数学の基礎
49．複素数の偏角と対数
任意の複素数 z ¹ 0 に対して
と置けば、x :º Â(z)
/r と y :º Á(z)
/r は (47-57)
を満たすので、(47-58)
を満たす t が存在します。これを q と書けば、(47-61)
により
(49-2) z = reiq ( r > 0 , qÎR ) |
となります。これを複素数 z ¹ 0 の極表示といい、この q を複素数 z ¹ 0 の偏角とよんで、z の偏角の全体を Arg(z)
と書きます。
逆に (49-2)
の表示が与えられれば、(46-59)
により | z | = r | eiq | = r exp Â(iq) = r exp
0 = r ですから (49-1)
が成り立ち、従って (47-61)
により cos
q と sin
q の値は一意的に定まるので、(47-58)
直後の注意により、偏角 q は 2p の差を除いて一意的に定まることがわかります。
(49-3a) z = reiq |
(49-3b) z' = r'eiq' |
なら、指数関数の加法定理 (46-10)
により
(49-4) zz' = reiq r'eiq' = rr'ei(q+q' ) |
となるので、積の偏角は偏角の和になることがわかります：
(49-5) Arg(zz' ) = Arg(z) + Arg(z' ) |
また (46-13)
から帰納法により
すなわち
(49-7) Arg(zn ) = n Arg(z) |
が成り立つことがわかります。
さて、z = x + i
y ¹ 0 に対し、x ¹ 0 又は y ¹ 0 すなわち x > 0 , x < 0 , y > 0 , y < 0 のいずれかが成り立ちますが、(49-2)
の x , y , q に対して
(49-8a) x > 0 Þ cos q > 0 Þ $nÎZ : qÎD(arctan) + 2np |
(49-8b) x < 0 Þ cos q < 0 Þ $nÎZ : qÎD(arctan) + (2n + 1) p |
(49-8c) y > 0 Þ sin q > 0 Þ $nÎZ : qÎD(arccot) + 2np |
(49-8d) y < 0 Þ sin q < 0 Þ $nÎZ : qÎD(arccot) + (2n + 1) p |
となりますが、
(49-9a) x = r cos q |
(49-9b) y = r sin q |
なので、(49-8a),(49-8b)
の場合は tan
q = y/x が、(49-8c),(49-8d)
の場合は cot
q = x/y が成り立ちます。ゆえに z の偏角の任意の一つを arg
z と書くと、q - arg zÎ 2pZ
により
(49-10a) x > 0 Þ arg z = arctan |
y
—–
x |
( mod 2p ) |
(49-10b) x < 0 Þ arg z = arctan |
y
—–
x |
± p ( mod 2p ) |
(49-10c) y > 0 Þ arg z = arccot |
x
—–
y |
( mod 2p ) |
(49-10d) y < 0 Þ arg z = arccot |
x
—–
y |
± p ( mod 2p ) |
となることがわかります。ただし mod
a は、両辺の差が a のある整数倍になることを意味します。
このことから、任意の複素数 a ¹ 0 に対し、十分小さい a の近傍 U を取れば、任意の qÎLog(a)
に対し、各 zÎU に対する arg
z の値をうまく選んで、U 上 arg
は連続関数で、かつ arg
a = q となるようにすることができます。しかも arg
は z の実部 x と虚部 y の２変数の関数として C¹-
級で、
(49-11a) |
¶
—–
¶x |
arg z = - |
y
———
x² + y² |
(49-11b) |
¶
—–
¶y |
arg z = |
x
———
x² + y² |
が成り立つことが、(49-10),(47-21),(47-49b)
と合成関数の微分公式によりわかります。
さて、R
の閉区間 [a, b]
から一様空間 X への一様連続写像を X の曲線といい、曲線 j のうち j(a) = j(b)
を満たすものを閉曲線といいます。
２つの閉曲線 j,
y: [a, b]
® X は、ある [0, 1] ´ [a, b]
から X への一様連続写像 F が存在して
(49-12a) j(t) = F(0, t) ( a £ t £ b ) |
(49-12b) y(t) = F(1, t) ( a £ t £ b ) |
(49-12c) F(s, a) = F(s, b) ( 0 £ s £ 1 ) |
が成り立つとき（ F により）ホモトープであるといい、j » y と書くことにします。
閉曲線 j に対して F(s, t) :º j(t)
と置くことにより j » j がわかり、また j が y と F によりホモトープなら G(s, t) :º F(1 - s, t)
と置くことにより y は j とホモトープであることがわかります。
また、j が c と F によりホモトープで、c が y と G によりホモトープなら、H を s < 2/3 のとき H(s, t) :º F(inf{3s, 1}, t)
と定義し、s > 1/3 のとき H(s, t) :º G(sup{3s - 2, 0}, t)
と定義すれば、これは一様連続な関数を定め、H により j と y はホモトープになります。
以上により、ホモトープという関係は同値関係になることがわかりました。
ここで j : [a, b] ® C
を閉曲線とするとき、aÎC
が d(j, a) :º inf{ | j(t) - a | | a £ t £ b }
> 0 を満たせば、一様連続関数 q : [a, b] ® R
で
(49-13) a £ t £ b Þ q(t)ÎArg(j(t) - a) |
となるものが存在し、q は一意的ではありませんが、
(49-14) Wind(j, a) :º
| q(b) - q(a)
————–
2p |
は一意的に定まる整数であることを証明しましょう。
実際、j - a を改めて j とみなすことにより、a = 0 と仮定することができます。
そこで、e :º d(j, 0)
> 0 , M :º sup{ | j(t) - a | | a £ t £ b }
> 0 と置けば、z = x + i
h が e £ |
z |
£ M を満たすとき、| x | < 2| h |
又は | h | < 2| x |
が成り立ちます。
前者の場合は、5h²
= 4h²
+ h²
> x²
+ h²
³ e²
なので、z の e / 2Ö5 近傍 U(z)
の元 z = x + i
y に対して | y |
³ e / 2Ö5 であり、従って (49-10c)
又は (49-10d)
の等号の右辺の関数は U(z)
において一様連続です。
同様に、後者の場合は (49-10a)
又は (49-10b)
の等号の右辺の関数は U(z)
において一様連続です。
以上により、e £ |
z |
£ M を満たす任意の z に対し、U(z)
上一様連続な関数 sz で、各 zÎU(z)
に対して sz(z)ÎArg(z)
を満たすものが存在することがわかります。
さて、x(t) :º Â(j(t))
, y(t) :º Á(j(t))
と置くと、j の一様連続性により、d > 0 を
(49-15) a £ s, t £ b ; | s - t | < d Þ | j(s) - j(t) | < |
e
——
2Ö5 |
を満たすように取ることができます。
そこで { ti | 0 £ i £ n }
を a = t0 < t1 < ¼ < tn = b かつ ti+1 - ti < d となるように取れば、j(ti+1 )ÎU(j(ti ))
となることがわかり、従って帰納法により、区間 [a, b]
上の一様連続関数 q を
(49-16a) q(a)ÎArg(j(a)) |
(49-16b) q(t) = sj(ti )(j(t)) - sj(ti )(j(ti )) + q(ti ) ( ti < t £ ti+1 ) |
を満たすように定義することができ、明らかに a = 0 と置いた (49-13)
を満たします。
次に (49-14)
の右辺の一意性を証明します。
[a, b]
から C
への関数 q と r が共に一様連続で (49-13)
を満たせば、f(t) :º q(t) - r(t)
は同じ複素数 j(t)
の偏角の差なので 2p の整数倍です。ゆえに g(t) :º f(t) - f(a)Î 2pZ
かつ g(a)
= 0 となります。
ここで g(t)
¹ 0 を仮定すると、| g(t) |
³ 2p となりますが、g は連続なので、中間値の定理 (27-3)
により、- p < | g(s) |
- p < p となる s が存在しますが、g(s)Î2pZ
なので矛盾します。ゆえに g(t)
= 0 が得られ、t は任意ですから、特に t = b とすれば、f(b) - f(a) = g(b)
= 0 となります。
これは q(b) - q(a) = r(b) - r(a)
を意味しますから、(49-14)
の右辺は q と r について同じ値を取ることがわかります。なお (49-14)
の右辺が整数であることは、q(a)
と q(b)
が同一の複素数 j(a) = j(b)
の偏角であることから明らかです。
この (49-14)
で定義される Wind(j, a)
のことを、複素数 a のまわりの閉曲線 j の巻き付き数といいます。
次に、C
から aÎC
のある e 近傍を除いて得られる一様空間 Ca, e :º { zÎC | | z - a | ³ e }
において、２つの閉曲線 j と y がホモトープであることを j »a y と書くと、これと巻き付き数が一致することが同値になる、すなわち
(49-17) j »a y Û Wind(j, a) = Wind(y, a) |
が成り立つことを証明しましょう。
今回も a = 0 と仮定しても一般性を失わないのでそのように仮定します。
まず、左辺から右辺を導くため、(49-12)
を満たす一様連続関数 F : [0, 1] ´ [a, b] ® C0, e
を取ります。このとき、各 sÎ[0, 1]
に対し、F(s, · )
は C0, e
の閉曲線ですから、一様連続関数 qs : [a, b] ® R
で
(49-18) qs(t)ÎArg(F(s, t)) |
すなわち
(49-19) |
F(s, t)
———–
| F(s, t) | |
= exp{iqs(t)} |
を満たすものが存在します。ゆえに s,
s'Î[0, 1]
に対し、
(49-20) |
F(s, t)
———–
| F(s, t) | |
- |
F(s', t)
————
| F(s', t) | |
= exp{iqs(t)} - exp{iqs' (t)} = 2i exp |
i{qs(t) + qs' (t)}
——————
2 |
sin |
qs(t) - qs' (t)
—————
2 |
ただし (47-1a)
を用いました。両辺の絶対値を取ると、
(49-21) 2 |
|
|
|
| |
sin |
qs(t) - qs' (t)
—————
2 |
|
|
|
| |
= |
|
|
|
| |
F(s, t)
———–
| F(s, t) | |
- |
F(s', t)
————
| F(s', t) | |
|
|
|
| |
£ |
|
|
|
| |
F(s, t) | F(s', t) | - F(s', t) | F(s, t) |
—————————————–
e² |
|
|
|
| |
ゆえに、F の一様連続性により、d > 0 が存在して
(49-22) a £ t £ b , | s - s' | < d Þ |
|
|
|
| |
sin |
qs(t) - qs' (t)
—————
2 |
|
|
|
| |
< |
1
—–
2 |
ゆえに、| s - s' |
< d を満たす s , s' を任意に選んで固定し、g(t) :º {qs(t) - qs' (t)}
/2 と置けば、g は一様連続で、ある整数 n と m に対して
(49-23a) np - arcsin |
1
—–
2 |
< g(a) < np + arcsin |
1
—–
2 |
(49-23b) mp - arcsin |
1
—–
2 |
< g(b) < mp + arcsin |
1
—–
2 |
が成り立ちます。ここで n ¹ m と仮定すると、n < m 又は n > m ですが、前者の場合なら、
(49-24) 2 arcsin |
1
—–
2 |
< 2 arcsin 1 = p |
なので、中間値の定理 (27-3)
により
(49-25) g(a) < np + arcsin |
1
—–
2 |
< g(t) < (n + 1)p - arcsin |
1
—–
2 |
£ mp - arcsin |
1
—–
2 |
< g(b) |
となる t が存在しますが、このとき | sin g(t) |
> 1/2 となるので (49-22)
と矛盾します。n > m と仮定しても同様に矛盾が生じるので n = m であることがわかりました。ゆえに
(49-26) | g(b) - g(a) | < 2 arcsin |
1
—–
2 |
< 2 arcsin 1 = p |
すなわち | {qs(b) - qs(a)} - {qs' (b) - qs' (a)} |
< 2p となりますが、{ }
の中身は 2p の整数倍ですから、左辺は実は 0 でなければなりません。
以上で閉曲線 F(s, · )
と閉曲線 F(s', · )
の巻き付き数は一致することがわかりました。ゆえに区間 [0, 1]
を間隔が d 未満の有限個の点に分割して 0 = s0 < s1 < ¼ < tn = 1 とすれば、閉曲線 F(si , · )
と F(si+1 , · )
の巻き付き数が等しいので j = F(0, · )
と y = F(1, · )
の巻き付き数が等しいことがわかり、以上で (49-17)
の左辺から右辺が導かれました。
今度は逆に、(49-17)
の右辺が成り立つと仮定し、一様連続関数 q : [a, b] ® C
と r : [a, b] ® C
を
(49-27a) q(t)ÎArg j(t) |
(49-27b) r(t)ÎArg y(t) |
となるように取ります。このとき、十分大きな自然数 n を取れば、
(49-28) "tÎ[a, b] : | q(t) | , | r(t) | £ n arccos |
1
—–
2 |
とすることができます。そこで、f : [0, 1] ´ [a, b] ® C
と F : [0, 1] ´ [a, b] ® C
を
(49-29a) f(s, t) :º (1 - s) | j(t) |1/n exp |
iq(t)
——
n |
+ s | y(t) |1/n exp |
ir(t)
——
n |
(49-29b) F(s, t) :º f(s, t) n |
で定義すれば、f は、従って F は一様連続で、しかも
(49-30) | f(s, t) | ³ Â( f(s, t)) = (1 - s) | j(t) |1/n cos |
q(t)
—–
n |
+ s | y(t) |1/n cos |
r(t)
—–
n |
³ (1 - s) | j(t) | 1/n |
1
—–
2 |
+ s | y(t) | 1/n |
1
—–
2 |
³ |
e1/n
—–
2 |
> 0 |
となるので、| F(s, t) | = | f(s, t) |
n ³ e/2n が成り立ちます。
また、(49-17)
の右辺の値を m と書けば、j(a)
= j(b)
, y(a)
= y(b)
, q(a)
+ 2mp = q(b)
, r(a)
+ 2mp = r(b)
ですから、これと (49-29a)
により
(49-31) f(s, a) exp |
2mpi
——–
n |
= f(s, b) |
したがって (46-13),(49-27),(49-31)
により
(49-32a) F(0, t) = f(0, t)n = | j(t) | |
æ
è |
exp |
iq(t)
——
n |
ö
ø |
n
|
= | j(t) | exp{iq(t)} = j(t) |
(49-32b) F(1, t) = f(1, t)n = | y(t) | |
æ
è |
exp |
ir(t)
——
n |
ö
ø |
n
|
= | y(t) | exp{ir(t)} = y(t) |
(49-32c) F(s, b) = f(s, b)n = f(s, a) n |
æ
è |
exp |
2mpi
——–
n |
ö
ø |
n
|
= F(s, a) exp(2mpi) = F(s, a) |
となって (49-12)
がすべて成り立ち、j と y は C0, e / 2n
において F によりホモトープ、すなわち (49-17)
の左辺が成り立つことがわかるので、以上により (49-17)
は証明されました。
さて、X をBanach
環とするとき、X の元 x に対し、x と可換なすべての元と可換で、かつその指数関数の値が x であるものの全体を x の対数とよび、x の対数の全体を Log(x)
と書くことにします：
(49-33) Log(x) :º { zÎX | exp z = x Ù "yÎX : ( xy = yx Þ zy = yz ) } |
このとき、xÎX ++ なら Log(x)
は元を持つことを証明しましょう。
実際、|| x - r1 ||
< r となる実数 r ³ 1 が存在するので、0 £ t £ 1 に対して
(49-34) || (1 - t)1 + tx - r1 || = || t(x - r1) + (1 - t)(1 - r)1 || £ || t(x - r1) || + || (1 - t)(1 - r)1 || < tr + (1 - t) r = r |
となり、従って (45-22)
の x に r1 を、y に (1 - t)
1 + tx を代入した式が成り立つので、(45-24)
により (1 - t)
1 + tx は可逆で
(49-35) {(1 - t)1 + tx} -1 = |
¥
å
k=0 |
{(r - 1 + t)1 - tx} k
———————–
rk+1 |
が成り立ちます。そこで
(49-36) log x :º (x - 1) |
ò |
1
0 |
{(1 - t)1 + tx}-1 d t |
と置いて、これが Log(x)
に属すことを確かめましょう。そのために、0 £ s £ 1 に対して
(49-37) j(s) :º (x - 1) |
ò |
s
0 |
{(1 - t)1 + tx}-1 d t |
と置くと、
(49-38a) exp j(0) = exp 0 = 1 |
かつ (45-38)
により
(49-38b) |
d
—–
d s |
exp j(s) = |
¥
å
k=1 |
kj(s)k-1j'(s)
—————–
k! |
= j'(s) exp j(s) = (x - 1){(1 - s)1 + sx}-1 exp j(s) |
ですから、s の関数 exp j(s)
と (1 - s)
1 + sx は同じ常微分方程式：
(49-39a) u(0) = 0 |
(49-39b) u'(s) = (x - 1){(1 - s)1 + sx}-1 u(s) |
の解であることがわかり、従って常微分方程式の解の一意性により exp j(s) = (1 - s)
1 + sx となり、従って特に s = 1 とすれば、
が成り立つことがわかります。
一方、定義式 (49-36)
から明らかなように、x と可換な元は log
x とも可換ですから、これで log x Î Log(x)
であることが証明されました。
さて、(49-36)
の右辺の被積分関数に (49-35)
を代入すれば、
(49-41) log x = (x - 1) |
¥
å
k=1 |
ò |
1
0 |
{(r - 1 + t)1 - tx} k-1
————————–
rk |
d t = - |
¥
å
k=1 |
ò |
1
0 |
d
—–
d t |
{(r - 1 + t)1 - tx} k
———————–
krk |
= - |
¥
å
k=1 |
(r1 - x)k - (r - 1) k1
————————
krk |
が得られますが、特に X = R
で x = r の場合を考えると
(49-42) log r = |
¥
å
k=1 |
(r - 1) k
———
krk |
が得られるので、これを (49-41)
に代入すれば
(49-43) log x = ( log r ) 1 - |
¥
å
k=1 |
(r1 - x) k
———–
krk |
( || x - r1 || < r ) |
が得られ、従って特に r = 1 の場合を考えれば、x - 1 を改めて x と書くことにより、対数関数の冪級数展開：
(49-44) log(1 + x) = |
¥
å
k=1 |
(- 1) k-1
———
k |
xk ( || x || < 1 ) |
が得られます。
さて、特に X が複素数体 C
の場合は
(49-45) Log(z) = { wÎC | ew = z } |
となりますが、w = u + ivÎLog(z) Û z = eueiv Û ( eu = | z | Ù vÎArg(z) )
ですから、z ¹ 0 なら
(49-46) Log(z) = { log | z | + iq | qÎArg(z) } ¹ Æ |
が成り立ち、また (49-45),(46-24),(49-5),(49-7)
により
(49-47a) zÎLog(ez ) |
(49-47b) Log(zz' ) = Log(z) + Log(z' ) |
(49-47c) Log(zn ) = n Log(z) |
が成り立ちます。ゆえに、記号の濫用により Log(z)
に属す任意の元を log
z と書くと、
(49-48a) exp log z = z |
(49-48b) log exp z = z ( mod 2pi ) |
(49-48c) log(zz' ) = log z + log z' ( mod 2pi ) |
(49-48d) log zn = n log z ( mod 2pi ) |
が成り立ちます。
さて、(49-10)
によれば、任意の複素数 a ¹ 0 に対し、十分小さい a の近傍 U を取れば、任意の bÎLog(a)
に対し、各 zÎU に対する log
z の値をうまく選んで、U 上 log
は連続関数で、かつ log
a = b となるようにすることができます。しかも (46-25)
と合成関数の微分公式により
(49-49a) |
¶
—–
¶x |
log | z | = |
1
—–
2 |
¶
—–
¶x |
log(x² + y²) = |
x
———
x² + y² |
(49-49b) |
¶
—–
¶y |
log | z | = |
1
—–
2 |
¶
—–
¶y |
log(x² + y²) = |
y
———
x² + y² |
ゆえに、log z = u(x, y) + iv(x, y)
と実部・虚部に分ければ、(49-46)
と (49-49),(49-11)
を比較して
(49-50b) |
¶v
—–
¶x |
= - |
¶u
—–
¶y |
という関係式が得られます。これらを x と y の２変数の実数値関数の組 u , v に対する Cauchy-Riemann
の関係式といいます。
一般に複素数 z = x + i
y の複素数値関数 w = u + i
v が与えられ、これが複素数値関数として z について微分可能なら、Cauchy-Riemann
の関係式が成り立ちます。
実際、複素変数に対する微分可能性の仮定により
(49-51) w'(x, y) = |
lim
h + i k ® 0 |
w(x + h, y + k) - w(x, y)
——————————
h + ki |
が存在しますが、特に k = 0 と置いて極限を取ったものと h = 0 と置いて極限を取ったものが一致しなければならないので
(49-52) w' = |
¶w
—–
¶x |
= |
1
—
i |
¶w
—–
¶y |
となり、２番目の等号の両辺の実部と虚部を比較すれば (49-50)
が得られます。
逆に、u , v が x , y の C¹-
級関数で Cauchy-Riemann
の関係式を満たすなら、w = u + i
v は z = x + i
y について微分可能です。
実際、(43-35)
により、任意の e > 0 に対し、h , k が十分小さければ
(49-53) |
½
½ |
w(x + h, y + k) - w(x, y) - h
|
¶w
—–
¶x |
- k |
¶w
—–
¶y |
½
½ |
£ e | (h, k) | |
が成り立ちますが、(49-50)
が成り立っているので ¶w/¶x を w' と書けば、(49-52)
が成り立つので
(49-54) h |
¶w
—–
¶x |
+ k |
¶w
—–
¶y |
= (h + i k) w' |
と変形されるので、これを (49-53)
に代入すれば、w が z において微分可能であることを意味する式が得られ、しかもその微分係数は w' であることがわかります。
以上の結果を z の関数 log
z に適用すれば、これは z について微分可能で、(49-49a),(49-11a)
により
(49-55) |
d
—–
dz |
log z = |
¶
—–
¶x |
( log | z | + i arg z ) = |
x - i y
———
x² + y² |
= |
1
———
x + i y |
= |
1
—–
z |
が成り立つことがわかります。
さて、Banach
環 X の互いに可換な元 a と x に対し、Log(a)
の元が存在するとき、その任意に選んだ元 log
a に対して (46-32)
と同様に、冪を
(49-56) ax :º exp(x log a) |
で定義します。特に a が X の単位元に複素数 z ¹ 0 を乗じたものである場合、ax のことを zx と書けば、(49-55)
により、(46-34)
と全く同様にして、複素変数 z に対しても
(49-57) |
d
—–
d z |
z x = xz x-1 |
が成り立つことがわかります。
またこの場合、log
の値をうまく選んで (49-48)
が ( mod 2pi )
の但し書きなしに成り立つようにしておけば、(46-33)
の各指数法則も成り立つことがわかります。
また逆に、x の方が X の単位元に複素数 z を乗じたものである場合は、ax のことを az と書けば、項別微分の公式 (29-37)
により
(49-58) |
d
—–
d z |
az = |
d
—–
d z |
exp(z log a) =
| ¥
å
k=0 |
d
—–
d z |
zk( log a)k
————–
k! |
= |
¥
å
k=1 |
zk-1( log a)k
————–
(k - 1)! |
= exp(z log a) log a = az log a |
が成り立つことがわかります。
次に、|| x ||
< 1 を満たす xÎX に対し、log(1 + x)
を (49-44)
により定義することができます。このとき、x と可換な zÎX に対し、二項展開：
(49-59) (1 + x) z = |
¥
å
k=0 |
æ
è |
z
k |
ö
ø |
xk ( || x || < 1 ) |
が成り立つことを証明しましょう。ただし
(49-60) |
æ
è |
z
k |
ö
ø |
:º |
z(z - 1)(z - 2)¼(z - k + 1)
———————————
k! |
で、k = 0 のときは、分子は 1 を意味するものとします。これは帰納法により
(49-61b) |
æ
è |
z
k + 1 |
ö
ø |
:º |
z - k
——–
k + 1 |
æ
è |
z
k |
ö
ø |
と定義することを意味します。これは z が自然数の場合に第12節で定義したのと同じ形をしているので、これも z と k の二項係数といいます。
さて、(49-59)
の証明ですが、
(49-62) j(t) :º (1 + tx)z ( 0 £ t £ 1 ) |
と置けば、項別微分の公式 (29-37)
により、
(49-63) |
d
—–
d t |
log(1 + tx) = |
¥
å
k=1 |
d
—–
d t |
(- 1) k-1
———
k |
(tx) k = x |
¥
å
k=1 |
(- tx)k = x(1 + tx) -1 |
ですから (45-38)
により
(49-64a) j'(t) = |
d
—–
d t |
exp(z log(1 + tx)) =
| ¥
å
k=0 |
d
—–
d t |
zk{ log(1 + tx)}k
———————
k! |
= |
¥
å
k=1 |
zk{ log(1 + tx)}k-1
———————–
(k - 1)! |
x(1 + tx)-1 = zx(1 + tx)-1 j(t) |
が成り立ちます。一方、
(49-65) y(t) :º |
¥
å
k=0 |
æ
è |
z
k |
ö
ø |
(tx)k ( 0 £ t £ 1 ) |
と置けば、この t に関する冪級数の収束半径は、
(49-66) ak :º || x || k |
|| z || ( || z || + 1)( || z || + 2)¼( || z || + k - 1)
—————————————————
k! |
を tk の係数にもつ冪級数の収束半径を下回ることはなく、その収束半径は、(28-46)
により
(49-67) lim k |
ak+1
——–
ak |
= || x || lim k |
|| z || + k
———–
k + 1 |
= || x || £ 1 |
の逆数、すなわち 1 以上ですから、| t |
< 1 のとき収束し、項別微分の公式 (29-37)
と (49-61b)
により
(49-68a) y'(t)(1 + tx) |
= |
¥
å
k=1 |
æ
è |
z
k |
ö
ø |
ktk-1xk(1 + tx) |
|
|
= |
¥
å
k=0 |
æ
è |
z
k + 1 |
ö
ø |
(k + 1)x(tx) k + |
¥
å
k=1 |
æ
è |
z
k |
ö
ø |
kx( tx) k |
|
|
|
|
= zxy(t) |
が成り立ち、しかも明らかに
ですから、(49-64),(49-68)
により j と y は同じ線形常微分方程式を満たすので、解の一意性によりこれらは一致し、従って特に t = 1 の場合を比較することにより (49-59)
は証明されました。
この二項展開の応用として、実変数関数 arcsin
の冪級数展開を求めてみましょう。(49-59)
で x = - 1/2 とし、z に - t²
を代入すれば、
(49-69) |
1
–———
Ö1 - t² |
= 1 + |
¥
å
k=1 |
(- 1/2)(- 1/2 - 1)(- 1/2 - 2)¼(- 1/2 - k + 1)
——————————————————–
k! |
(- 1) kt2k = 1 + |
¥
å
k=1 |
1 · 3 ¼ (2k - 1)
——————–
k! 2k |
t2k = 1 + |
¥
å
k=1 |
1 · 3 ¼ (2k - 1)
——————–
2 · 4 · ¼ (2k) |
t2k |
ですから、t について 0 から t まで積分すれば、(47-46)
により、逆正弦関数の冪級数展開：
(49-70) arcsin t = t + |
¥
å
k=1 |
1 · 3 ¼ (2k - 1)
——————–
2 · 4 · ¼ (2k) |
t2k+1
———
2k + 1 |
( | t | < 1 ) |
が得られます。
