数学の基礎

　s を Â(s) > 1 であるような複素数、n を正整数とすれば、

(58-1)  | ns | = | exp(s log n) | = exp Â(s log n) = exp(Â(s) log n) = nÂ(s)

ですから、(46-62) で定義した関数 ζ の収束性により

(58-2)

¥ å n=1

| | |

1  —–  ns

| | |

=

¥ å n=1

1  ——–    nÂ(s)

= ζ(Â(s)) < ¥

となるので、(45-49) で定義した関数 ζ の Â(s) > 1 を満たす複素数への拡張：

(58-3)  ζ(s) :º

¥ å n=1

1  —–  ns

( sÎC , Â(s) > 1 )

の右辺は絶対収束し、しかも任意の e > 0 に対し、Â(s) > 1 + e において一様に収束します。しかも、各項 1/n^s は領域 Â(s) > 1 で s の正則関数ですから、(58-3) の右辺は Â(s) > 1 に対して s の正則関数になります。
　ところで

(58-4)  η(s) :º

¥ å n=1

(- 1)n ——–  ns

( sÎC , Â(s) > 0 )

と置くと、ある M > 0 が存在して、zÎC , | z | < 0 なら | e^z - 1 | £ M | z | ですから、これと (46-29) により、十分大きな整数 n に対して

(58-5)

| | | |

1  —–  ns

-

1  ———  (n + 1)s

| | | |

=

1  ———  (n + 1)s

| | | |

æ è

1 +

1 —–  n

ö ø

s

- 1

| | | |

£

1  —–  ns

| | | |

exp

ì í î

s log

æ è

1 +

1 —–  n

ö ø

ü ý þ

- 1

| | | |

£

M  —–  ns

| | | |

s log

æ è

1 +

1 —–  n

ö ø

| | | |

£

M | s |  ——–   ns+1

( s :º Â(s) > 0 )

ですから (58-4) の右辺は確かに収束し、しかも任意の e > 0 に対し、Â(s) > e におけるコンパクト集合上一様に収束するので、η は正則関数です。
　一方、Â(s) > 1 のときは、(58-3) の右辺も (58-4) の右辺も絶対収束しますから、和の順序が交換できて、

(58-6a)  ζ(s) =

¥ å n=1

1  ——  (2n)s

+

¥ å n=1

1  ———–  (2n - 1)s

(58-6b)  η(s) =

¥ å n=1

1  ——  (2n)s

-

¥ å n=1

1  ———–  (2n - 1)s

と書けるので、これらを辺々加えれば、

(58-7)  ζ(s) + η(s) = 2

¥ å n=1

1  ——  (2n)s

= 21-s

¥ å n=1

1  —–  ns

= 21-s ζ(s)

　すなわち

(58-8)  η(s) = (21-s - 1) ζ(s)       ( Â(s) > 1 )

が成り立つことがわかります。

　さて、次に関数 ζ の積分表示を求めてみましょう。Â(s) > 1 のとき、xÎX ⁺⁺ に対するΓ-関数の表示式 (52-47) の x に s を代入すれば、

(58-9)  Γ(s) =

ò

¥ 0

t s-1 e-t dt =

ò

¥ 0

(nt)s-1 e-nt n dt = ns

ò

¥ 0

ts-1 (e-t )n dt

となります。ただし積分変数を t から t :º t/n に変更し、(46-33f),(46-33h) を用いました。ここで

(58-10)

¥ å n=1

| ts-1 (e-t )n | = tÂ(s)-1

e-t ——— 1 - e-t

=

tÂ(s)-1 ——— et - 1

であり、この右辺は

(58-11a)

tÂ(s)-1 ——— et - 1

£

tÂ(s)-1 ———  t

= ts       ( 0 < t < 1 )

(58-11b)

tÂ(s)-1 ——— et - 1

£ tÂ(s)-1

e-t ——— 1 - e-t

£ tÂ(s)-1

e-t ——— 1 - e-1

£

Me-t/2 ———– 1 - e-1

( t > 1 )

　ただし s :º Â(s) - 2 > - 1 , M :º sup{ e^-t/2 t^Â(s)-1 | t ³ 1 } < ¥ です。ところで

(58-12a)

¥ å n=1

Γ(s)  ——  ns

= ζ(s) Γ(s)

(58-12b)

¥ å n=1

ts-1 (e-t )n = ts-1

e-t ——— 1 - e-t

=

ts-1 ——— et - 1

ですから、(58-9) の両辺を n^s で割り、n ³ 1 について加えれば、(58-11) により、(58-12b) の左辺は可積分で、従って積分の定義により、和と積分の順序が交換できて

(58-13)  ζ(s) Γ(s) =

ò

¥ 0

ts-1 ——— et - 1

dt       ( Â(s) > 1 )

という等式が得られます。一方 (58-12b) の和は、(58-11b) により s について C の有界集合上一様に収束するので、sÎC の関数

(58-14)

ò

¥ 1

ts-1 ——— et - 1

dt

は、C 上正則、すなわち整関数になります。他方 (53-5),(53-7) により、| t | < 2p のとき

(58-15)

t ——— et - 1

=

¥ å n=0

Bn tn ——–  n!

ですから、両辺に t^s-2 を乗じて 0 から 1 まで積分すれば、

(58-16)

ò

1 0

ts-1 ——— et - 1

dt =

¥ å n=0

Bn ——  n!

ò

1 0

ts+n-2 dt =

¥ å n=0

Bn —————  n!(s + n - 1)

ts+n-1

| | |

1 0

=

¥ å n=0

Bn —————  n!(s + n - 1)

が得られます。ところが K ÌÌ C \\ { nÎZ | n £ 1 } のとき、{ (s + n - 1)^-1 | sÎK , n ³ 0 } は有界で、(58-15) の右辺の冪級数の収束半径が 1 より大きいことから

(58-17)

¥ å n=0

Bn ——  n!

< ¥

となるので、(58-16) の右辺は C \\ { nÎZ | n £ 1 } で正則な関数を表します。そこで、Γ-関数の逆数 G を使って

(58-18)  ζ(s) :º G(s)

ì í î

ò

¥ 1

ts-1 ——— et - 1

dt +

¥ å n=0

Bn —————  n!(s + n - 1)

ü ý þ

(  sÎ C \\ { nÎZ | n £ 1 }  )

と置き、これをRiemannのζ-（ゼータ）関数といいます。
　G と { } の中の第１項は整関数、{ } の中の第２項は C \\ { nÎZ | n £ 1 } で正則ですから、ζ-関数は C \\ { nÎZ | n £ 1 } で正則で、しかも今までの議論により、Â(s) > 1 では (58-3) の表示を持つことがわかります。
　更に、(58-8) の両辺は、Â(s) > 0 かつ s ¹ 1 において正則ですから、一致の定理（第58節参照）により、(58-8) はこの範囲でも成立します。このことから、(58-8) を用いて、この範囲で ζ-関数の値を逆に関数 η を使って計算することができます。

　さて、定義式 (58-18) を見ると、ζ-関数は s = 1, 0, - 1, - 2 ,¼ に無限個の特異点を持つように見えますが、実は特異点は s = 1 の一点のみです。実際、(52-21a) により、任意の正整数 n に対し、

(58-19)  G(s) = sG(s + 1) = ¼ = s(s + 1)(s + 2)¼(s + n - 1)G(s + n)

ですから、n ³ 2 のとき

(58-20)

lim s ® 1 - n

G(s) ————– (s + n - 1)

=

lim s ® 1 - n

s(s + 1)(s + 2)¼(s + n - 2)G(s + n) = (1 - n)(2 - n)¼(- 1)G(1) = (- 1)n-1(n - 1)!

となり、これは n = 1 でも成り立つので、特に s ® 1 - n のとき G(s) ® 0 ですから、

(58-21)

lim s ® 1 - n

ζ(s) =

lim s ® 1 - n

G(s)

Bn —————  n!(s + n - 1)

=

(- 1)n-1 (n - 1)!Bn ———————–  n!

=

(- 1)n-1 Bn ————–  n

となって極限値を持ち、従って特に有界ですから、s = 0, - 1, - 2 ,¼ はすべて除去可能な特異点であることがわかり、従って ζ-関数は C \\ {1} で正則な関数に一意的に拡張できて、0 及び負の整数において

(58-22)  ζ(- m) =

(- 1)m Bm+1 ————  m + 1

(  mÎN  )

という値を取ることがわかります。ゆえに、(53-8) と (53-11) によって B_m に具体的な数値を代入すれば、

(58-23)  ζ(- 2) = ζ(- 4) = ζ(- 6) = ¼ = 0

(58-24a)  ζ(0) = B1 = -

1 —– 2

(58-24b)  ζ(- 1) = -

B2 —–  2

= -

1 —– 12

(58-24c)  ζ(- 3) = -

B4 —–  4

=

1 —— 120

(58-24d)  ζ(- 5) = -

B6 —–  6

= -

1 —— 252

というように計算されます。

　さて次に、Ω :º C \\ R⁺ = { re^iq | r > 0 , 0 < q < 2p } と置き、sÎC , zÎΩ のとき

(58-25)  zs :º exp(s log z) :º exp(s ( log | z | + i arg z))       (  0 < arg z < 2p  )

と定義すれば、これは s と z それぞれに対して正則です。次に、T > 1 と十分小さい e > 0 に対し、曲線 C_{±e, T} , C_e を

(58-26a)  C±e, T :º [exp(± ie), T ± i sin e]

(58-26b)  Ce :º { ei t | e £ t £ 2p - e }

で定義すると、s が 1 以下のどの整数とも異なるとき、(58-15) は t が複素数でも成り立つので

(58-27a)

lim e ¯ 0

ò

Ce, T

zs-1 ——— ez - 1

dz =

ò

T 1

ts-1 ——— et - 1

dt

(58-27b)

lim e ¯ 0

ò

C- e, T

zs-1 ——— ez - 1

dz = exp(2pi s)

ò

T 1

ts-1 ——— et - 1

dt

(58-27c)

lim e ¯ 0

ò

Ce

zs-1 ——— ez - 1

dz =

lim e ¯ 0

¥ å n=0

Bn ——  n!

ò

Ce

zs+n-2 dz =

lim e ¯ 0

¥ å n=0

Bn —————  n!(s + n - 1)

exp(i (s + n - 1)t)

| | |

2p-e t=e

= {exp(2pi s) - 1}

¥ å n=0

Bn —————  n!(s + n - 1)

　ゆえに

(58-28)

lim T ® ¥

lim e ¯ 0

ò

- C- e, T - Ce + Ce, T

zs-1 ——— ez - 1

dz = {1 - exp(2pi s)}

ì í î

ò

¥ 1

ts-1 ——— et - 1

dt +

¥ å n=0

Bn —————  n!(s + n - 1)

ü ý þ

= {1 - exp(2pi s)}Γ(s) ζ(s)

　さて、十分小さい正数 d < p を取り、Ω' :º { zÎΩ | "nÎZ : | z - 2npi | > d } と置きます。
　ここで任意に zÎΩ' を取ります。このとき - 3p/2 < Á(z - 2npi) < 3p/2 となる整数 n が存在します。そこで z -2npi = x + yi ( x, yÎR ) と置くと、

(58-29a)  -3p/2 < y < 3p/2

(58-29b)  x² + y² > d²

となります。ここで

(58-30)  | ez - 1 |² = | ez-2npi - 1 |² = | ex+yi - 1 |² = | excos x + i exsin y - 1 |² = (excos y - 1)² + (exsin y)² = e2x - 2excos y + 1

となります。一方 x² < d²/2  Ú  x² > d²/4 かつ y² < d²/2  Ú  y² > d²/4 が成り立つので、それぞれに対して場合分けを行うと、(58-29b) により前者同士の組み合わせはあり得ないので、x² > d²/4  Ú  y² > d²/4 すなわち | x | > d/2 又は | y | > d/2 が成り立ちます。
　前者の場合、x < - d/2 又は x > d/2 ですから | e^x - 1 | ³ inf{ | e^d/2 - 1 | , | 1 - e^-d/2 |} º: c > 0 となるので

(58-31a)  | ez - 1 |² = (ex - 1)² + 2ex(1 - cos y) ³ (ex - 1)² = c² > 0

となり、後者の場合、| y | > d/2 と (58-29a) により cos y £ cos(d/2) ですから

(58-31b)  | ez - 1 |² ³ e2x - 2excos(d/2) + 1 = {ex - cos(d/2)}² + sin²(d/2) ³ sin²(d/2) > 0

　従って、

(58-32)

| | |

1  ——— ez - 1

| | |

£ sup{ c-1, cosec(d/2) } º: M < ¥       ( zÎΩ' )

　さて、p の奇数倍 T = (2m + 1)p > 0 と、十分小さな e > 0 に対し、R > 0 を R² = T ² + e² となるように取り、曲線 Γ_{e, T} を

(58-33)  Γe, T :º { Rei t | arctan(e/T ) £ t £ 2p - arctan(e/T ) }

で定義すれば、十分小さい e に対して Γ_{e, T} Ì Ω' となります。更に、Â(s) < 0 であるような s :º s + t iÎC と z = Re^{i t}ÎΓ_{e, T} に対し、

(58-34)  | zs-1 | = | exp((s - 1)(log | z | + i arg z)) | = | exp((s - 1 + i t)(log R + i t)) | = exp Â((s - 1 + i t)(log R + i t)) = exp((s - 1)log R - tt) £ Rs-1 e2p |t |

ですから、(58-32) と (58-34) と s < 0 により、e について一様に、

(58-35)

| | |

ò

Γe, T

zs-1 ——— ez - 1

dz

| | |

£ 2pR M Rs-1e2p |t | = 2pMe2p |t |Rs ® 0       ( R ® ¥ )

　ゆえに、(58-28),(58-35) により、T = (2m + 1)p と置いて m ® ¥ とすれば、

(58-36)

lim m ® ¥

lim e ¯ 0

ò

- C- e, T - Ce + Ce, T + Γe, T

zs-1 ——— ez - 1

dz = {1 - exp(2pi s)}Γ(s) ζ(s)

となります。次に左辺の閉曲線 - C_{- e, T} - C_e + C_{e, T} + Γ_{e, T} 上の積分を、留数定理を使って計算してみましょう。
　まず、この閉曲線は、T をパラメター t に置き換えて t を 1 から T まで Ω 内で連続的に変化させることができるので Ω' で可縮です。
　次に、曲線 C_e' と Γ_{e, T}' を

(58-37a)  Ce' :º { ei t | - e £ t £ e }

(58-37b)  Γe, T' :º { Rei t | - arctan(e/T ) £ t £ arctan(e/T ) }

で定義すると、C_e + C_e' は 0 を中心とする C \\ { 2npi | nÎZ , n ¹ 0 } で可縮な円、Γ_{e, T} + Γ_{e, T}' は 0 を中心とする C \\ { 2npi | nÎZ , | n | £ m } で可縮な円、- C_{- e, T} + C_e' + C_{e, T} - Γ_{e, T}' は C \\ { 2npi | nÎZ } で可縮な閉曲線ですから、

(58-38a)  Wind(Ce + Ce' , 2npi ) =	ì í î		1		( n = 0 )
			0		( n ¹ 0 )

(58-38b)  Wind(Γe, T + Γe, T' , 2npi ) =	ì í î		1		( | n | £ m )
			0		( | n | > m )

(58-38c)  Wind(- C- e, T + Ce' + Ce, T - Γe, T' , 2npi ) = 0

　- C_{- e, T} - C_e + C_{e, T} + Γ_{e, T} = {- C_{- e, T} + C_e' + C_{e, T} - Γ_{e, T}' } - {C_e + C_e' } + {Γ_{e, T} + Γ_{e, T}' } ですから、(58-38) により、

(58-39)  Wind(- C- e, T - Ce + Ce, T + Γe, T , 2npi ) =	ì í î		1		( 1 £ | n | £ m )
			0		( n = 0  or  | n | > m )

となります。ゆえに留数定理により

(58-40)

ò

- C- e, T - Ce + Ce, T + Γe, T

zs-1 ——— ez - 1

dz = 2pi

å 1 £ |n| £ m

Res(

zs-1 ——— ez - 1

, 2npi ) = 2pi

å 1 £ |n| £ m

Res(

(2npi + z)s-1 ————— ez - 1

, 0)

　さて、(53-5),(53-7) により z/(e^z - 1) は z = 0 の近傍で正則で、(2npi + z)^s-1 も z = 0 の近傍で正則ですから、その積も z = 0 の近傍で正則で、冪級数に展開できて、

(58-41)

z ——— ez - 1

(2npi + z)s-1 =

¥ å k=0

ak(n) zk

となりますから、Laurent-展開：

(58-42)

(2npi + z)s-1 ————— ez - 1

=

¥ å k=-1

ak+1(n) zk

が得られ、従って n > 0 に対して

(58-43)  Res(	(± 2npi + z)s-1 —————— ez - 1	, 0)	= a0(± n)
			=   lim z ® 0  z ——— ez - 1 (± 2npi + z)s-1
			= B0 (± 2npi)s-1
			= (± 2npi)s-1
			= exp((s - 1)(log(2np) + i arg(± i)))
			= exp((s - 1)(log n + log(2p) + ip ± ip/2))
			= ns-1 (2p)s-1 exp(ip(s - 1)) exp(± ip(s - 1)/2)
			= ± i ns-1 (2p)s-1 exp(ips) exp(± ips/2)

　ゆえに n に対する項と - n に対する項を加えて (47-1a) を用いれば、

(58-44)  Res(

(2npi + z)s-1 —————— ez - 1

, 0) + Res(

(- 2npi + z)s-1 —————— ez - 1

, 0) = i ns-1 (2p)s-1 exp(ips) 2i sin(ps/2) = - 2s ps-1 ns-1 exp(ips) sin(ps/2)

　従って (58-40) は次のようになります：

(58-45)

ò

- C- e, T - Ce + Ce, T + Γe, T

zs-1 ——— ez - 1

dz = - 2pi 2s ps-1 exp(ips) sin(ps/2)

m å n=1

ns-1

　この両辺で e ® 0 , m ® ¥ として (58-36) と比較し、Â(1 - s) > 1 に注意して (58-3) を用いれば、

(58-46)  {1 - exp(2pi s)}Γ(s) ζ(s) = - 2pi 2s ps-1 exp(ips) sin(ps/2)

¥ å n=1

ns-1 = - i 2s+1 ps exp(ips) sin(ps/2) ζ(1 - s)

　この両辺を - 2i exp(ips) で割って (47-1a) を用いれば、

(58-47)  sin(ps) Γ(s) ζ(s) = 2s ps sin(ps/2) ζ(1 - s)

　更に s は整数と異なるので、両辺に Γ(1 - s)/p を乗じて (52-24b) を用いれば、

(58-48)  ζ(s) = 2s ps-1 sin(ps/2) Γ(1 - s) ζ(1 - s)

が得られます。これをζ-関数の関数等式といいます。
　なお、(58-48) は、Â(s) < 0 という条件のもとで証明されましたが、両辺とも s の正則関数なので、一致の定理により、両辺が定義されているようなすべての sÎC について成り立つことがわかります。また、

(58-49)  sin(p(1 - s)/2) = sin(p/2 - ps/2) = cos(ps/2)

ですから、(58-48) の s に 1 - s を代入すれば

(58-50)  ζ(1 - s) = 21-s p-s cos(ps/2) Γ(s) ζ(s)

が成り立ちます。そこで、完備ゼータ関数を

(58-51)  ξ(s) :º p-s/2 Γ(s/2) ζ(s)

で定義すると、この関数が軸 Â(s) = 1/2 に対して対称、すなわち

(58-52)  ξ(1 - s) = ξ(s)

が成り立つことを確かめましょう。実際、(52-24b) の x に (1 - s)/2 を代入し、(58-49) を用いれば、

(58-53)  cos(ps/2) Γ((1 - s)/2)Γ((1 + s)/2) = p

が得られ、(52-27b) で n = 2 , x = s/2 とすれば、

(58-54)  Γ(s/2) Γ((s + 1)/2) = 21/2-s (2p)1/2 Γ(s)

が得られるので、(58-51) の s に 1 - s を代入し、(58-50),(58-53),(58-54) を用いれば、

(58-55)  ξ(1 - s)	= p-1/2+s/2 Γ((1 - s)/2) ζ(1 - s)
	= p-1/2+s/2 Γ((1 - s)/2) 21-s p-s cos(ps/2) Γ(s) ζ(s)
	= p-1/2-s/2 21-s cos(ps/2) Γ((1 - s)/2) Γ((1 + s)/2) Γ(s) ————— Γ((1 + s)/2) ζ(s)
	= p-1/2-s/2 21-s p  Γ(s/2)  ————— 21/2-s (2p)1/2 ζ(s)

となり、この最後の式は (58-51) の右辺に一致しますから、これで (58-52) は証明されました。

　さて次に、s を Â(s) > 1 であるような複素数とします。このとき、任意の素数 p に対し、

(58-56)  | p-s | = | exp(- s log p) | = exp(- s log p) = p-s < 1       ( s :º Â(s) )

が成り立つので

(58-57)

1  ———  1 - p-s

=

¥ å n=0

p-n s

が成り立ち、しかもこれは優級数：

(58-58)

¥ å n=0

p-n s

=

1  ———  1 - p-s

を持ちます。一方、素数の全体を { p_i | i = 1, 2 ,¼ } とすると、

(58-59)

¥ å i=1

pi-s

£

¥ å k=1

k-s = ζ(s) < ¥

ですから、第50節の定理１により、

(58-60)   f(s) :º

¥ Õ i=1

(1 - pi-s )

は収束し、しかも各因数は 0 と異なるので f(s) ¹ 0 です。しかも収束は、任意のコンパクト集合 K ÌÌ { sÎC | Â(s) > 1 } の上で一様収束なので、これは集合 { sÎC | Â(s) > 1 } 上の正則関数です。

　一方、素因数分解の一意性により、

(58-61)

m Õ i=1

1  ———–  1 - pi-s

=

m Õ i=1

¥ å n=0

pi-n s

=

å n1 , n2 ,¼, nm

(

m Õ i=1

pini

)-s £

¥ å k=1

k-s  = ζ(s)

ですから、m ® ¥ とすれば

(58-62)

1 ——  f(s)

=

¥ Õ i=1

1  ———–  1 - pi-s

£ ζ(s)

　逆に、任意の正整数 l に対し、m を、p_m が l のどの素因数よりも大きい任意の自然数とすれば、

(58-63)

l å k=1

k-s  £

å n1 , n2 ,¼, nm

(

m Õ i=1

pini

)-s £

m Õ i=1

¥ å n=0

pi-n s

=

m Õ i=1

1  ———–  1 - pi-s

　ゆえに、まず m ® ¥ とし、次いで l ® ¥ とすれば

(58-64)  ζ(s) £

1 ——  f(s)

が得られます。ゆえに (58-62),(58-64) により

(58-65)  ζ(s) =

1 ——  f(s)

となりますが、この等式が任意の実数 s > 1 について成り立ち、しかも両辺は Â(s) > 1 であるような範囲で正則な関数なので、一致の定理により

(58-66)  ζ(s) =

1 ——  f(s)

( sÎC , Â(s) > 1 )

が成り立ちます。この式から特に、Â(s) > 1 のとき ζ(s) ¹ 0 であることがわかりますが、更に関数等式 (58-48) と Γ(1 - s) ¹ 0 により、Â(s) < 0 のときは、sin(ps/2) ¹ 0 すなわち s ¹ - 2n ( n = 1, 2 ,¼ ) であれば ζ(s) ¹ 0 であることがわかります。
　すなわちζ-関数の負の偶数（これらを自明な零点といいます）以外の零点は、0 £ Â(s) £ 1 の範囲にあることになりますが、更にすべて Â(s) = 1/2 の線上にあるであろうというのが、有名なRiemann予想です。