数学の基礎

　任意の複素数 a ¹ 0 は、(49-1),(49-2) により極表示：

(51-1)  a = | a | eiq

を持ちますが、

(51-2)  b :º | a |1 / n exp

iq —–  n

と置けば bⁿ = a ですから、b は a の一つのn乗根です。

　次に、a + b i の平方根を x + y i の形に表してみましょう。(x + y i)² = a + b i を展開して実部と虚部を比較すれば

(51-3a)  x² - y² = a

(51-3b)  2xy = b

となりまずが、a , b が全く任意では具体的に解けないので、まず最初に a > 0  Ú  b ¹ 0 という条件のもとで解くことにします。

(51-4)  c :º

1 —– 2

(    _______ Öa² + b² + a )

と置くと、条件により c > 0 です。そこで

(51-5a)  x :º ± Öc

(51-5b)  y = ±

b ——  2 Öc

と置けば、これは (51-3) の解になります。実際、(51-3b) の成立は明らかで、

(51-6)  x² - y² = c -

b² —–  4c

=

(2c)² - b² ————  4c

=

2a² + 2a    _______ Öa² + b² ———————  4c

= a

となるからです。
　また、a < 0  Ú  b ¹ 0 という条件のもとでは、x と y を入れ替え、a と - a を入れ替えれば上の場合に帰着しますから、

(51-7)  c' :º

1 —– 2

(    _______ Öa² + b² - a )

と置くと、条件により c' > 0 となり、

(51-8a)  x = ±

b ——  2 Öc'

(51-8b)  y :º ± Öc'

が (51-3) の解になります。
　以上のように、複素数の平方根は、（直観主義論理の元では若干の制約が付きますが）実数に関する平方根と加減乗除のみで構成することができます。

　さて、本稿では構成主義に基づいて定理を証明しているので、代数学の基本定理の証明は、一般のn次方程式の根を求めるアルゴリズムを与えていることになりますが、４次以下の方程式については、以下に解説するように、n乗根を取る操作と加減乗除のみの演算によってその根を計算することができます。

　まず最初に２次方程式の根の公式を導いてみましょう。
　複素係数 a , b , c の２次多項式：

(51-9)   f(x) :º ax² + bx + c       ( a ¹ 0 )

を考えます。右辺を変形すると

(51-10)   f(x) = a

ì í î

æ è

x +

b —– 2a

ö ø

²

-

D —— (2a)²

ü ý þ

= a

ì í î

æ è

x +

b —– 2a

ö ø

²

-

æ è

ÖD —— 2a

ö ø

²

ü ý þ

= a

æ è

x +

b - ÖD ———– 2a

ö ø

æ è

x +

b + ÖD ———– 2a

ö ø

= a(x - a+ )(x - a- )

と因数分解できます。ただし

(51-11a)  D :º b² - 4ac

(51-11b)  a± :º

- b ± ÖD ———— 2a

で、D は２次方程式  f(z) = 0 の判別式とよばれます。(ÖD )² = D で、C は体（従って特に整域）ですから、D ¹ 0  Û  ÖD ¹ 0 となるので

(51-12a)  D ¹ 0  Û  a+ ¹ a-

およびその対偶を取って

(51-12b)  D = 0  Û  a+ = a-

が成り立ちます。(51-12b) の場合、a_± を、２次方程式  f(x) = 0 の重根といいます。
　従って特に、D ¹ 0 なら、方程式 f(z) = 0 の根は a_± のみとなります。なぜなら a が根なら、(a - a₊ )(a - a_- ) = 0 で、しかも a ¹ a₊ 又は a ¹ a_- ですから、前者なら a = a_- が、後者なら a = a₊ が成り立つからです。
　また、D = 0 なら、f(z) = 0 の根 a に対して (a - a₊ )² = 0 となるので a - a₊ ¹ 0 と仮定すると矛盾し、a = a₊ が得られ、根は一意的に定まります（これに対し、本稿のような直観主義論理のもとでは、D が 0 と等しいとも異なるとも知られていない場合は、根の個数は、それが２個以下であるかどうかも含めて判明しません）。

　特に (51-9) の係数 a , b , c がすべて実数の場合は、D ³ 0 なら D の平方根として実数が取れますから、a_± はいずれも実数に取れ、従って f(x) は実数の範囲で因数分解できることがわかり、更に D = 0 なら方程式 f(x) = 0 は実数の重根のみを、D > 0 なら実数の相異なる２根のみを持つことがわかります。
　また D < 0 なら、方程式 f(x) = 0 は相異なる根 a_± のみを持ちますが、ÖD = Ö| D | i なので、これらはいずれも虚数です。
　また、(51-10) の最初の等号により、

(51-13a)  a > 0 , D £ 0 , xÎR  Þ  f(x) ³ 0

(51-13b)  a > 0 , D < 0 , xÎR  Þ  f(x) ³ | D |/(4a) < 0

(51-13c)  a < 0 , D £ 0 , xÎR  Þ  f(x) £ 0

(51-13d)  a < 0 , D < 0 , xÎR  Þ  f(x) £ | D |/(4a) < 0

が成り立ちます。
　また、D > 0 のときは、f(x) は、x = - b/(2a) において、a が正（負）のときは負（正）の値を取ります。従って、a が正（負）のとき、f(x) が必ず非負（非正）であるためには、D £ 0 であることが必要十分であることがわかります。

　ここで２次方程式の根の公式を使って cos q と sin q の具体的な値をいくつか計算してみましょう。それには (51-2) が (51-1) のn乗根になっていることを用いると便利です。
　まず、cos(p/2) + i sin(p/2) = i ですから、その平方根 cos(p/4) + i sin(p/4) は、(51-4) で a = 0 , b = 1 とすれば c = 1/2 が得られるので、(51-5) の解のうち実部、虚部が共に正であるものを選べば

(51-14)  cos

p —– 4

+ i sin

p —– 4

=

1 —– Ö2

+

1 —– Ö2

i

が得られます。
　また、z :º cos(p/6) + i sin(p/6) は z³ = i を満たすので、(z + i)(z² - i z - 1) = z³ - i = 0 となりますが、z の実部 cos(p/6) は正ですから z + i ¹ 0 です。従って、z は２次方程式 z² - i z - 1 = 0 を満たすので、根の公式 (51-11) において、判別式は D = (- i)² + 4 = 3 となりますから、z の実部 cos(p/6) が正であることに注意すれば、

(51-15)  cos

p —– 6

+ i sin

p —– 6

=

Ö3 —– 2

+

1 —– 2

i

が得られます。また、これから

(51-16)  tan

p —– 6

=

1 —– Ö3

も得られます。また、

(51-17)  cos

p —– 3

+ i sin

p —– 3

=

æ è

cos

p —– 6

+ i sin

p —– 6

ö ø

²

=

æ è

Ö3 —– 2

+

1 —– 2

i

ö ø

²

=

1 —– 2

+

Ö3 —– 2

i

が得られ、これから

(51-18)  tan

p —– 3

= Ö3

も得られます。
　また、z :º cos(p/5) + i sin(p/5) は z⁵ = cos p + i sin p = - 1 を満たすので、(z + 1)(z⁴ - z³ + z² - z + 1) = z⁵ + 1 = 0 となりますが、z の虚部 sin(p/5) は正ですから z + 1 ¹ 0 です。従って、z は４次方程式 z⁴ - z³ + z² - z + 1 = 0 を満たしますが、左辺は z の連続関数で、z = 0 のとき 1 となるので、0 の近傍で 0 と異なります。ゆえに z ¹ 0 であることがわかるので、両辺を z² で割れば、

(51-19)  0 = z² - z + 1 -

1 —–  z

+

1 —–  z²

=

æ è

z +

1 —–  z

ö ø

²

-

æ è

z +

1 —–  z

ö ø

- 1

となります。ゆえに z + 1/z は、２次方程式 t² - t - 1 = 0 を満たすので、根の公式 (51-11) により

(51-20)

z +

1 —–  z

=

1 ± Ö5 ——— 2

となりますから、両辺に z を乗じると、再び２次方程式：

(51-21)  z² -

1 ± Ö5 ——— 2

z + 1 = 0

が得られ、この方程式の判別式は

(51-22)  D =

æ è

1 ± Ö5 ——— 2

ö ø

²

- 4 =

3 ± Ö5 ——— 2

- 4 = -

5 ± Ö5 ——— 2

ですから、実部、虚部が共に正の解を求めれば、

(51-23)  cos

p —– 5

+ i sin

p —– 5

=

1 + Ö5 ——— 4

+

( 5 - Ö5 )½ ———— 2 Ö2

i

となることがわかります。

　次に、Cardanoによる３次方程式の根の公式を解説します。
　複素係数 a , b , c , d の３次多項式：

(51-24)   f(x) :º ax³ + bx² + cx + d       ( a ¹ 0 )

を考えます。ここで

(51-25)  y :º x +

b —– 3a

と置くと、

(51-26)   f(x)	= a æ è  y - b —– 3a ö ø ³   + b æ è  y - b —– 3a ö ø ²   + c æ è  y - b —– 3a ö ø + d
	= a æ è  y³ -  b —–  a  y² + b² —– 3a²  y - b³ —— 27a³ ö ø + b æ è  y² - 2b —– 3a  y + b² —– 9a² ö ø + c æ è  y - b —– 3a ö ø + d
	= a æ è  y³ -  b —–  a  y² + b² —– 3a²  y - b³ —— 27a³ +  b —–  a  y² - 2b² —– 3a²  y + b³ —– 9a³ +  c —–  a  y -  bc —– 3a² +  d —–  a ö ø
	= a( y³ + 3py + q)

　ただし

(51-27a)  p :º -

b² —– 9a²

+

c —– 3a

(51-27b)  q :º

2b³ —— 27a³

-

bc —– 3a²

+

d —–  a

です。ここで、根の公式を係数の加減乗除と累乗根のみで表すために、b² = 3ac 又は b² ¹ 3ac が成り立つという制約条件を課すことにします。

　前者の場合、

(51-28)  w :º e2p i / 3 = (eip / 3 )² =

æ è

1 —– 2

+

Ö3 —– 2

i

ö ø

²

=

- 1 + Ö3 i ———— 2

(51-29)  r :º ³   ____ Ö- q

と置くと、

(51-30a)  w³ = e2p i = 1

(51-30b)  1 + w + w² =

1 - w³ ——– 1 - w

= 0

が成り立ちますが、p = 0 なので、

(51-31)   f(x) = a( y³ + q) = a( y³ - r³) = a( y - r)( y² + ry + r²) = a( y - r)( y - rw)( y - rw²) = a

æ è

x - r +

b —– 3a

ö ø

æ è

x - rw +

b —– 3a

ö ø

æ è

x - rw²

b —– 3a

ö ø

と因数分解できることがわかります。

　また b² ¹ 3ac のときは、p ¹ 0 なので q² ¹ q² + 4p³ ですから

(51-32a)  s :º

- q +    _________ Öq² + 4p³ ——————– 2

と置けば s ¹ 0 で、従って

(51-32b)  a :º ³Ös

と置くと a ¹ 0 となるので

(51-32c)  b :º -

p —– a

と置けば、

(51-33a)  ab = - p

(51-33b)  a³ + b³ = s -

p³ —– s

=

s² - p³ ——— s

=

2q² + 4p³ - 2q   _________ Öq² + 4p³ - 4p³ ———————————— 4s

= - q

　これらと (51-30) により

(51-33c)  (aw + bw²) + (aw² + bw) = (a + b)(w + w²) = - (a + b)

(51-33d)  (aw + bw²)(aw² + bw) = a² + b² + ab(w² + w4 ) = a² + b² + ab(w² + w) = a² + b² - ab

ですから

(51-34a)  (a + b) + (aw + bw²) + (aw² + bw) = 0

(51-34b)  (a + b)(aw + bw²) + (a + b)(aw² + bw) + (aw² + bw)(aw + bw²) = - (a + b)² + a² + b² - ab = - 3ab = 3p

(51-34c)  (a + b)(aw² + bw)(aw + bw²) = (a + b)(a² + b² - ab) = a³ + b³ = - q

　ゆえに、この場合は

(51-35)   f(x) = a( y³ + 3py + q) = a( y - a - b)( y - aw - bw²)( y - aw² - bw) = a

æ è

x - a - b +

b —– 3a

ö ø

æ è

x - aw - bw² +

b —– 3a

ö ø

æ è

x - aw² - bw +

b —– 3a

ö ø

と因数分解できることがわかります。

　最後にFerrariによる４次方程式の根の公式を解説します。
　複素係数 a , b , c , d , e の４次多項式：

(51-36)   f(x) :º ax4 + bx³ + cx² + dx + e       ( a ¹ 0 )

を考えます。ここで

(51-37)  y :º x +

b —– 4a

と置くと、

(51-38)   f(x)	= a æ è  y - b —– 4a ö ø 4   + b æ è  y - b —– 4a ö ø ³   + c æ è  y - b —– 4a ö ø ²   + d æ è  y - b —– 4a ö ø + e
	= a æ è  y4 -  b —–  a  y³ + 3b² —– 8a²  y² - b³ —— 16a³  y + b4 ——— 256a4 ö ø + b æ è  y³ - 3b —– 4a  y² + 3b² —— 16a²  y - b³ —— 64a³ ö ø + c æ è  y² - b —– 2a  y + b² —— 16a² ö ø + d æ è  y - b —– 4a ö ø + e
	= a æ è  y4 -  b —–  a  y³ + 3b² —– 8a²  y² - b³ —— 16a³  y + b4 ——– 256a4 +  b —–  a  y³ - 3b² —– 4a²  y² + 3b³ —— 16a³  y - b4 —— 64a4 +  c —–  a  y² - bc —– 2a²  y + b²c —— 16a³ +  d —–  a  y -  bd —– 4a² +  e —–  a ö ø
	= a( y4 + py² + qy + r)

　ただし

(51-39a)  p :º -

3b² —– 8a²

+

c —–  a

(51-39b)  q :º

b³ —– 8a³

-

bc —– 2a²

+

d —–  a

(51-39c)  r :º -

3b4 ——– 256a4

+

b²c —— 16a³

-

bd —– 4a²

+

e —–  a

です。ここで  f(z) = 0 の根を既に得た２次方程式と３次方程式の根の公式を使って求めるため、q = 0 又は q ¹ 0 が成り立つと仮定します。これは言い換えると、b³ - 4abc + 8a²d が 0 と等しいか又は異なるという制約条件を課すということです。

　まず q = 0 が成り立つ場合は、(51-38) の右辺は y² の２次式になりますから、

(51-40a)  a± :º

- p ±    ________ Öp² - 4r ——————– 2

(51-40b)  ( b1 , b2 , b3 , b4 ) :º ( Öa+ , - Öa+ , Öa- , - Öa- )

と置けば、

(51-41)   f(x) = a{( y²)² + py² + r} = a( y² - a+ )( y² - a- ) = a( y - b1 )( y - b2 )( y - b3 )( y - b4 ) = a

4 Õ i=1

æ è

x - bi  +

b —– 4a

ö ø

と因数分解できます。

　次に q ¹ 0 が成り立つ場合は、

(51-42)  q² = 4(2t - p)(t² - r)

　すなわち

(51-43)  8t³ - 4pt² - 8rt + (4pr - q²) = 0

を満たすように複素数 t を取ります。ただし、t が３次方程式の根の公式によって求められるために、上で注意したように、(- 4p)² - 3 · 8 · (- 8r) が 0 と等しいか又は異なる、すなわち

(51-44)  p² + 12r =

æ è

-

3b² —– 8a²

+

c —–  a

ö ø

²

-

9b4 —— 64a4

+

3b²c —— 4a³

-

3bd —— a²

+

12e —–  a

=

c² - 3bd + 12ae ——————– a²

の分子である  c² - 3bd + 12ae が 0 と等しいか又は異なるという制約条件を課すことにします。このとき、2t - p ¹ 0 と (51-42) により

(51-45)   f(x)	= a( y4 + py² + qy + r)
	= a{( y² + t)² - (2t - p)y² + qy - (t² - r)}
	= a ì í î ( y² + t)² - (2t - p) æ è  y² - q ——— 2t - p  y + q² ———— 4(2t - p)² ö ø ü ý þ
	= a ì í î ( y² + t)² - (2t - p) æ è  y - q ———– 2(2t - p) ö ø ²   ü ý þ
	= a ì í î  y² + t +    _______ Ö2t - p   æ è  y - q ———– 2(2t - p) ö ø ü ý þ ì í î  y² + t -    _______ Ö2t - p   æ è  y - q ———– 2(2t - p) ö ø ü ý þ
	= a ì í î  y² +    _______ Ö2t - p y + t -   q —–———–  2Ö2t - p  ü ý þ ì í î  y² -    _______ Ö2t - p y + t +   q —–———–  2Ö2t - p  ü ý þ
	= a( y - a+ )( y - a- )( y - b+ )( y - b- )
	= a æ è x - a+ + b —– 4a ö ø æ è x - a- + b —– 4a ö ø æ è x - b+ + b —– 4a ö ø æ è x - b- + b —– 4a ö ø

と因数分解できます。ただし

(51-46a)  D± :º (2t - p) - 4

æ è

t ±

q —–———–  2Ö2t - p

ö ø

= - 2t - p ±

2q –———– Ö2t - p

(51-46b)  a± :º

-    _______ Ö2t - p ± ÖD+ ———————  2

(51-46c)  b± :º

_______ Ö2t - p ± ÖD- ——————  2

です。