(S, X ) 上では (37-1) で定義される擬距離 r_j が常に実数値を取り、従って距離になることを証明しましょう。
　実際、任意に f, gÎM(S, X ) を取ると、任意の jÎΦ⁺ , nÎN に対して

(38-19a)  rj( f, fn ) £ 2-n

(38-19b)  rj(g, gn ) £ 2-n

となる f_n , g_nÎM₀(S, X ) が存在しますが、これは

(38-20a)  j Ù d( f, fn ) £ jn

(38-20b)  j Ù d(g, gn ) £ yn

(38-20c)  I(jn ), I(yn ) £ 2-n

を満たす { j_n | nÎN }, { y_n | nÎN } Ì Φ⁺ の存在を意味します。そこで

(38-21)  cn :º {j Ù d( fn+1 , gn+1 )} - {j Ù d( fn , gn )}

と置きます。このとき c_nÎΦ であることを確かめましょう。そのためには、一般に

(38-22)  "jÎΦ+ : "c, yÎM0(S, X ) : j Ù d(c, y)ÎΦ

が成り立つことを示せば十分です。そこでまず、j が階段写像である場合を考えます。j を (34-13h) の右辺の形に表して、改めて一列に並べることにより、

(38-23a)  j = åi £ n ai Ai

(38-23b)  Ai Aj Ì 0       ( i ¹ j )

(38-23c)  D(Ai ) = D(j)

と表せます。次に、(38-1) により

(38-24a)  "i £ n : ${ bij | 0 £  j £ mi }Ì X : ${ Bij | 0 £  j £ mi }Ì Ω : [ Ai¹ÇD(c) = Èk £ mi Bij¹ , "xÎBij¹ : c(x) = bij ]

(38-24b)  "i £ n : ${ cik | 0 £ k £ ni }Ì X : ${ Cik | 0 £ k £ ni }Ì Ω : [ Ai¹ÇD(y) = Èk £ ni Cik¹ , "xÎCik¹ : y(x) = cik ]

ですから

(38-25)  {j Ù d(c, y)}(x) :º	ì ï í ï î	inf {ai , d(bij , cik )}		( xÎBij¹ÇCik¹ )
		0		( xÎÇi £ n Aiº )

　すなわち

(38-26)  j Ù d(c, y) = åi £ n , j £ mi , k £ ni inf {ai , d(bij , cik )} Bij Cik ÎΦ

となります。次に一般の jÎΦ⁺ については、(35-17) により、j_n ｭ j となるような階段写像の列 { j_n | nÎN } が存在して j_n Ù d(c, y) ｭ j Ù d(c, y) でこの左辺は Φ⁺ に属します。
　しかも j₀ = 0 と仮定してよく、j_n+1 Ù d(c, y) + j_n = (j_n+1 + j_n ) Ù (d(c, y) + j_n ) £ (j_n + j_n+1 ) Ù (d(c, y) + j_n+1 ) = j_n Ù d(c, y) + j_n+1 ですから

(38-27)  limn I(jn Ù d(c, y)) = ån I(jn+1 Ù d(c, y) - jn Ù d(c, y)) £ ån I(jn+1 - jn ) = limn I(jn ) < ¥

となるので、(32-14b) により (38-22) がわかり、c_nÎΦ が証明されました。
　さて、(37-3) と (38-20) により

(38-28a)  |{j Ù d( f, g)} - {j Ù d( fn , gn )}| £ j Ù | d( f , g) - d( fn , gn ) | £ j Ù {d( f , fn ) + d(g, gn )} £ {j Ù d( f, fn )} + {j Ù d(g, gn )} £ jn + yn

ですから

(38-28b)  |cn |	= |{j Ù d( fn+1 , gn+1 )} - {j Ù d( fn , gn )}|
	£ |{j Ù d( f , g)} - {j Ù d( fn+1 , gn+1 )}| + |{j Ù d( f , g)} - {j Ù d( fn , gn )}|
	£ jn+1 + yn+1 + jn + yn

が得られます。ゆえに (38-20c),(38-28b) により

(38-29)  ån I( |jn | ) , ån I( |yn | ) , ån I( |cn | ) < ¥

　よって

(38-30)  ån jn , ån yn , ån cnÎΦ

が成り立つので、x が充満集合 D( f )ÇD(g)ÇD( å_n j_n )ÇD( å_n y_n )ÇD( å_n c_n ) の元なら j_n(x), y_n(x) ® 0 ( n ® ¥ ) で、かつ å_n c_n(x) は収束しますから、(38-21),(38-26b) により

(38-31)  {j Ù d( f, g)}(x) = limn {j Ù d( fn , gn )}(x) = {j Ù d( f0 , g0 )}(x) + ån cn(x)

すなわち

(38-32)  j Ù d( f, g) = j Ù d( f0 , g0 ) + ån cnÎΦ

となり、

(38-33)  rj( f, g) = I(j Ù d( f, g))ÎR

が成り立ちます。すなわち f , gÎM(S, X ) に対する (37-1) の右辺は実数になります。よって r_j は M(S, X ) 上の距離になり、条件 (26-1) のうち残る (26-1d) も満たされ、M(S, X ) は距離の族 { r_j | jÎΦ⁺ } で生成される一様空間になることがわかりました。

　さて、任意の f, gÎF(S, X ) に対し、μ がσ-有限なら、f = g   a.e. と、すべての φÎΦ⁺ に対して ρ_φ( f , g) = 0 であることは同値です。
　実際、f = g  a.e. なら d( f , g) = 0  a.e. ですから "jÎΦ⁺ : j Ù d( f , g) = 0  a.e. なので r_j( f , g) = I(j Ù d( f , g)) = 0 となります。
　逆に、任意の jÎΦ⁺ に対して r_j( f , g) = 0 とし、Ú_n A_n Ì 1 となる Ω の列 { A_n | nÎN } を取ります。このとき任意の自然数 m に対して mA_nÎΦ⁺ ですから、I(mA_n Ù d( f , g)) = r_mAn( f , g) = 0 となるので

(38-34a)  mAn Ù d( f , g) £ jmn

(38-34b)  I(jmn ) £ 2-m-n

となる j_mnÎΦ⁺ が存在します。ここで å_m,n I(j_mn ) £ å_m,n 2^-m-n = 4 < ¥ ですから j :º å_m,n j_mnÎΦ⁺ となるので D(j) は充満集合で、

(38-35)  xÎD(j)  Þ  åm,n inf {mAn(x), d( f(x), g(x))} £ åm,n jmn(x) < ¥

となります。
　そこで xÎD(j)ÇÇ_nD(A_n ) を任意に取ります。ここで d( f(x), g(x)) > 0 と仮定すると、xÎA_n となる n が存在し、m > d( f(x), g(x)) を満たす任意の自然数 m に対して inf {mA_n(x), d( f(x), g(x))} = d( f(x), g(x)) ですから、(38-35) の左辺の和は収束せず、矛盾します。
　ゆえに任意の xÎD(j)ÇÇ_nD(A_n ) に対して d( f(x), g(x)) = 0 となり、これは充満集合 D(j)ÇÇ_nD(A_n ) 上で f = g となっていることを意味します。

　さて、以上の結果をノルム空間に値を取る可測写像に対して適用してみましょう。X をノルム | · | が与えられた付値体 K 上のノルム空間とします。このとき X 上の距離 d を

(38-36)  d(x, y) :º | x - y |

で定義すれば、( X, d ) は距離空間になり、上記の議論が適用できます。この場合、

(38-37a)   aÎX  Þ  aÎM(S, X )

(38-37b)   f, gÎM(S, X )  Þ  f + gÎM(S, X )

(38-37c)   fÎM(S, X ) , cÎK  Þ  cfÎM(S, X )

(38-37d)   jÎM(S, K ) , fÎM(S, X )  Þ  jfÎM(S, X )

(38-37e)   fÎM(S, X )  Þ  | f |ÎM(S, R)

(38-37f)   fÎM(S, R)  Þ  f ±ÎM(S, R)

(38-37g)   f, gÎM(S, R)  Þ  f Ú g ,  f Ù gÎM(S, R)

が成り立ちます。また、Y を K 上の別のノルム空間で、T : X ® Y を連続な線形写像とするとき

(38-37h)   fÎM(S, X )  Þ  T ° f ÎM(S, R)

が成り立ちます。
　実際、(38-37a) は、X から X への写像 F(x) :º a について | F(x) - F(x' ) | = 0 が成り立ちます。
　次に (38-37b) の場合は X ´ X から X への写像 F(x, y) :º x + y について | F(x, y) - F(x', y' ) | £ | x - x' | + | y - y' | が成り立ちます。
　次に (38-37c) は、X から X への写像 F(x) :º cx について | F(x) - F(x' ) | £ | c | | x - x' | が成り立ちます。
　また (38-37d) の場合は K ´ X から X への写像 F(x, y) :º xy について | F(x, y) - F(x', y' ) | £ | x | | y - y' | + | x - x' | | y' | が成り立ちます。
　次に (38-37e) は、X から R への写像 F(x) :º | x | について | F(x) - F(x' ) | £ | x - x' | が成り立ちます。
　ゆえに (38-37a)~(38-37e) の場合は、いずれの F も有界一様連続なので、(38-37) の結論が得られます。
　また (38-37f) は f ^± = (1/2)( | f | ±  f ) と (38-37e),(38-37b),(38-37c) により明らかです。
　また (38-37g) は f Ú g = {( f - g ) Ú 0 } + g = ( f - g )⁺ + g と f Ù g = - {(- f ) Ú (- g)} と (38-37b),(38-37c),(38-37f) により明らかです。
　また、(38-37h) は、F = T が一様連続なので明らかです。

　更に、(38-18) の次の注意により、(38-37) の各対応は、測度収束位相のもとで連続であることもわかります。

　さて、任意の可測写像 f に対して

(38-38)  rj( f - f, 0) = I(j Ù | f - f | ) = 0

ですから、M(S, X ) では距離の族 { r_j | jÎΦ⁺ } に伴う同値関係のもとで、- f が f の加法の逆元になり、M(S, X ) は線形空間になります。
　一方 (38-37b),(38-37c) の対応が連続であることから、M(S, X ) は位相線形空間になることもわかります。今後、一様空間であるような位相線形空間を強位相線形空間とよぶことにします。

　さて、最後にセミノルムの族 { | · |_l | lÎΛ } を持つ局所凸空間 X を考えます。このとき一般性を失わず、Λ は有向集合で、l £ l' ならば | · |_l £ | · |_l' が成り立つと仮定することができます（第28節参照）。
　ここで、X をノルム | · |_l について完備化して得られるBanach空間を X_l と書き、可測写像からなる族  f :º {  f_l : S ® X_l | lÎΛ } で、各 l £ l' と第26節 (26-21) のところで考えた標準写像 p_l^l' : X_l' ® X_l に対して

(38-39)  pll' ° fl' = fl     in   M(S, Xl )       ( l £ l' )

を満たすものを X-値の可測準写像とよぶことにし、それらの全体をやはり M(S, X ) と書くことにします。M(S, X ) は、Õ_lÎΛ M(S, X_l ) の部分空間として強位相線形空間とみなすことができ、(38-37a)~(38-37c) が成り立ちます。
　また、fÎM(S, X ) と jÎM(S, K) に対して jf_l を lÎΛ 成分とする X-値準写像を jf と書くことにすれば (38-37d) が成立します。
　更に、S が位相空間、一様空間、あるいは付値体の部分集合で、各 f_l が（点 x で）連続、一様連続、あるいは（点 x で）微分可能のとき、f は（点 x で）連続、一様連続、あるいは（点 x で）微分可能であるといいます。

　さて、写像 f : S ® X に対し、第26節 (26-21) で考えた標準写像 p_l : X ^• ® X_l を使って f_l :º p_{l °} f  ( lÎΛ ) と置いたものが X_l-値の可測写像ならば、f :º {  f_l : S ® X_l | lÎΛ } は X-値の可測準写像ですが、これを f から構成した可測準写像といい、紛れのない限り f と f を同一視します。このとき明らかに、f が（点 x で）連続、一様連続、あるいは（点 x で）微分可能であることと f がこれらの性質を満たすことは同値です。
　逆に、S がs-有限で Λ が可算集合（すなわち X が ( F )-空間のとき）なら、各 fÎM(S, X ) に対し、S から X の完備化 X ^• への写像  f が存在して

(38-40)   fl = pl ° f     in   M(S, Xl )       ( lÎΛ )

が成り立ちます。
　実際、S がs-有限で Λ が可算なので、D :º Ç_lÎΛD( f_l )ÇÇ_l£l'{ xÎS | p_l^l'( f_l' (x)) = f_l(x) } は充満集合で、しかも

(38-41)  pll'( fl' (x)) = fl(x)       ( xÎD , l £ l' )

となり、これは xÎD に対する ( f_l (x) )_lÎΛ が { X_l | lÎΛ } の極限、すなわち X ^• の元として定まることを意味します。ゆえにこれを f(x) と書けば、

(38-42)   fl(x) = pl( f(x))       ( xÎD , lÎΛ )

が成り立ちます。以上で (38-40) は証明されました。