数学の基礎

　本節では、p に関係のある等式をいくつか紹介します。

　まず最初に、(46-62) で導入した関数 ζ の偶数 2n における値を求めてみましょう。
　実数体 R における cot の展開公式 (48-54) において、右辺の x^-1 を左辺に移項すれば、

(53-1)  cot x -

1 —–  x

=

¥ å k=1

æ è

1 ———  x + kp

+

1 ———  x - kp

ö ø

=

¥ å k=1

2x ———— x² - k²p²

　この右辺の級数は、| x | < p のとき

(53-2)  | x² - k²p² | = k²p² - x² > (k² - 1)p² ³ (k² - 2k + 1)p² = (k - 1)²p²

となるので絶対収束しますから、両辺に - x/2 を乗じれば、

(53-3)

1 - x cot x ————– 2

=

¥ å k=1

x² ————  k²p² - x²

=

¥ å k=1

x² ——  k²p²

1 —————– 1 - x²/(k²p²)

=

¥ å k=1

x² ——  k²p²

¥ å n=0

x2n ——–  k2np2n

=

¥ å k=1

¥ å n=1

x2n ——–  k2np2n

=

¥ å n=1

x2n —–  p2n

¥ å k=1

1  —–  k2n

=

¥ å n=1

ζ(2n)  ——–  p2n

x2n

が成り立ち、しかも右辺の冪級数の収束半径は p 以上であることがわかります。
　従って特に、任意の R > 1 に対し、(53-3) の右辺の x に p/R を代入したものは収束しますから、とくにその一般項は有界、すなわち

(53-4)  "R > 1 : $M > 0 : "nÎN : 1 < ζ(2n) £ M R 2n

が成り立つことがわかります。

　ところで

(53-5)  B(x) :º

x ——— ex - 1

と置くと、

(53-6)  x cot x = x

cos x ——– sin x

= ix

eix + e-ix ———— eix - e-ix

= ix

e2ix + 1 ——— e2ix - 1

= ix +

2ix  ——— e2ix - 1

= ix + B(2ix)

ですから、B(x) も収束半径 2p 以上の冪級数に展開できて、

(53-7)  B(x) =

¥ å n=0

Bn xn ——  n!

のように書けます。この B_n をBernoulli数といいます。(53-6) の左辺は偶関数なので、右辺も偶関数、従って

(53-8)  B2n+1 = 0       ( n ³ 1 )

です。また (53-5),(53-7) により

(53-9)  1 =

ex - 1 ———  x

B(x) =

¥ å k=1

xk-1 ——  k!

¥ å n=0

Bn xn ——  n!

=

¥ å m=1

xm-1 ——  m!

m-1 å n=0

æ è

m n

ö ø

Bn

となるので、両辺の係数を比較して、

(53-10a)  B0 = 1

(53-10b)

m-1 å n=0

æ è

m n

ö ø

Bn = 0       ( m ³ 2 )

　ゆえにBernoulli数は有理数です。(53-10b) を具体的に m = 2, 3, 5, 7 について展開して (53-8) に注意すれば、

(53-11a)  0 = B0 + 2B1 = 1 + 2B1  Þ  B1 = - 1/2

(53-11b)  0 = B0 + 3B1 + 3B2 = 1 - 3/2 + 3B2  Þ  B2 = 1/6

(53-11c)  0 = B0 + 5B1 + 10B2 + 10B3 + 5B4 = 1 - 5/2 + 5/3 + 5B4  Þ  B4 = - 1/30

(53-11d)  0 = B0 + 7B1 + 21B2 + 35B3 + 35B4 + 21B5 + 7B6 = 1 - 7/2 + 7/2 - 7/6 + 7B6  Þ  B6 = 1/42

　一方 (53-3),(53-6),(53-7),(53-8) により

(53-12)

¥ å n=1

ζ(2n)  ——–  p2n

x2n = -

1 —– 2

¥ å n=1

B2n (2ix)2n ————  (2n)!

となるので、x²ⁿ の係数を比較すれば

(53-13)  ζ(2n) =

(- 1)n-1 22n-1B2n p2n ————————  (2n)!

という等式が得られます。具体的に n = 1, 2, 3 について計算すれば

(53-14a)  ζ(2) =

p² —– 6

(53-14b)  ζ(4) =

p4 —–  90

(53-14c)  ζ(6) =

p6 ——  945

となります。

　さて、次に値に p が含まれる積分について考察します。まず前節の (52-25) と (52-47) により

(53-15)  Öp = Γ(1/2) =

ò

¥ 0

t-1/2 e-t dt =

ò

¥ 0

s-1 e-s² 2s ds = 2

ò

¥ 0

e-s² ds

　ただし t = s² と積分変数を変換しました。関数 e^-s² は偶関数ですから

(53-16)

ò

¥ - ¥

e-s² ds = Öp

が得られます。次に x, yÎC⁺ に対し、(52-47) により

(53-17)  Γ(x)Γ( y)	= ò ¥ 0 sx-1 e-s ds ò ¥ 0 t y-1 e-t dt
	= ò ¥ 0 sx-1 ds ò ¥ 0 t y-1e-s-t dt
	= ò ¥ 0 sx-1 ds ò 0 1 {st-1(1 - t)}y-1 e-s/t ¶ —– ¶t {st-1(1 - t)}dt       ( t = s/(s + t)  Û  st + tt = s  Û  t = st-1(1 - t) )
	= ò ¥ 0 sx-1 ds ò 1 0 {st-1(1 - t)}y-1 e-s/t st-2dt
	= ò ¥ 0 sx+y-1 ds ò 1 0 t-1-y(1 - t) y-1 e-s/t dt
	= ò 1 0 t-1-y(1 - t) y-1 dt ò ¥ 0 sx+y-1 e-s/t ds
	= ò 1 0 t-1-y(1 - t) y-1 dt ò ¥ 0 (st)x+y-1 e-s t ds       ( s = s/t  Û  s = st )
	= ò 1 0 t x-1 (1 - t) y-1 dt ò ¥ 0 s x+y-1 e-s ds
	= ò 1 0 t x-1 (1 - t) y-1 dt Γ(x + y)

　ゆえに x, yÎC⁺ に対し、Β（ベータ）関数 Β(x, y) を

(53-18)  Β(x, y) :º

ò

1 0

t x-1 (1 - t) y-1 dt

で定義すれば、

(53-19)  Β(x, y) =

Γ(x)Γ( y) ———— Γ(x + y)

が成り立つことがわかります。特に y = 1 - x とすれば、(52-18b),(52-24b) により

(53-20)  Β(x, 1 - x) = p csc(px)       ( 0 < Â(x) < 1 )

が成り立ちます。また、(53-18) の右辺の積分で、積分変数を t = sin² q によって q に変換すれば、1 - t = cos² q , dt = 2sin q cos q dq となるので

(53-21)  Β(x, y) = 2

ò

p / 2 0

sin2x-1 q cos2y-1 q dq

という等式が得られます。特に、自然数 n , m に対して x = (n + 1)/2 , y = (m + 1)/2 と置けば、

(53-22)

ò

p / 2 0

sinn q cosm q dq =

Γ((n + 1)/2)Γ((m + 1)/2) —————————— 2Γ((n + m)/2 + 1)

　更に m = 0 の場合は

(53-23)

ò

p / 2 0

sinn q dq =

Γ((n + 1)/2)Γ(1/2) ———————– 2Γ(n/2 + 1)

=

Γ((n + 1)/2) ————— 2Γ(n/2 + 1)

Öp

　ゆえに n が偶数の場合と奇数の場合に分けて考えれば、

(53-24a)

ò

p / 2 0

sin2k q dq =

Γ(k + 1/2) ————– 2Γ(k + 1)

Öp =

1 · 3 · ¼ · (2k - 1) ———————– 2k k!

p —– 2

=

1 · 3 · ¼ · (2k - 1) ———————– 2 · 4 · ¼ · 2k

p —– 2

(53-24b)

ò

p / 2 0

sin2k+1 q dq =

Γ(k + 1) ——————– 2Γ(k + 1 + 1/2)

Öp =

2k k! ———————– 1 · 3 · ¼ · (2k + 1)

=

2 · 4 · ¼ · 2k ———————– 1 · 3 · ¼ · (2k + 1)

が成り立ちます。
　なお、積分変数を q から s = p/2 - q に変換することにより、これらの被積分関数の sin を cos に置き換えても同じ値になることに注意します。
　また、積分変数を q から t = p - q に変換することにより、積分範囲を p/2 から p に変更しても値が変わらないこともわかります。

　次に、正整数 n に対して

(53-25)  In :º

ò

¥ - ¥

sinn x ——–  xn

dx

を計算してみましょう。ただし n = 1 の場合は通常の意味で積分可能ではないですが、

(53-26)

ò

¥ - ¥

sin x ——  x

dx :º

lim a ® ¥

ò

a - a

sin x ——  x

dx

と定義するものとします。このとき

(53-27)  In =

lim m ® ¥

ò

mp - mp

sinn x ——–  xn

dx =

lim m ® ¥

m-1 å k=-m

ò

p 0

sinn (x + kp) —————  (x + kp)n

dx =

lim m ® ¥

m å k=-m

ò

p 0

sinn (x + kp) —————  (x + kp)n

dx =

lim m ® ¥

ò

p 0

m å k=-m

(- 1)nk ————  (x + kp)n

sinn x dx

　ここで、被積分関数の各項 (- 1)^nk sinⁿ x / (x + kp)ⁿ は積分区間で有界で、k ³ 2 なら、(53-2) により

(53-28)

| | | |

(- 1)nk ————  (x + kp)n

+

(- 1)-nk ————  (x - kp)n

| | | |

=

| | | |

2x ———— x² - k²p²

| | | |

n

£

(2p)n ————— (k - 1)2n p2n

ですから、(53-27) 右辺の被積分関数の中の和は、m ® ¥ のとき一様に収束します。ゆえに、積分と極限の順序が交換できて、

(53-29)  In =

ò

p 0

lim m ® ¥

m å k=-m

(- 1)nk ————  (x + kp)n

sinn x dx =

ò

p 0

ì í î

1  —–  xn

+

¥ å k=1

(- 1)nk

æ è

1  ———— (x + kp)n

+

1  ———— (x - kp)n

ö ø

ü ý þ

sinn x dx

　そこで

(53-30a)  Fn(x) :º

1  —–  xn

+

¥ å k=1

(- 1)k

æ è

1  ———— (x + kp)n

+

1  ———— (x - kp)n

ö ø

(53-30b)  Gn(x) :º

1  —–  xn

+

¥ å k=1

æ è

1  ———— (x + kp)n

+

1  ———— (x - kp)n

ö ø

と定義し、これらを aÎ] 0, p [ から xÎ] 0, p [ まで積分すると、(53-28) により、和は一様収束なので、積分と和の順序が交換できて、n > 1 のとき

(53-31a)

ò

x a

Fn(t) dt = - (n - 1)-1 { Fn-1(x) - Fn-1(a) }

(53-31b)

ò

x a

Gn(t) dt = - (n - 1)-1 { Gn-1(x) - Gn-1(a) }

　ゆえに (53-31a) の両辺を x で微分して帰納法を用いれば、(58-56) により

(53-32a)  Fn(x) = - (n - 1)-1 Fn-1'(x) = ¼ =

(- 1)n-1 ——— (n - 1)!

F1(n-1)(x) =

(- 1)n-1 ——— (n - 1)!

dn-1 ——  dxn-1

csc x       ( n ³ 1 )

　同様に、(53-31b) の両辺を x で微分して帰納法を用いれば、(48-54) により

(53-32b)  Gn(x) = - (n - 1)-1 Gn-1'(x) = ¼ =

(- 1)n-1 ——— (n - 1)!

G1(n-1)(x) =

(- 1)n-1 ——— (n - 1)!

dn-1 ——  dxn-1

cot x       ( n ³ 1 )

　よって、(53-29),(53-30),(53-32) と cot' x = - csc² x により

(53-33a)  In =

ò

p 0

sinn x Fn(x) dx =

1 ——— (n - 1)!

ò

p 0

sinn x

dn-1 ——  dxn-1

csc x dx       ( n が奇数の場合 )

(53-33b)  In =

ò

p 0

sinn x Gn(x) dx = -

1 ——— (n - 1)!

ò

p 0

sinn x

dn-1 ——  dxn-1

cot x dx =

1 ——— (n - 1)!

ò

p 0

sinn x

dn-2 ——  dxn-2

csc² x dx       ( n が偶数の場合 )

　一方 csc' x = - cos x csc² x = - csc x cot x と cot² x = csc² x - 1 により

(53-34a)

d —–  dx

csck x = k csck-1 x csc' x = - k csck x cot x

(53-34b)

d² —– dx²

csck x = - k cot x

d —–  dx

csck x - k csck x cot' x = k² csck x cot² x + k csck+2 x = k(k + 1) csck+2 x - k² csck x

ですから、csc^k x を２回微分すると csc^k x と csc^k+2 x の整数倍の和になりますが、(53-33) の右辺の被積分関数の微分は、いずれも偶数回微分していますから、n が奇数のときは csc x の奇数乗、n が偶数のときは csc x の偶数乗に整数を乗じたものの和になります。
　ところで csc x は sin x の逆数ですから、これが sinⁿ x とキャンセルされ、被積分関数は、n が奇数、偶数いずれの場合でも、sin x の偶数乗のみの項の和になります。
　ゆえに (53-24a) により、I_n は p の有理数倍になることがわかります。
　実際に I_n を具体的に n = 1, 2, 3, 4 について求めてみると、次のようになります：

(53-35a)  I1 =

ò

p 0

sin x csc x dx =

ò

p 0

dx = p

(53-35b)  I2 =

ò

p 0

sin² x csc² x dx =

ò

p 0

dx = p

(53-35c)  I3	= 1 —–  2! ò p 0 sin³ x  d² ——  dx² csc x dx
	= 1 —– 2 ò p 0 sin³ x (2 csc³ x - csc x) dx
	= 1 —– 2 ò p 0 (2 - sin² x) dx
	= ò p / 2 0 (2 - sin² x) dx
	= 2 · p —– 2 - p —– 4
	= 3p —– 4

(53-35d)  I4	= 1 —–  3! ò p 0 sin4 x  d² ——  dx² csc² x dx
	= 1 —– 6 ò p 0 sin4 x (6 csc4 x - 4 csc² x) dx
	= 1 —– 3 ò p 0 (3 - 2 sin² x) dx
	= 2 —– 3 ò p / 2 0 (3 - 2 sin² x) dx
	= 2 —– 3 · 3 · p —– 2 - 2 —– 3 · 2 · p —– 4
	= 2p —– 3