古典力学

　運動方程式 (D) と速度 v の内積をとると、

(1-1)  v · F = mv ·

dv —– dt

=

d —–  dt

mv² —— 2

( v º |v| )

　そこで、

(1-2)  K º

mv² —— 2

と置いて、これを力学的エネルギー又は運動エネルギーと呼びます。K を用いると、(1-2) は

(1-3)  v · F =

dK —– dt

と書くことができます。ここでもし、時間によらない場の関数 U = U(s) が存在して

(1-4)  F = - grad U

と書けるならば、U をポテンシャル・エネルギーといいますが、

(1-5)

dU —– dt

= v · grad U = - v · F

が成り立ちますから、(1-3),(1-5) により

(1-6)

d —–  dt

(K + U) = 0

　すなわち運動エネルギーとポテンシャル・エネルギーの和が一定：

(1-7)  K + U = e    (一定)

というエネルギー保存則が成立します。

　次に、m を質点 s の質量、v を速度とするとき、

(1-8)  p º mv

と置いて、これを質点 s の運動量と呼びます。運動量を用いると、運動方程式 (D) は

(1-9)  F =

dp —– dt

と書くことができます。また、任意に定めた原点に対し、

(1-10)  L º s ´ p = ms ´ v

と置いて、これを質点の角運動量と呼びます。角運動量を時間で微分すると、(V),(1-8),(1-9) により

(1-11)

dL —– dt

= m

d —–  dt

(s ´ v)

= m

ds —– dt

´ v + ms ´

dv —– dt

= mv ´ v + s ´

dp —– dt

= s ´ F

となります。そこで、

(1-12)  N = s ´ F

と置いて、これを力のモーメントあるいはトルクと呼べば、(1-11) は

(1-13)  N =

dL —– dt

と書くことができます。

　さて、次に質点が空間に連続的に分布している場合を考えてみましょう。この場合、速度の場と呼ばれる時間 t と空間 s のベクトル値関数 v = v(t, s) が存在して、各質点はこの流れに沿って移動するものとします。
　Ω を空間の中にとった領域で、v に沿って動くものとします。単位体積当たりの質量、すなわち質量密度を h = h(t, s) とすると、質量は保存しますから、「微分多様体」第20節 (20-36) により、

(1-14)  0 =

d —–  dt

òΩ

hdV =

òΩ

ì í î

¶h —– ¶t

+ div(hv)

ü ý þ

dV

　領域 Ω は任意にとれますからまず連続の式：

(1-15)

¶h —– ¶t

+ div(hv) = 0

が成り立ちます。次に、単位体積当たりの運動量、すなわち運動量密度を π とすれば、(1-8) により、

(1-16)  π = hv

　領域 Ω の運動量の合計を p とすれば、

(1-17)  p =

òΩ

π dV

　また、単位体積当たりに働く力、すなわち力の密度を f とし、領域 Ω に働く力の合計を F とすれば、

(1-18)  F =

òΩ

f dV

　これらに対して (1-9) を使えば、「微分多様体」第20節 (20-36) により、

(1-19)

òΩ

f dV =

d —–  dt

òΩ

π dV =

òΩ

ì í î

¶π —–  ¶t

+ div(πv)

ü ý þ

dV

　ただし div(πv) = ¶_i(πv_i) で、同一項内に同じ添字が出てきた場合は 1 〜 3 まで和をとることにします。Ω は任意にとれるので

(1-20)  f =

¶π —–  ¶t

+ div(πv)

が成り立ちます。これが (1-9) に対応する式です。さて、(1-16) を使って (1-20) を更に変形すると、

(1-21)  f =

¶(hv) —— ¶t

+ ¶i(hvvi) =

ì í î

¶h —– ¶t

+ ¶i(hvi)

ü ý þ

v + h

ì í î

¶ —–  ¶t

+ vi¶i

ü ý þ

v = h

ì í î

¶ —–  ¶t

+ vi¶i

ü ý þ

v

　ただし最後の等号で (1-15) を使いました。ここで、力学的エネルギー密度 k を

(1-22)  k º

hv² —— 2

で定義し、(1-21) と v の内積をとれば、

(1-23)  v · f = hv ·

ì í î

¶ —–  ¶t

+ vi¶i

ü ý þ

v = h

ì í î

¶ —–  ¶t

+ vi¶i

ü ý þ

v² —– 2

=

ì í î

¶k —–  ¶t

+ ¶i(kvi)

ü ý þ

-

v² —– 2

ì í î

¶h —– ¶t

+ ¶i(hvi)

ü ý þ

=

¶k —–  ¶t

+ ¶i(kvi)

　ただし、ここでも最後の等式で (1-15) を使いました。したがって、

(1-24)

¶k —–  ¶t

+ div(kv) = v · f

が成り立ちます。これは (1-3) に対応する式です。最後に (1-13) に対応する式を導いてみましょう。まず、角運動量密度 λ を

(1-25)  λ º s ´ π

で定義します。(1-20) の左から s ´ を施すと、

(1-26)  s ´ f = s ´

ì í î

¶π —–  ¶t

+ ¶i(πvi)

ü ý þ

=

ì í î

¶(s ´ π) ———– ¶t

+ ¶i(s ´ πvi)

ü ý þ

-

ì í î

¶s —– ¶t

+ vi¶is

ü ý þ

´ π =

ì í î

¶λ —–  ¶t

+ ¶i(λvi)

ü ý þ

- viei ´ π

　ただし e_i は第 i 方向の単位ベクトルです。ここで、

(1-27)  viei ´ π = v ´ π = hv ´ v = 0

が成り立ちますから、

(1-28)  s ´ f =

¶λ —–  ¶t

+ div(λv)

が得られます。