数学の基礎

　付値体 K 上のBanach空間 E の開部分集合 O から局所凸空間 X への写像 g に対する全微分という概念を、実変数の微分可能性の同値な言い換え (29-7) に倣って定義してみましょう。
　aÎO に対し、E から X への線形写像、すなわち線形空間の代数系における準同型 T が存在して、任意の e > 0 と X の一様構造を定める任意のセミノルム | · |_l に対し、d > 0 が存在して

(43-1)  xÎO , || x - a || < d  Þ  | g(x) - g(a) - T(x - a) |l £ e || x - a ||

が成り立つとき、g は a で全微分可能であるといいます。

　g が a で全微分可能なら、(43-1) を満たす T は一意的に定まります。
　実際、S も条件 (43-1) を満たすとし、xÎE と e > 0 と | · |_l を任意に取ります。このとき正数 h < d を取り、(43-1) の x に a + hx を代入すれば

(43-2a)  | g(a + hx) - g(a) - T(hx) |l £ e || hx ||

が成り立ちます。同様に、d' > 0 が存在して (43-1) の T を S に置き換えた式が成り立ちますから、h を d と d' のいずれよりも小さく取っておけば、

(43-2b)  | g(a + hx) - g(a) - S(hx) |l £ e || hx ||

も成り立ちます。ゆえに、ノルム、セミノルムの性質 (28-2) と S , T が線形であることを用いると

(43-3)  h | T(x) - S(x) |l = | T(hx) - S(hx) |l £ | g(a + hx) - g(a) - T(hx) |l + | g(a + hx) - g(a) - S(hx) |l £ e || hx || + e || hx || = 2eh || x ||

が成り立つので、両辺を h で割ると、e > 0 が任意であることから | T(x) - S(x) |_l = 0 が得られ、| · |_l が任意であることから T(x) = S(x) が得られ、更に x が任意であることから T = S が得られます。

　そこで、(43-1) を満たす唯一の T を g の a における全微分とよんで dg_a と書くことにします。この記号を用いると、(43-1) は

(43-4)  xÎO , || x - a || < d  Þ  | g(x) - g(a) - dga(x - a) |l £ e || x - a ||

と書くことができます。

　特に E = K の場合は、(43-4) と (29-7) と比較すれば、g の微分可能性と全微分可能性は同値で、任意の xÎK = E に対して dg_a(x) = g'(a)x ですから、特に x に K の乗法の単位元 1 を代入することにより

(43-5)  g'(a) = dga(1)

が成り立つことがわかります。

　さて、(43-4) から明らかなように、g が a で全微分可能ならば、dg_a が連続な線形作用素であることと g が a で連続であることは同値です。
　また明らかに、g と dg_a の対応は線形です：

(43-6a)  d(g + h)a = dga + dha

(43-6b)  d(cg)a = cdga

　また、g は a で連続かつ全微分可能であるとし、j を O から K への写像で、これも a で連続かつ全微分可能であるとします。このとき、j と g の積 jg も a で連続かつ全微分可能であることを証明しましょう。

　まず連続性は明らかです。一方、g が a で連続かつ全微分可能であることから dg_a も連続なので、(28-11) により、M > 0 が存在して

(43-7a)  xÎE  Þ  | dga(x) |l £ M || x ||

　また、j の a における連続性により、d' > 0 が存在して

(43-7b)  xÎO , || x - a || < d'  Þ  | j(x) - j(a) | £ inf {1, e/M}

　また、j の a における全微分可能性により、d" > 0 が存在して

(43-8)  xÎO , || x - a || < d"  Þ  | j(x) - j(a) - dja(x - a) |l £ e || x - a ||

　ゆえに、xÎO かつ || x - a || < inf { d, d', d" } ならば、

(43-9)  | j(x)g(x) - j(a)g(a) - {g(a)dja + j(a)dga}(x - a) |l	£ | j(x)g(x) - j(a)g(a) - {g(a)dja + j(x)dga}(x - a) |l + | j(x) - j(a) | | dga(x - a) |l
	£ | j(x) | | g(x) - g(a) - dga(x - a) |l + | g(a) |l | j(x) - j(a) - dja(x - a) | + e  — M M || x - a ||
	£ {1 + | j(a) |}e || x - a || + | g(a) |l e || x - a || + e || x - a ||
	£ e{1 + | j(a) | + | g(a) |l } || x - a ||

となるので、確かに jg は a で微分可能で

(43-10)  d(jg)a = g(a)dja + j(a)dga

が成り立つことがわかりました。

　次に、f がノルム || · ||' を持つBanach空間 F の開集合 U から O への写像で、一点 cÎU で連続かつ全微分可能で、g も f(c) で連続かつ全微分可能なら、合成写像 g _° f も c で連続かつ全微分可能であることを証明しましょう。
　まず連続性は明らかです。一方、g は a :º f(c) として (43-7a) を満たし、同様に f についても N > 0 が存在して

(43-11)  xÎF  Þ  || dfc(x) || £ N || x ||'

が成り立ちます。(43-4) の e に inf {1, e/N } を、x と a にそれぞれ f(x) と f(c) を代入したときの d を取れば、

(43-12)   f(x)ÎO , ||  f(x) - f(c) || < d  Þ  | g( f(x)) - g( f(c)) - dgf(c)( f(x) - f(c)) |l £ inf {1, e/N } ||  f(x) - f(c) ||

　一方、f は c で全微分可能ですから、d' > 0 が存在して

(43-13)  xÎU , || x - c ||' < d'  Þ  ||  f(x) - f(c) - dfc(x - c) || £

e  ——— 1 + M

|| x - c ||'

が成り立ちます。ゆえに

(43-14)  | g( f(x)) - g( f(c)) - dgf(c)(dfc(x - c)) |l	£ | g( f(x)) - g( f(c)) - dgf(c)( f(x) - f(c)) |l + | dgf(c)( f(x) - f(c) - dfc(x - c)) |l
	£ inf {1, e/N } ||  f(x) - f(c) || + M ||  f(x) - f(c) - dfc(x - c) ||
	£ inf {1, e/N } { || dfc(x - c) || + ||  f(x) - f(c) - dfc(x - c) || } + M ||  f(x) - f(c) - dfc(x - c) ||
	£ (e/N ) || dfc(x - c) || + ( 1 + M ) ||  f(x) - f(c) - dfc(x - c) ||
	£ 2e || x - c ||'

となるので、確かに g _° f は c で微分可能で

(43-15)  d(g ° f )c = dgf(c) º dfc

が成り立つことがわかりました。

　さて、E が K-線形空間で、g が a で全微分可能のとき、任意の eÎE に対して tÎK の関数

(43-16)  ge(t) :º g(a + te)

を考えると、(43-4) で x に a + te を代入すると、dg_a の線形性により

(43-17)  | ge(t) - ge(0) - tdga(e) |l £ et || e ||

が成り立ち、これは、(29-7) により g_e が 0 で微分可能で

(43-18)  ge'(0) = dga(e)

が成り立つことを意味しています。この (43-18) の値を g の a における e の方向微分とよびます。

　次に、K_i ( i = 1, 2 ,¼, n ) を、共通の付値体 K を含み、共通の付値体 K' に含まれる付値体、O_i を K_i の開集合とし、g を O₁ ´ O₂ ´ ¼ ´ O_n で定義され、K' 上の局所凸空間 X に値を持つ関数とします。
　iÎ{ 1, 2 ,¼, n } に対し、i 以外のすべての j に対する x_j を定数とみなしたとき g が x_i について微分可能ならば、g は x_i について偏微分可能であるといい、その導関数 ¶_ig を偏導関数とよんで

(43-19)  ¶ig(x1 , x2 ,¼, xn ) =

¶g —–  ¶xi

(x1 , x2 ,¼, xn ) =

¶g(x1 , x2 ,¼, xn ) ———————  ¶xi

などと書きます。また、¶_iu が更に x_j について偏微分可能であるとき、その偏導関数 ¶_j¶_ig に対して

(43-20)  ¶j¶ig(x1 , x2 ,¼, xn ) =

¶²g ——–  ¶xj¶xi

(x1 , x2 ,¼, xn ) =

¶²g(x1 , x2 ,¼, xn ) ———————–  ¶xj¶xi

と書きます。特に i = j の場合、¶_i¶_i を ¶_i² と、また分母の ¶x_i¶x_i を ¶x_i² とそれぞれ略記します。
　一般に高階の偏微分に関しても同様で、k階の偏導関数 ¶_i1¼¶_ikg について

(43-21)  ¶i1¼¶ikg(x1 , x2 ,¼, xn ) =

¶kg ————  ¶xi1¼¶xik

(x1 , x2 ,¼, xn ) =

¶kg(x1 , x2 ,¼, xn ) ———————–  ¶xi1¼¶xik

と書きます。同じ ¶_i や ¶x_i が３個以上続く場合の略記法も２個の場合と同様です。

　さて、E :º K₁ ´ K₂ ´ ¼ ´ K_n と置くと、E は K-線形空間かつBanach空間とみなせますから、aÎE において g の全微分を考えることができます。このとき、g が a で全微分可能なら、すべての iÎ{ 1, 2 ,¼, n } について g は a で x_i に対して偏微分可能であり、x_iÎE を、第 i 成分のみ 1 、他の成分は x_i と置いて定義したとき、(43-4) と (29-7) を比較すれば

(43-22)  ¶ig(a) xi = dga(xi)

が得られます。ところで、xÎE に対して

(43-23)  x =

n å i=1

xi

ですから、これに dg_a を施すと、dg_a の線形性と (43-22) により

(43-24)  dga(x) =

n å i=1

¶ig(a) xi

が成り立ちます。このことから特に dg_a が a で連続、従って g も a で連続であることがわかります。
　従って特に、付値体の有限個の積の開部分集合で定義された g , j , f に対しては (43-10),(43-15) は常に成り立つことがわかります。

　この (43-24) を、特に x に x_i を対応させる写像（便宜的に、この写像そのものも x_i と書きます）に適用すれば、

(43-25)  ¶jxi =

¶xi —–  ¶xj

= dij :º

ì í î

1       ( i = j )     0       ( i ¹ j )

ですから

(43-26)  dxia(x) = xi

となり、これを (43-24) に代入すれば

(43-27a)  dga(x) =

n å i=1

¶ig(a) dxia(x)

あるいは x は任意ですから、

(43-27b)  dga =

n å i=1

¶ig(a) dxia

という式が得られます。
　もし、すべての aÎO で g が全微分可能なら、更に a も省略し、g の偏微分を ¶g/¶x_i と書いて

(43-27c)  dg =

n å i=1

¶g  —–  ¶xi

dxi

が成り立ちます。
　ゆえに、u :º ( u₁ , u₂ ,¼, u_n ) が付値体 K の開部分集合 I から O への写像で、aÎI で微分可能なら、(43-5),(43-15),(43-27b) により

(43-28a)  (g ° u)'(a) = d(g ° u)a(1) = dgu(a)(dua(1)) =

n å i=1

¶ig(u(a)) dxiu(a)(dua(1)) =

n å i=1

¶ig(u(a)) d(xi ° u)a(1) =

n å i=1

¶ig(u(a)) duia(1) =

n å i=1

¶ig(u(a)) ui'(a)

が得られます。これは a を t と書き直せば

(43-28b)

dg(u(t))  ———– dt

=

n å i=1

¶g(u(t))  ———–  ¶ui

dui(t) ——–  dt

と書くこともできます。

　さて、上で示したように、全微分可能なら偏微分可能でしたが、今度はその逆について考察します。

　E :º K₁ ´ K₂ ´ ¼ ´ K_n の各付値体 K_i は、共通の付値体として実数体 R を含むものとし、開集合 O Ì E から局所凸空間 X への関数 g が、ある aÎO のある閉近傍 U Ì O で、すべての x_i について偏微分可能で、各 ¶_ig は U で一様連続であるとします。
　このとき g は a で全微分可能であることを証明しましょう。

　実際、まず最初に X が完備である場合について証明します。U は、もし必要なら狭めることにより、

(43-29)  U =

n Õ i=1

{ xÎKi |  | x - ai | £ ri }

という形の集合であると仮定することができます。このとき、任意の xÎU と 0 £ t £ 1 に対して

(43-30)  | {txi + (1 - t) ai} - ai | = | t(xi - ai ) | = t | xi - ai | £ t ri £ ri

ですから、(a₁ ,¼, a_i-1 , tx_i + (1 - t) a_i , x_i+1 ,¼, x_n ) - a ÎU となるので、(42-14) により

(43-31)  g(x) - g(a)	= n å i=1 { g(a1 ,¼, ai-1 , xi , xi+1 ,¼, xn ) - g(a1 ,¼, ai-1 , ai , xi+1 ,¼, xn ) }
	= n å i=1 ò  1 0 d —–  dt g(a1 ,¼, ai-1 , txi + (1 - t) ai , xi+1 ,¼, xn ) dt
	= n å i=1 (xi - ai ) ò  1 0 ¶ig(a1 ,¼, ai-1 , txi + (1 - t) ai , xi+1 ,¼, xn ) dt
	= n å i=1 (xi - ai ) ¶ig(a) + n å i=1 (xi - ai ) ò  1 0 { ¶ig(a1 ,¼, ai-1 , txi + (1 - t) ai , xi+1 ,¼, xn ) - ¶ig(a) } dt

が成り立ちます。一方、¶_ig は a で連続ですから、X の一様構造を定める任意のセミノルム | · |_l と任意の e > 0 に対し、a の近傍 V を十分小さく取れば、xÎV と 0 £ t £ 1 に対して

(43-32)  | ¶ig(a1 ,¼, ai-1 , txi + (1 - t) ai , xi+1 ,¼, xn ) - ¶ig(a) |l £ e

が成り立ちます。従って (43-31),(43-32) により、xÎV ならば

(43-33)

½ ½

g(x) - g(a) -

n å i=1

(xi - ai ) ¶ig(a)

½ ½l

£

n å i=1

| xi - ai |

ò

1 0

| ¶ig(a1 ,¼, ai-1 , txi + (1 - t) ai , xi+1 ,¼, xn ) - ¶ig(a) |l dt £ e

n å i=1

| xi - ai |

が成り立つので、E のノルム || · || を

(43-34)  || x || :º

n å i=1

| xi |

で定めれば、これは E の一様構造を定め、(43-33) は

(43-35)

½ ½

g(x) - g(a) -

n å i=1

(xi - ai ) ¶ig(a)

½ ½l

£ e || x - a ||

と書けますが、これは g が a で全微分可能で (43-24) が成り立っていることを意味しています。
　最後に X が一般の局所凸空間の場合は、X の完備化 X ^• については今示したことにより (43-35) が成り立ちますが、(43-35) は X ^• の部分空間である X についても明らかに成立します。

　さて、今度は (43-29) の U に対して g : U ® X に U 上一様収束する U から X への関数からなるフィルター G が与えられ、G を構成する各関数は、すべての i = 1, 2 ,¼, n に対して x_i に関する偏導関数が存在して一様連続で、かつこれらの偏導関数からなるフィルターは U から X への関数 h_i に一様収束しているとします。
　第20節 (20-14) の直前の注意により、h_i は U で一様連続ですが、このとき g は U で全微分可能で

(43-36)  ¶ig = hi

が成り立ちます。
　実際、(43-31) の g を、F を構成する関数で置き換えた式が成り立ちますが、その極限を取れば、(43-31) の ¶_ig を h_i に置き換えた式が成り立つので、(43-35) で同様に置き換えた式が成り立ち、これは g が全微分可能で、h_i がその x_i による偏導関数になっていることを示しています。

　さて、φ を R の区間 I から O への一点 cÎI で微分可能な関数とし、E から K_i への標準写像を p_i と書き、j_i :º p_{i °} φ と置くと、g _° φ は c で微分可能で

(43-37)  (g ° φ)'(c) =

n å i=1

¶ig(φ(c))ji'(c)

が成り立ちます。実際、(43-35) で x に φ(c + h) を、a に φ(c) を代入して両辺を h で割れば、

(43-38)

| | | |

g(φ(c + h)) - g(φ(c)) ————————– h

-

n å i=1

ji(c + h) - ji(c) ——————–  h

¶ig(φ(c))

| | | |

£ e

|| || || ||

φ(c + h)) - φ(c) ——————– h

|| || || ||

となるので、h ® 0 とすれば (43-37) が得られます。

　次に、実変数の場合における偏微分の順序交換について考察します。
　K と各 K_i はすべて実数体 R とします。更に、U は (43-29) の形をした O の部分集合とし、相異なる i, jÎ{ 1, 2 ,¼, n } を選んで固定します。また g : O ® X は U において x_i についても x_j についても偏微分可能で、更に ¶_ig は一様連続かつ x_j について微分可能で、しかも ¶_j¶_ig は一様連続であるとします。
　このとき ¶_j g は x_i について微分可能で、U 上

(43-39)  ¶i¶j g = ¶j¶ig

が成り立つことを証明しましょう。
　実際、この場合も X は完備であると仮定してもかまわないので、そう仮定することにします。
　また、表記の簡便のために、x_i と x_j 以外の変数を書くのを省略し、g(x) のことを g(x_i , x_j ) と書くことにします。このとき (42-14) により、

(43-40)

ò

xi ai

dti

ò

xj aj

¶j¶ig(ti , tj ) dtj =

ò

xi ai

{ ¶ig(ti , xj ) - ¶ig(ti , aj ) } dti = { g(xi , xj ) - g(xi , aj ) } - { g(ai , xj ) - g(ai , aj ) }

　ところで ¶_j¶_ig は一様連続ですから、Fubiniの定理により、積分の順序が交換できて、

(43-41)  g(xi , xj ) = g(xi , aj ) + g(ai , xj ) - g(ai , aj ) +

ò

xj aj

dtj

ò

xi ai

¶j¶ig(ti , tj ) dti

　よってこの両辺を x_j で偏微分すれば、(42-12) により

(43-42)  ¶j g(xi , xj ) = ¶j g(ai , xj ) +

ò

xi ai

¶j¶ig(ti , xj ) dti

　ところがこの右辺は x_i について偏微分可能ですから、(43-42) の両辺を更に x_i で偏微分すれば、

(43-43)  ¶i¶j g(xi , xj ) = ¶j¶ig(xi , xj )

となって、(43-39) が得られます。

　一般に α = (a₁ , a₂ ,¼, a_n )ÎNⁿ を多重指標とよぶことにし、

(43-44a)  | α | :º a1 + a2 + ¼ + an

(43-44b)  α! :º a1! a2! ¼ an!

(43-44c)  xα :º x1a1 x2a2 ¼ xnan

(43-44d)  ¶α :º ¶1a1 ¶2a2 ¼ ¶nan =

¶ |α| ——————–  ¶x1a1¶x2a2¼¶xnan

(43-44e)  g(α) :º ¶αg

と定義します。

　さて、Rⁿ の開集合 O で定義された X-値の関数 g は、m 階以下の偏導関数がすべて存在し、それらが O に含まれる任意の有界閉区間、すなわち (43-29) の形の集合上で一様連続であるとき C^m-級であるといい、それらの全体を C^m(O, X ) と書きます。なお、X が体 K である場合は X を省略して C^m(O) と書くこともあります。
　また、すべての自然数 m に対して C^m-級であるとき C^¥-級であるといい、その全体を C^¥(O, X ) あるいは C^¥(O) と書きます。
　gÎC^m(O, X ) と | · |_l と、O に含まれる有界閉区間 U に対し、

(43-45)  || g ||l,m,U :º sup {  | ¶αg(x) |  |  | α | £ m , xÎU  }

と置けば、これらは C^m(O, X ) のセミノルムになります。そこで C^m(O, X ) を、これらのセミノルムを持つ局所凸空間とみなすことにします。X が完備なら、(43-36) の議論により C^m(O, X ) も完備であることがわかります。

　g : O ® X が C^m+1-級のとき、a, xÎO を共に含む O の有界閉区間が存在するものとします（ x が a に十分近ければ、そのような閉区間は明らかに存在します）。
　十分小さい e > 0 に対する - e £ t £ 1 + e に対し、

(43-46)  j(t) :º g(tx + (1 - t)a)

と置いて、(42-50) で g に j を、n に m を、a に 0 を、x に 1 を代入すると、

(43-47)  g(x) = j(1) =

m å k=0

j(k)(0) ———  k!

+

ò

1 0

j(m+1)(t) ———–  m!

(1 - t)m dt =

m å k=0

Dkg(a) ———  k!

+

ò

1 0

Dm+1g(tx + (1 - t)a) ————————  m!

(1 - t)m dt

が得られます。ただし

(43-48)  D :º

n å i=1

(xi - ai )¶i

で、¶_i は n 変数の関数の第n変数の偏導関数を取る演算子で、x_i や a_i は、この演算子にとって定数とみなします。
　ここで、(12-34),(12-35) を用い、(43-44) の記法を使うと、

(43-49)

Dk —–  k!

=

å |α|=k

(x - a)α

¶α —–  α!

が成り立ちますから、これを用いて (43-47) を変形すれば、

(43-50)  g(x) =

å |α|£m

g(α)(a) ———  α!

(x - a)α + (m + 1)

å |α|=m+1

(x - a)α

ò

1 0

g(α)(tx + (1 - t)a) ———————  α!

(1 - t)m dt

という多変数のTaylor展開が得られます。もし、各セミノルム | · |_l に対して

(43-51)  | g(α)(tx + (1 - t)a) |l £ Mlm       (  | α | = m + 1 ,  0 £ t £ 1  )

なら、

(43-52)

½ ½

g(x) -

å |α|£m

g(α)(a) ———  α!

(x - a)α

½ ½l

£ Mlm (m + 1)

å |α|=m+1

| (x - a)α | ————  α!

ò

1 0

(1 - t)m dt = Mlm

å |α|=m+1

| (x - a)α | ————  α!

= Mlm

| x - a |m+1 ————  (m + 1)!

という評価式が得られます。ただし

(43-53)  | x - a | :º

n å i=1

| xi - ai |

です。

　次に、実変数のパラメター t を持つ関数の積分と t に関する微分の順序交換について考察します。
　X を完備局所凸空間、m を集合 S 上の測度、I を R の有界閉区間とし、S の充満集合 S' に対して I ´ S' で定義された X-値の写像 g が、各 tÎI に対して x について可積分、各 xÎS' に対して t について絶対連続でその導準写像 ¶g(t, x)/¶t は I ´ S' で可積分であるとします。このとき、微分積分学の基本定理 (42-25) により

(43-54)

ò

t a

¶g(t, x) ——— ¶t

dt = g(t, x) - g(a, x)

が成り立つので、これとFubiniの定理により、

(43-55)

ò

t a

dt

ò

¶g(t, x) ——— ¶t

m(dx) =

ò

m(dx)

ò

t a

¶g(t, x) ——— ¶t

dt =

ò

g(t, x) m(dx) -

ò

g(a, x) m(dx)

となるので、ò g(t, x)m(dx) は t について絶対連続で、その導準写像を (d/dt)ò g(t, x)m(dx) と書けば、

(43-56)

d  —– dt

ò

g(t, x) m(dx) =

ò

¶g(t, x) ——— ¶t

m(dx)

が成り立つことがわかります。これを積分と微分の順序交換の公式といいます。
　更に、g が各 xÎS' に対して t について微分可能で、その導関数 ¶g(t, x)/¶t は t について I で一様連続であるとします。もし更に

(43-57)  h(x)(t) :º

¶g(t, x) ——— ¶t

( xÎS' , tÎI )

で定義される h が、局所凸空間 C(I, X ) に値を取る関数として可積分なら、tÎI に ò{¶g(t, x)/¶t}m(dx)ÎX を対応させる写像は、C(I, X )-値関数を積分した結果なので C(I, X ) の元ですから、t について一様連続です。ゆえに (43-55) の左辺は t について微分可能になるので、(43-56) は真の微分の意味で成立します。
　例えば、第41節 (41-40) の後の注意により、S が Rⁿ の有界閉区間で ¶g/¶t が I ´ S 上一様連続な場合、あるいは S が Rⁿ の開区間で、Ú_i A_i Ì 1 を満たし、1 に測度収束し、A_i¹ が有界閉区間であるような S 上の特性写像の単調非減少列 { A_i | iÎN } が存在して、¶g/¶t は、各 A_i¹ 上で一様連続で、各 lÎΛ に対して実数値の非負可積分関数 j_l が存在して

(43-58)

½ ½

¶g(t, x) ——— ¶t

½ ½l

£ jl(x)       ( tÎI , xÎS )

が成り立つ場合、(43-57) の h は可積分になり、この条件が満たされます。

　特に、S も R の区間の場合、

(43-59)  F(s, t) :º

ò

s a

g(t, t) dt

と置けば、微分積分学の基本定理及び (43-56) により

(43-60a)  ¶1F(s, t) :º g(t, s)

(43-60b)  ¶2F(s, t) :º

ò

s a

¶1g(t, t) dt

が成り立ちますから、更に R の区間で定義された S に値を持つ微分可能な関数 j に対して

(43-61)

d  —– dt

ò

j(t) a

g(t, t) dt =

d  —– dt

F(j(t), t) = j'(t) ¶1F(j(t), t) + ¶2F(j(t), t) = j'(t) g(t, j(t)) +

ò

j(t) a

¶1g(t, t) dt

という公式が得られ、特に j(t) º t の場合は

(43-62)

d  —– dt

ò

t a

g(t, t) dt = g(t, t) +

ò

t a

¶1g(t, t) dt

となります。