数学の基礎

　自然数 n の階乗の対数を取ったもの log n! は、その差分 log (n + 1)! - log n! = log(n + 1) が単調増加なので“凸関数”です。しかも j(n) :º (n - 1)! と置くと、これは関数方程式 j(n + 1) = nj(n) を満たします。そこで、この j が、正の実数 t > 0 全体で、関数方程式 j(t + 1) = tj(t) を満たし、log j が凸関数になるように拡張できるかどうかを考察してみましょう。
　もしそのような関数 j が存在したとすると、すべての整数と異なる任意の t > 0 に対し、k < t < k + 1 となる自然数 k を取ると、任意の正整数 n に対し、関数方程式により

(52-1a)  j(t + n) =

j(t + n + 1) ————— t + n

(52-1b)  j(k + n + 1) = (k + n)!

(52-1c)  j(t + n + 1) = t(t + 1)¼(t + n)j(t)

(52-1d)  j(k + n + 2) = (k + n + 1) j(k + n + 1)

が成り立ちます。一方、t + n < k + n + 1 < t + n + 1 < k + n + 2 ですから、関数 log j の凸性に関する (31-10a) すなわち

(52-2)  a < b < c  Þ  (c - a) log j(b) < (b - a) log j(c) + (c - b) log j(a)

において、a , b , c に、それぞれ t + n , k + n + 1 , t + n + 1 を代入して (52-1a) と (46-24a) を用いれば、

(52-3a)  log j(k + n + 1) < (k + 1 - t) log j(t + n + 1) + (t - k) log j(t + n) = log j(t + n + 1) - (t - k) log(t + n)

が得られ、(52-2) の a , b , c に、それぞれ k + n + 1 , t + n + 1 , k + n + 2 を代入して (52-1d) と (46-24a) を用いれば、

(52-3b)  log j(t + n + 1) < (t - k) log j(k + n + 2) + (k + 1 - t) log j(k + n + 1) = log j(k + n + 1) + (t - k) log(k + n + 1)

が得られます。ゆえに、これらの exp を取り、(52-1b),(52-1c) と (46-32),(46-10) と exp が単調増加であることを用いれば、

(52-4a)  (k + n)! < t(t + 1)¼(t + n)j(t) (t + n)k-t

(52-4b)  t(t + 1)¼(t + n)j(t) < (k + n)! (k + n + 1)t-k

　すなわち

(52-5)

(k + n)! (t + n)t-k ——————— n! n t

<

t(t + 1)¼(t + n)j(t) ———————— n! n t

<

(k + n)! (t + n + 1)t-k ————————– n! n t

が成り立ちますが、p を 0 又は 1 として、

(52-6)

(k + n)! (t + n + p)t-k ————————– n! n t

=

(n + 1)¼(n + k) (t + n + p)t ——————————— (t + n + p)k n t

=

k Õ i=1

1 + i/n ————— 1 + (t + p)/n

· {1 + (t + p)/n}t  ®  1       ( n ® ¥ )

となるので、n ® ¥ のとき、(52-5) の第２項は 1 に収束します。すなわち

(52-7)

1 —— j(t)

=

lim n ® ¥

t(t + 1)¼(t + n) ——————–  n! n t

が成り立たなければなりません。ゆえに、すべての整数と異なる正実数において j は、存在すれば一意的です。しかも log j は凸関数なので連続、従って j も連続ですから、すべての正実数において、j は存在すれば一意的であることがわかりました。

　そこで、(52-7) の右辺が実際に収束して条件を満たすことを証明するために、一般のBanach環 X において、極限：

(52-8)  G(x) :º

lim n ® ¥

x(x + 1)¼(x + n) n-x ————————–  n!

( xÎX )

が存在することを証明することにします。

　正整数 n に対して

(52-9)  γn :º

n å k=1

1 —–  k

- log n =

n å k=1

1 —–  k

-

ò

n 1

dt —–  t

=

n-1 å k=1

ò

k+1 k

æ è

1 —–  k

-

1 —–  t

ö ø

dt +

1 —–  n

と置くと、

(52-10)  0 <

ò

k+1 k

æ è

1 —–  k

-

1 —–  t

ö ø

dt =

ò

k+1 k

t - k ——  kt

dt £

ò

k+1 k

dt —–  k²

=

1 —–  k²

ですから、(52-9) の右辺の和は絶対収束し、極限：

(52-11)  γ :º

lim n ® ¥

γn =

¥ å k=1

ò

k+1 k

æ è

1 —–  k

-

1 —–  t

ö ø

dt > 0

が存在します。これをEulerの定数といいます（これは無理数であるかどうかも知られていません）。この γ_n を用いると、n^-x = e^{-x log n} ですから

(52-12)

x(x + 1)¼(x + n) n-x ————————–  n!

= eγn x x

n Õ k=1

æ è

1 +

x —–  k

ö ø

e-x/k = eγn x x

n Õ k=1

(1 + ak )

　ただし、a_k は、x_k :º x/k と置いて

(52-13)  ak :º (1 + xk ) e-xk - 1 = (1 + xk )

¥ å i=0

(- xk )i ———  i!

- 1 =

¥ å i=1

(- xk )i ———  i!

-

¥ å i=1

(- xk )i ———  (i - 1)!

= -

¥ å i=2

(i - 1)(- xk )i —————  i!

= - xk²

¥ å i=0

(- xk )i ———–  i!(i + 2)

で定義されます。ゆえに

(52-14)  || ak || £ || xk ||²

¥ å i=0

|| xk || i ——–  i!

£

|| x ||² e|| x || ————–  k²

ですから { a_k | kÎN }Îl¹(X ) となり、第48節の定理１により (52-12) の右辺の積は n ® ¥ のとき収束し、これと (52-11) により (52-8) の右辺の極限は確かに存在して

(52-15)  G(x) = eγ x x

¥ Õ k=1

æ è

1 +

x —–  k

ö ø

e-x/k

が x の連続関数として定まることがわかります。これは第48節の定理１により、すべての整数 k £ 0 に対して x + k が可逆であるとき、そのときに限り可逆ですが、そのときの G(x) の逆元を、x のΓ 関数とよんで

(52-16)  Γ(x) :º G(x)-1 =

lim n ® ¥

n! x-1(x + 1)-1¼(x + n)-1 n x

と書きます。定義により、Γ 関数の定義域に属す任意の x に対して Γ(x) ¹ 0 です。

　一般に、X の元は、s1 ( sÎR ) と書けるとき実数値であるといい、特に s > 0 又は s ³ 0 のとき、それぞれ正値、あるいは非負であるといいます。
　定義式 (52-8) により、x が実数値なら G(x) も実数値で、x が 0 以下の整数と異なる実数値なら G(x) は可逆、すなわち G(x) ¹ 0 です。しかも、定義式 (52-8) により、n を自然数とするとき

(52-17a)  s > 0  Þ  G(s), Γ(s) > 0

(52-17b)  - 2n - 1 < s < - 2n  Þ  #{ kÎN | s + k < 0 } = #{ kÎN | 0 £ k £ 2n } = 2n + 1  Þ  G(s), Γ(s) < 0

(52-17c)  - 2n < s < - 2n + 1  Þ  #{ kÎN | s + k < 0 } = #{ kÎN | 0 £ k £ 2n - 1 } = 2n  Þ  G(s), Γ(s) > 0

が成り立ちます。また、(52-8) により

(52-18a)  G(1) =

lim n ® ¥

(n + 1)! n-1 ————–  n!

=

lim n ® ¥

n + 1 ——–  n

= 1

　従って

(52-18b)  Γ(1) = 1

となります。次に G(x) 及び Γ(x) が満たす関数等式を求めてみましょう。まず (52-8) により

(52-19)  x G(x + 1) =

lim n ® ¥

x(x + 1)¼(x + n)(x + n + 1) n-x-1 —————————————–  n!

=

lim n ® ¥

x(x + 1)¼(x + n)(x + n + 1)(n + 1)-x ———————————————  (n + 1)!

æ è

n + 1 ——–  n

ö ø

x+1

となりますが、

(52-20)

æ è

n + 1 ——–  n

ö ø

x+1

=

æ è

1 +

1 —–  n

ö ø

x+1

= exp

ì í î

(x + 1) log

æ è

1 +

1 —–  n

ö ø

ü ý þ

®  exp 0 = 1       ( n ® ¥ )

ですから

(52-21a)  xG(x + 1) = G(x)

が成り立ちます。従って Γ 関数については

(52-21b)  Γ(x + 1) = xΓ(x)

が成り立つことがわかります。ゆえに、これらと (52-18b) により

(52-22)  Γ(n + 1) = G(n + 1)-1 = n!       ( nÎN )

が成り立つことがわかります。また、

(52-23)  G(x)G(1 - x) =

lim n®¥

x(x + 1)¼(x + n) n-x ————————–  n!

(1 - x)(2 - x)¼(n + 1 - x) nx-1 ————————————–  n!

=

lim n®¥

n + 1 - x ————  n

x

n Õ k=1

æ è

1 +

x —–  k

ö ø

æ è

1 -

x —–  k

ö ø

= x

¥ Õ k=1

æ è

1 -

x² —–  k²

ö ø

となるので、前節 (48-41) により

(52-24a)  G(x)G(1 - x) =

sin(px) ——— p

が成り立ちます。従って Γ 関数については

(52-24b)  Γ(x)Γ(1 - x) = p csc(px)

が成り立つことがわかります。特に (52-24b) で x に 1/2 を代入すれば、Γ(1/2)² = p となるので、(52-17a) により

(52-25)  Γ(1/2) = Öp

であることがわかります。これと (52-21b) により、自然数 n に対する

(52-26a)  Γ(1/2 + n) =

1 · 3 · ¼ · (2n - 1) ———————– 2n

Öp

が得られ、これと (52-24b) で x に n + 1/2 を代入したものにより、自然数 n に対する

(52-26b)  Γ(1/2 - n) = (- 1)n

2n ———————– 1 · 3 · ¼ · (2n - 1)

Öp

が得られます。次に

(52-27a)

n-1 Õ k=0

G(x + k/n) = nn x-1/2 (2p)(1-n) / 2 G(nx)

が成り立ち、従ってその逆元を取ったGaussの乗法公式：

(52-27b)

n-1 Õ k=0

Γ(x + k/n) = n1/2-n x (2p)(n-1) / 2 Γ(nx)

が成立することを証明しましょう。
　実際、(52-27a) の左辺は、(52-8) により

(52-28)

lim m ® ¥

n-1 Õ k=0

(x + k/n)(x + 1 + k/n)¼(x + m + k/n) m-x-k/n ——————————————————–  m!

=

lim m ® ¥

m-n x-(n-1) / 2 —————– m!n

n(m+1)-1 Õ k=0

æ è

x +

k —–  n

ö ø

=

lim m ® ¥

Cn, m Gn, m(x)

ただし

(52-29a)  Gn, m(x) :º

æ è

n(m + 1) - 1 ————— m

ö ø

n x

{n(m + 1) - 1}-n x ———————–  {n(m + 1) - 1}!

n(m+1)-1 Õ k=0

(nx + k)

(52-29b)  Cn, m :º

{n(m + 1) - 1}! ———————— m(n-1) / 2 m!n nn (m+1)

です。ここで

(52-30)

æ è

n(m + 1) - 1 ————— m

ö ø

n x

= exp

ì í î

nx log

æ è

n +

n - 1 ——–  m

ö ø

ü ý þ

®  exp(nx log n) = nn x       ( m ® ¥ )

と (52-8) により

(52-31)

lim m ® ¥

Gn, m(x) = nn x G(nx)

ですから、(52-28) において x :º 1/n を代入すれば、(52-18a) により G(nx) = G(1) = 1 となるので、極限値

(52-32)  Cn :º

lim m ® ¥

Cn, m

が存在し、かつ

(52-33)

n-1 Õ k=1

G(k/n) =

n Õ k=1

G(k/n) =

n-1 Õ k=0

G(1/n + k/n) =

lim m ® ¥

Cn, m Gn, m(1/n) = Cn n¹ G(1) = nCn

が成り立つことがわかります。ゆえに (52-33) の両辺を２乗して、(52-24a) と、前節の (48-32) を用いれば、

(52-34)  n²Cn² =

ì í î

n-1 Õ k=1

G(k/n)

ü ý þ

²

=

n-1 Õ k=1

G(k/n)G(1 - k/n) =

n-1 Õ k=1

1 —– p

sin

kp —–  n

=

n  ———  (2p)n-1

　C_n は、(25-29b) により明らかに非負なので、C_n = n^-1/2(2p)^{(1-n) / 2} がわかり、これと (52-28),(52-31),(52-32) により (52-27a) が得られます。

　さて、ここで Γ 関数の半積分表示を求めるため、Γ 関数の定義域に属す、すなわちすべての自然数 n に対して x + n が可逆であるような xÎX に対して

(52-35)  x-1¼ (x + n)-1 =

n å k=0

(- 1)k (x + k)-1 —————— (n - k)! k!

が成り立つことを、n に関する帰納法で証明しましょう。
　n が 0 のときは明らかですから、n のとき正しいと仮定します。このとき、帰納法の仮定により

(52-36)  x-1¼ (x + n)-1(x + n + 1)-1	=  n å k=0 (- 1)k ————– (n - k)! k! (x + k)-1(x + n + 1)-1
	=  n å k=0 (- 1)k ————– (n - k)! k! (x + k)-1 - (x + n + 1)-1 —————————–  (n + 1 - k)
	=  n å k=0 (- 1)k (x + k)-1 ——————– (n + 1 - k)! k! - (x + n + 1)-1 —————  (n + 1)!  n å k=0 æ è n + 1  k ö ø (- 1)k

　一方

(52-37)  -

n å k=0

æ è

n + 1  k

ö ø

(- 1)k = -

n+1 å k=0

æ è

n + 1  k

ö ø

(- 1)k + (- 1)n+1 = (1 - 1)n+1 + (- 1)n+1 = (- 1)n+1

ですから、(52-36) の右辺第２項は、第１項の å の中の式の k に n + 1 を代入したものに他なりません。以上で帰納法が完成し、(52-35) は証明されました。
　ゆえに

(52-38)	ò	n 1	t x-1	æ è	1 -	t —–  n	ö ø	n	dt	=  n å k=0 æ è  n  k ö ø ò n 1  t x-1 æ è -  t —–  n ö ø k dt
										= n!  n å k=0 (- 1)k —————– (n - k)! k! nk ò n 1 t x+k-1 dt
										= n!  n å k=0 (- 1)k —————– (n - k)! k! nk (x + k)-1 t x+k | | | n 1
										= n!  n å k=0 (- 1)k (x + k)-1 n x ———————– (n - k)! k! - n!  n å k=0 (- 1)k (x + k)-1 —————— (n - k)! k! nk
										= n! x-1(x + 1)-1¼(x + n)-1 n x -  n å k=0 (- 1)k (x + k)-1 ——————  k!  n(n - 1)¼(n - k + 1) ————————– nk

　ただし、３番目の等号で (46-34) と微分積分学の基本定理を用い、最後の等号で (52-35) を使いました。
　さて、(46-14) において、x に - 1 を代入することにより、n ® ¥ のとき (1 - t/n)ⁿ は e^-t に収束し、しかもその証明から明らかなように、この収束は t に関する有界集合上一様であることがわかります。
　ゆえに、t < n で (1 - t/n)ⁿ 、t > n で 0 と置いて定義した関数 j_n も、それらすべての共通の定義域で、有界集合上一様に e^-t に収束します。一方

(52-39)  log

|| || ||

t x-1

æ è

1 -

t —–  n

ö ø

n

|| || ||

£ log || exp{(x - 1)log t} || + n log

æ è

1 -

t —–  n

ö ø

£ log exp( || x - 1 || log t) - n

t —–  n

= - t

æ è

1 - || x - 1 ||

log t ——–  t

ö ø

が成り立ちます。ただし２番目の不等号で (46-29) を用いました。
　この右辺の括弧の中は、(46-27g) により、ある T > 1 より大きい t に対して 1/2 より大きくなりますから、

(52-40)

|| || ||

t x-1

æ è

1 -

t —–  n

ö ø

n

|| || ||

£ e-t/2       ( t > T )

　ゆえに、(52-38) の左辺の被積分関数は、R⁺⁺ において、可積分な関数で一様に押さえられることがわかるので、(41-43) により、t ^{x- 1} e^-t は R⁺⁺ でLebesgue可積分で、n ® ¥ のとき、(52-38) の左辺はこの積分に収束することがわかります。
　また、(52-38) の右辺第１項は、(52-16) により、n ® ¥ のとき Γ(x) に収束します。
　最後に (52-38) の右辺第２項ですが、|| x || < k であるような k に対しては、(45-22) の x に 1 を、y に 1 + x/k を代入した式が成り立つので、(45-25) により

(52-41)  || (1 + x/k)-1 || £

1 ————— 1 - || x || / k

すなわち

(52-42)  || (x + k)-1 || £

1 ———– k - || x ||

ですから、N > || x || であるような自然数 N を取れば、任意の n ³ N に対して

(52-43)

¥ å k=n

|| || ||

(- 1)k (x + k)-1 ——————  k!

|| || ||

£

1 ———— N - || x ||

¥ å k=n

1 —–  k!

®  0       ( n ® ¥ )

となり、一方で、各 k に対して

(52-44)  1 ³

n(n - 1)¼(n - k + 1) ————————– nk

®  1       ( n ® ¥ )

ですから、(52-38) で右辺第２項を移項して n ® ¥ とすれば、Γ 関数の半積分表示：

(52-45)  Γ(x) =

ò

¥ 1

t x-1 e-t dt +

¥ å k=0

(- 1)k (x + k)-1 ——————  k!

が得られます。ここで更に、xÎX ⁺⁺ = { xÎX | $nÎN : || x - n || < n } なら、(46-35a) により t ¯ 0 のとき t ^x+k = t ^x t^k ® 0 ですから

(52-46)

ò

1 0

t x-1 e-t dt =

¥ å k=0

1 —–  k!

ò

1 0

t x-1 (- t)k dt =

¥ å k=0

(- 1)k ——–  k!

ò

1 0

t x+k-1 dt =

¥ å k=0

(- 1)k ——–  k!

(x + k)-1 t x+k

| | |

1 0

=

¥ å k=0

(- 1)k (x + k)-1 ——————  k!

となるので、この場合は、(52-45),(52-46) により Γ 関数の積分表示：

(52-47)  Γ(x) =

ò

¥ 0

t x-1 e-t dt       ( xÎX ++ )

が得られます。
　特に s > 0 に対する Γ 関数の値は (52-47) で計算できるので、この事実を使って log Γ(s) が s の凸関数になっていることを証明してみましょう。

(52-48)

¶k —–  ¶sk

(ts-1 e-t ) =

¶k —–  ¶sk

(e(s-1) log t e-t ) = (log t)k ts-1 e-t

が成り立ち、任意の e > 0 に対し、ある正数 R が存在して、十分小さな t > 0 に対しては、(46-27h) により | log t | £ R t^-e が成り立ち、逆に十分大きな t に対しては、| log t | < R t と t < Re^{-e t} が成り立つので、(52-48) は、s が有界な範囲にあるとき、R⁺⁺ で一様に可積分な関数で押さえられます。ゆえに第43節最後の微分と積分の順序交換に関する定理 (43-56) により

(52-49)

dk —–  dsk

Γ(s) =

ò

¥ 0

(log t)k ts-1 e-t dt       ( s > 0 )

が成り立ちます。ゆえに、すべての実数 l に対して

(52-50)  Γ(s)l² + 2Γ'(s)l + Γ"(s) =

ò

¥ 0

{l² + 2(log t)l + (log t)²}ts-1 e-t dt =

ò

¥ 0

(l + log t)² ts-1 e-t dt ³ 0

が成り立ち、しかも Γ(s) > 0 なので、(51-13) 直後の注意により、(52-50) 左辺の l に関する２次式の判別式 £ 0 すなわち

(52-51)  Γ'(s)² - Γ(s)Γ"(s) £ 0

が成り立つことがわかります。従って

(52-52)

d² —–  ds²

log Γ(s) =

d —–  ds

Γ'(s) —— Γ(s)

=

Γ"(s)Γ(s) - Γ'(s)² ——————— Γ(s)²

³ 0

が成り立ち、これは log Γ(s) が凸関数であることを意味しています。これは、冒頭に掲げた性質を持つ関数 j の存在を示しています。

　さて、(52-27b) を実数体 R 上で考え、x に有理数 s = q/p を、n に mp をそれぞれ代入し、両辺の対数を取って n で割れば、

(52-53)

1 —–  n

n-1 å k=0

log Γ(s + k/n) =

æ è

1 —– 2n

-

q —–  p

ö ø

log n +

n - 1 ——– 2n

log(2p) +

1 —–  n

log (mq - 1)! =

log n ——– 2n

+

n - 1 ——– 2n

log(2p) +

1 —–  n

mq å k=1

log

k —–  n

-

log(mq) ———–  n

　ここで m ® ¥ とすれば、(46-27g) と (41-45) により、

(52-54)

ò

s+1 s

log Γ(t) dt =

log(2p) ——— 2

+

ò

s 0

log t dt =

log(2p) ——— 2

+

t ( log t - 1)

| | |

s 0

= s ( log s - 1) +

log(2p) ——— 2

が得られますが、各辺は s の連続関数ですから、これは実はすべての実数 s > 0 で成り立ちます。
　ところで log Γ は凸関数ですから、1 < s £ t £ s + 1 において、(52-2) で j , a , b , c にそれぞれ Γ , s - 1 , s , t を代入すれば

(52-55a)  (t + 1 - s) log Γ(s) < log Γ(t) + (t - s) log Γ(s - 1)

が得られ、j , a , b , c にそれぞれ Γ , s , t , s + 1 を代入すれば

(52-55b)  log Γ(t) < (t - s) log Γ(s + 1) + (s + 1 - t) log Γ(s)

が得られますが、(52-21b) により log Γ(s - 1) = log Γ(s) - log(s - 1) と log Γ(s + 1) = log Γ(s) + log s が導かれるので

(52-56)  log Γ(s) + (t - s) log(s - 1) < log Γ(t) < log Γ(s) + (t - s) log s

が成り立ちます。ゆえにこれを t について s から s + 1 まで積分して (52-54) を用いれば、

(52-57)  log Γ(s) +

log(s - 1) ———— 2

£ s ( log s - 1) +

log(2p) ——— 2

£ log Γ(s) +

log s —— 2

となるので

(52-58)  0 £ log Γ(s) - s ( log s - 1) +

log s - log(2p) —————— 2

£

1 —– 2

log

s ——– s - 1

®  0       ( s ® ¥ )

が成り立つので、exp を施して s ® ¥ とすれば、

(52-59)  Γ(s) s-s+1 / 2 es (2p)-1 / 2  ®  1       ( s ® ¥ )

が得られます。特に s が正整数 n のときは 、Γ(n) = n!/n ですから、Stirlingの公式：

(52-60)  n! »    _____ Ö2pn nn e-n       ( n ® ¥ )

が得られます。ただし » は、両辺の比、すなわち左辺を右辺で除したものが 1 に収束することを意味します。