数学の基礎

　本節では、e や p が超越数であるという結論を含む、より一般的な超越数に関する表題の定理を証明します。

　まずその前に、超越数について成り立つ簡単な結果を出しておきましょう。

　超越数 a と 0 でない任意の代数的数係数多項式 j に対して j(a) ¹ 0 が成り立ちます。
　実際、j は j(x) = c(x - b₁ ) ¼ (x - b_n ) （ただし c ¹ 0 ）と因数分解され、各 b_i は代数的数ですから a - b_i ¹ 0 となり、従って j(a) ¹ 0 となります。

　逆に、一次以上の任意の整数係数多項式 j に対して j(a) ¹ 0 となれば a は超越数です。
　実際、任意の代数的数 b に対して b の最小多項式を j とすれば、これを上のように因数分解すると、すべての i について a - b_i ¹ 0 となります。b は b_i のいずれかと一致しますから、a ¹ b であることがわかり、b は任意ですから a は超越数です。

　このことから、a が超越数のとき、一方が他方の定数倍でないような任意の代数的数係数多項式 j, y ¹ 0 に対して j(a)/y(a) は超越数です。
　実際、まず j(a)/y(a) ¹ 0 です。また、任意の代数的数 b ¹ 0 に対して j - by は 0 でない代数的数係数多項式ですから j(a) - by(a) ¹ 0 すなわち j(a)/y(a) ¹ b となります。

　従って特に、a が超越数、b が代数的数なら a ± b は超越数であり、更に b が 0 でなければ ab も a/b も b/a も超越数です。また整数 n ¹ 0 に対する aⁿ も超越数です。

　逆に、0 でない代数的数係数多項式 j に対し、j(a) が超越数なら a も超越数です。
　実際、b を代数的数とすると、j(b) も代数的数なので j(a) ¹ j(b) となりますが、j は強関数なので a ¹ b となり、b は任意ですから、これは a が超越数であることを意味しています。

　従って特に、超越数の正整数 n に対する n 乗根も超越数です。ゆえに、有理数 p = n/m に対して、m 乗すると aⁿ に一致する任意の複素数の一つを a ^p と書くとき、a が超越数で p が 0 でない有理数なら a ^p も超越数です。

　さて、Lindemannの定理を述べる前に、有用な不等式を一つ証明しておきましょう。複素係数のn次多項式：

(54-1)   f(x) =

n å k=0

ak xk

と zÎC に対して

(54-2)   f #(z) =

n å k=0

f (k)(z)

(54-3)   f (z) =

n å k=0

| ak | | z |k

と置くと、

(54-4)	ò	1 0	e(1 - t) z z f (k+1)(tz) dt	= ò 1 0 e(1 - t) z  ¶ —–  ¶t  f (k)(tz) dt
				= ò 1 0 ¶ —–  ¶t æ è e(1 - t) z f (k)(tz) ö ø dt - ò 1 0 ¶e(1 - t) z ———–  ¶t   f (k)(tz) dt
				= e(1 - t) z f (k)(tz) | | | 1 0 + ò 1 0 e(1 - t) z z f (k)(tz) dt
				=  f (k)(z) - ez f (k)(0) + ò 1 0 e(1 - t) z z f (k)(tz) dt

ですから、f ⁽ⁿ⁺¹⁾ = 0 により

(54-5)  0 =

ò

1 0

e(1 - t) z z f (n+1)(tz) dt =

n å k=0

{  f (k)(z) - ez f (k)(0) } +

ò

1 0

e(1 - t) z z f(tz) dt

　すなわち

(54-6)   f #(z) - ez f #(0) = -

ò

1 0

e(1 - t) z z f(tz) dt

が成り立つので、| e^{(1 - t) z} | = e^{Â((1-t) z)} £ e^{| z |} 及び |  f(tz) | £  f (z) により、Hermiteの不等式：

(54-7)  |  f #(z) - ez f #(0) | £

ò

1 0

| e(1 - t) z z f(tz) | dt £ | z | e| z | f (z)

が成り立つことがわかります。この不等式を用いて、次の定理を証明しましょう：

Lindemannの定理 　ai ( 1 £ i £ n ) を相異なる代数的数、bi ( 1 £ i £ n ) をいずれも 0 と異なる代数的数とするとき、 (54-8)   n å i=1 bi exp ai ¹ 0 が成り立つ。

　Q は可識ですから、代数的数 b_i は 0 と等しいか異なるかいずれかです。従って、定理の仮定の中で b_i がすべて 0 と異なるという条件は、少なくとも一つ 0 でないものが存在するという条件に置き換えることができることに注意します。

　さて、この定理の証明ですが、いくつかのステップに分けて証明します。

STEP 1

　まず定理を b_i がすべて整数である場合に帰着できることを証明しましょう。
　そのためには、b_i がすべて有理数である場合に帰着できることを示せば十分です。
　しかも、代数的数の実部、虚部は代数的で、代数的数の全体は可識ですから、{ Â(a_i ) | 1 £ i £ n } には最大値が存在し、最大値を与える a_i の全体を { a_i | iÎJ } とすると、{ Á(a_i ) | iÎJ } の最大値を与える i が唯一つ存在します。i = 1 であると仮定しても一般性を失いません。

　b_i に共役な代数的数の全体を b_i1 = b₁ , b_i2 , ¼, b_imi とし、すべての m_i ( 1 £ i £ n ) の積を m と書き、すべての i £ n に対して 1 £  j_i £ m_i であるような自然数の組 ( j₁ , j₂ ,¼, j_n ) の全体を J と書くことにします。
　また、M₁ + M₂ + ¼ + M_n = m となる自然数の組 M :º (M₁ , M₂ ,¼, M_n ) の全体を M と書き、各 M に対し、"i £ n : #{ jÎJ | j( j ) = i } = M_i となるような j : J ® {1, 2,¼, n} の全体を Φ_M と書けば、

(54-9)

Õ  jÎJ

n å i=1

biji exp ai =

å j : J ® {1, 2,¼, n}

æ è

Õ  jÎJ

bj( j) jj( j)

ö ø

exp

å  jÎJ

aj( j)  =

å MÎM

æ è

å jÎΦM

Õ  jÎJ

bj( j) jj( j)

ö ø

exp

n å i=1

Mi ai

　ここで

(54-10)  bM :º

å jÎΦM

Õ  jÎJ

bj( j ) jj( j )

は、すべての i に対して b_i1 , b_i2 , ¼, b_imi の対称式です。
　実際、iÎ{ 1, 2 ,¼, n } と、集合 { 1, 2 ,¼, m_i } からそれ自身への全単射 s を任意に選んで固定し、b_ij を変数だと思って、b'_ij を、i ¹ i に対しては b'_ij = b_ij と置き、i = i に対しては b'_ij :º b_{is( j)} と置いて定義します。
　このとき、各 j = ( j₁ , j₂ ,¼, j_n )ÎJ に対し、i ¹ i については j'_i = j_i と置き、i = i については j'_i = s( j_i ) と置いて j' = ( j'₁ , j'₂ ,¼, j'_n )ÎJ を作れば、j に j' を対応させる写像は J からそれ自身への全単射です。
　そこで、jÎΦ_M に対し、j' : J ® {1, 2,¼, n} を j'( j ) :º j( j' ) で定義すれば、#{ jÎJ | j'( j ) = i' } = #{ j'ÎJ | j( j' ) = i' } = M_i' なので j'ÎΦ_M ですから、j に j' を対応させる写像は Φ_M からそれ自身への全単射です。
　また、j'( j ) ¹ i なら b_{j( j' ) j'j( j' )} = b_{j'( j ) j'j'( j )} = b_{j'( j ) jj'( j )} = b'_{j'( j ) jj'( j )} となります。
　一方、j'( j ) = i なら b_{j( j' ) j'j( j' )} = b_{j'( j ) j'j'( j )} = b_{j'( j ) s( jj'( j ) )} = b'_{j'( j ) jj'( j )} となります。
　すなわち、いずれにせよ b_{j( j' ) j'j( j' )} = b'_{j'( j ) jj'( j )} となるので

(54-11)  bM =

å jÎΦM

Õ  j'ÎJ

bj( j' ) j'j( j' ) =

å j'ÎΦM

Õ  jÎJ

b'j'( j ) jj'( j ) = b'M

となって証明されました。
　以上により、b_M は、すべての i に対する b_i1 , b_i2 , ¼, b_imi の対称式であることがわかり、従ってこれらの基本対称式で表されますが、これらの基本対称式は有理数ですから、b_M は有理数であることがわかりました。さて、

(54-12)

Õ  jÎJ

n å i=1

biji exp ai =

å MÎM

bM exp aM       (  aM =

n å i=1

Mi ai  )

と書けますが、a_M は代数的数なので、{ a_M | MÎM } は可識です。ゆえに、この中から等しいものを一つの項としてまとめて

(54-13)

Õ  jÎJ

n å i=1

biji exp ai =

K å k=1

b(k) exp a(k)

と書くことができますが、このとき少なくとも一つ b⁽ⁱ⁾ ¹ 0 となる i が存在することを確かめましょう。
　a_M の中で、実部が最大値を取り、その中で更に虚部が最大値を取るものは、M_i の和が一定値 m であることから、実は M = ( m, 0 ,¼, 0 ) の場合の a_M しかありません。したがって、この M に対して b_M ¹ 0 であることを示せば十分です。
　この M に対する Φ_M の元は、恒等的に値 1 を取る写像唯一つしかありませんから、

(54-14)  bM =

Õ  jÎJ

b1j1

となります。ゆえに、b_1j ¹ 0 であることを示せば十分ですが、b₁ の最小多項式 p_m1x ^m₁ + ¼ + p₁x + p₀ ( p_iÎZ ) の定数項は 0 と異なります。なぜなら p₀ = 0 とすると、b₁ ¹ 0 なので、p_m1x ^m₁-1 + ¼ + p₁ も b₁ を根に持ち、最小多項式の定義に反するからです。
　ゆえに、b₁₁ b₁₂ ¼ b_1m1 = (- 1)^m₁ p₀ ¹ 0 となり、b_1j ¹ 0 がわかりました。

　以上により、(54-13) の右辺は、b⁽ⁱ⁾ = 0 である項を除去すれば、b⁽ⁱ⁾ は有理数で、a⁽ⁱ⁾ は相異なる代数的数ですから、もしこの場合に定理が成り立つなら、(54-13) の右辺は 0 と異なり、従って左辺の各 j に対する和は 0 と異なるので、特に j = ( 1, 1 ,¼, 1 ) に対する和、すなわち (54-8) の左辺も 0 と異なることがわかります。

STEP 2

　次に、各 a_i に共役な代数的数はすべて { 1, 2 ,¼, n } の中に現れていて、しかも a_i と a_j が共役なら b_i = b_j となっている場合に証明できれば十分であることを示しましょう。
　まず、いずれかの a_i に共役な代数的数をすべて集めた集合を { a_i | 1 £ i £ n' } ( i ¹ j  Þ  a_i ¹ a_j ) とし、集合 { 1, 2 ,¼, n } から { 1, 2 ,¼, n' } への単射の全体を S と書きます。
　また、N₁ + N₂ + ¼ + N_n = _n' P_n となる自然数の組 N :º (N₁ , N₂ ,¼, N_n ) の全体を N と書き、各 N に対し、"i £ n : #{sÎS | y(s) = i } = N_i となるような y : S ® {1, 2,¼, n } の全体を Ψ_N と書けば、

(54-15)

Õ  sÎS

n å i=1

bi exp as(i) =

å y : S ® {1, 2,¼, n}

æ è

Õ  sÎS

by(s)

ö ø

exp

å  sÎS

as(y(s))  =

å NÎN

b1N1 ¼ bnNn

å yÎΨN

exp ay

　ただし

(54-16)  ay :º

å  sÎS

as(y(s))

です。このとき、各 NÎN に対し、多項式

(54-17)  pN (x) :º

Õ yÎΨN

(x - ay )

の係数は a₁ , a₂ ,¼, a_n' の対称式であることを証明しましょう。
　実際、{ 1, 2 ,¼, n' } からそれ自身への全単射 t を任意に選んで固定し、a_i を変数だと思って、iÎ{ 1, 2 ,¼, n' } に対して a'_i :º a_t(i) と置きます。
　このとき、sÎS に ts :º t _° s を対応させる写像は S からそれ自身への全単射ですから、任意の yÎΨ_N に対して y' を y'(s) :º y(ts) ( sÎS ) で定義すれば、#{sÎS | y'(s) = i } = #{sÎS | y(ts) = i } = #{rÎS | y(r) = i } = N_i なので y'ÎΨ_N となり、y に y' を対応させる写像は Ψ_N からそれ自身への全単射であることがわかります。また、

(54-18)  a'y' =

å  sÎS

a's(y'(s)) =

å  sÎS

at(s(y(ts))) =

å  rÎS

ar(y(r)) = ay

ですから、これは

(54-19)  pN (x) =

Õ yÎΨN

(x - a'y )

が成り立つことを意味し、p_N の係数は a₁ , a₂ ,¼, a_n' の対称式であることがわかり、従ってこれらの基本対称式で表されることがわかりました。従って p_N の係数はすべて有理数です。
　ゆえに、p_N を既約多項式の積に分解することにより、ある yÎΨ_N に対する a_y に共役な代数的数はすべて { a_y' | y'ÎΨ_N } の中に含まれることがわかり、従って (54-15) の右辺は、本ステップの冒頭に掲げた性質を持つ形を持つことがわかりました。

　次に、(54-15) の右辺を、同一の a に対する exp a を同じ項にまとめたとき、0 でない項が少なくとも一つ存在することを証明しましょう。
　任意の sÎS に対し、{ a_s(i) | 1 £ i £ n } のうちで、実部が最大で、更にその中で虚部が最大のものが唯一つ存在するので、それを a_i(s) と書き、s に s^-1(i(s)) を対応させる写像を y とします。
　このとき、y はある Ψ_N に属し、しかも a_y は、すべての sÎS に対する a_i(s) の和ですから、あらゆる y' : S ® { 1, 2 ,¼, n} に対する a_y' の中で、最大の実部を持ち、更にその中で最大の虚部を持つ唯一のものであることがわかります。従って特に、y' ¹ y なら a_y' ¹ a_y です。
　ゆえに、この a_y に対する exp a_y の項の係数は、他の項とまとめられることがないので b₁^N₁ ¼ b_n^N_n ¹ 0 に等しく、以上で証明されました。

　ゆえに、もしこの場合に定理が成り立つなら、(54-15) の右辺は 0 と異なり、従って左辺の各 s に対する和は 0 と異なるので、特に s が s(i) = i で定義される S の元であるときの和、すなわち (54-8) の左辺も 0 と異なることがわかります。

STEP 3

　前ステップまでの議論により、{ 1, 2 ,¼, n } の有限分割 J が存在して、各 JÎJ に対して b_i ( iÎJ ) は共通の整数値 b_J ¹ 0 を取り、{ a_i | iÎJ } は、ある既約多項式  f_J (x)ÎQ[x] の根の全体に一致する場合のみを考えれば十分です。
　このとき、整数 m > 0 が存在して、すべての JÎJ に対して

(54-20)   fJ (x) :º m

Õ iÎJ

(x - ai ) Î Z[x]

となります。これは、{ a_i | iÎJ } の基本対称式の m 倍が整数であることを意味するので、特に { ma_i | iÎJ } の基本対称式は整数であることがわかり、従って整数を係数とする { ma_i | iÎJ } の任意の対称式は整数です。
　さて、p をあとで定める素数として、各 iÎ{ 1, 2 ,¼, n } に対して、多項式 g_i を

(54-21)  gi(x) :º

mn p - p ———– ( p - 1)!

(x - ai ) p-1

Õ i ¹ i

(x - ai ) p

で定義します。このとき、Leibnizの公式 (29-12c) により

(54-22)  gi(k)(x) =

mn p - p ———– ( p - 1)!

k å l=0

æ è

k  l

ö ø

d l —–  dx l

(x - ai ) p-1

dk-l ——  dxk-l

Õ i ¹ i

(x - ai ) p

ですから

(54-23a)  gi(k)(ai ) = 0       ( k < p - 1 )

(54-23b)  gi( p-1)(ai ) = mn p - p

Õ i ¹ i

(ai - ai ) p = {

Õ i ¹ i

(mai - mai ) } p

(54-23c)  gi(k)(ai )	=  mn p - p æ è  k  p - 1 ö ø  dk-p+1 ———  dxk-p+1   Õ i ¹ i (x - ai ) p | | | | x = ai
	=  pmn p - p æ è  k  p - 1 ö ø  dk-p ——–  dxk-p   å  j ¹ i (x - aj ) p-1   Õ i ¹ i, j (x - ai ) p | | | | x = ai
	=  pm æ è  k  p - 1 ö ø  ¶k-p ——–  ¶aik-p   å  j ¹ i (mai - maj ) p-1   Õ i ¹ i, j (mai - mai ) p       ( k ³ p )

が成り立ちます。また、j ¹ i のとき

(54-24)  gi(k)(x) =

mn p - p ———– ( p - 1)!

k å l=0

æ è

k  l

ö ø

d l —–  dx l

(x - aj ) p

dk-l ——  dxk-l

{(x - ai ) p-1

Õ i ¹ i, j

(x - ai ) p }

ですから

(54-25a)  gi(k)(aj ) = 0       ( k < p )

(54-25b)  gi(k)(aj ) = pmn p - p

æ è

k  p

ö ø

dk-p ——  dxk-p

{(x - ai ) p-1

Õ i ¹ i, j

(x - ai ) p }

| | | |

x = aj

= pm

æ è

k  p

ö ø

¶k-p ——–  ¶ajk-p

{(maj - mai ) p-1

Õ i ¹ i, j

(maj - mai ) p }     ( k ³ p )

が成り立ちます。
　そこで、複素数 k , l , m_i ( 1 £ i £ n ) , m を

(54-26a)  k :º

n Õ i=1

bi

(54-26b)  l :º

n Õ i=1

Õ i ¹ i

(mai - mai )

(54-26c)  mi :º

n å  j=1

bj gi#(aj ) =

n å  j=1

np-1 å k=1

bj gi(k)(aj ) = bi {

Õ i ¹ i

(mai - mai ) } p  +

å  j ¹ i or k ¹ p - 1

bj gi(k)(aj )

(54-26d)  m :º

n Õ i=1

mi

で定義すると、k は 0 でない整数 b_i の積ですから 0 でない整数です。
　また l は、a_i ( 1 £ i £ n ) がすべて異なるので 0 でない { ma_i | 1 £ i £ n } の整数係数多項式です。
　また、m_i の積 m を、(54-26c) の右辺の積として展開したときに現れる項のうち、(54-26c) の右辺第１項のみの積からなる項は kl^p であり、それ以外の項は、ある i に対する (54-26c) の右辺第２項を含みますが、(54-23),(54-25) により ( j, k) ¹ (i, p - 1) に対する g_i^(k)(a_j ) は、{ ma_i | 1 £ i £ n } の整数係数多項式に p を乗じたものと書けますから、それらの和も { ma_i | 1 £ i £ n } のある整数係数多項式 n に p を乗じたものと書けます：

(54-27)  m = klp + pn

　次に、k だけでなく、l , m , n も整数であることを証明しましょう。
　JÎJ を任意に取り、s を "iÎ{ 1, 2 ,¼, n } \ J : s(i) = i となるような { 1, 2 ,¼, n } からそれ自身への全単射とするとき、各 a_i を変数だと思って a'_i を a'_i :º a_s(i) で定義します。
　そこで、(54-21),(54-26),(54-27) における g_i , l , m_i , m , n の定義において、a_i を a'_i で置き換えたものをそれぞれ g'_i , l' , m'_i , m' , n' と書き、本ステップ冒頭の条件により b_{s( j)} = b_j が成り立つことに注意すれば

(54-28a)  g'i(x) =

mn p - p ———– ( p - 1)!

(x - as(i) ) p-1

Õ i ¹ i

(x - as(i) ) p = gs(i)(x)

(54-28b)  l' =

n Õ i=1

Õ i ¹ i

(mas(i) - mas(i) ) = l

(54-28c)  m'i =

n å  j=1

bj g'i#(a'j ) =

n å  j=1

bj gs(i)#(as( j) ) =

n å  j=1

bs( j) gs(i)#(as( j) ) = ms(i)

(54-28d)  m' =

n Õ i=1

m'i  =

n Õ i=1

ms(i)  = m

(54-28e)  n' =

m' - kl' p ————  p

=

m - kl p ———–  p

= n

となって、l , m , n は { ma_i | iÎJ } の対称式であることがわかります。ところがこれらは { ma_i | iÎJ } の整数係数多項式で、JÎJ は任意ですから、これらは実は整数であることがわかりました。
　さて、k, l ¹ 0 は共に p に無関係に定まる整数ですから、もし素数 p を max{ | k | , | l | } より大きく取っておけば、k も l も p で割り切れず、従って (54-27) により m は p で割り切れない整数です。従って特に | m | ³ 1 となります。
　一方、すべての i に対し、| m_i | < 1 又は | m_i | > 1/2 が成り立つので、それらの積 | m | が 1 以上であることから、すべての i に対して前者が成り立つことはありえないので、

(54-29)  $iÎ{ 1, 2 ,¼, n } : | mi | >

1 —– 2

が成り立つことがわかります。

STEP 4

　一般に、複素係数の２つの多項式 j , y に対して、定義式 (54-3) から明らかなように、

(54-30)  jy £ j y

が成り立つので、これを (54-21) に対して繰り返し用いると、

(54-31)  gi(z) £

mn p - p ———– ( p - 1)!

( | z | + | ai | ) p-1

Õ i ¹ i

( | z | + | ai | ) p

が得られます。一方、Hermiteの不等式 (54-7) と (54-31) により、すべての iÎ{ 1, 2 ,¼, n } に対して

(54-32)

| | | |

n å  j=1

bj{ gi#(aj ) - gi#(0) exp aj }

| | | |

£

n å  j=1

| bj | | aj | e| aj | gi(aj ) £

n å  j=1

| bj | | aj | e| aj |

mn p - p ———– ( p - 1)!

( | aj | + | ai | ) p-1

Õ i¹i

( | aj | + | ai | ) p £ A

C p-1 ——— ( p - 1)!

　ただし

(54-33a)  A  :º  n

sup 1 £ i, j £ n

| bj | | aj | e| aj |

Õ i ¹ i

( | aj | + | ai | )

(54-33b)  C  :º  mn-1

sup 1 £ i, j £ n

( | aj | + | ai | )

Õ i ¹ i

( | aj | + | ai | )

で、これらは p によらない実数です。よって素数 p を十分大きく取って置けば、(54-32) の右辺を 1/2 より小さくすることができます。ゆえに (54-29) を満たす i に対して

(54-34)  | gi#(0) |

| | | |

n å  j=1

bj exp aj

| | | |

=

| | | |

n å  j=1

bj gi#(0) exp aj

| | | |

³ | mi | -

| | | |

n å  j=1

bj{ gi#(aj ) - gi#(0) expaj }

| | | |

> 0

が得られ、これは (54-8) が成り立つことを意味します。以上でLindemannの定理は証明されました。

　さて、相異なる代数的数 { a_i | 1 £ i £ n } に対する (54-8) の左辺を g と書き、代数的数 { b_i | 1 £ i £ n } を任意の代数的数 h に対してb_i ¹ hb_i となる i が存在するような代数的数 { b'_i | 1 £ i £ n } で置き換えたものを g' と書けば、Lindemannの定理により

(54-35)  g - hg' =

n å i=1

( bi - hb'i ) exp ai ¹ 0

すなわち g/g' ¹ h となるので、h の任意性により g/g' は超越数です。

　よってこの結果を、特に代数的数 a ¹ 0 に対し、n = 2 , a₁ = a , b₁ = b'₂ = 1 及び他は 0 として適用すれば exp a が、また n = 3 , a₁ = - a₂ = a , b₁ = 1/2 , b₂ = ±1/2 , b'₃ = 1 及び他は 0 として適用すれば cosh a 及び sinh a が、また n = 2 , a₁ = - a₂ = a , b₁ = - b₂ = b'₁ = b'₂ = 1/2 として適用すれば tanh a が、またこれらの a のかわりに ia を代入すれば、cos a , sin a , tan a がそれぞれ超越数であることがわかります。
　よって特に e は超越数です。

　また、ここで挙げた関数の一つを j とするとき、複素数 a に対し、j(a) が j(0) と異なる代数的数ならば a は超越数です。
　実際、任意の代数的数 b に対し、b = 0 でも b ¹ 0 でも j(a) ¹ j(b) ですから、j が強関数であることから a ¹ b となります。
　従って、特に cos p = -1 は代数的数ですから、π は超越数であることがわかります。