数学の基礎

　本節では付値体 K 上のBanach環 X の無限積について考察します。まず最初に次の定理：

定理１ 　x :º { xk | kÎN }Îl¹(X ) のとき、p(x) :º Õk (1 + xk ) は収束し、かつ p は l¹(X ) から X への連続関数である。 　また、このときすべての 1 + xk が可逆なら p(x) も可逆であり、xk 同士が可換なら逆も成り立つ。

が成り立つことを証明しましょう。

(48-1)  pk(x) :º

k Õ i=0

(1 + xi )

(48-2a)  q0(x) :º p0(x)

(48-2b)  qk+1(x) :º pk+1(x) - pk(x) =

ì í î

k Õ i=0

(1 + xi )

ü ý þ

xk+1 = pk(x) xk+1

と置くと、(45-20b),(46-24a),(46-29) により

(48-3)  log

|| || ||

m Õ k=n

(1 + xi )

|| || ||

£ log

m Õ k=n

(1 + || xi || ) =

m å k=n

log(1 + || xk || ) £

m å k=n

|| xk || £ || x ||l¹

すなわち

(48-4a)

|| || ||

m å k=n

(1 + xi )

|| || ||

£ e|| x ||l¹

　従って特に

(48-4b)  || pk(x) || £ e|| x ||l¹

ですから、これと (48-2b) により

(48-5)

m å k=n

|| qk(x) || £

m å k=n

|| pk(x) || || xk+1 || £ e|| x ||l¹

m å k=n

|| xk+1 || ® 0       ( m ³ n ® ¥ )

となるので

(48-6)  p(x) = limk pk(x) =

¥ å k=0

qk(x)

の右辺は絶対収束し、p が定義されます。また、

(48-7)  pk(x) - pk( y) =

k å  j=0

ì í î

j Õ i=0

(1 + xi )

k Õ i=j+1

(1 + yi ) -

j-1 Õ i=0

(1 + xi )

k Õ i=j

(1 + yi )

ü ý þ

=

k å  j=0

ì í î

j-1 Õ i=0

(1 + xi ) · (xj - yj ) ·

k Õ i=j+1

(1 + yi )

ü ý þ

が成り立つので、(48-4a) により

(48-8)  || pk(x) - pk( y) || £

k å  j=0

e|| x ||l¹ || xj - yj || e|| y ||l¹ £ e|| x ||l¹+|| y ||l¹ || x - y ||l¹

が成り立ち、従ってこの式で k ® ¥ とすれば

(48-9)  || p(x) - p( y) || £ e|| x ||l¹+ || y ||l¹ || x - y ||l¹

となって、p の連続性も証明されました。

　また、すべての 1 + x_k が可逆なら、

(48-10)  yk :º (1 + xk )-1 - 1 = (1 + xk )-1{1 - (1 + xk )} = - (1 + xk )-1 xk

と置けば、十分大きな n に対し、k ³ n なら || x_k || < 1/2 となりますが、このとき (45-22),(45-25) で x に 1 を、y に 1 + x_k を代入した式により

(48-11)  || yk || £ || (1 + xk )-1 || || xk || £

|| xk || ———— 1 - || xk ||

£ 2 || xk ||

が得られ { y_k | kÎN }Îl¹(X ) となり、r_k :º (1 + x_k )^-1¼(1 + x₁ )^-1(1 + x₀ )^-1 = (1 + y_k )¼(1 + y₁ )(1 + y₀ ) と置けば、上で証明された結果を積の左右を入れ替えた演算に対して適用すれば、r :º lim_k r_k が存在することがわかります。
　さらに、r_k p_k(x) = p_k(x) r_k = 1 となるので、k ® ¥ とすれば r p(x) = p(x)r = 1 が得られ、r は p(x) の逆元になることがわかります。
　また x_k 同士が可換で p(x) が可逆なら、x_k p(x) = p(x) x_k の左右から p(x)^-1 を乗じれば、p(x)^-1 と x_k は可換であることがわかるので、

(48-12)  (1 + xk )-1 =

k-1 Õ i=0

(1 + xi ) ·

¥ Õ i=k+1

(1 + xi ) · p(x)-1

が成り立ちます。以上で定理１は証明されました。

　次に、t の関数 x(t) :º { x_k(t) | kÎN }Îl¹(X ) が微分可能な場合に対する定理：

定理２ 　K の開集合 U で定義された t の関数 x(t) :º { xk(t) | kÎN }Îl¹(X ) の各成分が微分可能で、Δx(t, h) :º {x(t + h) - x(t)}/h が h ® 0 のとき x'(t) :º { xk'(t) | kÎN } に有界収束するならば、g(t) :º Õk{1 + xk(t)} で定義される関数 g は微分可能で g'(t) = åk Õi<k{1 + xi(t)}xk'(t)Õi>k{1 + xi(t)} が成り立つ。 　また、g(t) が可逆で、各 xk(t) が xi(t) とも xi'(t) とも可換なら、g(t)-1g'(t) = åk{1 + xi(t)}-1 xk'(t) が成り立つ。

を証明しましょう。

(48-13)  gk(t) :º

k Õ i=0

{1 + xi(t)}

と置くと、

(48-14)  Δgk(t, h) =

1 —–  h

k å  j=0

ì í î

j Õ i=0

{1 + xi(t + h)}

k Õ i=j+1

{1 + xi(t)} -

j-1 Õ i=0

{1 + xi(t + h)}

k Õ i=j

{1 + xi(t)}

ü ý þ

=

k å  j=0

a(k)j(t, h)

となります。ただし

(48-15)  a(k)j(t, h) =

j-1 Õ i=0

{1 + xi(t + h)} Δxj(t, h)

k Õ i=j+1

{1 + xi(t)}

です。ここで j > k のとき a^(k)_j(t, h) :º 0 と定義しておきます。このとき、仮定により { c_j | jÎN }Îl¹(R) が存在して

(48-16)  || Δxj(t, h) || £ cj

が成り立つので、c :º å_j c_j < ¥ と置くと、| h | < 1 のとき

(48-17)  || x(t + h) ||l¹ = || x(t) + h Δx(t, h) ||l¹ £ || x(t) ||l¹ + | h | || Δx(t, h) ||l¹ £ || x(t) ||l¹ + c

が成り立ち、従ってこれと (48-15),(48-16),(48-4a) により

(48-18)  || a(k)j(t, h) || £ e|| x(t + h) ||l¹ cj e|| x(t) ||l¹ £ e2|| x(t) ||l¹+c cj

となるので、k ® ¥ のとき a^(k)(t, h) :º { a^(k)_j(t, h) |  jÎN } は

(48-19)  aj(t, h) =

j-1 Õ i=0

{1 + xi(t + h)} Δxj(t, h)

¥ Õ i=j+1

{1 + xi(t)}

を成分に持つ a(t, h) :º { a_j(t, h) |  jÎN } に有界収束し、従って l¹(X ) で収束するので、(48-14) で k ® ¥ とすれば

(48-20)  Δg(t, h) =

¥ å  j=0

aj(t, h)

が成り立ちます。ここで更に h ® 0 とすれば、a(t, h) は

(48-21)

j-1 Õ i=0

{1 + xi(t)}xj'(t)

¥ Õ i=j+1

{1 + xi(t)}

を第 j 成分に持つ l¹(X ) の元に有界収束することがわかり、従って l¹(X ) で収束するので、(48-20) で h ® 0 とすることにより、

(48-22)  g'(t) =

¥ å i=0

j-1 Õ i=0

{1 + xi(t)}xj'(t)

¥ Õ i=j+1

{1 + xi(t)}

が成り立つことがわかります。これで定理２の前半は証明されました。
　定理２の後半は、定理１により、各 1 + x_k は可逆なので、

(48-23)  g(t)-1 =

¥ Õ i=0

{1 + xi(t)}-1

が成り立ち、(48-23) を (48-22) に乗じれば

(48-24)  g(t)-1g'(t) =

¥ å i=0

{1 + xj(t)}-1 xj'(t)

が得られます。以上で定理２は証明されました。

　以上の結果を応用するために、まず準備として、特別な多項式 p_n(x) :º xⁿ - 1 の複素数体における因数分解について考察します。

(48-25)  wn :º exp

2pi —–  n

と置くと、

(48-26)  wnk = exp

2kpi ——  n

ですから

(48-27a)  ( wnk )n = exp

2knpi ——–  n

= exp(2kpi) = 1

(48-27b)

wni —–  wnj

= wni-j = exp

2(i - j)pi ————  n

= cos

2(i - j)p ———–  n

+ i sin

2(i - j)p ———–  n

¹ 1       ( 0 £  j < i < n )

となるので、w_n^k ( 0 £ k < n ) は相異なる p_n の根になっています。ゆえに (16-35) により

(48-28)  pn(x) º xn - 1 =

n-1 Õ k=0

(x - wnk )

が成り立ちます。

　さて、複素数 z :º x + y i に対して ι(z) :º x1 + y i と定義すれば、ι は C からBanach環 C_X への環準同型になりますから、

(48-29)  ωn :º ι(wn ) = exp

2pi —–  n

と置けば、(48-28) と多項式環の定義により、任意の xÎX に対して

(48-30)  xn - 1 =

n-1 Õ k=0

(x - ωnk )

が成り立ちます。
　これを使って sin の積に関する公式を導いてみましょう。まず (47-1a) により

(48-31)	n-1 Õ k=0	sin	æ è	x +	kp —–  n	ö ø	= n-1 Õ k=0 (- 2i)-1  ì í î exp æ è - ix -  kpi ——  n ö ø - exp æ è ix +  kpi ——  n ö ø ü ý þ
							= (- 2i)-n n-1 Õ k=0 exp æ è ix -  kpi ——  n ö ø ì í î exp(- 2ix) - exp 2kpi ——  n ü ý þ
							= (- 2i)-n exp n-1 å k=0 æ è ix -  kpi ——  n ö ø · n-1 Õ k=0 { exp(- 2ix) - ωnk }
							= (- 2i)-n exp æ è nix - (n - 1)n ———– 2  pi —–  n ö ø [{exp(- 2ix)}n - 1 ]
							= (- 2i)-n exp æ è - (n - 1)pi ———— 2 ö ø exp(nix) {exp(- 2nix) - 1}
							= (- 2i)-n æ è cos p —– 2 - i sin p —– 2 ö ø n-1 { exp(- nix) - exp(nix) }
							= (- 2i)-n · (- i)n-1 (- 2i) sin(nx)
							= sin(nx) ———   2n-1

という公式が得られます。ただし、４番目の等号で (12-48b) と (48-30) を用いました。
　この公式を、特に X = R の場合に適用し、変数 x を t に書き直し、両辺を sin t で割って t ® 0 とし、de l'Hôpitalの定理を用いれば、

(48-32)

n-1 Õ k=1

sin

kp —–  n

=

lim t ® 0

n-1 Õ k=1

sin

æ è

t +

kp —–  n

ö ø

=

lim t ® 0

1  ——  2n-1

sin(nt) ——— sin t

=

1  ——  2n-1

lim t ® 0

n cos(nt) ———— cos t

=

n  ——  2n-1

という等式も得られます。
　ゆえに、(48-31) を (48-32) で辺々割って n を乗じ、更に n を 2n に置き換えれば、

(48-33)  sin(2nx)	= 2n sin x 2n-1 Õ k=1 sin(kp/2n + x) —————— sin(kp/2n)
	= 2n sin x sin(p/2 + x) ————— sin(p/2) n-1 Õ k=1 sin(kp/2n + x) —————— sin(kp/2n) 2n-1 Õ k=n+1 sin(kp/2n + x) —————— sin(kp/2n)
	= 2n sin x cos x n-1 Õ k=1 sin(kp/2n + x) —————— sin(kp/2n) n-1 Õ k=1 sin((2n - k)p/2n + x) ————————– sin((2n - k)p/2n)
	= n sin(2x) n-1 Õ k=1 sin(kp/2n + x) sin(p - kp/2n + x) —————————————– sin(kp/2n) sin(p - kp/2n)
	= n sin(2x) n-1 Õ k=1 sin(kp/2n + x) sin(kp/2n - x) ———————————– sin²(kp/2n)
	= n sin(2x) n-1 Õ k=1  sin²(kp/2n) - sin²x ———————– sin²(kp/2n)
	= n sin(2x) n-1 Õ k=1 æ è 1 - sin²x ————– sin²(kp/2n) ö ø

が得られます。
　ただし、３番目の等号で、sin(p/2 + x) = cos x であることと sin(p/2) = 1 を用い、右側の積の添字で 2n - k を改めて k と置き、下から３番目の等号で sin(p - x) = sin x を用い、下から２番目の等号で (47-14b) を用いました。

　さて、(48-33) の x に x/2n を代入すると、

(48-34)  sin x = n sin(x/n)

n-1 Õ k=1

æ è

1 -

sin²(x/2n) ————– sin²(kp/2n)

ö ø

= n sin(x/n)

¥ Õ k=1

(1 + a(n)k )

　ただし

(48-35)  a(n)k =	ì ï í ï î	-	sin²(x/2n) ————– sin²(kp/2n)	( k < n )
		0		( k ³ n )

です。ここで不等式：

(48-36a)  sinh t £ t sinh 1       ( 0 £ t £ 1 )

(48-36b)  sin(pt/2) ³ t       ( 0 £ t £ 1 )

が成り立つことを証明しましょう。
　まず (48-36a) は sinh" t = sinh t ³ 0 ですから t ³ 0 において sinh は凸関数です。ゆえに sinh t = sinh((1 - t)0 + t1) £ (1 - t)sinh 0 + t sinh 1 = t sinh 1 となって証明されました。
　また、(48-36b) は j(t) :º sin(pt/2) と置くと、0 £ t £ 1 のとき j"(t) = - (p/2)² sin(pt/2) £ 0 ですから 0 £ t £ 1 において j は凹関数です。ゆえに sin(pt/2) = j(t) = j((1 - t)0 + t1) ³ (1 - t)j(0) + t j(1) = t となって証明されました。

　ゆえに、(47-4a),(48-36) により

(48-37)  || a(n)k || £

æ è

|| x || sinh 1 /2n ——————  k/n

ö ø

²

=

C² —–  k²

( C :º || x || sinh 1 /2 )

となるので、(46-62) の ζ(2) の有限性により a⁽ⁿ⁾ :º { a⁽ⁿ⁾_k | kÎN }Îl¹(X ) がわかり、しかも (47-1a) から

(48-38)  || n sin(x/n) - x || £

¥ å k=1

|| x ||2k+1 ————— (2k + 1)!n2k

£

1 —–  n²

¥ å k=1

|| x ||2k+1 ———— (2k + 1)!

® 0       ( n ® ¥ )

ですから、これとde l'Hôpitalの定理により得られる

(48-39)

lim t®0

t ——  sin t

=

lim t®0

1 ——  cos t

= 1

により、

(48-40)  a(n)k = -

(kp/2n)² ————– sin²(kp/2n)

1 —— (kp)²

{2n sin(x/2n)}² ® -

x² —— k²p²

( n ® ¥ )

　ゆえに (48-37) と (48-40) により、n ® ¥ のとき a⁽ⁿ⁾ は { - x²/(kp)² | kÎN } に有界収束し、従って (45-43) により l¹(X ) で収束することがわかります。ゆえに、(48-34) で n ® ¥ とすれば、(48-38) と上の定理１により、sin の無限積表示：

(48-41)  sin x = x

¥ Õ k=1

æ è

1 -

x² —— k²p²

ö ø

が得られます。

　更に定理１により、sin x が可逆であるための条件は、x 及びすべての k に対する 1 - x²/k²p² = (1 - x/kp)(1 + x/kp) が可逆であることですから、1 ± x/kp 同士が可換であることに注意すれば、これはすべての整数 k に対して x + kp が可逆であることと同値です。
　このことから、特に X が体 K なら (47-51a) は実は逆も成り立つ、すなわち

(48-42)  sin x ¹ 0  Û  "kÎZ : x ¹ kp       ( xÎK )

が成り立つことがわかります。

　さて、X = R の場合を考え、(48-41) の x に p/2 を代入すると、

(48-43)  1 = sin

p — 2

=

p — 2

¥ Õ k=1

æ è

1 -

1 —– 4k²

ö ø

=

p — 2

¥ Õ k=1

(2k - 1)(2k + 1) ——————– 2k · 2k

となるので、p の無限積表示：

(48-44)  p = 2

¥ Õ k=1

2k · 2k ——————– (2k - 1)(2k + 1)

が得られます。また、(48-41) の x に x + p/2 を代入して (48-44) を用いれば、

(48-45)  sin	æ è	x +	p — 2	ö ø	= æ è x + p — 2 ö ø ¥ Õ k=1 æ è 1 - x + p/2 ———– kp ö ø æ è 1 + x + p/2 ———– kp ö ø
					= p — 2 æ è 1 + 2x —– p ö ø ¥ Õ k=1 k - 1/2 ——— k æ è 1 - x ———— (k - 1/2)p ö ø k + 1/2 ——— k æ è 1 + x ———— (k + 1/2)p ö ø
					= p — 2 ¥ Õ k=1 (2k - 1)(2k + 1) ——————– 2k · 2k · æ è 1 +  x ——– (1/2)p ö ø ¥ Õ k=1 æ è 1 - x ———— (k - 1/2)p ö ø æ è 1 + x ———— (k + 1/2)p ö ø
					= ¥ Õ k=0 æ è 1 + x ———— (k + 1/2)p ö ø æ è 1 - x ———— (k + 1/2)p ö ø

が得られるので、関係式 sin(x + p/2) = cos x を用いると、cos の無限積表示：

(48-46)  cos x =

¥ Õ k=0

æ è

1 -

x² ————— (k + 1/2)²p²

ö ø

が得られます。
　sin の場合と同様に、cos x が可逆であるための条件は、すべての整数 k に対して x + (k + 1/2)p が可逆であることと同値です。
　従って特に X が体 K なら、(47-53a) は実は逆も成り立つ、すなわち

(48-47)  cos x ¹ 0  Û  "kÎZ : x ¹ (k + 1/2)p       ( xÎK )

が成り立つことがわかります。

　さて、次に他の三角関数の分数展開表示を求めてみましょう。

(48-48)  g(t) :º sin(tx) =

¥ å k=0

(- 1)k(tx)2k+1 —————–  (2k + 1)!

= {1 - (1 - tx)}

¥ Õ k=0

æ è

1 -

t²x² —— k²p²

ö ø

と置くと、

(48-49)  g'(t) =

¥ å k=0

(- 1)k t2k x2k+1 ——————  (2k)!

= x cos(tx)

であり、

(48-50)  xk(t) :º 1 -

t²x² —— k²p²

と置くと、

(48-51)  Δxk(t, h) = -

(2t + h) x² ———— k²p²

®  -

2tx² ——– k²p²

( h ® 0 )

で、しかも { Δx_k(t, h) | kÎN } は有界収束します。また {1 - (1 - tx)} = tx を t で微分すれば x です。
　ゆえに、sin(tx) が可逆なら、上の定理２により

(48-52)  x cot(tx) = x cos(tx){sin(tx)}-1 = g'(t)g(t)-1 = {1 - (1 - tx)}-1 x -

¥ å k=1

æ è

1 -

t²x² —— k²p²

ö ø

-1

2tx² ——– k²p²

= t-1 +

¥ å k=1

2tx²(t²x² - k²p²)-1

　ここで

(48-53)  (x + kp)-1 + (x - kp)-1 = (x - kp + x + kp)(x + kp)-1(x - kp)-1 = 2x(x² - k²p²)-1

に注意すれば、sin x が可逆のとき、x も可逆なので、(48-52) で t = 1 と置いて、両辺に x^-1 を乗じることにより、cot の分数展開：

(48-54)  cot x = x-1 +

¥ å k=1

{(x + kp)-1 + (x - kp)-1 }

が得られます。
　また、(48-54) で x に x + p/2 を代入し、cot(x + p/2) = - tan x と (x ± kp)^-1 = k^-1(x/k ±p)^-1 ® 0 ( k ® ¥ ) に注意すれば、tan の分数展開：

(48-55)  tan x = -

¥ å k=0

[{x + (k + 1/2)p}-1 + {x - (k + 1/2)p}-1 ]

が得られます。
　また、(47-9a) により csc x = {cot(x/2) + tan(x/2)}/2 なので、(48-54),(48-55) の x に x/2 を代入して辺々加え、2 で割れば、csc の分数展開：

(48-56)  csc x = x-1 +

¥ å k=1

(- 1)k{(x + kp)-1 + (x - kp)-1 }

が得られます。
　また、(48-56) で x に x + p/2 を代入し、csc(x + p/2) = sec x に注意すれば、sec の分数展開：

(48-57)  sec x =

¥ å k=0

(- 1)k [{x + (k + 1/2)p}-1 - {x - (k + 1/2)p}-1 ]

が得られます。