数学の基礎

　X をBanach空間、I を R の区間、O を X の開集合、A を I ´ O から X への写像とするとき、与えられた aÎI と xÎO に対して

(44-1a)

du(t) ——  dt

= A(t, u(t))       ( tÎI )

(44-1b)  u(a) = x

を満たす I から X への関数 u を求める問題を考え、これを u に関する１階の常微分方程式といいます。

　もっと一般に、k £ n に対する k 階の導関数 u^(k) を含むn階の常微分方程式：

(44-2a)  u(n)(t) = B(t, u(t), u'(t), u"(t) ,¼, u(n-1)(t))       ( tÎI )

(44-2b)  u(k)(a) = xk       ( 0 £ k < n )

も考えられますが、これは、新しい変数 v_k ( 0 £ k < n ) を導入し、X ⁿ を Y と置き、I から Y への関数 v :º (v₀ , v₁ , v₂ ,¼, v_n-1 ) に対する１階常微分方程式：

(44-3a)

dv(t) ——  dt

= (v1(t) , v2(t) ,¼, vn-1 , B(t, v(t)))       ( tÎI )

(44-3b)  v(a) = (x0 , x1 , x2 ,¼, xn-1 )

を解くことに帰着されます。
　実際、(44-3) の解が得られれば、u :º v₀ と置けば、これは (44-2) の解になり、逆に (44-2) の解 u から v :º (u, u', u",¼, u^(n-1) ) と置けば、これは (44-3) の解になるからです。

　そこで、以下１階の常微分方程式 (44-1) のみを考えることにします。

　X の開集合 O が存在して、A は I ´ O で定義され、O の任意のプレコンパクト部分集合 C に対して I ´ C 上一様連続で、しかもLipschitz連続、すなわち正数 L が存在して、任意の tÎI と任意の u, vÎO に対して

(44-4)  || A(t, u) - A(t, v) || £ L || u - v ||

が成り立つものとします。
　このとき、任意の aÎI と xÎO に対し、a のある近傍 J Ì I で定義された (44-1) の解が一意的に存在することを証明しましょう。

　実際、K :º sup { || A(t, x) || | tÎI } と置くと、右辺の集合はプレコンパクト集合の一様連続像なのでプレコンパクト、従って K は実数ですが、

(44-5)  { zÎX  |  || z - x || £

¥ å k=1

KLk-1hk ————  k!

} Ì O

を満たす h > 0 に対して J :º IÇ[a - h, a + h] と置き、任意の tÎJ に対して

(44-6a)  u0(t) :º x

(44-6b)  uk+1(t) :º x +

ò

t a

A(t, uk(t)) dt

と置くと、各 u_k は J で一様連続かつ u_k[J ] は O のプレコンパクト部分集合で、k ³ 1 に対して

(44-7)  || uk(t) - uk-1(t) || £

KLk-1| t - a |k ——————  k!

が成り立つことが証明できます。

　実際、まず tÎJ なら | t - a | £ h であることに注意します。また、s の冪級数：

(44-8)  j(s) :º

¥ å k=1

s k —– k!

を考えると、その収束半径は、(28-46) の値 lim_k | a_k+1 / a_k | = lim_k k! / (k + 1)! = 0 の逆数、すなわち無限大ですから、すべての s ³ 0 に対して収束します。しかも j は連続かつ j(0) = 0 で、(44-5) に出てくる無限和は (K/L)j(Lh) と書けますから、h > 0 を十分小さく取れば (44-5) を満たすようにできることに注意します。

　さて、(44-6b) で k = 0 と置き、x を左辺に移項してノルムを取れば、

(44-9)  || u1(t) - u0(t) || = || u1(t) - x || £

ò

sup {a, t} inf {a, t}

|| A(t, x) || dt £ K | t - a | £ Kh

ですから、まず k = 1 に対して (44-7) が成り立つことがわかり、更に (44-5) により u₁(t)ÎO がわかります。なお、一般に u_k[J ] のプレコンパクト性は、u_k の一様連続性と J のプレコンパクト性から直ちに従います。

　次に、u_k が J で一様連続かつ u_k[J ] が O のプレコンパクト部分集合で、(44-7) が k まで成り立つと仮定して、これらが k を k + 1 に置き換えても成り立つことを証明しましょう。
　帰納法の仮定により、u_k[J ] は O のプレコンパクト部分集合ですから、(44-6b) の右辺の被積分関数は J で一様連続、従って可積分なので意味を持ち、左辺は J において t の一様連続関数になります。
　また、(44-6b) から k を k - 1 に置き換えた式を辺々引いたもののノルムを取り、(44-4) と帰納法の仮定を用いると、

(44-10)  || uk+1(t) - uk(t) ||	£ ò sup {a, t} inf {a, t} || A(t, uk(t)) - A(t, uk-1(t)) || dt
	£ L ò sup {a, t} inf {a, t} || uk(t) - uk-1(t) || dt
	£ L ò sup {a, t} inf {a, t}  KLk-1| t - a |k ——————  k!  dt
	=  KLk| t - a |k+1 ——————  (k + 1)!

が導かれ、k を k + 1 に置き換えた (44-7) は証明されました。ゆえに、

(44-11)  || uk+1(t) - x || £

k+1 å i=1

|| ui(t) - ui-1(t) || £

k+1 å i=1

KLi-1| t - a | i ——————  i!

£

¥ å i=1

KLi-1hi ———–  i!

となって、(44-5) により u_k+1(t)ÎO がわかります。以上で帰納法が完成しました。

　さて、(44-7) により、l ³ k を満たす任意の自然数 k と l に対して

(44-12)  || ul(t) - uk(t) || £

l å i=k+1

|| ui(t) - ui-1(t) || £

l å i=k+1

KLi-1| t - a | i ——————  i!

£

K —– L

¥ å i=k+1

Lihi ——  i!

となりますが、この右辺はすべての Lh に対して収束する冪級数 j(Lh) の k + 1 次以降の項の和ですから、k ® ¥ のとき (44-12) は tÎJ について一様に 0 に収束します。
　ゆえに { u_k | kÎN } は C(J, X ) のコーシー列なので、X の完備性により極限 u が存在し、J で一様連続です。
　一方、(44-4) により、k ® ¥ のとき、(44-6b) の右辺の被積分関数は t に関して一様に A(t, u(t)) に収束するので、(44-6b) で k ® ¥ とすれば

(44-13)  u(t) = x +

ò

t a

A(t, u(t)) dt

が得られ、右辺は t について微分可能ですから、両辺を t で微分することにより、u は J における (44-1) の解になっていることがわかります。

　次に、J における解の一意性を証明しましょう。
　u と v が J における (44-1) の解なら、これらを a から t まで積分することにより、共に (44-13) を満たします。
　ここで K' :º sup { || A(t, u(t)) || | tÎJ } , K" :º sup { || A(t, v(t)) || | tÎJ } と置くと、これらは実数で、

(44-14a)  || u(t) - x || £

ò

sup {a, t} inf {a, t}

|| A(t, u(t)) || dt £ K' | t - a |

(44-14b)  || v(t) - x || £

ò

sup {a, t} inf {a, t}

|| A(t, v(t)) || dt £ K" | t - a |

が成り立ち、従って N :º K' + K" と置けば

(44-15)  || u(t) - v(t) || £ || u(t) - x || + || v(t) - x || £ N | t - a |

が成り立ちます。このことから、任意の整数 k > 1 に対して

(44-16)  || u(t) - v(t) || £

NLk-1| t - a |k ——————  k!

が成り立つことを k に関する帰納法で証明しましょう。
　実際、k について成り立つと仮定し、(44-13) と、その u を v に置き換えたものを辺々引いてノルムを取り、(44-4) と帰納法の仮定を用いると、

(44-17)  || u(t) - v(t) ||	£ ò sup {a, t} inf {a, t} || A(t, u(t)) - A(t, v(t)) || dt
	£ L ò sup {a, t} inf {a, t} || u(t) - v(t) || dt
	£ L ò sup {a, t} inf {a, t}  NLk-1| t - a |k ——————  k!  dt
	=  NLk| t - a |k+1 ——————  (k + 1)!

となって帰納法が完成し、(44-16) は証明されました。

　ところが (44-16) の右辺は、冪級数 (N/L)j(L | t - a | ) の k次の項ですから、これは k ® ¥ のとき 0 に収束するので、u(t) = v(t) が成り立つことがわかり、一意性が証明されました。

　ここで、X = Rⁿ で A が (a, x) の近傍で Cⁿ-級である場合を考えてみましょう。
　この場合、k £ n で u が C^k-級なら (44-1a) の右辺、従って左辺も C^k-級ですから、これは u が C^k+1-級であることを意味します。よって k に関する帰納法により、u は Cⁿ⁺¹-級であることがわかります。特に A が C^¥-級なら u も C^¥-級です。
　なお、A が (a, x) の近傍で C¹-級なら、その近傍は、R の区間 J と X のプレコンパクトな凸集合 U の積であると仮定できますが、tÎJ と u, vÎU に対して

(44-18)  A(t, u) - A(t, v) =

ò

1 0

d —–  ds

A(t, su + (1 - s)v) ds =

n å i=1

(ui - vi )

ò

1 0

¶A  —–  ¶ui

(t, su + (1 - s)v) ds

であり、¶A/¶u_i はプレコンパクト集合 J ´ U 上で一様連続ですから有界です。ゆえに両辺のノルムを取ればLipscitz連続性 (44-4) は導出できることがわかります。

　さて、ここで初めに戻り、特に O = X の場合を考えてみましょう。この場合、(44-5) を満たす h として任意に大きな正数が取れるので、u は I 全体で定義された一意解を持つことがわかります。
　この場合、h はノルムと無関係に取れるので、X はBanach空間である必要はなく、完備な局所凸空間であれば、上記の議論はすべて成立することに注意します。
　さて、例として、X = Rⁿ の場合、R の区間 I で定義された Cº-級関数 b_ij , c_i ( i, j = 1, 2 ,¼, n ) に対する次のような１階連立線形常微分方程式：

(44-19a)  ui'(t) =

n å  j=1

bij(t) uj(t) + ci(t)

(44-19b)  ui(a) = xi

を考えると、I に含まれる任意の有界閉区間 J と X の任意のプレコンパクト集合 C に対して (44-1a) の A に相当する関数は J ´ C で一様連続ですから、O = X とし、I のかわりに J を当てはめて上述の議論を適用することができ、すべての aÎJ と x_iÎR ( i = 1, 2 ,¼, n ) に対して、J 全体で定義された (44-19) の解の組 u_i ( i = 1, 2 ,¼, n ) が唯一組存在することがわかります。
　ところが、I の任意の２点 a , t を元に持つ有界閉区間 J Ì I が存在するので、これは、すべての aÎI と x_iÎR ( i = 1, 2 ,¼, n ) に対して、I 全体で定義された (44-19) の解の組 u_i ( i = 1, 2 ,¼, n ) が唯一組存在することを意味します。
　特に、(44-19) で b_ij , c_i がすべて定数である場合を定数係数線形常微分方程式といいます。

　次に、A や初期値 x が変化した場合の解の安定性について調べてみましょう。
　任意の e > 0 と任意の l > 0 に対し、A と同様に、I ´ O で定義された関数 B が、O の任意のプレコンパクト部分集合 C に対して I ´ C 上一様連続で、しかも任意の tÎI と任意の u, vÎO に対して

(44-20)  || B(t, u) - B(t, v) || £ L || u - v ||

を満たしているものとします。このとき、初期値 yÎO に対し、v に対する１階常微分方程式

(44-21a)

dv(t) ——  dt

= B(t, v(t))       ( tÎI )

(44-21b)  v(a) = y

を考えることができますが、上で行った議論により、K' :º sup { || B(t, y) || | tÎI } と置き、

(44-22)  { zÎX  |  || z - y || £

¥ å k=1

K'Lk-1h' k ————  k!

} Ì O

を満たす h' > 0 に対して J' :º IÇ[a - h', a + h' ] と置き、任意の tÎJ' に対して v_k を

(44-23a)  v0(t) :º y

(44-23b)  vk+1(t) :º y +

ò

t a

B(t, vk(t)) dt

で定義すると、{ v_k | kÎN } の J' における一様収束極限 v が存在して、これが J' における (44-21) の一意解になります。

　さて、ここで B が A に十分近い、すなわち任意に与えられた正数 e と l に対して

(44-24a)  tÎI , uÎO : || A(t, u) - B(t, u) || £

e —– 2l

が成り立ち、y が x に十分近い、すなわち

(44-24b)  || x - y || £

e —– 2

が成り立つならば、J' における (44-21) の一意解 v は、J における (44-1) の一意解 u に十分近い、すなわち

(44-25)  || u(t) - v(t) || £ e{1 + j(Ll)}       (  tÎJÇJ'Ç[a - l, a + l]  )

が成り立つことを証明しましょう。ただし j は (44-8) で定義した関数です。

　このためには、(44-6),(44-23) で定義される u_k と v_k が

(44-26)  || uk(t) - vk(t) || £ e

k å i=0

Li| t - a | i ————  i!

を満たすことを証明すれば十分です。そこでこれを k に関する帰納法で証明しましょう。
　k = 0 のときは (44-6a),(44-23a),(44-24b) により明らかなので、k まで正しいと仮定して k + 1 の場合を考えます。(44-6b) から (44-23b) を辺々差し引けば、

(44-27)  || uk+1(t) - vk+1(t) ||	£ || x - y || + ò sup {a, t} inf {a, t} || A(t, uk(t)) - B(t, vk(t)) || dt
	£ || x - y || + ò sup {a, t} inf {a, t} || A(t, uk(t)) - B(t, uk(t)) || dt + ò sup {a, t} inf {a, t} || B(t, uk(t)) - B(t, vk(t)) || dt
	£ e —– 2 + e —– 2l ò sup {a, t} inf {a, t} dt + L ò sup {a, t} inf {a, t} || uk(t) - vk(t) || dt       ( ∵ (44-20),(44-24) )
	£ e —– 2 + e —– 2 + eL  k å i=0 ò sup {a, t} inf {a, t}  Li| t - a | i ————  i!  dt       ( ∵ | t - a | £ l , (44-26) )
	= e + e  k å i=0  Li+1| t - a | i+1 —————–  (i + 1)!
	= e k+1 å i=0  Li| t - a | i ————  i!

となって、帰納法が完成しました。

　最後に X = Rⁿ で、A と初期値 x が実数の有界閉区間 J を動くパラメター a を持ち、かつ A(a, t, u) と x(a) が全変数に対して C¹-級の関数になっている場合を考えます。このとき (44-6) と同様に、この場合の解 u(a, t) に一様収束する関数列：

(44-28a)  u0(a, t) :º x(a)

(44-28b)  uk+1(a, t) :º x(a) +

ò

t a

A(a, t, uk(a, t)) dt

を構成すると、k に関する帰納法により u_k(a, t) は a と t について C¹-級であることがわかりますが、

(44-29a)  vk(a, t) :º

¶uk(a, t) ————  ¶a

(44-29b)  y(a) :º

¶x(a) ——– ¶a

(44-29c)  B(a, t, ξ, η) :º

¶A(a, t, ξ ) ————– ¶a

+

n å i=1

¶A(a, t, ξ ) ————–  ¶ξi

ηi

と置くと、B は全変数について一様連続で、特に η についてLipschitz連続ですから、すべての変数がプレコンパクトな範囲にある限り、正数 R が存在し、更に任意の e > 0 に対して d > 0 が存在し、|| ξ₁ - ξ₂ || £ d ならば

(44-30)  || B(a, t, ξ1 , η1 ) - B(a, t, ξ2 , η2 ) || £ || B(a, t, ξ1 , η1 ) - B(a, t, ξ2 , η1 ) || + || B(a, t, ξ2 , η1 ) - B(a, t, ξ2 , η2 ) || £ e + R || η1 - η2 ||

が成り立ちます。

　さて、(44-28) の両辺を a で微分すると、

(44-31a)  v0(a, t) :º y(a)

(44-31b)  vk+1(a, t) :º y(a) +

ò

t a

B(a, t, uk(a, t), vk(a, t)) dt

が得られます。
　ここでまず { || v_k(a, t) || | kÎN , aÎJ , tÎJ } が有界であることを証明しましょう。
　実際、u_k は一様連続な u に一様収束するので { || u_k(a, t) || | kÎN , aÎJ , tÎJ } は有界です。ゆえに (44-29c) と (44-31) により、ある正定数 p , q , r が存在して

(44-32a)  || v0(a, t) || £ p

(44-32b)  || vk+1(a, t) || £ p +

ò

sup {a, t} inf {a, t}

{ q + r || vk(a, t) || }dt

が成り立ちます。このとき

(44-33)  || vk(a, t) || £ p + (q + rp)

k å i=1

r i-1| t - a | i ————–  i!

£ p +

q + rp ——— r

j(rh)

が成り立つことを示せば有界性は明らかです。２番目の不等号は明らかなので、最初の不等号を帰納法で証明しましょう。
　実際、帰納法の仮定と (44-32b) により

(44-34)  || vk+1(a, t) ||	£ p + q| t - a | + r ò sup {a, t} inf {a, t} ì í î p + (q + rp)  k å i=1  r i-1| t - a | i ————–  i!  ü ý þ dt
	= p + (q + rp) | t - a | + (q + rp)  k å i=1 ò sup {a, t} inf {a, t}  r i| t - a | i ————  i!  dt
	= p + (q + rp) | t - a | + (q + rp)  k å i=1  r i| t - a | i+1 —————  (i + 1)!
	= p + (q + rp) k+1 å i=1  r i-1| t - a | i —————  i!

となって、証明されました。

　次に、(44-33) の右辺を Q と書くとき、任意の e > 0 に対して自然数 N が存在して、任意の自然数 l, m ³ N と任意の自然数 k に対して

(44-35)  || vl+k(a, t) - vm+k(a, t) || £ e

k-1 å i=0

R i| t - a | i ————–  i!

+ 2Q

Rk| t - a |k ————  k!

が成り立つことを証明しましょう。
　実際、まず k = 0 のときは、(44-33) と Q の定義により、

(44-36a)  || vl(a, t) - vm(a, t) || £ || vl(a, t) || + || vm(a, t) || £ 2Q

となり、(44-35) は成り立っています。
　次に、(44-30) で e のかわりに e/h と置いた式が成り立つような d > 0 を取ります。ところで { u_k | kÎN } は u に一様収束するので、自然数 N を l, m ³ N  Þ  || u_l(a, t) - u_m(a, t) || £ d となるように取ることができます。このとき e を e/h に置き換えた (44-30) と帰納法の仮定により、

(44-36b)  || vl+k+1(a, t) - vm+k+1(a, t) ||	£ ò sup {a, t} inf {a, t} || B(a, t, ul+k(a, t), vl+k(a, t)) - B(a, t, um+k(a, t), vm+k(a, t)) || dt
	£ e — h ò sup {a, t} inf {a, t} dt + R ò sup {a, t} inf {a, t} || vl+k(a, t) - vm+k(a, t) || dt
	£ e + R ò sup {a, t} inf {a, t} ì í î e k-1 å i=0  R i| t - a | i ————–  i!  + 2Q  Rk| t - a |k ———— k! ü ý þ dt
	= e  k å i=0  R i| t - a | i ————–  i!  + 2Q  Rk+1| t - a |k+1 ——————  (k + 1)!

となって帰納法が完成し、(44-35) は証明されました。
　ところで (44-35) の右辺第１項は e{j(Rh) + 1} で押さえられ、右辺第２項は k ® ¥ のとき 0 に収束するので { v_k(a, t) | kÎN } はコーシー列になっていることがわかります。ゆえにその極限を v(a, t) と書けば、{ v_k(a, t) | kÎN } は v に一様収束し、v は一様連続です。
　ゆえに (43-36) の議論により、解 u は a について微分可能で、その a に関する偏導関数は v に等しいことがわかります。
　更に (44-31b) で k ® ¥ とすることにより、

(44-37)  v(a, t) :º y(a) +

ò

t a

B(a, t, u(a, t), v(a, t)) dt

が成り立ちます。ゆえに両辺を t で微分すれば、(44-1) の両辺を形式的に a で微分した式：

(44-38a)

¶v(a, t) ———–  ¶t

= B(a, t, u(a, t), v(a, t))

(44-38b)  v(a, a) = y(a)

が得られ、u を所与の関数とみなせば、(44-29c) により、これは v に関する１階連立線形常微分方程式になっていることがわかります。
　従って、v に対する微分方程式 (44-38) から上記の議論を繰り返せば、A(a, t, ξ ) がすべての変数に対して Cⁿ-級なら、(44-1) の解 u(a, t) も a と t について Cⁿ-級であることがわかります。