数学の基礎

　さて、X を任意のBanach環とし、i をその複素化 C_X における虚数単位とします。このとき、xÎX に関する正弦関数及び余弦関数を、それぞれ

(47-1a)  sin x :º

eix - e-ix ———— 2 i

= - i sinh(ix) =

¥ å k=0

(- 1)k x2k+1 ————— (2k + 1)!

= Á(exp ix)

(47-1b)  cos x :º

eix + e-ix ————  2

= cosh(ix) =

¥ å k=0

(- 1)k x2k ————  (2k)!

= Â(exp ix)

で定義します。冪級数の表示により、これらは確かに X に値をとる関数であることがわかります。
　また、cos x が可逆であるような x に対して x の正割関数と正接関数を

(47-1c)  sec x :º (cos x)-1 = sech(ix)

(47-1d)  tan x :º sin x sec x = - i tanh(ix)

で定義し、sin x が可逆であるような x に対して x の余割関数と余接関数を

(47-1e)  csc x :º (sin x)-1 = i csch(ix)

(47-1f)  cot x :º cos x csc x = i coth(ix)

で定義します。以上６個の関数を総称して X 上の三角関数とよびます。定義式から明らかなように

(47-2)  exp(± ix) = cos x ± i sin x       ( xÎCX )

(47-3a)  sin 0 = tan 0 = 0

(47-3b)  cos 0 = sec 0 = 1

が成り立ちます。また、(46-48),(47-1a),(47-1b),(45-48) により

(47-4a)  || sin x || = || sinh(ix) || £ sinh || ix || = sinh || x ||

(47-4b)  || cos x || = || cosh(ix) || £ cosh || ix || = cosh || x ||

が成り立ち、(46-49) の x に ix を代入すると、(47-1) により

(47-5a)  cos² x + sin² x = 1       ( xÎX )

(47-5b)  1 + tan² x = sec² x       ( xÎD( sec ) )

(47-5c)  cot² x + 1 = csc² x       ( xÎD( csc ) )

が得られます。また定義から明らかに、sin は奇関数、cos は偶関数です。従って tan , csc , cot は奇関数、sec は偶関数です。

　また、x と y が可換 なら、(46-51a)~(46-51d) の x に ix を代入して (47-1a),(47-1b) を用いると、cos と sin の加法定理：

(47-6a)  cos(x ± y) = cos x cos y ± sin x sin y

(47-6b)  sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y

が得られ、更に cos x , cos y , cos(x ± y) がすべて可逆なときは、(46-51e) の x に ix を代入して (47-1d) を用いれば

(47-6c)  tan(x ± y) = (tan x ± tan y)(1 ± tan x tan y)-1

という tan の加法定理が得られます。sin x , sin y , sin(x ± y) がすべて可逆なときは、(46-51f) の x に ix を代入して (47-1f) を用いれば

(47-6d)  cot(x ± y) = (cot x cot y ± 1)(cot x ± cot y)-1

という cot の加法定理が得られます。特に特にこれらの x + y に対する加法定理において、y :º x として (47-5a) を用いれば

(47-7a)  sin(2x) = 2 sin x cos x

(47-7b)  cos(2x) = cos² x - sin² x = 1 - 2 sin² x = 2 cos² x - 1

(47-7c)  tan(2x) = 2 tan x (1 - tan² x)-1

(47-7d)  cot(2x) = (cot² x - 1)(2 cot x)-1

が得られます。また cos x が可逆なら、(46-53) の x に ix を代入して (47-1a),(47-1b),(47-1d) を用いれば

(47-8a)  sin(2x) = 2 tan x (1 + tan² x)-1

(47-8b)  cos(2x) = (1 - tan² x)(1 + tan² x)-1

が得られ、sin x と cos x が可逆なら、(46-54a) の x に ix を代入して (47-1d),(47-1e),(47-1f) を用いれば

(47-9a)  cot x + tan x = 2 csc(2x)

(47-9b)  cot x - tan x = 2 cot(2x)

が得られます。

　また、任意の xÎX と任意の整数 n に対し、(47-2),(46-13) と二項展開の公式 (12-32) により

(47-10)  cos(nx) + i sin(nx)	= einx
	= (eix )n
	= (cos x + i sin x)n
	=  n å k=0 æ è n k ö ø ik sink x cosn-k x
	=   å k£n/2 æ è n 2k ö ø (- 1)k sin2k x cosn-2k x + i   å k<n/2 æ è n 2k + 1 ö ø (- 1)k sin2k+1 x cosn-2k-1 x

が得られます。ただし三角関数の場合も双曲線関数と同様に、(sin x)ⁿ のことを sinⁿ x のように書きます。(47-10) の実部と虚部をそれぞれ比較すれば、三角関数の倍角公式：

(47-11a)  cos(nx) =

å k£n/2

æ è

n 2k

ö ø

(- 1)k sin2k x cosn-2k x

(47-11b)  sin(nx) =

å k<n/2

æ è

n 2k + 1

ö ø

(- 1)k sin2k+1 x cosn-2k-1 x

が得られます。
　さて、(47-6a),(47-6b) において、それぞれの式と y を - y に置き換えた式を辺々加え、又は差し引いて 2 で割れば、可換な x , y に対して

(47-12a)  cos x cos y =

cos(x + y) + cos(x - y) ————————— 2

(47-12b)  sin x sin y =

cos(x - y) - cos(x + y) ————————— 2

(47-12c)  sin x cos y =

sin(x + y) + sin(x - y) ————————– 2

が得られます。
　また (47-12) で、任意の可換な u , v に対して x :º (u + v) / 2 及び y :º (u - v) / 2 と置いて、両辺に 2 を乗じ、両辺を入れ替えれば、それぞれ

(47-13a)  cos u + cos v = 2 cos

u + v ——– 2

cos

u - v ——– 2

(47-13b)  cos v - cos u = 2 sin

u + v ——– 2

sin

u - v ——– 2

(47-13c)  sin u + sin v = 2 sin

u + v ——– 2

cos

u - v ——– 2

が得られ、(47-13a),(47-13b) で u , v をそれぞれ 2u , 2u に置き換えて (47-7b),(47-5a) を用いれば、

(47-14a)  cos(u + v) cos (u - v) =

cos(2u) + cos(2v) ———————– 2

=

{2 cos² u - 1} + {1 - 2 sin² v} ———————————— 2

= cos² u - sin² v = cos² v - sin² u

(47-14b)  sin(u + v) sin (u - v) =

cos(2v) - cos(2u) ———————– 2

=

{1 - 2 sin² v} - {1 - 2 sin² u} ———————————— 2

= sin² u - sin² v = cos² v - cos² u

が得られます。
　さて、X が特に付値体 K の場合は、(47-1) の両辺を微分して、右辺の冪級数表示に項別微分の公式 (29-37) を用いれば

(47-15a)

d  —– dz

sin z = cos z

(47-15b)

d  —– dz

cos z = - sin z

が得られ、従って特に sin と cos は無限階微分可能で、帰納法により、任意の自然数 k に対して

(47-16a)  sin(2k) z = (- 1)k sin z

(47-16b)  sin(2k+1) z = (- 1)k cos z

が成り立つことがわかります。また、tan , cot , sec , csc の微分についても、双曲線関数の場合と同様に

(47-17a)

d  —– dz

tan z =

sin' z cos z - sin z cos' z —————————–  cos² z

=

cos² z + sin² z —————–  cos² z

=

1 ——–  cos² z

= sec² z = 1 + tan² z

(47-17b)

d  —– dz

cot z =

cos' z sin z - cos z sin' z —————————–  sin² z

=

- sin² z - cos² z ——————–  sin² z

= -

1 ——–  sin² z

= - csc² z = - 1 - cot² z

(47-17c)

d  —– dz

sec z =

cos' z ——–  cos² z

= -

sin z ——–  cos² z

= - sech z tan z

(47-17d)

d  —– dz

csc z =

sin' z ——–  sin² z

=

cos z ——–  sin² z

= csch z cot z

が成り立ちます。

　さて、ここで特に K が実数体 R である場合を考察しましょう。

　sin と cos の組は、第44節の常微分方程式の解の一意性により、連立常微分方程式：

(47-18a)  sin' t = cos t

(47-18b)  cos' t = - sin t

(47-18c)  sin 0 = 0

(47-18d)  cos 0 = 1

を満たす唯一組の実数値関数であることがわかります。また (47-5a) により

(47-19a)  - 1 £ sin t £ 1

(47-19b)  - 1 £ cos t £ 1

が成り立つことがわかります。

　次に、R 任意の有界閉区間で、t の関数 1 / (1 + t²) は一様連続ですから、任意の t > 0 に対して次の積分：

(47-20)  arctan t :º

ò

t 0

dt ——– 1 + t²

が定義できます。これを t の逆正接関数といいます。(47-3) の両辺を t で微分すれば、微分積分学の基本定理により、

(47-21)

d  —– dt

arctan t =

1  ——– 1 + t²

が得られます。一方

(47-22a)  arctan t -

n-1 å k=0

(- 1)k t2k+1 ————— 2k + 1

=

ò

t 0

dt ——– 1 + t²

-

n-1 å k=0

ò

t 0

(- t²)k dt =

ò

t 0

æ è

1 ——– 1 + t²

-

1 - (- t²)n ————– 1 - (- t²)

ö ø

dt =

ò

t 0

(- t²)n dt ———— 1 + t²

となり、| t | £ 1 なら

(47-22b)

| | | |

ò

t 0

(- t²)n dt ———— 1 + t²

| | | |

£

ò

|t| 0

t2n dt =

| t |2n+1 ——— 2n + 1

£

1  ——— 2n + 1

® 0       ( n ® ¥ )

ですから、逆正接関数の冪級数展開：

(47-23)  arctan t =

¥ å k=0

(- 1)k t2k+1 ————– 2k + 1

(  | t | £ 1  )

が得られます。

　さて、R⁺⁺ において t = 1 / s と置くと、dt = - ds / s² ですから、置換積分により、

(47-24)  arctan t - arctan 1 =

ò

t 1

dt ——– 1 + t²

= -

ò

1 / t 1

ds/s² ———– 1 + 1/s²

= -

ò

1 / t 1

ds ——– 1 + s²

=

ò

1 1 / t

ds ——– 1 + s²

= arctan 1 - arctan

1 —–  t

となりますから、円周率とよばれる正数 p を

(47-25)  p :º 4 arctan 1 = 4

ò

1 0

dt ——– 1 + t²

= 4

¥ å k=0

(- 1)k ——— 2k + 1

で定義すれば、(47-24) は

(47-26)  arctan t + arctan

1 —–  t

= arctan 1 + arctan 1 =

p —– 2

となります。一方 arctan は連続で、

(47-27)  arctan 0 = 0

ですから、1 / (1 + t²) は t について R⁺ で可積分で、

(47-28)

ò

¥ 0

dt ——– 1 + t²

=

lim t ® ¥

arctan t =

p —– 2

-

lim t ® ¥

arctan

1 —–  t

=

p —– 2

となります。一方、(47-20) の t に - t を代入し、右辺で積分変数を t から s = - t に変換すれば、

(47-29)  arctan(- t) =

ò

-t 0

dt ——– 1 + t²

= -

ò

t 0

ds ——– 1 + s²

= - arctan t

ですから、arctan は奇関数です。ゆえに

(47-30)

lim t ® -¥

arctan t = -

lim t ® -¥

arctan (- t) = -

lim t ® ¥

arctan t = -

p —– 2

　一方、(47-21) の右辺は正ですから arctan は単調増加で、従って (47-28),(47-30) により、開区間 ] - p/2 , p/2 [ で定義された逆関数 T を持つことがわかりますが、この T も単調増加で、更に第31節の議論により連続で、

(47-31a)  T(t) < 0       ( - p/2 < t < 0 )

(47-31b)  T(0) = 0

(47-31c)  T(t) > 0       ( 0 < t < p/2 )

が成り立ちます。また逆関数の微分の公式 (29-19b) により T は微分可能で、(47-21) により

(47-32)  T '(t) =

1 ————– arctan' T(t)

= 1 + T(t)²

が成り立ちます。そこで、- p/2 < t < p/2 において

(47-33a)  C(t) :º

1 –————– Ö 1 + T(t)²

= {1 + T(t)²}-1/2

(47-33b)  S(t) :º

T(t) –————– Ö 1 + T(t)²

= C(t)T(t)

と置くと、(47-32),(47-33) と合成関数の微分の公式 (29-18g) により

(47-34a)  C'(t) = -

1 —– 2

{1 + T(t)²}-3/2 · 2T(t)T '(t) = - {1 + T(t)²}-1/2 T(t) = - S(t)

(47-34b)  S'(t) = C'(t)T(t) + C(t)T '(t) = - S(t)T(t) + C(t){1 + T(t)²} = - C(t)T(t)² + C(t){1 + T(t)²} = C(t)

　また (47-31b),(47-33) により

(47-35a)  S(0) = 0

(47-35b)  C(0) = 1

となるので、S , C の組は、(47-18) の sin , cos と同じ常微分方程式を満たします。ゆえに常微分方程式の解の一意性により

(47-36a)  S(t) = sin t       ( - p/2 < t < p/2 )

(47-36b)  C(t) = cos t       ( - p/2 < t < p/2 )

が成り立ちます。ゆえに (47-31),(47-33) により

(47-37a)  sin t < 0       ( - p/2 < t < 0 )

(47-37b)  sin t > 0       ( 0 < t < p/2 )

(47-37c)  cos t > 0       ( - p/2 < t < p/2 )

が成り立つことがわかります。また (47-33b),(47-36) により

(47-38)  T(t) =

S(t) —— C(t)

=

sin t ——– cos t

= tan t       ( - p/2 < t < p/2 )

となります。従って特に、開区間 ] - p/2 , p/2 [ は tan の定義域に含まれ、arctan は、tan を開区間 ] - p/2 , p/2 [ に制限した写像の逆関数になっていることがわかります。

　さて、(47-37) により、

(47-39a)  tan t < 0       ( - p/2 < t < 0 )

(47-39b)  tan 0 = 0

(47-39c)  tan t > 0       ( 0 < t < p/2 )

　また (47-28),(46-29) と、tan が arctan の逆関数であることにより

(47-40a)

lim t ｭ p/2

tan t = ¥

(47-40b)

lim t ¯ - p/2

tan t = - ¥

　ゆえにこれと (47-33),(47-36),(47-38),(47-31c) と、sin , cos の連続性により、

(47-41a)  cos

p —– 2

=

lim t ｭ p/2

cos t =

lim T ® ¥

1 –———– Ö 1 + T ²

= 0

(47-41b)  sin

p —– 2

=

lim t ｭ p/2

sin t =

lim T ® ¥

T –———– Ö 1 + T ²

=

lim T ® ¥

1 –————– Ö1/T ² + 1

= 1

　このことから、Banach環 X の元 x に対して、(47-6a),(47-6b) と (47-41) により

(47-42a)  sin

æ è

x +

p —– 2

ö ø

= sin x cos

p —– 2

+ cos x sin

p —– 2

= cos x

(47-42b)  cos

æ è

x +

p —– 2

ö ø

= cos x cos

p —– 2

- sin x sin

p —– 2

= - sin x

が得られます。ただし (p/2)1 のことを単に p/2 と略記しました。以下も同様です。ゆえに自然数 n に対する帰納法により

(47-43a)  sin	æ è	x +	np —– 2	ö ø	=	ì í î	(- 1)k sin x		( n = 2k )
							(- 1)k cos x		( n = 2k + 1 )

(47-43b)  cos	æ è	x +	np —– 2	ö ø	=	ì í î	(- 1)k cos x		( n = 2k )
							(- 1)k+1 sin x		( n = 2k + 1 )

が成り立ちます。更に、x を - x に、n を - n に、k を - k に置き換えた式も成り立つので、(47-43) は n が任意の整数でも成り立ちます。
　また、これらの一方の逆元を他方に乗じることにより

(47-44a)  tan	æ è	x +	np —– 2	ö ø	=	ì í î	tan x		( n = 2k )
							- cot x		( n = 2k + 1 )

(47-44b)  cot	æ è	x +	np —– 2	ö ø	=	ì í î	cot x		( n = 2k )
							- tan x		( n = 2k + 1 )

が成り立ちます。

　さて、再び実変数の場合に戻り、sin の定義域を ] - p/2, p/2 [ に制限したものは、(47-18a) と (47-37c) により単調増加で ] - 1, 1 [ に値を持ちますから、] - 1, 1 [ で定義された逆関数を持ちます。これを arcsin と書いて逆正弦関数といいます。
　これを微分すると、逆関数の微分の公式 (29-19b) と (47-18a),(47-5a),(47-37c) により

(47-45)

d  —– dt

arcsin t =

1 ————–  sin' arcsin t

=

1 ————–  cos arcsin t

=

1 –———————– Ö1 - sin² arcsin t

=

1 –——— Ö1 - t²

が成り立ちます。arcsin 0 = 0 ですから、0 から t まで積分して

(47-46)  arcsin t :º

ò

t 0

dt –——– Ö1 - t²

(  | t | < 1  )

という表示式が得られ、特に

(47-47)

p —– 2

=

lim x ｭ 1

arcsin x =

ò

1 0

dt –——– Ö1 - t²

となります。

　なお、(47-43a),(47-44a) で n = 1 として t に - t を代入すれば、それぞれ cos t = sin(p/2 - t) と cot t = tan(p/2 - t) となりますから、cos と cot は共に ] 0, p [ で単調減少関数となるので、この範囲で逆関数を持ちます。それらを逆余弦関数、逆余接関数とよんで、それぞれ arccos , arccot と書きます。

(47-48a)  s = arccos t  Û  t = cos s = sin

æ è

p —– 2

- s

ö ø

Û

p —– 2

- s = arcsin t

(47-48b)  s = arccot t  Û  t = cot s = tan

æ è

p —– 2

- s

ö ø

Û

p —– 2

- s = arctan t

ですから

(47-49a)  arccos t =

p —– 2

- arcsin t

(47-49b)  arccot t =

p —– 2

- arctan t

が成り立ちます。

　さて、一般にBanach環 X あるいはその部分集合で定義された関数 f は、X の元 c ¹ 0 が存在して、任意の実数 xÎX に対して f(x + c) =  f(x) を満たすとき周期関数といい、c をその周期といいます。明らかに周期の 0 でない整数倍は周期です。
　上記の (47-43) は R 上の関数 sin と cos が周期 2p の周期関数であることを、(47-44) は R 上の関数 tan と cot が周期 p の周期関数であることを示しています。

　さて、(47-7a) の x と (47-37) の t に t/2 を代入することにより

(47-50a)  sin t > 0       ( 0 < t < p )

(47-50b)  sin t < 0       ( - p < t < 0 )

がわかりますすから、これらと sin が周期 2p を持つことにより、

(47-51a)  ( "nÎZ : t ¹ np )  Þ  sin t ¹ 0

となることがわかります。従って

(47-51b)  sin t = 0  Þ  $nÎZ : t = np

が成り立ちます。
　実際、任意の tÎR に対して k - 1 < t/p < l + 1 となる整数 k , l が存在しますが、任意の自然数 n に対して n < t/p 又は t/p < n + 1 なので、n に対する帰納法により n - 1 < t/p < n + 1 となる自然数 n が存在することがわかります。
　ここで sin t = 0 なら、t/p < n と仮定すると、n - 1 < t/p < n なので (47-51a) の仮定が成り立ってしまい、sin t ¹ 0 となるので矛盾です。
　ゆえに t/p ³ n が証明され、全く同様に t/p £ n が示されるので t = np が証明されました。

　また、(47-43a) で n = - 1 と置けば sin(t - p/2) = - cos t となりますから

(47-52a)  cos t > 0       ( - p/2 < t < p/2 )

(47-52b)  cos t < 0       ( p/2 < t < 3p/2 )

(47-53a)  ( "nÎZ : t ¹ (n + 1/2)p )  Þ  cos t ¹ 0

(47-53b)  cos t = 0  Þ  $nÎZ : t = (n + 1/2)p

が得られます。

　さて、先ほどとは逆に、c が R 上の関数 sin の周期なら、(47-6b) により、任意の実数 t に対して

(47-54)  sin t = sin(t + c) = sin t cos c + cos t sin c

が成り立たなければなりませんから、t = 0 又は t = p/2 と置いて (47-18c),(47-18d),(47-41) を用いることにより

(47-55a)  sin c = 0

(47-55b)  cos c = 1

でなければならないことがわかります。
　従って (47-55a) と (47-51b) により c は p の整数倍であることがわかりますが、(47-43b) で n に 4n + 2 を、t に 0 を代入すると、右辺は - 1 となることから、(57-54b) により c は p の奇数倍ではない、すなわち p の偶数倍でなければないことがわかります。
　従って、sin の周期は 2p の整数倍であることがわかりました。また、(47-42a) により、cos の周期も 2p の整数倍であることがわかります。
　ゆえにこれらの逆数である sec と csc の周期も 2p の整数倍であることがわかります。

　また、c が tan 又は cot の周期なら、tan t = tan(t + c) 又は cot t = cot(t + c) の分母を払って

(47-56a)  sin t cos(t + c) = cos t sin(t + c)

となるので、右辺から左辺を引いて sin の加法定理を用いれば、

(47-56b)  0 = sin(t + c) cos t - cos (t + c) sin t = sin(t + c - t) = sin c

となるので、(47-51b) により、c は p の整数倍でなければならない、すなわち tan 及び cot の周期は p の整数倍であることがわかりました。

　さて次に、

(47-57)  x² + y² = 1

を満たす任意の実数の組 x , y に対し、

(47-58a)  x = cos t

(47-58b)  y = sin t

を満たす実数 t が 2p の整数倍の差を除いて一意的に存在することを証明しましょう。
　まず (47-57) により x ¹ 0 又は y ¹ 0 が成り立ちます。
　前者の場合、- 1 < y < 1 なので、更に x > 0 なら、t :º arcsin y と置けば、(47-58b) が成り立ち、x² = 1 - y² = 1 - sin² t = cos² t となり、-p/2 < t < p/2 なので cos t > 0 が成り立ち、従って (47-58a) も得られます。
　また x < 0 なら、t :º p - arcsin y と置けば、y = sin(p - t) = sin t となってやはり (47-58b) が得られ、従って同様に x² = cos² t となり、p/2 < t < 3p/2 なので cos t < 0 が成り立ち、従って (47-58a) が得られます。
　後者の場合、- 1 < x < 1 なので、更に y > 0 なら、t :º arccos x と置けば、(47-58a) が成り立ち、y² = 1 - x² = 1 - cos² t = sin² t となり、0 < t < p なので sin t > 0 が成り立ち、従って (47-58b) も得られます。
　また y < 0 なら、t :º - arccos x と置けば、x = cos(- t) = cos t となってやはり (47-58a) が得られ、従って同様に y² = sin² t となり、- p < t < 0 なので sin t < 0 が成り立ち、従って (47-58b) が得られます。

　また、s も t と同じく (47-58) を満たすとすれば、sin と cos の加法定理により

(47-59a)  sin(s - t) = sin s cos t - cos s sin t = yx - xy = 0

(47-59b)  cos(s - t) = cos s cos t + sin s sin t = x² + y² = 1

　となって、c :º s - t は (47-55) を満たし、従って 2p の整数倍であることがわかります。

　以上の結果の応用例として、少なくとも一方が 0 と異なる実数 a , b が与えられたとき、x :º a /    ________
Öa² + b² ,  y :º b /    ________
Öa² + b² と置けば (47-57) を満たすので、(47-58) を満たす t が存在します。よって

(47-60)  a sin q + b cos q =    ________ Öa² + b² {cos t sin q + sin t cos q} =    ________ Öa² + b² sin(q + t)       ( qÎR )

と書けることがわかります。

　次に X が複素数体 C である場合を考察します。まず、(47-2) で X :º R と置くと C_X = C となるので

(47-61)  eiq = cos q + i sin q       ( qÎR )

が得られます。これをEulerの公式といいます。特に q = p と置けば

(47-62)  eip = - 1

となります。

　さて、z = x ± i yÎC に対し、(46-10),(47-61),(46-51a)~(46-51d),(47-6a),(47-6b),(47-1a),(47-1b) により

(47-63a)  ez = ex ± i y = ex e± i y = ex (cos y ± i sin y)

(47-63b)  sinh z = sinh(x ± i y) = sinh x cosh(i y) ± cosh x sinh(i y) = sinh x cos y ± i cosh x sin y

(47-63c)  cosh z = cosh(x ± i y) = cosh x cosh(i y) ± sinh x sinh(i y) = cosh x cos y ± i sinh x sin y

(47-63d)  sin z = sin(x ± i y) = sin x cos(i y) ± cos x sin(i y) = sin x cosh y ± i cos x sinh y

(47-63e)  cos z = cos(x ± i y) = cos x cos(i y) ± sin x sin(i y) = cos x cosh y ± i sin x sinh y

となります。また (46-59),(46-49a),(47-5a) により

(47-64a)  | ez | = ex

(47-64b)  | sinh z |² = sinh² x cos² y + cosh² x sin² y = sinh² x cos² y + (1 + sinh² x) sin² y = sinh² x + sin² y

(47-64c)  | cosh z |² = cosh² x cos² y + sinh² x sin² y = (1 + sinh² x) cos² y + sinh² x sin² y = sinh² x + cos² y

(47-64d)  | sin z |² = sin² x cosh² y + cos² x sinh² y = sin² x (1 + sinh² y) + cos² x sinh² y = sin² x + sinh² y

(47-64e)  | cos z |² = cos² x cosh² y + sin² x sinh² y = cos² x (1 + sinh² y) + sin² x sinh² y = cos² x + sinh² y

が成り立ちます。また (47-63a) から

(47-65)  ez = 1  Û  $nÎZ : z = 2npi

が成り立つことがわかります。
　実際、右辺から左辺は、(46-20b),(47-18) と 2np が sin と cos の周期であることから明らかです。
　逆に左辺を仮定すると、| e^z | = 1 ですから (46-61) により x = 0 がわかり、従って e^x = 1 ですから (47-63a) により cos y = 1 , sin y = 0 となるので、まず y = 0 がその一つの解になりますが、(47-58) の下の注意により、一般の y は、ある整数 n により y = 2np と書けることがわかり、(47-65) の右辺が得られます。

　最後に指数関数、双曲線関数、三角関数を複素数体 C 上で考えた場合の周期について考察しましょう。a を複素数体 C における exp の周期とすれば、(46-10) により

(47-66)  ez = ez+a = ez ea

となりますが、e^z は可逆元ですから e^a = 1 がわかり、従って (47-65) により指数関数 exp の周期 a は 2pi の整数倍であることがわかります。
　一般に、exp が複素数 a の整数倍を周期に持てば、z の関数 e^-z も a の整数倍を周期に持ち、従ってそれらの和、差も同様なので、特に sinh , cosh も a の整数倍を周期に持ちます。
　逆に sinh が b の整数倍を周期に持てば、sin は bi の整数倍を周期にもち、従って z の関数 sin(z + p/2) すなわち cos も bi の整数倍を周期に持ち、従って cosh は b の整数倍を周期に持ちます。cosh と sinh の役割を入れ替えても同様です。
　従って sinh が b の整数倍を周期に持つことと cosh が b の整数倍を周期に持つことは同値であり、従ってこのとき、それらの和である exp も b の整数倍を周期に持ちます。
　以上により、複素数体においては、sinh と cosh の周期も exp と同様に 2pi の整数倍であり、従って sin と cos の周期は共に 2p の整数倍であることがわかりました。
　また、(47-56) は複素変数についても成り立ちますから、tan と cot の周期 a は sin a = 0 を満たすことがわかり、これは (47-1a) により e^ia = e^-ia すなわち e^2ia = 1 を意味するので、(47-65) により a は p の整数倍であることがわかります。
　以上により、tan と cot の周期は p の整数倍であり、従って tanh と coth の周期は共に pi の整数倍であることがわかりました。