数学の基礎

　任意の単位的環 X に対して、

(45-1a)  HX :º X 4

(45-1b)  0 :º (0, 0, 0, 0)

(45-1c)  1 :º (1, 0, 0, 0)

(45-1d)  i :º (0, 1, 0, 0)

(45-1e)  j :º (0, 0, 1, 0)

(45-1f)  k :º (0, 0, 0, 1)

と置き、H_X 上の加法と乗法を

(45-2a)  (x, y, u, v) + (x', y', u', v' ) :º (x + x', y + y', u + u', v + v' )

(45-2b)  (x, y, u, v)(x', y', u', v' ) :º (xx' - yy' - uu' - vv', xy' + yx' + uv' - vu', xu' + ux' + vy' - yv', xv' + vx' + yu' - uy' )

で定義すれば、H_X は、明らかに加法について 0 を単位元とする可換群になります。そこで加法の逆元を - を付けて表すことにします。
　また H_X では 1 が乗法の単位元になり、加法と乗法の間に分配律が成り立つことも明らかです。更に

(45-3a)  i² = j² = k² = - 1

(45-3b)  ij = - ji = k

(45-3c)  jk = - kj = i

(45-3d)  ki = - ik = j

が成り立つことも簡単にわかります。また xÎH_X に対して

(45-4)  x :º (x, 0, 0, 0)

と置けば、x, yÎH_X に対して

(45-5a)  x + y = (x + y, 0, 0, 0)

(45-5b)  xy = (xy, 0, 0, 0)

(45-5c)  xi = ix = (0, x, 0, 0)

(45-5d)  xj = jx = (0, 0, x, 0)

(45-5e)  xk = kx = (0, 0, 0, x)

が成り立つので、任意の x, y, u, vÎH_X に対して

(45-6)  (x, y, u, v) = x + yi + uj + vk

が成り立ちます。また

(45-7a)  (ii)i = - i = i(ii)

(45-7b)  (ii)j = - j = ik = i(ij)

(45-7c)  (ii)k = - k = - ij = i(ik)

(45-7d)  (ij)i = ki = j = - ik = i(ji)

(45-7e)  (ij)j = kj = - i = i(jj)

(45-7f)  (ij)k = kk = - 1 = ii = i(jk)

(45-7g)  (ik)i = - ji = k = ij = i(ki)

(45-7h)  (ik)j = - jj = 1 = - ii = i(kj)

(45-7i)  (ik)k = - jk = - i = i(kk)

及びこれらに (i, j, k) ® (j, k, i) ® (k, i, j) の置き換えを施したものにより、i, j, k 同士の間に乗法の結合律が成り立つことがわかるので、更に (45-5),(45-6) により H_X の乗法は結合律を満たすことがわかります。
　すなわち H_X もまた単位的環になることがわかりました。これを X の四元化とよぶことにします。
　z :º (x, y, u, v)ÎH_X に対して x をその実部とよんで Â(z) と書き、( y, u, v) をその虚部とよんで Á(z) と書きます。また、i, j, k を虚数単位 とよびます。各虚数単位 ι は可逆で

(45-8)

1 —–  ι

:º ι-1 = - ι

が成り立ちます。また、(45-5a),(45-5b) により xÎX に x º (x, 0, 0, 0)ÎH_X を対応させる写像は X から H_X への一対一の環準同型であることがわかるので、X Ì H_X とみなすことができます。
　このようにみなしたとき、xÎX が X で可逆であることと H_X で可逆であることは同値です。
　実際、x が X で逆元 x^-1 を持てば、(x^-1, 0, 0, 0) は x の H_X における逆元になります。
　逆に x が H_X で逆元 (a, b, c, d ) を持つとします。
　このとき (1, 0, 0, 0) = 1 = (x, 0, 0, 0)(a, b, c, d ) = (xa, xb, xc, xd ) と (1, 0, 0, 0) = 1 = (a, b, c, d )(x, 0, 0, 0) = (ax, bx, cx, dx) により、xa = ax = 1 となることがわかり、これは a が X における x の逆元であることを意味しています。

　さて、R は単位的環ですから、特に X = R のときの H_X を単に H と書き、その元を四元数といいます。この場合、i, j, k のことをそれぞれ i, j, k と書くことにします。
　また H は、一様空間として R の積と同型ですから一様局所コンパクトで、従って特に完備であることもわかります。
　四元数 z º (x, y, u, v)ÎH に対し、その共役元を z* :º (x, - y, - u, - v) で定義します。このとき (45-2b) と R Ì H の同一視により

(45-9a)  z** = z

(45-9b)  zz* = z*z = x² + y² + u² + v² ³ 0

(45-9c)  ( z + z' )* = z* + z' *

(45-9d)  ( zz' )* = z' * z*

(45-9e)  z + z* = 2x = 2Â(z)

(45-9f)  z - z* = (0, 2y, 2u, 2v) = (0, 2Á(z))

(45-9g)  Á(z) = 0  Û  zÎR  Û  z* = z

(45-9h)  Â(z) = 0  Û  z* = - z

が成り立ちます。そこで、四元数 z およびその虚部の絶対値を

(45-10a)  | z | :º Özz* = Öz*z = Ö_______________ x² + y² + u² + v²

(45-10b)  | Á(z) | :º | (0, Á(z)) | = Ö___________  y² + u² + v²

で定義すると、

(45-11a)  z ¹ 0  Û  z* ¹ 0  Û  (x, y, u, v) ¹ 0  Û  x² + y² + u² + v² > 0  Û  | z | > 0

(45-11b)  | z* | = | z |

(45-11c)  | Â(z) | £ | z |

(45-11d)  | Á(z) | £ | z |

(45-11e)  z + z* £ | z + z* | = 2 | x | £ 2 | z |

が成り立ちます。従って (45-11a),(45-10a) により、z ¹ 0 であるような任意の四元数及びその共役元は共に乗法の逆元を持ち、

(45-12a)  z-1 =

z* —— | z |²

(45-12b)  ( z* )-1 =

z —— | z |²

= ( z-1 )*

が成り立つことがわかります。また、２つの四元数 z , z' に対し、(45-9d),(45-10a) により

(45-13)  | zz' |² = ( zz' )( zz' )* = zz' z' * z* = z | z' |² z* = zz* | z' |² = | z |² | z' |²

が成り立つので、両辺の平方根を取れば (28-1c) が得られます。一方、(45-9d),(45-10a),(45-11b),(45-11e) により

(45-14)  | z + z' |²	= ( z + z' )( z* + z' * )
	= zz* + z' z' * + zz' * + z' z*
	= | z |² + | z' |² + {(zz' * ) + (zz' * )*}
	£ | z |² + | z' |² + 2 | zz' * |
	= | z |² + | z' |² + 2 | z | | z' |
	= ( | z | + | z' | )²

となるので、両辺の平方根を取れば (28-1b) が得られ、H は非可換なので体ではありませんが、その絶対値は (28-1) を満たすことがわかります。
　さて、z º (x, y, u, v)ÎH に対し、(45-2b) により

(45-15)  z² = (x² - y² - u² - v², 2xy, 2xu, 2xv) = 2Â(z) z - | z |²

ですから、特にこれが R に属すためには xy = xu = xv = 0 であることが必要十分です。また x² > y² + u² + v² なら x ¹ 0 で、x² <  y² + u² + v² なら ( y, u, v) ¹ 0 ですから

(45-16a)  z² > 0  Û  Á(z) = ( y, u, v) = 0  Û  zÎR

(45-16b)  z² < 0  Û  Â(z) = x = 0

　従って (45-16b),(45-15) により

(45-17)  z² = - 1  Û  ( Â(z) = x = 0  Ù  | Á(z) |² = y² + u² + v² = 1 )

が成り立ちます。

　さて、単位的環 X の四元化 H_X の元のうち、第３、第４成分が 0 のもの、すなわち (x, y, 0, 0)ÎH_X の全体を C_X と書いて、これを X の複素化とよぶことにします。(45-2) により

(45-18a)  (x, y, 0, 0) + (x', y', 0, 0) :º (x + x', y + y', 0, 0)

(45-18b)  (x, y, 0, 0)(x', y', 0, 0) :º (xx' - yy', xy' + yx', 0, 0)

となるので、C_X は加法と乗法について閉じており、従って H_X の部分（単位的）環であることがわかります。そこで、以後 (x, y, 0, 0) のことを単に (x, y) と書くことにします。
　なお、(45-18b) から明らかなように、X が可換環なら C_X も可換環です。

　特に、実数体 R の複素化を C と書き、その元を複素数とよびます。R は可換環なので C も可換環ですが、定義から明らかなように、zÎC なら z*ÎC であり、従って (45-12a) により z が H で可逆なら C でも可逆です。これは C が体であることを意味し、しかもその絶対値が (28-1) を満たすので付値体であることもわかります。
　H と同様に、C も一様空間として R の積と同型ですから一様局所コンパクトで、従って特に完備です。

　複素数は z º (x, y) = x + y i と書け、x が z の実部 Â(z) に、y が z の虚部 Á(z) になります。虚部が 0 と異なる複素数は虚数とよばれます。また z の共役元は共役複素数とよばれ、z* = (x, - y) = x - y i が成り立ちます。
　また (45-17) により、z² = - 1 となる複素数は ± i しかないことがわかります。また、任意の複素数 z º (x, y) に対して

(45-19a)  Â(z) =

z + z* ——– 2

(45-19b)  Á(z) =

z - z* ——– 2 i

(45-19c)  | z | = Özz* = Ö______ x² + y²

が成り立ちます。

　さて、R を含む付値体 K 上のBanach空間 X に乗法が定義されていて、乗法の単位元 1 を持つ単位的環になっており、

(45-20a)  x, yÎX , aÎK  Þ  a(xy) = (ax)y = x(ay)

(45-20b)  x, yÎX  Þ  || xy || £ || x || || y ||

(45-20c)  || 1 || = 1

を満たすとき、X をBanach環といいます。Banach環では乗法は連続写像です。
　実際、任意の x, yÎX と任意の e > 0 に対し、|| x' - x || , || y' - y || £ inf {1, e} / (1 + || x || + || y || ) なら

(45-21)  || x' y' - xy || = || x( y' - y) + (x' - x) y + (x' - x)( y' - y) || £ || x || || y' - y || + || x' - x || || y || + || x' - x' || || y' - y || £ 3e

となるからです。ゆえに、Banach環は強位相環です。

　Banach環 X では乗法の可逆元（以下単に可逆元という）の全体 Ω は X の開集合になります。
　実際、xÎΩ のとき、

(45-22)  || y - x || <

1  ——— || x-1 ||

ならば、

(45-23)  ån || {x-1(x - y)}n || £ ån { || x-1 || || x - y || }n =

1  ———————— 1 - || x-1 || || x - y ||

ですから、

(45-24)  z :º ån {x-1(x - y)}n

は絶対収束して X の元を定めます。しかも z x^-1 y = z{1 - x^-1(x - y)} = 1 = {1 - x^-1(x - y)}z = x^-1 y z ですから、y z x^-1 = x(x^-1 y z) x^-1 = x x^-1 = 1 ですから z x^-1 は y の逆元になり、しかも

(45-25)  || y-1 || £ || z || || x-1 || £

|| x-1 || ———————— 1 - || x-1 || || x - y ||

という評価が得られます。
　また、任意の d > 0 に対し、yÎΩ_d(x) :º { zÎX  | || z - x || < (1 - d) || x^-1 ||^-1 } ならば、(45-25) により || y^-1 || < d^-1 || x^-1 || となるので、逆元を取る演算は x の近傍 Ω_d(x) 上で有界です。一方

(45-26)  || y-1 - z-1 || = || y-1(z - y) z-1 || £ || y-1 || || z - y || || z-1 ||

ですから、特に逆元を取る操作は連続であることがわかります。
　しかも (45-26) は、ある Ω' Ì Ω において逆元を取る操作が有界なら、逆元を取る操作は Ω' で一様連続であることを意味しています。従って特に、ある xÎΩ に対する Ω_d(x) において、逆元を取る操作は一様連続です。
　なお、x = 1 の場合は、|| x^-1 || を 1 に置き換えた評価式が成り立つことに注意します。

　さて、実数 t に対して $nÎN : | t - n | < n  Û  $nÎN : t - n, n - t < n  Û  t > 0 となりますから、これに倣い、Banach環 X においても

(45-27)  X ++ :º { xÎX | $nÎN : || x - n1 || < n }

と定義することにします。このとき

(45-28)  X ++ Ì X ´

　すなわち X ⁺⁺ の元 x はすべて可逆です。
　実際、正整数 n が存在して || x/n - 1 || < 1 ですから、(45-22) で x と y にそれぞれ 1 と x/n を代入した式が成り立つので、x/n は、従って x は可逆であることがわかります。

　また、特に X として四元数環 H あるいは複素数環 C を取ると

(45-29a)  H++ = { zÎH | Â(z) > 0 }

(45-29b)  C++ = { zÎC | Â(z) > 0 }

が成り立ちます。
　実際、H の場合に証明すれば十分ですが、z = (x, y, u, v)ÎH について | z - n | < n  Û  | z - n |² < n²  Û  (x - n)² + y² + u² + v² < n²  Û  | z |² < 2nx ですから、この最後の条件が成り立てば x は明らかに正で、逆に x が正ならこの最後の条件を満たす自然数 n が存在します。

　さて、次にBanach環 X に値をとる関数の微分について調べてみましょう。
　付値体 K' Ì K の開集合 U で定義された２つの微分可能な関数 x : U ® X と y : U ® X に対し、X における乗法の連続性により

(45-30)

d  —– dt

{x(t) y(t)} =

lim h ® 0

x(t + h) y(t + h) - x(t) y(t) ——————————– h

=

lim h ® 0

{x(t + h) - x(t)}y(t + h) + x(t){ y(t + h) - y(t)} ——————————————————– h

= x'(t) y(t) + x(t) y'(t)

が成り立ちます。また、x : U ® X が可換性：

(45-31)  "s, tÎU : x(s) x(t) = x(t) x(s)

を満たすときは、正整数 n に対して

(45-32)

d  —– dt

x(t)n  =

lim h ® 0

x(t + h)n - x(t)n ——————–  h

=

lim h ® 0

n-1 å k=0

x(t + h)k x(t)n-k-1

x(t + h) - x(t) —————— h

= n x(t)n-1 x'(t)

が成り立ちます。

　また、すべての tÎU に対して x(t)ÎΩ かつ x が t について微分可能なら、x(t)^-1 も t について微分可能で

(45-33)

d  —– dt

x(t)-1 =

lim h ® 0

x(t + h)-1 - x(t)-1 ———————–  h

= -

lim h ® 0

x(t + h)-1

x(t + h) - x(t) —————— h

x(t)-1 = - x(t)-1 x'(t) x(t)-1

が成り立ちます。ゆえに、更に (45-31) が成り立つ場合は、(45-32) の x(t) に x(t)^-1 を代入すれば

(45-34)

d  —– dt

x(t)-n = n x(t)-(n-1)

d  —– dt

x(t)-1 = - n x(t)-n+1-2 x'(t)

となって、(45-32) は負の整数 n についても成立することがわかります。

　次に、{ a_n | nÎN }Ì K が与えられたとき、xÎX に対する冪級数：

(45-35)   f(x) :º ån an xn

を考えると、(28-39) で定義される収束半径 r に対して || x || < r を満たせば、第28節の議論と同様にして絶対収束することがわかります。

　ここで、f と (45-31) を満たす微分可能な x の合成関数

(45-36)   f(x(t)) = ån an x(t)n

を考えます。
　g_n(t) :º a_n x(t)ⁿ と置けば、x の微分可能性により、d > 0 と正数 M が存在して | h | < d なら || Δx(t, t + 1) || £ M となるので、|| x(t) || < r < r  となる実数 r を取れば、|| x(t) || , || x(t + h) || £ r のとき、(45-32) により

(45-37)  || Δgn(t, t + h) || £ nM | an | rn-1

が成り立つので、項別微分に関する条件 (29-24) が成り立ち、従って (45-32) により

(45-38)

d  —– dt

f(x(t)) = ån nan x(t)n-1 x'(t)

が成り立つことがわかります。

　次に、X をBanach空間とするとき、x :º { x_k | kÎN }ÎX ^N のうち

(45-39)  || x ||l¹ :º åk || xk || < ¥

を満たすものの全体を l¹(X ) と書くことにすると、これは明らかにノルム空間になりますが、実はBanach空間です。
　実際、第28節で述べたように、l¹(X ) の絶対収束級数 { x⁽ⁿ⁾ | nÎN } が収束することを示せば十分ですが、条件により、各 kÎN に対して

(45-40)  ån || x(n)k || £ ån åk || x(n)k || = ån || x(n) ||l¹ < ¥

ですから、X の完備性により

(45-41)  xk :º ån x(n)kÎX

が存在します。そこで x :º { x_k | kÎN } と置けば、

(45-42)  || x - åm£n x(m) ||l¹ = åk || xk - åm£n x(m)k || = åk || åm>n x(m)k || £ åk åm>n || x(m)k || = åm>n || x(m) ||l¹ ® 0       ( n ® ¥ )

となって、級数 { x⁽ⁿ⁾ | nÎN } は確かに x に収束することがわかりました。

　また、

(45-43)  $cÎl¹(R) : "k : [ "n : || x(n)k || £ ck  and  limn x(n)k = xk ]  Þ  limn x(n) = x

が成り立ちます。実際、任意の e > 0 に対し、

(45-44a)  åi>k ci < e

となるように k を取り、

(45-44b)  åi£k || x(n)i - xi || < e       ( n > m )

となるように m を取れば、|| x_i || £ c_i ですから、n > m に対して

(45-45)  || x(n) - x ||l¹ = åi || x(n)i - xi || £ åi£k || x(n)i - xi || + åi>k || x(n)i || + åi>k || xi || < e + 2 åi>k ci < 3e

となるからです。(45-43) の左辺の条件が成り立っているとき、{ x⁽ⁿ⁾ | nÎN } は x に有界収束する、ということにします。

　さて、Banach環 X は単位的環ですから、その四元化を考えることができます。このとき、X の四元化の元 (x, y, u, v)ÎH_X と aÎK に対して

(45-46a)  a(x, y, u, v) :º (ax, ay, au, av)

(45-46b)  || (x, y, u, v) || :º || x || + || y || + || u || + || v ||

と定義すれば、

(45-47a)  a{(x, y, u, v)(x', y', u', v' )}	= a(xx' - yy' - uu' - vv', xy' + yx' + uv' - vu', xu' + ux' + vy' - yv', xv' + vx' + yu' - uy' )
	= (axx' - ayy' - auu' - avv', axy' + ayx' + auv' - avu', axu' + aux' + avy' - ayv', axv' + avx' + ayu' - auy' )
	= {a(x, y, u, v)}(x', y', u', v' )
	= (x, y, u, v){a(x', y', u', v' )}

(45-47b)  || (x, y, u, v)(x', y', u', v' ) ||	= || (xx' - yy' - uu' - vv', xy' + yx' + uv' - vu', xu' + ux' + vy' - yv', xv' + vx' + yu' - uy' ) ||
	= || xx' - yy' - uu' - vv' || + || xy' + yx' + uv' - vu' || + || xu' + ux' + vy' - yv' || + || xv' + vx' + yu' - uy' ||
	£ || xx' || + || yy' || + || uu' || + || vv' || + || xy' || + || yx' || + || uv' || + || vu' ||
	+ || xu' || + || ux' || + || vy' || + || yv' || + || xv' || + || vx' || + || yu' || + || uy' ||
	£ || x || || x' || + || y || || y' || + || u || || u' || + || v || || v' || + || x || || y' || + || y || || x' || + || u || || v' || + || v || || u' ||
	+ || x || || u' || + || u || || x' || + || v || || y' || + || y || || v' || + || x || || v' || + || v || || x' || + || y || || u' || + || u || || y' ||
	= ( || x || + || y || + || u || + || v || )( || x' || + || y' || + || u' || + || v' || )
	= || (x, y, u, v) || || (x', y', u', v' ) ||

(45-47c)  || 1 || = || (1, 0, 0, 0) || = || 1 || + || 0 || + || 0 || + || 0 || = 1

(45-47d)  || i || = || (0, 1, 0, 0) || = || 0 || + || 1 || + || 0 || + || 0 || = 1

(45-47e)  || j || = || (0, 0, 1, 0) || = || 0 || + || 0 || + || 1 || + || 0 || = 1

(45-47f)  || k || = || (0, 0, 0, 1) || = || 0 || + || 0 || + || 0 || + || 1 || = 1

となるので H_X もBanach環となり、X のノルムは、H_X の部分環とみなした場合のノルムと一致します。
　また、任意の xÎH_X に対して || ix || £ || i || || x || = || x || が成り立ち、この x に - ix を代入すれば || x || £ || - ix || = || ix || となるので

(45-48)  || ix || = || x ||       ( xÎHX )

が成り立つことがわかります。j , k についても同様です。
　また、H_X の第３成分と第４成分を 0 にすれば、Banach環 C_X が得られます。