数学の基礎

　Banach環 X において、xÎX の指数関数を

(46-1)  exp x :º

¥ å k=0

xk —–  k!

( xÎX )

で定義します。これは a_k :º 1 / k! と置くと、(28-46) の g は 0 ですから、(46-1) の冪級数の収束半径は ¥ であることがわかり、従ってすべての x に対して (46-1) の右辺は収束します。
　特に (46-1) で x = 0 とすれば

(46-2)  exp 0 = 1

が成り立つことがわかります。またノルムの性質 (28-17),(28-2c),(45-20b) により

(46-3)  || exp x || £

¥ å k=0

|| x ||k ——–  k!

= exp || x ||

が成り立ちます。

　さて、任意に選んだ xÎX に対して

(46-4)  ux(t) :º exp(tx) =

¥ å k=0

tkxk ——  k!

( tÎR )

と置くと、関数 u_x : R ® X は、(46-4) の右辺を実数 t に関する冪級数とみなして項別微分の公式 (29-37) を適用すれば、次の常微分方程式：

(46-5a)  ux'(t) =

¥ å k=1

tk-1xk ——— (k - 1)!

=

¥ å k=0

tkxk+1 ——–  k!

= xux(t)

(46-5b)  ux(0) = 1

を満たしますが、(44-1a) の A に相当する関数は u について線形であるため u について一様連続です。ゆえにこの場合も第44節で論じた線形常微分方程式の大域的な解の一意存在が成り立つことがわかります。
　よって u_x(t) は (46-5) を満たす唯一の解であることがわかります。特に t = 1 とすれば

(46-6)  exp x = ux(1)

が成り立ちます。

　さて、x と [x, y] :º xy - yx が可換なら、(14-60) により

(46-7)  [ux(t), y] =

¥ å k=0

[tkxk, y] ———–  k!

=

¥ å k=0

tkkxk-1[x, y] —————  k!

= t [x, y]

¥ å k=1

tk-1xk-1 ———– (k - 1)!

= t [x, y] ux(t)

　ゆえに x と y が共に [x, y] と可換なら、φ(t) :º u_{[x, y]}(- t²/2) u_x(t) u_y(t) と置けば、

(46-8a)  φ'(t)	= {u[x, y](- t²/2)}' ux(t) uy(t) + u[x, y](- t²/2) ux'(t) uy(t) + u[x, y](- t²/2) ux(t) uy'(t)
	= - t [x, y] u[x, y](- t²/2) ux(t) uy(t) + u[x, y](- t²/2) x ux(t) uy(t) + u[x, y](- t²/2) ux(t) y uy(t)
	= - u[x, y](- t²/2) t [x, y] ux(t) uy(t) + u[x, y](- t²/2) x ux(t) uy(t) + u[x, y](- t²/2) [ux(t), y] uy(t) + u[x, y](- t²/2) y ux(t) uy(t)
	= x u[x, y](- t²/2) ux(t) uy(t) + y u[x, y](- t²/2) ux(t) uy(t)
	= (x + y) φ(t)

(46-8b)  φ(0) = 1

となります。ゆえに、(46-5) の解の一意性により u_x+y = φ がわかるので、特にこの両辺に 1 を代入すれば、(46-6) により

(46-9)  exp(x + y) = exp(- [x, y] / 2) exp x exp y

が得られます。特に x と y が可換なら、[x, y] = 0 なので、指数関数の加法定理：

(46-10)  exp(x + y) = exp x exp y

が成り立ちます。特に、任意の x に対し、y :º - x と置けば、x と y は可換ですから、

(46-11)  1 = exp 0 = exp(x - x) = exp x exp(- x) = exp(- x) exp x

となり、exp x は常に可逆で、逆元 exp(- x) を持つことがわかります：

(46-12)  (exp x)-1 = exp(- x)

　また、自然数 n に対し、x と nx は可換ですから、(46-9) と帰納法により

(46-13)  exp(nx) = (exp x)n

が成り立つことがわかりますが、更に (46-12) により、(46-13) は n が整数のときにも成り立つことがわかります。

　次に、指数関数の極限表示：

(46-14)  exp x =

lim n ® ¥

æ è

1 +

x —–  n

ö ø

n

が成り立つことを証明しましょう。実際、二項展開により

(46-15)

æ è

1 +

x —–  n

ö ø

n

=

n å k=0

x(n)k

　ただし

(46-16)  x(n)k =

æ è

n k

ö ø

xk —–  nk

=

n(n - 1) ¼ (n - k + 1) —————————  nk

xk —–  k!

となり、

(46-17a)  || x(n)k || £

|| x ||k ——–  k!

(46-17b)  x(n)k ®

xk —–  k!

( n ® ¥ )

ですから、n ® ¥ のとき、(45-43) により、(46-15) の右辺は (46-1) の右辺に収束することがわかり、(46-14) は証明されました。

　さて、X が付値体 K の場合、(46-1) の右辺は項別に微分可能ですから

(46-18)

d  —– dz

exp z =

¥ å k=0

d  —– dz

zk —–  k!

=

¥ å k=1

zk-1 ———– (k - 1)!

= exp z

　すなわち微分しても関数形が変わらないことがわかります。従って特に exp は無限階微分可能で

(46-19)  exp(k) z :º

dk —–  dzk

exp z = exp z

が成り立ちます。特に K = R の場合は、指数関数は、第44節の常微分方程式の解の一意性により、常微分方程式：

(46-20a)  exp' t = exp t       ( tÎR )

(46-20b)  exp 0 = 1

を満たす唯一の関数であることがわかります。また、(46-12) により exp t = {exp(t/2)}² ³ 0 で、しかも (46-11) によれば exp t ¹ 0 ですから

(46-21)  exp t > 0

が成り立ちます。
　ゆえに (46-19) で k = 1, 2 として (46-21) と第31節の結果を用いれば、指数関数は単調増加で真に凸な関数であることがわかり、特に

(46-22a)  0 < exp t < 1       ( t < 0 )

(46-22b)  exp t > 1       ( t > 0 )

が成り立ちます。また、定義式 (46-1) により、t ³ 0 なら exp t ³ t で、(46-12) により t £ 0 なら 0 £ exp t = 1 / exp(- t) £ 1 /(- t) ですから

(46-22c)

lim t ® ¥

exp t = ¥

(46-22d)

lim t ® -¥

exp t = 0

　ゆえに、R 上では exp は R から正の実数全体 R⁺⁺ への一対一上への関数ですから、R⁺⁺ から R への逆関数が存在します。これを 対数関数といい、log で表します：

(46-23a)  log exp t = t       ( tÎR )

(46-23b)  exp log t = t       ( t > 0 )

　等式 (46-10),(46-13) それぞれの log を取り、exp x , exp y をそれぞれ t , s と書けば

(46-24a)  log(st) = log s + log t

(46-24b)  log tn = n log t       ( nÎZ )

が成り立つので、特に (46-24b) で n = - 1 として

(46-24c)  log

1 —–  t

= - log t

が、またこれらの組み合わせにより

(46-24d)  log

t —–  s

= log  t - log s

が得られます。また、逆関数の微分の公式 (29-19b) と (46-18),(46-23b) により

(46-25)

d  —– dt

log t =

1 ———— exp' log t

=

1 ———— exp log t

=

1 —–  t

が得られます。従って帰納法により、任意の正整数 k に対して

(46-26)  log(k) t :º

dk —–  dtk

log t = (- 1)k-1

(k - 1)! ——— tk

が成り立つので、対数関数も指数関数と同じく C^¥-級です。また、特に log の１階微分は正、２階微分は負ですから、第31節の議論により、対数関数は単調増加で真に凹な関数であることがわかります。ゆえに、これと (46-22) により

(46-27a)  log t < 0       ( 0 < t < 1 )

(46-27b)  log 1 = 0

(46-27c)  log t > 0       ( t > 1 )

(46-27d)

lim t ® ¥

log t = ¥

(46-27e)

lim t ¯ 0

log t = - ¥

　また、任意の自然数 n と t ³ 0 に対し、(46-1) により、t ³ 0 のとき exp t ³ tⁿ⁺¹ / (n + 1)! 従って 0 < tⁿ / exp t £ (n + 1)! / t ですから、

(46-27f)

lim t ® ¥

tn exp(- t) = 0

が成り立ちます。また (46-27f) の t に log t を代入すれば、

(46-27g)

lim t ® ¥

( log t )n ———–  t

= 0

が得られ、また (46-27g) の t を 1 / t で置き換えて (46-24c) を用いれば

(46-27h)

lim t ¯ 0

t ( log t )n = 0

が得られます。なお、(46-25),(46-27b) と微分積分学の基本定理により

(46-28)  log t =

ò

t 1

dt —– t

が成り立ちます。また、

(46-29)  log(1 + t) £ t       ( t > - 1 )

が成り立ちます。実際、

(46-30a)  t - log(1 + t) =

ò

t+1 1

æ è

1 -

1 —– t

ö ø

dt =

ò

t+1 1

t - 1 ——– t

dt ³ 0       ( t > 0 )

(46-30b)  t - log(1 + t) = -

ò

1 1+t

æ è

1 -

1 —– t

ö ø

dt =

ò

1 1+t

1 - t ——– t

dt ³ 0       ( - 1 < t < 0 )

ですから、連続性により (46-29) が成り立つことがわかります。

　さてここで、自然対数の底とよばれる定数 e を

(46-31a)  e :º exp 1 =

¥ å k=0

1 —–  k!

=

lim n ® ¥

æ è

1 +

1 —–  n

ö ø

n

で定義します。明らかに

(46-31b)  log e = 1

が成り立ちます。また、X を任意のBanach環とし、実数 a > 0 と xÎX に対して、冪乗を

(46-32)  ax :º exp(x log a)ÎX

で定義します。
　これは、x が自然数 n のとき、右辺は (46-24b) により exp log aⁿ = aⁿ に一致するので、自然数に対しては既に定義された冪に一致します。また x が有理数 m/n のときも、右辺の n 乗は (46-13) により exp(nx log a) = exp(m log a) = a^m となりますから、やはり既に定義された冪に一致します。
　すなわち (46-32) による冪の定義は、第27節で定義した正数の有理数乗の一般化になっています。

　さて、X の元 x と y が可換なら、正数 a , b と実数 s に対し、(46-32),(46-31b),(46-23),(46-27b),(46-10),(46-24a) により

(46-33a)  ex = exp(x log e) = exp x

(46-33b)  log as = log exp(s log a) = s log a

(46-33c)  1x = exp(x log 1) = exp(0) = 1

(46-33d)  a0 = exp(0 log a) = exp(0) = 1

(46-33e)  a1 = exp(1 log a) = (exp log a)1 = a1

(46-33f)  ax+y = exp(x log a + y log a) = exp(x log a) exp( y log a) = axa y

(46-33g)  asx = exp(sx log a) = exp(x log as ) = (as )x

(46-33h)  (ab)x = exp{x log(ab)} = exp(x log a + x log b) = exp(x log a) exp(x log b) = axbx

が成立します。ただし (46-33g) の証明に (46-33b) を使いました。なお、(46-33a) により、exp x のかわりにしばしば e^x の表現を用います。

　また、(46-4) の u_x を使うと t ^x = exp(x log t) = u_x( log t) と書けるので、(46-5a) と合成関数の微分に関する公式 (29-18g) により、

(46-34)

d —–  dt

t x =

d —–  dt

ux( log t) = ux'( log t)

d —–  dt

log t =

1 —–  t

xux( log t) = xt -1 t x = xt x-1

が成り立ちます。また、(45-27) の X ⁺⁺ に対して

(46-35a)  xÎX ++  Þ

lim t ¯ 0

t x = 0

(46-35b)  xÎX ++  Þ

lim t ® ¥

t -x = 0

が成り立つことを証明しましょう。
　実際、|| x - n1 || < n を満たす n を取ると、(46-27a) により 0 < t < 1 なら log t < 0 なので、(46-32),(46-1),(46-3) により

(46-36)  || t x-n1 || = || exp((x - n1) log t) || £ exp( || x - n1 || | log t | ) = exp(- || x - n1 || log t) = t-|| x-n1 ||

となるので、これと c :º n - || x - n1 || > 0 と (46-27e),(46-22d) により

(46-37)  || t x || = || t x-n1 tn1 || = || tn t x-n1 || = tn || t x-n1 || £ tn t-|| x-n1 || = tn-|| x-n1 || = t c = exp(c log t)  ®  0       ( t ¯ 0 )

となって (46-35a) は証明されました。
　また (46-35b) は、(46-33g) により t ^-x = (t^-1 )^x で、t ® ¥ のとき t ^-1 = 1 / t ® 0 ですから (46-35a) から明らかです。

　さて、(46-35a) は、xÎX ⁺⁺ のとき、任意の r > 0 に対して t ^x は t の関数として ] 0, r ] 上一様連続であることを意味するので、t ^x は xÎX ⁺⁺ のとき、t の関数として、区間 ] 0, r ] の完備化、すなわち [ 0, r ] 上の一様連続関数として一意的に拡張できることがわかります。従って特に、t の関数 t ^x は R⁺ 上の連続関数に拡張できることがわかりますが、これも t ^x と書きます。従って特に、(46-35a) から

(46-38)  xÎX ++  Þ  0x = 0

が成り立ちます。また、連続性により、(46-33f)~(46-33h) の左辺と右辺は x, yÎX ⁺⁺ , s > 0 , a, b ³ 0 の場合にも一致します。

　さて、xÎR , t > 0 のときは、(46-21),(46-32) により

(46-39)  tx > 0

ですから、(46-34) により、t の関数 t^x は、x > 0 のとき単調増加、x = 0 のとき恒等的に 1 、x < 0 のとき単調減少であることがわかります。
　また、(46-34) を更に t について微分すれば

(46-40)

d² —– d²t

tx = x(x - 1)tx-2

となるので、t の関数 t^x は、x < 0 又は x > 1 のとき真に凸、0 < x < 1 のとき真に凹であることがわかります。

　次に、a > 0 に対する xÎR の関数 a^x を x で微分すると、

(46-41)

d  —– dx

ax =

d  —– dx

exp(x log a) = exp(x log a) log a = ax log a

が成り立ちます。よって一般に

(46-42)

dk —–  dxk

ax = ax( log a)k

が成り立ちますから、特に k = 1 とすると、(46-27) により、x の関数 a^x は、0 < a < 1 のとき単調減少、a = 1 のとき恒等的に 1 、a > 1 のとき単調増加であることがわかります。
　また k = 2 とすると、(46-39) により (46-63) の右辺は a の値によらず非負なので x の関数 a^x は凸関数になり、特に a ¹ 1 のとき真に凸になることがわかります。

　また、正数 a ¹ 1 と t > 0 に対して

(46-43)  loga t :º

log t ——– log a

と置いて、これを a を底とする t の対数といいます。(46-24)~(46-27) により

(46-44a)  loge t = log t

(46-44b)  loga(st) = loga s + loga t

(46-44c)  loga 1 = 0

(46-44d)  loga a = 1

(46-44e)  loga bs = s loga b

(46-44f)  loga as = s

(46-44g)  aloga t = exp( loga t log a) = exp log t = t

(46-44h)  loga

1 —–  t

= - loga t

(46-44i)  loga

t —–  s

= loga t - loga s

(46-44j)

d  —– dt

loga t =

1 ———  t log a

(46-44k)  loga t < 0       ( ( a > 0  Ù  0 < t < 1 ) Ú ( a < 0  Ù  t > 1 ) )

(46-44l)  loga t > 0       ( ( a < 0  Ù  0 < t < 1 ) Ú ( a > 0  Ù  t > 1 ) )

(46-44m)

lim t ® ¥

loga t = -

lim t ¯ 0

loga t = ¥       ( a > 0 )

(46-44n)  -

lim t ® ¥

loga t =

lim t ¯ 0

loga t = ¥       ( a < 0 )

が成り立ちます。(46-44f),(46-44g) は、t の関数 log_a t と a ^t が互いに他の逆関数であることを意味しています。

　次に、Banach環 X 上の双曲線関数とよばれる一群の関数を定義し、その性質を調べます。まず、任意の xÎX に対して

(46-45a)  sinh x :º

ex - e-x ———– 2

=

¥ å k=0

x2k+1 ———– (2k + 1)!

(46-45b)  cosh x :º

ex + e-x ———– 2

=

¥ å k=0

x2k ——  (2k)!

と置き、cosh x が可逆であるような xÎX に対して

(46-45c)  sech x :º (cosh x)-1

(46-45d)  tanh x :º sinh x sech x

で定義し、sinh x が可逆であるような xÎX に対して

(46-45e)  csch x :º (sinh x)-1

(46-45f)  coth x :º cosh x csch x

と定義します。以上６個の関数を総称して X 上の双曲線関数とよびます。定義式から明らかなように

(46-46)  exp(± x) = cosh x ± sinh x

(46-47a)  sinh 0 = tanh 0 = 0

(46-47b)  cosh 0 = sech 0 = 1

が成り立ちます。また (46-3) に対応して

(46-48a)  || sinh x || £

¥ å k=0

|| x ||2k+1 ———— (2k + 1)!

= sinh || x ||

(46-48b)  || cosh x || £

¥ å k=0

|| x ||2k ———  (2k)!

= cosh || x ||

が成り立ち、(46-46),(46-11) により、関数方程式：

(46-49a)  cosh² x - sinh² x = (cosh x + sinh x)(cosh x - sinh x) = ex e-x = 1       ( xÎX )

(46-49b)  1 - tanh² x = (cosh² x - sinh² x) sech² x = sech² x       ( xÎD( sech ) )

(46-49c)  coth² x - 1 = (cosh² x - sinh² x) csch² x = csch² x       ( xÎD( csch ) )

が成り立ちます。ただし例えば (cosh x)² のことを cosh² x と略記しました。他も同様です。

　一般に X 又はその部分集合上で定義された関数 f が、f(- x) = f(x) を満たすとき偶関数、f(- x) = - f(x) を満たすとき奇関数といいます。明らかに、偶関数と奇関数の積は奇関数、偶関数同士、奇関数同士の積は偶関数です。
　定義から明らかに、sinh は奇関数、cosh は偶関数です。従って tanh , csch , coth は奇関数、sech は偶関数です。

　さて、x, yÎX が可換なら、(46-10) により

(46-50)  (ex ± e-x )(e y + e-y ) + (ex ± e-x )(e y - e-y ) = 2ex e y + 2e-x e-y = 2(ex+y ± e-x-y )

となるので、左辺と右辺を入れ替えて全体を 4 で割れば、cosh と sinh の加法定理：

(46-51a)  cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y

(46-51b)  sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y

が導かれます。また、y を - y に置き換えれば、sinh は奇関数、cosh は偶関数ですから

(46-51c)  cosh(x - y) = cosh x cosh y - sinh x sinh y

(46-51d)  sinh(x - y) = sinh x cosh y - cosh x sinh y

が得られます。従って、x と y が可換で更に cosh x , cosh y , cosh(x ± y) がすべて可逆なときは、

(46-51e)  tanh(x ± y)	= sinh(x ± y) {cosh(x ± y)}-1
	= sinh(x ± y) sech x sech y {cosh(x ± y) sech x sech y}-1
	= (tanh x ± tanh y)(1 ± tanh x tanh y)-1

という tanh の加法定理が得られます。また、x と y が可換で更に sinh x , sinh y , sinh(x ± y) がすべて可逆なときは、

(46-51f)  coth(x ± y)	= cosh(x ± y) {sinh(x ± y)}-1
	= cosh(x ± y) csch x csch y {sinh(x ± y) csch x csch y}-1
	= (coth x coth y ± 1)(coth y ± coth x)-1
	= (1 ± coth x coth y)(coth x ± coth y)-1

という coth の加法定理が得られます。特にこれらの x + y に対する加法定理において、y :º x として (46-49a) を用いれば

(46-52a)  sinh(2x) = 2 sinh x cosh x

(46-52b)  cosh(2x) = cosh² x + sinh² x = 1 + 2 sinh² x = 2 cosh² x - 1

(46-52c)  tanh(2x) = 2 tanh x (1 + tanh² x)-1

(46-52d)  coth(2x) = (1 + coth² x)(2 coth x)-1

となります。また cosh x が可逆なら、(46-49a),(46-52a),(46-52b) により

(46-53a)  sinh(2x)	= 2 sinh x cosh x (cosh² x - sinh² x)-1
	= 2 cosh² x tanh x {cosh² x (1 - tanh² x)}-1
	= 2 tanh x (1 - tanh² x)-1

(46-53b)  cosh(2x)	= (cosh² x + sinh² x)(cosh² x - sinh² x)-1
	= cosh² x (1 + tanh² x){cosh² x (1 - tanh² x)}-1
	= (1 + tanh² x)(1 - tanh² x)-1

が得られ、sinh x と cosh x が可逆なら、

(46-54a)  coth x - tanh x = (cosh² x - sinh² x)(sinh x cosh x)-1 = {sinh(2x) / 2}-1 = 2 csch(2x)

(46-54b)  coth x + tanh x = (cosh² x + sinh² x)(sinh x cosh x)-1 = cosh(2x){sinh(2x) / 2}-1 = 2 coth(2x)

が成り立ちます。

　さて、X が付値体 K の場合は微分を考えることができ、(46-45a),(46-45b),(46-18) により

(46-55a)

d  —– dz

sinh z = cosh z

(46-55b)

d  —– dz

cosh z = sinh z

(46-55c)

d  —– dz

tanh z =

sinh' z cosh z - sinh z cosh' z ———————————  cosh² z

=

cosh² z - sinh² z ——————–  cosh² z

=

1 ———  cosh² z

= sech² z = 1 - tanh² z

(46-55d)

d  —– dz

coth z =

cosh' z sinh z - cosh z sinh' z ———————————  sinh² z

=

sinh² z - cosh² z ——————–  sinh² z

= -

1 ——–  sinh² z

= - csch² z = 1 - coth² z

(46-55e)

d  —– dz

sech z =

cosh' z ———  cosh² z

=

sinh z ———  cosh² z

= sech z tanh z

(46-55f)

d  —– dz

csch z =

sinh' z ———  sinh² z

=

cosh z ———  sinh² z

= csch z coth z

が成り立ちます。
　更に K が実数体 R のときは、(46-45),(46-21),(46-22) により

(46-56a)  cosh t , sech t > 0       ( tÎR )

(46-56b)  sinh t , tanh t , csch t , coth t > 0       ( t > 0 )

(46-56c)  sinh t , tanh t , csch t , coth t < 0       ( t < 0 )

が成り立ちます。これと (46-55) により、sinh , tanh は単調増加、coth は単調減少であることがわかります。
　また、csch と coth が 0 以外の点で定義されているのに対し、他の関数は実数全体で定義され、

(46-57a)

lim t ® ¥

sinh t =

lim t ® ¥

cosh t = ¥

(46-57b)

lim t ® -¥

sinh t = - ¥

(46-57c)

lim t ® -¥

cosh t = ¥

(46-57d)

lim t ® ¥

tanh t =

lim t ® ¥

et - e-t ———  et + e-t

=

lim t ® ¥

1 - e-2t ———–  1 + e-2t

= 1

(46-57e)

lim t ® -¥

tanh t = -

lim t ® -¥

tanh(- t) = - 1

(46-57f)

lim t ¯ 0

csch t =

lim t ¯ 0

coth t = ¥

(46-57g)

lim t ｭ 0

csch t =

lim t ｭ 0

coth t = - ¥

が成り立ちます。

　さて、j を、実数係数の冪級数によって定義された、H からそれ自身への関数とします（例えば exp , sinh , cosh 等）。
　このとき、共役元を取る操作は連続なので、明らかに

(46-58)  j(z)* = j(z*)

が成り立ちます。このことを用いると、

(46-59)  | exp z | = exp Â(z)

が成り立つことが証明できます。
　実際、j :º exp として (46-58) を用い、z と z* の可換性と (45-10a),(46-10),(45-9e),(46-13) に注意すれば、

(46-60)  | exp z |² = exp z (exp z)* = exp z exp z* = exp(z + z*) = exp(2Â(z)) = (exp Â(z))²

ですから、平方根を取れば、(46-21) により (46-59) が得られます。
　特に、(46-59),(46-22) により

(46-61)  | exp z | = 1  Û  exp Â(z) = 1  Û  Â(z) = 0

が成り立ちます。

　この節の最後に zeta関数を定義しておきましょう。実数 s > 1 に対して

(46-62)  ζ(s) :º

¥ å k=1

1  —–   k s

をRiemannのzeta関数といいますが、この右辺が収束することを証明しましょう。j(t) :º t^-s = 1/t^s と置くと、j'(t) = - s/t^s+1 £ 0 ですから j は単調非増加なので、

(46-63)  ζ(s) = 1 +

¥ å k=2

ò

k k-1

dt  —–  ks

£

¥ å k=2

ò

k k-1

dt  —–  ts

= 1 +

ò

¥ 1

dt  —–  ts

= 1 +

t1-s ——– 1 - s

| | | |

¥ 1

= 1 -

1 ——–  1 - s

=

s ——–  s - 1

となって、ζ(s) は優級数を持つので確かに収束します。