数学の基礎
55．p 進小数と数値計算
p を 1 より大きい任意の自然数とします。
有理数のうち、ある自然数 n と整数 q によって qp-n と書けるものを p進有限小数といい、その全体を Q
p と書くことにします。
また、実数 x のうち、
(55-1) "rÎQp : [ x £ r Ú x ³ r ] |
が成り立つものを p進小数といい、その全体を R
p と書くことにします（排中律を仮定する古典論理では、明らかに Rp = R
です）。
明らかに、有理数と無理数は p進小数であり、従って代数的数又は超越数であるような実数は p進小数です。
整数 m と点列 { ak | kÎZ , k £ m } Ì Np :º { 0, 1 ,¼, p - 1 }
が任意に与えられたとき、無限和：
は収束しますが、このようにして定義される実数 a ³ 0 は p進小数です。
実際、任意の自然数 n ³ - m に対して
(55-3a) 0 £ |
-n-1
å
k=-¥ |
ak pk £ ( p - 1) |
-n-1
å
k=-¥ |
pk = ( p - 1) p-n-1 |
1
———
1 - p-1 |
= p-n |
(55-3b) |
m
å
k=-n |
ak pk = lp-n |
æ
è |
l :º |
m+n
å
k=0 |
ak-n pkÎZ |
ö
ø |
ですから、
(55-4) lp-n £ a £ (l + 1) p-n |
となります。ゆえに、任意の r :º qp-n ÎQ
p に対し、q £ l なら r £ a となり、q ³ l + 1 なら a £ r となるので a は (55-1)
を満たします。
逆に、任意の p進小数 a ³ 0 は、(55-2)
の形に書くことができます。
その証明のために、まず任意の自然数 n に対して
(55-5) $i, jÎN : [ i < j Ù ip-n £ a £ jp-n ] Þ $lÎ {i, i + 1 ,¼, j - 1} : [ lp-n £ a £ (l + 1)p-n ] |
が成り立つことを確かめましょう。
実際、任意に自然数 k を取り、 j - i = k である場合には (55-5)
が成り立つと仮定します。
そこで j - i = k + 1 であるような i , j に対して (55-5)
の左辺が成り立つとすると、(55-1)
により a £ (i + 1)
p-n 又は a ³ (i + 1)
p-n が成り立ちます。
前者なら ip-n £ a £ (i + 1)
p-n が成り立つので l :º i とすればよく、後者なら (i + 1)
p-n £ a £ jp-n が成り立ち、 j - (i + 1)
= k なので、帰納法の仮定により (55-5)
の右辺が成り立ちます。
ゆえに k に関する帰納法により、(55-5)
は証明されました。
そこで、まず n = 0 とすると、0 £ a £ N となる自然数 N が存在しますから、(55-5)
の前提が成り立ちます。ゆえに l0 £ a £ (l0 + 1)
を満たす自然数 l0 が存在します。これを p進表示（第12節の最後参照）したものを
とします。以下、自然数 n に対し、
(55-7) ln p-n £ a £ (ln + 1) p-n |
を満たす ln が求まったものと仮定します。これは
(55-8) (ln p)p-n-1 £ a £ {(ln + 1)p} p-n-1 |
と書けるので、(55-5)
により
(55-9) ln p £ ln+1 < (ln + 1) p |
を満たし、(55-7)
の n を n + 1 に置き換えたものが成り立つような自然数 ln+1 が存在します。
そこで a-n-1 :º ln+1 - ln p と置けば、これは整数で、しかも 0 £ a-n-1 < p が成り立ち、しかも a - p-n £ ln p-n £ a ですから
(55-10) a = |
lim
n ® ¥ |
ln p-n = l0 + |
¥
å
n=0 |
( ln+1 p-n-1 - ln p-n ) = l0 + |
¥
å
n=0 |
a-n-1 p-n-1 = |
m
å
k=-¥ |
ak pk |
と書け、a が (55-2)
の表示を持つことがわかりました。
p進小数 a に対する (55-2)
の形の表示を a の p進小数展開といい、特に断らない場合は p = 10 :º 9 + 1 の場合を単に小数展開とよびます。
また、0 から 9 までの数字をいくつか並べ、その次に小数点とよばれる記号“ . ”を置き、更にいくつかの数字を並べたとき、この記号列は、並んでいる数字を小数点から左に向かって順に ak ( k = 0, 1 ,¼ )
とし、小数点から右に向かって順に a-k ( k = 1, 2 ,¼ )
としたときの (55-2)
の a を意味するものと約束します。
ただし、これでは有限小数しか表せないので、その数字列 rm ¼ r0 . r-1 ¼ r-n の最後に“ ¼ ”という記号を書くことにより、便宜的に、すべての k ³ - n に対して ak = rk であるような任意の小数 (55-2)
を表すことにします。
次に有理数 n/m ( n, mÎN ; m > 0 )
の p進小数展開を考えてみましょう。帰納的に
(55-11a) l0 = n/p |
(55-11b) pln = mkn + ln+1 ( kn , ln+1ÎN ; 0 £ ln+1 < m ) |
によって { ln | nÎN }
, { kn | nÎN }
を定義すると
(55-12) n = l0 p = |
¥
å
n=0 |
( ln p-n+1 - ln+1 p-n ) = |
¥
å
n=0 |
mkn p-n |
(55-13) kn = |
pln - ln+1
————–
m |
£ |
pln
——
m |
< p ( n ³ 1 ) |
ゆえに k0 を p進展開して
とし、a-n :º kn ( n ³ 1 )
と置けば、n/m の p進展開：
(55-15) n/m = |
m
å
k=-¥ |
ak pk |
が得られます。ところで (55-11b)
により、kn と ln+1 は共に ln の関数です：
(55-16a) kn = j(ln ) |
(55-16b) ln+1 = y(ln ) |
しかも、y は m 個の元からなる有限集合 N
m への写像ですから、{ ln | 1 £ n £ m + 1 } = { y(ln ) | 0 £ n £ m }
の中には必ず重複があります（このような論法を鳩ノ巣原理とよぶことがあります）。
例えば ln = ln' ( 1 £ n < n' £ m + 1 )
とすると、(55-16b)
により、任意の kÎN
に対して ln+k = ln'+k となり、従って (55-16a)
により kn+k = kn'+k となります。言い換えると、{ ak | k £ m }
は途中から繰り返しが生じています。このような p進小数を循環小数といい、
(55-17) am ¼ a0 . a-1 ¼ a-n+1 |
·
a-n |
a-n-1 ¼ a-n'+2 |
·
a-n'+1 |
と書きます。ただし、n' = n + 1 のときは、ドット付きの数字は一個だけになります。
さて、これとは逆に、任意の循環小数は有理数です。
実際、(55-17)
のp進循環小数 a は、有理数：
(55-18a) b :º |
m
å
k=-n+1 |
ak pk |
(55-18b) c :º |
n'-1
å
k=n |
a-k p-k |
により
(55-19) a = b + c |
¥
å
k=0 |
p-(n'-n) k
= b + |
c
———–
1 - pn-n' |
と書け、これは明らかに有理数です。以上で有理数と循環小数は同じものであることがわかりました。
次に、aÎRp \\ Q
p の p進小数展開は一意的であることを証明しましょう。
実際、この場合、任意の整数 n に対し、(55-4)
を満たす l が存在しますが、このとき a が Q
p のすべての元と異なることから
(55-20) lp-n < a < (l + 1) p-n |
が成り立つので、このような l は一意的に定まることがわかります。ゆえにこれを ln と書けば、(55-3b)
の括弧の中により
(55-21) ln p-n = |
m
å
k=-n |
ak pk |
が成り立つので、これを逆に解けば、
(55-22) a-n = pn ( ln p-n - ln-1 p-n+1 ) = ln - pln-1 |
と一意的に解けますから、これで p進表示の一意性は証明されました。
さて、前節で超越数であることがわかった e
や p は p進小数展開できることがわかりましたから、これらを実際に十進小数展開してみましょう。
まず e
ですが、(46-31a)
により
(55-23) 0 < e - |
n
å
k=0 |
1
—–
k! |
= |
¥
å
k=n+1 |
1
—–
k! |
< |
1
—–
n! |
¥
å
k=1 |
1
———–
(n + 1) k |
= |
1
——
n! n |
という評価が得られますが、この式で n = 13 とすれば、
(55-24) e |
= |
13
å
k=0 |
1
—–
k! |
+ d
| æ
è |
0 < d <
| 1
———
13! · 13 |
= |
1
——————
80951270400 |
£ 13 · 10-12 |
ö
ø |
|
|
= 1 + 1 + |
1
—–
2 |
+ |
1
—–
6 |
+ |
1
—–
24 |
+ |
1
—–
120 |
+ |
1
—–
720 |
+ |
1
——–
5040 |
+ |
1
———
40320 |
+ |
1
———
362880 |
+ |
1
———–
3628800 |
+ |
1
————
39916800 |
+ |
1
————–
479001600 |
+ |
1
—————
6227020800 |
+ d |
|
|
= 1 + 1 + 0.5 + 0.166666666666 + 0.041666666666 + 0.008333333333 + 0.001388888888 + 0.000198412698 + 0.000024801587 |
+ 0.000002755731 + 0.000000275573 + 0.000000025052 + 0.000000002087 + 0.000000000160 + d + e ( 0 £ e £ 11 · 10-12 ) |
|
|
= 2.718281828441 + d + e ( 0 £ d + e £ 24 · 10-24 ) |
|
= 2.7182818284¼ |
という e
の小数展開が得られます。
ただし e は、11個の有理数を小数展開したときに、小数点以下12桁まででカットしたことによる誤差の合計で、その評価は、それぞれの誤差が最大 10-12 であることによるものです。
次は p です。
既に (47-25)
や (48-44)
で p の級数及び無限積による表示が得られていますが、これらの収束は遅いので、実際の計算には適しません。
そこで以下のような工夫をします。(47-22a)
の右辺は、x > 0 のとき、n が偶数であるか奇数であるかにより、それぞれ正又は負になりますから、
(55-25) |
2n-1
å
k=0 |
(- 1) k x2k+1
—————
2k + 1 |
< arctan x < |
2n
å
k=0 |
(- 1) k x2k+1
—————
2k + 1 |
という不等式の評価が成り立ちます。
一方、任意の実数 x , y に対して a :º arctan
x , b :º arctan
y と置くと、tan
a = x , tan
b = y となりますから、(47-6c)
により
(55-26) tan(a + b) = |
tan a + tan b
——————
1 - tan a tan b |
= |
x + y
———
1 - xy |
となるので
(55-27) arctan |
x + y
———
1 - xy |
= arctan x + arctan y |
という公式が得られます。ここで左辺の arctan
の中が 1 になるように、x + y = 1 - xy を y について解けば、y = (1 - x)/(1 + x)
となるので、
(55-28) |
p
—–
4 |
= arctan 1 = arctan x + arctan |
1 - x
——–
1 + x |
ゆえに例えば x = 1/2 と置けば、(1 - x)/(1 + x)
= 1/3 となるので
(55-29) |
p
—–
4 |
= arctan |
1
—–
2 |
+ arctan |
1
—–
3 |
が得られます。この右辺を (55-25)
によって評価すれば、(47-25)
よりはるかに早い収束で数値計算ができますが、更に効率の良い式を探してみましょう。(55-27)
で y = x と置いて両辺を入れ替えると
(55-30) 2 arctan x = arctan |
2x
——–
1 - x² |
ここで x = 1/5 と置けば、
(55-31) 2 arctan |
1
—–
5 |
= arctan |
2/5
——–
24/25 |
= arctan |
5
—–
12 |
更に (55-30)
に x = 5/12 を代入すれば、
(55-32) 2 arctan |
5
—–
12 |
= arctan |
5/6
——————
( 144 - 25) /144 |
= arctan |
120
——
119 |
そこで (55-28)
で x = 120/119 と置けば、(1 - x)/(1 + x)
= - 1/239 となるので
(55-33) |
p
—–
4 |
= arctan |
120
——
119 |
- arctan |
1
——
239 |
= 4 arctan |
1
—–
5 |
- arctan |
1
——
239 |
が得られます。これはMachin
の公式とよばれ、この右辺を (55-25)
によって評価した式は収束が早いので、昔から計算機による p の計算によく用いられています。
そこで、このMachin
の公式を使って p を実際に小数展開してみましょう。
まず (55-25)
によって arctan(1/5)
を計算すれば、
(55-34a) 16 arctan |
1
—–
5 |
= |
7
å
k=0 |
(- 1)k · 16
——————
(2k + 1) · 52k+1 |
+ d
| æ
è |
0 < d <
| 16
———
17 · 517 |
= |
16
———————
12969970703125 |
£ 2 · 10-12 |
ö
ø |
|
|
= |
16
—–
5 |
- |
16
——
375 |
+ |
16
——–
15625 |
- |
16
———
546875 |
+ |
16
————
17578125 |
- |
16
————–
537109375 |
+ |
16
—————–
15869140625 |
- |
16
——————
457763671875 |
+ d |
|
|
= 3.2 - 0.042666666666 + 0.001024 - 0.000029257142 + 0.000000910222 - 0.000000029789 |
+ 0.000000001008 - 0.000000000034 + d + e ( - 4 · 10-12 £ e £ 2 · 10-12 ) |
|
|
= 3.158328957599 + d + e ( - 4 · 1012 £ d + e £ 4 · 10-12 ) |
次に (55-25)
によって arctan(1/239)
を計算すれば、
(55-34b) 4 arctan |
1
——
239 |
= |
1
å
k=0 |
(- 1)k · 4
———————
(2k + 1) · 2392k+1 |
+ d'
| æ
è |
0 < d' <
| 4
———–
5 · 2395 |
= |
4
——————–
3899056325995 |
£ 2 · 10-12 |
ö
ø |
|
|
= |
4
——
239 |
- |
4
————
40955757 |
+ d' |
|
|
= 0.016736401673 - 0.000000097666 + d' + e' ( - 10-12 £ e' £ 10-12 ) |
|
= 0.016736304007 + d' + e' ( - 1012 £ d' + e' £ 3 · 10-12 ) |
従って、- 7 ·
1012 £ d + e - d' - e' £ 5 ·
10-12 に注意すれば、Machin
の公式 (55-33)
により
(55-35) p = 16 arctan |
1
—–
5 |
- 4 arctan |
1
——
239 |
= 3.141592653592 + d + e - d' - e' = 3.1415926535¼
|
という p の小数展開が得られます。
次に、一般の無理数 a に対し、a の連分数展開について考察します。
一般に、無理数 b に対し、すべての自然数 n に対して b ¹ n + 1/2 ですから、b との差の絶対値が最小値を取る自然数が唯一つ存在します。これを b と書くことにし、実数列 an を
(55-36b) an+1 = |
1
———
an - an |
で定義します。帰納法により、an は無理数であることがわかるので、(55-36b)
の右辺の分母は 0 になりません。また、明らかに | an - an |
< 1/2 ですから | an+1 |
> 2 、従って | an+1 |
³ 2 が成り立ちます。
逆に、整数 n0 と、絶対値が 2 以上の整数からなる列 { nk | k ³ 1 }
が与えられたとき、各自然数 n ごとに、整数の有限列 { x(n)k | 0 £ k £ n }
を“逆から”次のように定義します：
(55-37b) x(n) k = nk + |
1
——–
x(n) k+1 |
このとき、1 £ k £ n に対して
(55-38) | x(n)k | ³ |
n - k + 2
————
n - k + 1 |
が成り立ちます。実際、k = n のときは (55-37a)
と | nn |
³ 2 により明らかで、k を k + 1 に置き換えたものが成り立つと仮定すると、
(55-39) | x(n)k | ³ | nk | - |
1
———–
| x(n)k+1 | |
³ 2 - |
n - k
————
n - k + 1 |
= |
n - k + 2
————
n - k + 1 |
となって、降順の帰納法により証明されました。特に (55-37b)
の右辺に出てくる分数の分母は 0 にならないことがわかります。
ゆえに、1 £ k £ n < m なら、(55-37b)
と (55-38)
により
(55-40) | x(m)k - x(n)k | = |
|
|
|
| |
1
——–
x(n) k+1 |
- |
1
——–
x(m) k+1 |
|
|
|
| |
= |
| x(m)k+1 - x(n)k+1 |
———————
| x(n)k+1 | | x(m)k+1 | |
£ |
n - k
————
n - k + 1 |
m - k
————
m - k + 1 |
| x(m)k+1 - x(n)k+1 | |
ゆえに、
(55-41) | x(m)k - x(n)k | £ |
1
————
n - k + 1 |
m - n + 1
————
m - k + 1 |
| x(m)n - x(n)n | = |
1
————
n - k + 1 |
m - n + 1
————
m - k + 1 |
1
———–
| x(m)n+1 | |
£ |
1
————
n - k + 1 |
m - n
————
m - k + 1 |
£ |
1
————
n - k + 1 |
これは、各 k に対して { x(n)k | n ³ k }
がコーシー列になっていることを意味するので、ある xk に収束し、(55-37b),(55-38)
で n ® ¥ とすれば
(55-42) xk = nk + |
1
——
xk+1 |
(55-43) | xk | ³ 1 ( k ³ 1 ) |
が成り立つことがわかります。そこで、このときの x0 のことを
(55-44) x0 = n0 + |
1
—
n1 + |
1
—
n2 + |
1
—
n3 + ¼ |
と書いて、これを（分子が 1 の）連分数といいます。
さて、任意の無理数 a から (55-36)
によって an を作り、nn :º an と置いて、(55-44)
の連分数を作ると、これが a に一致することが証明できます。
実際、(55-36b)
と (55-42)
から
(55-45) xk - ak = nk + |
1
——
xk+1 |
- ak - |
1
——
ak+1 |
= |
1
——
xk+1 |
- |
1
——
ak+1 |
ですから
(55-46) | xk - ak | £ 1 + |
1
—–
2 |
= |
3
—–
2 |
および
(55-47) | xk - ak | £ |
| xk+1 - ak+1 |
——————
| xk+1 | | ak+1 | |
£ |
| xk+1 - ak+1 |
——————
2 |
がすべての k ³ 1 について成り立ち、これは xk = ak ( k ³ 1 )
であること、従って a = a0 = a0 + 1/a1 = n0 + 1/x1 = x0 であることを意味します。
以上の議論を a = p の場合に適用してみましょう。(55-35)
により
(55-48a) a0 = p = 3.141592653591 ± 6 · 10-12 |
(55-48b) a0 = 3 |
(55-49a) a1 = |
1
———
a0 - 3 |
= |
1
———————————
0.141592653591 ± 6 · 10-12 |
= 7.062513306 ± 10-9 |
(55-50a) a2 = |
1
———
a1 - 7 |
= |
1
————————
0.062513306 ± 10-9 |
= 15.9965944 ± 3 · 10-7 |
(55-51a) a3 = |
1
———
a2 - 16 |
= - |
1
————————–
0.0034056 ± 3 · 10-7 |
= - 293.6¼ |
ただし、上記の a ± b は、a - b と a + b の間にある数を表す便宜的な表記です。従って
(55-52) p = 3 + |
1
—
7 + |
1
—
16 - |
1
—–
294 + ¼ |
という p の連分数展開を得ます。
もしこれを有限項で切れば、p を近似する分数として
(55-53a) p' :º 3 + |
1
—–
7 |
= |
22
—–
7 |
= 3.142857¼ |
(55-53b) p" :º 3 + |
1
—
7 + |
1
—
16 |
= 3 + |
1
———–
7 + 1/16 |
= 3 + |
16
——
113 |
= |
355
——
113 |
= 3.14159292¼ |
が得られ、特に p" の方は、小数点以下 6 桁まで一致する、ずば抜けてよい p の近似値を与えることがわかります。
さて、次に p を数値計算するための、全く別の方法を考えてみましょう。
| a |
< b であるような実数 a , b の組に対して
(55-54a) x0 :º a |
(55-54b) y0 :º b |
(55-55a) xn+1 :º |
xn + yn
———
2 |
(55-55b) yn+1 :º ________
Ö xn+1 yn |
によって数列 { xn | nÎN }
, { yn | nÎN }
を定義します。このとき両数列は同一の極限値に収束することを証明しましょう。
実際、まず
(55-56a) c :º _______
Öb² - a² |
(55-56b) q :º arccos |
a
—–
b |
と置くと、0 < q < p ですが、
(55-58a) xn :º cn cot qn |
(55-58b) yn :º cn csc qn |
が成り立つことを n に関する帰納法で証明します。
まず、(55-56b)
により a/b = cos
q で、しかも b > 0 , sin
q > 0 ですから、(55-56a)
により c = b __________
Ö1 - cos²q = b sin
q となります。
ゆえに b = c csc
q 及び a = b cos q = c csc q cos q = c cot
q が得られ、これで n が 0 のときは証明されました。
次に n について成り立つと仮定し、f :º qn+1 , k :º cn+1 と置くと、qn = 2f , cn = 2k となり、帰納法の仮定により
(55-59a) xn+1 = |
xn + yn
———
2 |
= k {cot(2f) + csc(2f)} = k{cos(2f) + 1}/sin(2f) = k{2 cos² f}/{2 sin f cos f} = k cot f |
(55-59b) yn+1 = ________
Ö xn+1 yn = ____________________
Ök cot f ·2k csc(2f) = k _________________________________
Ö(cos f / sin f) 2 /(2 sin f cos f) = k / _____
Ösin²f = k csc f |
となって、帰納法が完成しました。
さて、(55-57),(55-58)
により
(55-60a) xn = |
cn
—–
qn |
qn cot qn = |
c
—–
q |
qn
——–
tan qn |
(55-60b) yn = |
cn
—–
qn |
qn csc qn = |
c
—–
q |
qn
——–
sin qn |
と表すことができます。一方、t < 0 < p/2 に対して
(55-61) sin t < t < tan t |
が成り立ちます。実際、j(t) :º t - sin
t , y(t) :º tan
t - t と置くと、j'(t) = 1 - cos
t > 0
, y'(t) = sec² t - 1 = tan²
t > 0 ですからいずれも単調増加で、しかも j(0) = y(0)
= 0 なので j(t), y(t)
> 0 となるからです。
また、
(55-62a) |
lim
t ¯ 0 |
sin t
——
t |
= sin' 0 = cos 0 = 1 |
(55-62b) |
lim
t ¯ 0 |
tan t
——
t |
= tan' 0 = sec² 0 = 1 |
ですから、n ® ¥ のとき qn ® 0 であることに注意すれば、(55-60),(55-61),(55-62)
により
及び
(55-64) |
lim
n ® ¥ |
xn = |
lim
n ® ¥ |
yn = |
c
—–
q |
が成り立つことがわかります。
従って、例えば初期値として a = 0 , b = 1/2 を与えると、c = 1/2 , q = arccos
0 = p/2 となるので、
(55-65) |
lim
n ® ¥ |
xn = |
lim
n ® ¥ |
yn = |
1
—–
p |
が得られ、このことを利用すると、この数列を使って p の値を計算することができます。
さて、この初期値のもとで数値計算するときの工夫の一つとして、加速法という方法があるのでそれを解説しましょう。
(55-66) sn :º |
1
——
yn-1 |
= 2n sin |
p
—–
2n |
= 2n |
¥
å
k=0 |
(- 1)k p2k+1
——————
(2k + 1)! 22nk+n |
= p + |
¥
å
k=1 |
(- 1)k p2k+1
—————
(2k + 1)! 4nk |
と表すと、右辺第２項が sn と p の誤差になります。そこで、順次
(55-67) s(1) n :º |
4sn+1 - sn
————–
4 - 1 |
= |
1
——–
4 - 1 |
æ
è |
4p + |
¥
å
k=1 |
(- 1)k p2k+1
——————–
(2k + 1)! 4nk+k-1 |
- p - |
¥
å
k=1 |
(- 1)k p2k+1
—————
(2k + 1)! 4nk |
ö
ø |
= p + |
¥
å
k=2 |
(- 1)k p2k+1
—————
(2k + 1)! 4nk |
41-k - 1
———–
4 - 1 |
(55-68) s(2) n :º |
4²s(1)n+1 - s(1) n
——————
4² - 1 |
= |
1
———
4² - 1 |
æ
è |
4² p + |
¥
å
k=2 |
(- 1)k p2k+1
——————–
(2k + 1)! 4nk+k-2 |
- p - |
¥
å
k=2 |
(- 1)k p2k+1
—————
(2k + 1)! 4nk |
ö
ø |
41-k - 1
———–
4 - 1 |
= p + |
¥
å
k=3 |
(- 1)k p2k+1
—————
(2k + 1)! 4nk |
42-k - 1
———–
4² - 1 |
41-k - 1
———–
4 - 1 |
と定義していくと、誤差項の和の初項の冪が上がっていき、収束が早くなります。これを加速法といいます。
