数学の基礎

　本節では、可測写像や測度収束の概念を利用して、Banach空間に値を取る写像の積分を定義します。

　I を集合 S 上の写像族 Φ 上の完備な積分、m を I に伴う Ω 上の完備な測度、X をノルム | · | を持つBanach空間とします。
　ある { a_i | 0 £ i £ n }Ì X と { A_i | 0 £ i £ n }Ì Ω によって

(39-1)  j = åi £ n ai Ai

と書けるような jÎF(S, X ) のことを、X-値の階段写像といい、その全体を L₀(S, X ) と書くことにします。このとき、(34-13h),(34-15) の証明は、各 a_i が X の元だとしてもそのまま成立しますから、(39-1) の j に対し、

(39-2a)  j = åsÎBn as As       ( as :º åiÎs¹ ai )

(39-2b)  åi £ n ai m(Ai ) = åsÎBn as m(As )

が成り立つことがわかります。よって特に

(39-3)  | j | = åsÎBn | as | As

が得られるので、

(39-4)  jÎL0(S, X )  Þ  | j |ÎΦ

となることがわかります。ゆえに L₀(S, X ) は、ノルム：

(39-5)  || j || = I( | j | )

によりノルム空間とみなすことができます。

　さて、明らかに L₀(S, X ) Ì M₀(S, X ) ですが、(38-16) で F を X から X への恒等写像に取り、a º 0 と置けば、gÎL₀(S, X ) となります。すなわち L₀(S, X ) は M(S, X ) で稠密であることがわかります。
　また、前節の結果により M(S, X ) は距離の族 { r_j | jÎΦ⁺ } により強位相線形空間になりますが、

(39-6)  || y ||j :º rj(y, 0) = inf { I(c) | cÎΦ+ , j Ù d(y, 0) £ c } = inf { I(c) | cÎΦ+ , j Ù | y | £ c }       ( yÎF(S, X ) , jÎΦ+ )

と置けば、

(39-7)  || y ||j = I(j Ù | y | ) £ I( | y | ) = || y ||       ( yÎL0(S, X ) , jÎΦ+ )

が成り立ちますから、埋め込み写像 i : L₀(S, X ) ® M(S, X ) は連続な線形写像で、従って一様連続です。
　ゆえにこれは両者の完備化間の一様連続写像 i^• : L₀^•(S, X ) ® M ^•(S, X ) に拡張されます。この写像 i^• が単射であることを証明しましょう。

　実際、F と G を共に L₀(S, X ) のコーシー・フィルターで、その i による像が M(S, X ) の同値なコーシー・フィルターになっているものとします。
　任意の e > 0 に対し、まず F と G が L₀(S, X ) のコーシー・フィルターであることから

(39-8a)  $AÎF : "j, j0ÎA : || j - j0 || <

e — 3

(39-8b)  $BÎG : "y, y0ÎB : || y - y0 || <

e — 3

が成り立ちます。A も B も元を持つので、j₀ÎA と y₀ÎB を任意に選んで固定します。
　次に、F と G が M(S, X ) の同値なコーシー・フィルターであることと、c :º | j₀ - y₀ |ÎΦ⁺ により、

(39-9)  $A'ÎF : $B'ÎG : "jÎA' : "yÎB' : || j - y ||c <

e — 3

が成り立ちます。ここで、(37-3) を繰り返し用いることにより、

(39-10)  | j - y |	= | j - y | Ù | j - y |
	= | ( j - j0 ) + ( j0 - y0 ) + ( y0 - y ) | Ù | j - y |
	£ { | j - j0 | + | j0 - y0 | + | y0 - y | } Ù | j - y |
	£ | j - j0 | Ù | j - y |  +  | j0 - y0 | Ù | j - y |  +  | y0 - y | Ù | j - y |
	£ | j - j0 |  +  c Ù | j - y |  +  | y0 - y |

　ゆえに、この両辺の積分を取れば、任意の jÎAÇA' と yÎBÇB' に対して

(39-11)  || j - y || = I( | j - y | ) £ I( | j - j0 | ) + I(c Ù | j - y | ) + I( | y0 - y | ) = || j - j0 || + || j - y ||c + || y0 - y || <

e — 3

+

e — 3

+

e — 3

= e

となり、AÇA'ÎF , BÇB'ÎG ですから、これは F  と G が L₀(S, X ) の同値なコーシー・フィルターであることを意味しています。以上で i^• は単射であることが証明されました。

　さて、i : M(S, X) ® M ^•(S, X ) を完備化への標準写像とするとき、i^• と i の強位相線形空間の圏における引き戻しを L(S, X ) と書きます：

			i•
(39-12)		L0•(S, X )	®	M •(S, X )
		j ｭ		ｭ i
	Pull( i•, i ) º	L(S, X )	®	M(S, X )
			k

　ここで i^• : L₀^•(S, X ) ® M ^•(S, X ) は単射ですから、第７節の (7-11) と (7-12) の間の議論により、標準写像 k : L(S, X ) ® M(S, X ) も単射、すなわち

(39-13)  L(S, X ) Ì M(S, X )

と見なすことができます。そこで L(S, X ) の元を X-値のBochner可積分写像、あるいは単に可積分写像といいます。
　 fÎL(S, X ) とは、f = k( f ) に測度収束する M(S, X ) のフィルターで、L₀(S, X ) のコーシー・フィルターでもあるようなもの i(k( f )) = i^•( j( f )) が存在するということに他なりません。

　さて、２つの階段写像

(39-14a)  j = åi £ n ai Ai

(39-14b)  j' = åi £ n'  a'i A'i

に対して

(39-15)  åi £ n ai m(Ai ) ¹ åi £ n'  a'i m(A'i )  Þ  $xÎD(j)ÇD(j' ) : j(x) ¹j'(x)

が成り立つことを証明しましょう。
　実際、b_i , B_i ( 0 £ i £ m :º n + n' + 1 ) を b_i :º a'_i , B_i :º A'_i ( i £ n' ) と b_i :º - a_i-n'-1 , B_i :º - A_i-n'-1 ( i > n' ) で定義すれば、(39-2) により

(39-16a)  j' - j = åi £ n'  a'i A'i + åi £ n (- ai )Ai = åi £ m bi Bi = åsÎBmbs Bs

(39-16b)  åi £ n'  a'i m(A'i) - åi £ n ai m(Ai ) = åi £ m bi m(Bi ) = åsÎBmbs m(Bs )

が成り立ちます。ここで (39-15) の仮定のもとでは、å_sÎBn b_s m(B_s ) ¹ 0 が成り立つので

(39-17)  0 < | åsÎBn bs m(Bs ) | £ åsÎBn | bs | m(Bs )

となり、| b_s | m(B_s ) > 0 を満たす sÎB_n が存在し、m(B_s ) ³ 0 ですから | b_s | > 0 かつ m(B_s ) > 0 が成り立ち、従って b_s ¹ 0 となります。
　ゆえに (34-5) により B_s¹ は元 x を持ち、B_s(x) = 1 となりますが、(34-13a) により、任意の s ¹ t に対して xÎD(B_s ) = D(B_t ) で、しかも (34-13d) により B_t(x) = B_s(x)B_t(x) = (B_s B_t )(x) = 0 となるので、(39-16a) により j'(x) - j(x) = å_tÎBn b_t B_t(x) = b_s ¹ 0 が得られ、(39-15) は証明されました。

　さて、(39-15) の対偶を取れば、

(39-18)  j = j'  Þ  åi £ n ai m(Ai ) = åi £ n'  a'i m(A'i )

が得られます。このことから、各 jÎL₀(S, X ) に対して j を (39-1) の形に表して、

(39-19)  I(j) :º åi £ n ai m(Ai )

と定義することができ、I は L₀(S, X ) から X への関数を定めることがわかります。
　明らかに、j, yÎL₀(S, X) と cÎK に対して

(39-20a)  j + yÎL0(S, X )

(39-20b)  cjÎL0(S, X )

かつ

(39-21a)  I(j + y) = I(j) + I(y)

(39-21b)  I(cj) = cI(j)

が成り立ち、更に (39-3),(39-5) により

(39-22)  | I(j) | = | åsÎBn as m(As ) | £ åsÎBn | as | m(As ) = I( | j | ) = || j ||

が成立します。すなわち I : L₀(S, X ) ® X は一様連続で X は完備ですから、I は一様連続写像 I ^• : L₀^•(S, X ) ® X に拡張されます。
　そこで、これと (39-12) の標準写像  j : L(S, X ) ® L₀^•(S, X ) の合成写像：

(39-23)  I • °  j : L(S, X ) ® X

をBochner積分、あるいは単に積分とよんで、可積分写像 f の積分を

(39-24)  I •( j( f )) º

ò

f dm º

ò

f(x) m(dx)

と書くことにします。

　ここで積分の基本的な性質を調べましょう。一般に {  f_n | nÎN } Ì F(S, X ) に対して å_n | f_n(x) | が収束する x の全体を定義域とし、x に å_n  f_n(x) を対応させる写像を å_n  f_n で表すことにします。
　特にすべての f_n が L₀(S, X ) に属すとき、明らかに | f_n |ÎΦ ですが、å_n I( | f_n | ) < ¥ を満たすとき {  f_n | nÎN } は å_n  f_n Ì f となる写像 f を表現するということにし、このように表現される写像 f の全体を L₁(S, X ) と書くことにします。これは明らかに線形空間ですが、

(39-25a)  L0(S, X ) Ì L1(S, X ) Ì L(S, X )

(39-25b)  L1(S, R) = Φ

(39-25c)   fÎL1(S, X )  Þ  | f |ÎΦ

(39-25d)  "jÎΦ :

ò

j dm = I(j)

(39-25e)   fÎL(S, X )  Þ  | f |ÎL(S, R) ,

½ ½

ò

f dm

½ ½

£

ò

| f | dm

(39-25f)  {  fn | nÎN } Ì L1(S, X ) , ån I( | fn | ) < ¥   Þ   f :º ån  fn ÎL1(S, X ) ,

ò

f dm = ån

ò

fn dm

(39-25g)  "fÎL(S, X ) : $gÎL1(S, X ) :  f = g   in M(S, X )

(39-25h)  j, yÎΦ ; j = y  in M(S, R)  Þ  j = y  a.e.

(39-25i)   f, gÎL1(S, X ) ;  f = g  in M(S, X )  Þ  f = g  a.e.

(39-25j)  j, yÎL(S, R) ; j', y'ÎΦ ; j = j', y = y'  in M(S, R) ; j £ y  a.e.  Þ  j' £ y'  a.e.

(39-25k)  j, yÎL(S, R) ,  j £ y  a.e.  Þ

ò

j dm £

ò

y dm

(39-25l)   fÎL(S, X ) , AÎΩ  Þ  A fÎL(S, X )

(39-25m)   fÎL(S, X )  Þ  limm(A) ® 0

ò

A f dm = 0

(39-25n)   fÎM(S, X ) , jÎL(S, R) , | f | £ j  a.e.  Þ  fÎL(S, X )

(39-25o)   fÎL(S, X ) , jÎM(S, R) , $M < ¥ : | j | £ M  a.e.  Þ  jfÎL(S, X )

(39-25p)   fÎM(S, X ) , jÎL(S, R) , $M < ¥ : | f | £ M  a.e.  Þ  jfÎL(S, X )

(39-25q)  F ® f  in M(S, X ) , $jÎL(S, R) : $FÎF : "gÎF : | g | £ j  a.e.  Þ   fÎL(S, X ) , F ® f  in L(S, X )

が成り立つことを証明しましょう。

　まず (39-25a) ですが、左の包含関係は明らかです。次に fÎL₁(S, X ) を表現する {  f_n | nÎN } を取ると、I は完備で | f_n |ÎΦ なので、c :º å_n | f_n |ÎΦ が成り立ちます。
　しかも c Ù | f - å_{k £ n}  f_k | = c Ù | å_{k > n}  f_k | £ å_{k > n} | f_n |ÎΦ が成り立つので、(32-14a) により

(39-26a)  || f - åk £ n  fk ||c £ I( åk > n | fk | ) = åk > n I( | fk | ) ® 0   ( n ® ¥ )

(39-26b)  || åk £ m  fk - åk £ n  fk || = I( | ån < k £ m  fk | ) £ ån < k £ m I( | fk | ) ® 0   ( m > n ® ¥ )

となり、{ å_{k £ n}  f_k | nÎN } は f に M(S, X ) で収束する L(S, X ) のコーシー列ですから fÎL(S, X ) がわかります。

　次に (39-25b) ですが、Φ は L₀(S, X ) の積分としての完備化に一致しますから、完備化の定義 (33-1) に明らかです。

　次に (39-25c) ですが、f を表現する {  f_n | nÎN } に対して j_n :º | å_{k £ n}  f_k | - | å_{k < n}  f_k | と置くと、| j_n | £ | f_n | ですから å_n I( | j_n | ) < ¥ により | f | É å_n j_nÎΦ がわかります。

　次に (39-25d) ですが、å_n I( | j_n | ) < ¥ かつ å_n j_n Ì j を満たす { j_n | nÎN } Ì L₀(S, X ) に対し、(39-26a) の証明により、{ å_{k £ n} j_k | nÎN } は j に M(S, R) で収束する L(S, R) のコーシー列ですから、(39-25d) の左辺は å_n I(j_n ) に一致し、これはまた (32-14a),(32-27) により (39-25d) の右辺とも一致します。

　次の (39-25e) は、fÎL(S, X ) に | f | を対応させる写像は M(S, X ) から M(S, R) への写像と見ても L₀(S, X ) から L₀(S, R) への写像と見ても一様連続ですから、f に測度収束する L₀(S, X ) のコーシー・フィルター F の元の元 j を | j | で置き換えて得られるフィルターは、| f | に測度収束する L₀(S, R) のコーシー・フィルターなので | f |ÎL(S, R) は明らかです。
　また、２番目の不等式は、f が L₀(S, X ) の元のときは (39-22) から明らかなので、極限を取ることにより一般の場合も証明されます。

　次に (39-25f) ですが、f_n を表現する {  f_{n k} | kÎN } を取ると、各 n に対して自然数 k_n が存在して

(39-27)  åi > kn I( | fn i | ) < 2-n

となります。そこで

(39-28a)  gn 0 :º åi £ kn  fn i

(39-28b)  gn i :º fn  kn+ i       ( i ³ 1 )

と置くと、{ g_{n i} | iÎN } は f_n を表現し、

(39-29)  | gn 0 | £ | fn | + | fn - gn 0 | = | fn | + | åi > kn  fn i | £ | fn | + åi > kn | fn i |

となるので

(39-30)  åi I( | gn i | ) = I( | gn 0 | ) + åi ³ 1 I( | gn i | ) £ I( | fn | + åi > kn | fn i | ) + åi ³ 1 I( | gn i |) = I( | fn | ) + 2 åi > kn I( | fn i | ) £ I( | fn | ) + 2-n+1

ですから

(39-31)  ån i I( | gn i |) £ ån I( | fn | ) + ån 2-n+1 < ¥

となるので { g_{n i} | n, iÎN } は f を表現していることがわかり、しかも { å_{n, i £ m} g_{n i} | mÎN } は f_n に M(S, X ) で収束する L(S, X ) のコーシー列で、各 { å_{i £ m} g_{n i} | mÎN } は f に M(S, X ) で収束する L(S, X ) のコーシー列ですから、

(39-32)

ò

f dm = ån i

ò

gn i dm = ån

ò

fn dm

となります。

　次に (39-25g) ですが、F  を M(S, X ) で f に収束する L₀(S, X ) のコーシー・フィルターとすると、

(39-33)  "g, hÎFk : || g - h || < 2-k

となる F_kÎF  が存在します。F  はフィルターなので、各 k に対して h_kÎÇ_{i £ k} A_i を取り、

(39-34a)  g0 :º h0

(39-34b)  gk :º hk - hk-1     ( k ³ 1 )

と置けば、I( | g_k | ) = || g_k || = || h_k - h_k-1 || < 2^-k+1 ですから å_k I( | g_k | ) < ¥ となるので、(39-25f) により g :º å_n g_nÎL₁(S, X ) となり、しかも n ® ¥ のとき、h_n = å_{k £ n} g_k は L(S, X ) で g に収束します。
　ゆえに点列 { h_n | nÎN } に伴うフィルターより粗いコーシー・フィルター fil{ F_k | kÎN } も L(S, X ) で g に収束し、従ってそれより細かいフィルター F  も L(S, X ) で、従って M(S, X ) で g に収束します。一方 F  は M(S, X ) で f にも収束するので (39-25g) が得られます。

　次に (39-25h) ですが、j - y を改めて j と書けば、y = 0 と仮定できます。ところが Ú は M(S, R) の関数で j^± º (±j) Ú 0 ですから M(S, R) で j^± = 0 がわかり、従ってそれらの積分も 0 です。ところがこの積分は (39-25d) により I(j^± ) ですから I( | j | ) = 0 が得られ、(32-28) により j = 0  a.e. がわかります。

　次に (39-25i) ですが、j :º | f - g | , y :º 0 と置けば、(39-25c) により (39-25h) が適用できて、j = 0  a.e. すなわち f = g  a.e. がわかります。

　次に (39-25j) ですが、j £ y  a.e. なら j Ù y = j  a.e. なので j Ù y = j  in M(S, R) となり、Ù は M(S, R) 上の関数なので j' Ù y' = j'  in M(S, R) となりますが、(39-25h) により j' Ù y' = j'  a.e. となり、これは j' £ y'  a.e. を意味します。

　次に (39-25k) ですが、j, yÎL(S, R) の間に j £ y  a.e. の関係があれば、(39-25g),(39-25j) により j = j', y = y'  in M(S, R) となる j', y'ÎΦ が存在して j' £ y'  a.e. となるので (32-9) により明らかです。

　次に (39-25l) ですが、f に測度収束する L₀(S, X ) のコーシー・フィルター F の各元 F に対して F_A :º { Aj | jÎF } , F_A :º fil{ F_A | FÎF } と置けば、フィルター F_A は明らかに L₀(S, X ) のコーシー・フィルターで A f に測度収束するので明らかです。

　次に (39-25m) ですが、任意の e > 0 に対して

(39-35a)

½ ½

ò

f dm -

ò

g dm

½ ½

£

ò

| f - g | dm <

e — 2

となるような gÎL₀(S, X ) を取ると、(39-25e) により

(39-35b)  "AÎΩ :

½ ½

ò

A f dm -

ò

Ag dm

½ ½

£

ò

A | f - g | dm £

ò

| f - g | dm <

e — 2

となりますが、g を (39-2) の形に表して正数 M を sup { | a_s | | sÎB_n } より大きく取り、d :º e/(2M) と置けば、

(39-35c)  "AÎΩd :

½ ½

ò

Ag dm

½ ½

£

ò

A | g | dm = åsÎBn | as | m(A Ù Bs ) £ M I( åsÎBn A Ù Bs ) £ M m(A) £ M d =

e — 2

ですから、(39-35b),(39-35c) により

(39-35d)  "AÎΩd :

½ ½

ò

A f dm

½ ½

< e

となって証明されました。

　次に (39-25n) ですが、まず (39-25g),(39-25b) により、M(S, R) において j = y となる yÎΦ⁺ が存在します。ゆえに、任意の d > 0 に対して (32-6e),(35-4),(39-25m) により

(39-36a)  I(y Ù e) < d

(39-36b)  A :º A(e) :º { y ³ e }ÎΩ

(39-36c)  "BÎΩe :

ò

By dm < d

を満たす e º e(d) > 0 が存在します。また (37-8) と f が可測であることから

(39-36d)  "xÎA¹ÇBºÇD( f )ÇD(j) : | f(x) - g(x)| < e

を満たす gÎL₀(S, X ) と B º B(e)ÎΩ_e が存在します。そこで

(39-37)  gd :º A(1 - B)g

と置くと、| f(x)| £ j(x) を満たす任意の xÎD( f )ÇD(g_d ) に対し、

(39-38a)  xÎA¹ÇBº  Þ  | f(x) - gd(x)| = | f(x) - g(x)| < e £ eA(x)

(39-38b)  xÎAº  Þ  | f(x) - gd(x)| = | f(x)| £ j(x) = {1 - A(x)}j(x)

(39-38c)  xÎB¹  Þ  | f(x) - gd(x)| = | f(x)| £ j(x) = B(x)j(x)

ですから

(39-39)  | f - gd | £ eA + (1 - A)j + Bj   a.e.

　従って、任意の cÎΦ⁺ に対して

(39-40)  c Ù | f - gd | £ c Ù {eA + (1 - A)j + Bj}   a.e.

となりますが、右辺は (38-32) により Φ に属します。このことと、M(S, R) の元として j = y であることから

(39-41)  || f - gd ||c £ I(c Ù {eA + (1 - A)j + Bj}) =

ò

(c Ù {eA + (1 - A)j + Bj}) dm =

ò

(c Ù {eA + (1 - A)y + By}) dm

　一方、(39-36b) により

(39-42)  c Ù {eA + (1 - A)y + By} £ eA + (1 - A)y + By = y Ù e + By   a.e.

ですから

(39-43)  || f - gd ||c £

ò

(y Ù e + By) dm = I(y Ù e) +

ò

By dm £ 2d

が成り立ちます。また 0 < d', d" £ d なら、e' :º e(d' ) , e" :º e(d" ) , A' :º A(e' ) , A" :º A(e" ) , B' :º B(e' ) , B" :º B(e" ) と置けば

(39-44)  | gd' - gd" | £ | f - gd' | + | f - gd" | £ {e'A' + (1 - A' )j + B'j} + {e"A" + (1 - A" )j + B"j}   a.e.

ですから (39-25f) と M(S, R) の元として j = y であることから

(39-45)  || gd' - gd" ||	= ò | gd' - gd" | dm
	£ ò [{e'A' + (1 - A' )j + B'j} + {e"A" + (1 - A" )j + B"j}] dm
	= ò [{e'A' + (1 - A' )y + B'y} + {e"A" + (1 - A" )y + B"y}] dm
	= ò [{y Ù e' + B'y} + {y Ù e" + B"y}] dm
	= I(y Ù e' ) + ò B'y dm + I(y Ù e" ) + ò B"y dm
	< d' + d' + d" + d"
	£ 4d

が得られます。これは F_d :º { g_d' | 0 < d' £ d } , F :º fil{ F_d | d > 0 } と置くと、F  が f に測度収束する L(S, X ) のコーシー・フィルターであることを意味しており、fÎL(S, X ) が証明されました。

　次の (39-25o) は | jf | £ M | f | であり、その次の (39-25p) は | jf | £ M | j | ですから、(38-37d),(39-25e),(39-25n) により明らかです。

　最後に (39-25q) ですが、M(S, R) において j' = j となる j'ÎΦ⁺ を取り、g, hÎF のとき M(S, X ) において g' = g , h' = h となる g', h'ÎL₁(S, X ) と、

(39-46)  | g - h | £ | g | + | h | £ j + j = 2j  Þ  | g' - h' | £ 2j'  Þ  2j' Ù | g' - h' | = | g' - h' |  a.e.

かつ 2j' Ù | g' - h' | = 2j' Ù | g - h |  in M(S, R) ですから

(39-47)  g, hÎF  Þ  || g - h || = || g' - h' || = || 2j' Ù | g' - h' | || = || 2j' Ù | g - h | || = || g - h ||2j'

となり、F が M(S, X ) のコーシー・フィルターであることから L(S, X ) のコーシー・フィルターであることが導かれ、(39-25q) は証明されました。これを有界収束定理ということがあります。

　さて、L(S, X ) は L₀(S, X ) で定義された || · || の連続な拡張によりノルム空間になりますが、このノルムは (39-25e) の右辺に一致します。なぜなら稠密な部分集合 L₀(S, X ) 上で両者は一致するからです。
　ここで、ノルム空間 L(S, X ) は完備、すなわちBanach空間であることに注意します。
　実際、(39-25g) により L₁(S, X ) が完備であることを示せば十分ですが、第28節の注意により、任意の絶対収束級数が収束することを示せばよく、これは (39-25f) から明らかです。

　次に、T を X からノルム | · |' を持つBanach空間 Y への連続な線形写像とします。このとき、任意の fÎL(S, X ) に対し、T _° f ÎL(S, Y ) で

(39-48)

ò

T f(x) m(dx) = T

ò

f(x) m(dx)

が成り立つことを証明しましょう。
　実際、F  を f に測度収束する L₀(S, X ) のコーシー・フィルターとします。
　ここで F  の元の元 g をすべて T _° g で置き換えて得られるフィルターを F_T と書くことにすると、(38-37h) 及びその証明の直後の注意により、F_T は T _° f に測度収束します。
　また、(28-11) により、C > 0 が存在して

(39-49)  | Tg(x) |' £ C | g(x) |

が成り立ちますから、F の元の元 g , h に対して

(39-50)  || T ° g - T ° h ||' =

ò

| Tg(x) - Th(x) | m(dx) £ C

ò

| g(x) - h(x) | m(dx) = C || g - h ||

となって、F_T はコーシー・フィルターであることがわかり、以上で T _° f が可積分であることが証明されました。
　また、明らかに (39-48) の f を L₀(S, X ) の元で置き換えた式は成り立ちつので、F に対する極限を取れば、T の連続性により、任意の fÎL(S, X ) に対して (39-48) が得られます。

　さて、(39-25o) により、f が可積分で A が可測な特性写像なら A f も可積分です。そこでこれの積分を

(39-51)

ò

A f dm =

òA

f dm

とも書くことにし、f の A 上の積分とよびます。

　次に、S :º S₁ ´ S₂ 上の積測度 m :º m₁Äm₂ を考えます。
　任意の fÎL(S, X ) に対し、M(S, X ) で f = g となる gÎL₁(S, X ) を取り、g が { g_k | kÎN } で表現されるとすれば、

(39-52)

ò

f dm = åk I(gk )

が成り立ちます。一方 I₂( | g_k | )ÎΦ₁ ですから (36-22) と同様に

(39-53)  åk I1(I2( | gk | )) = åk I( | gk | ) < ¥

なので å_k I₂( | g_k | )ÎΦ₁ となりますが、(36-23)~(36-25) と同様に

(39-54)  E :º { xÎS1 | åk I2( | ( gk )x | ) < ¥ } = D( åk I2( | gk | ) )

は、積分 I₁ に対する S₁ の充満集合です。ゆえに任意の xÎE に対し、g_xÎL₁(S₂ , X ) で、

(39-55)  åk I2(gk )(x) = åk I2((gk )x ) =

ò

gx dm2

すなわち

(39-56)  åk I2(gk ) =

ò

g( · , y) m2(dy)   a.e.

がなりたつことがわかります。更に (36-29) と同様にして | I₂(g_k ) | £ I₂( | g_k | ) ですから、(36-30) と同様に、

(39-57)  åk I1( | I2(gk ) | ) £ åk I1(I2( | gk | )) < ¥

ですから、(39-56) の左辺、従って右辺は L₁(S₁ , X ) に属し、

(39-58)

ò

m1(dx)

ò

g(x, y) m2(dy) :º

ò

ì í î

ò

g(x, y) m2(dy)

ü ý þ

m1(dx) = åk I1(I2(gk )) = åk I(gk ) =

ò

f dm

が成り立つので、これと添字を入れ替えたものにより

(39-59)

ò

f dm =

ò

m1(dx)

ò

g(x, y) m2(dy) =

ò

m2(dy)

ò

g(x, y) m1(dx)

が得られます。これもFubiniの定理といいます。

　この節の最後に局所凸空間 X に対する可測準写像  f :º {  f_l : S ® X_l | lÎΛ } の積分を定義します。
　 f は、各 f_l が可積分であるとき可積分であるといい、可積分な f の全体を L(S, X ) と書きます。
　可積分な f に対し、f_l の積分を x_lÎX_l と書けば、l £ l' のとき p_l^l' に対して (39-48) を適用することにより、p_l^l'(x_l' ) = x_l が成り立つので、ただ一つ xÎX ^• が存在して "lÎΛ : p_l(x) = x_l となります。この x を f の積分とよんで

(39-60)

ò

f dm º xÎX •

と書きます。L(S, X ) は、各 lÎΛ に対する L(S, X_l ) におけるノルム || · ||_l の族をセミノルムに持つ局所凸空間になりますが、各 L(S, X_l ) が完備なので、L(S, X ) も完備であることがわかります。
　また、各成分 f_l が L₁(S, X_l ) に属す準写像の全体を L₁(S, X ) と書きます。これも完備な局所凸空間になります。