古典力学

　本節では多数の質点 s_i からなる系の運動について解説します。なお、本節では遠隔作用論を前提にし、作用・反作用の法則を本質的に使います。

　質点 s_i の質量を m_i 、速度を v_i 、運動量を p_i 、質点 s_i が s_j から受ける力を F_ij 、それとは別に、質点 s_i が外部から受ける力を F_i とします。このとき、運動方程式は、

(3-1)  Fi + åj Fij = mi

dvi ——  dt

=

dpi —— dt

となります。ここで、総質量 m 、重心 s 、重心の速度 v 、総運動量 p 、総外力 F 、総角運動量 L 、合力のモーメント N を

(3-2)  m º åi mi

(3-3)  s º

åi misi ———–  m

(3-4)  v º

ds —– dt

=

åi mivi ———–  m

(3-5)  p º mv = åi mivi =åi pi

(3-6)  F = åi Fi

(3-7)  L = åi si ´ pi

(3-8)  N = åi si ´ Fi

で定義します。ここで (3-5) を t で微分すると、

(3-9)

dp —– dt

= åi

dpi —— dt

= åi

æ è

Fi + åj Fij

ö ø

= åi Fi +

1 —– 2

åij (Fij + Fji)

　ここで作用・反作用の法則の (N1) を用いると、右辺第２項はキャンセルして消えるので、(3-6),(3-5) から次の結果が得られます。

(3-10)  F =

dp —– dt

= m

dv —– dt

　これは１個の質点に対する運動方程式 (1-9),(D) と全く同じ形をしていますが、F が相互間の力を含まない外力の合計であることに注意します。特に、外力がない場合は (3-10) の左辺は 0 となるので、総運動量は一定、すなわち運動量の保存則が成り立ちます。

　次に、(3-7) を t で微分すると、

(3-11)  dL —– dt	= åi d —–  dt (si ´ pi)
	= åi ì í î dsi —— dt  ´ pi + si ´ dpi —— dt  ü ý þ
	= åi ì í î vi ´ mvi + si ´ æ è Fi + åj Fij ö ø ü ý þ       ( ∵ (3-1) )
	= åi si ´ Fi + 1 —– 2  åij (si ´ Fij + sj ´ Fji)
	= åi si ´ Fi + 1 —– 2  åij (si - sj) ´ Fij      ( ∵ (N1) )

　ここで作用・反作用の法則の (N2) を用いると、右辺第２項はキャンセルして消えるので、(3-8) から次の結果が得られます。

(3-12)  N =

dL —– dt

　これは１個の質点に対する方程式 (1-13) と全く同じ形をしています。特に、外力のモーメントがすべて消える場合は (3-12) の左辺は 0 となるので、総角運動量は一定、すなわち角運動量の保存則が成り立ちます。

　次に、重心の性質について調べてみましょう。重心から見た質点 s_i の位置ベクトルを s'_i と書きます：

(3-13)  s'i = si - s

　このとき、(3-3) により

(3-14)  åi mis'i = åi mi(si - s) = åi misi - ms = 0

が成り立ちますから、

(3-15)  v'i º

ds'i —— dt

=

dsi —— dt

-

ds —– dt

= vi - v

(3-16)  p'i º miv'i = mivi - miv = pi - miv

と置くと、(3-5),(3-2) により

(3-17)  åi p'i = åi ( pi - miv) = p - mv = 0

　ゆえに、

(3-18)  L	= åi si ´ pi
	= åi (s + s'i) ´ (miv + p'i)      ( ∵ (3-13),(3-16) )
	= s ´ åi miv + s ´ åi p'i + åi mis'i ´ v + åi s'i ´ p'i
	= s ´ mv + åi s'i ´ p'i      ( ∵ (3-2),(3-17),(3-14) )

　そこで

(3-19)  Lg = s ´ p

(3-20)  L' = åi s'i ´ p'i

と置くと、

(3-21)  L = Lg + L'

が成り立ちます。いいかえると、質点系の総角運動量は、重心にすべての質量が集まったとした場合の角運動量と、重心を中心に考えた総角運動量の和になります。
　また、力のモーメントについても、

(3-22)  N	= åi si ´ Fi
	= åi s ´ Fi + åi s'i ´ Fi      ( ∵ (3-13) )
	= s ´ F + åi s'i ´ Fi      ( ∵ (3-6) )

　ゆえに、

(3-23)  Ng = s ´ F

(3-24)  N' = åi s'i ´ Fi

　と置けば、

(3-25)  N = Ng + N'

が成り立ちます。いいかえると、力のモーメントも、重心に合力が働いたとした場合の力のモーメントと、重心を中心に考えた力のモーメントの和になります。ここで (3-19) を t で微分すると、

(3-26)

dLg ——  dt

=

d —–  dt

(s ´ p)

=

ds —– dt

´ p + s ´

dp —– dt

= v ´ mv + s ´ F = s ´ F

　よって (3-23) により

(3-27)  Ng =

dLg ——  dt

　したがって、(3-12) から (3-27) を差し引いて (3-21),(3-25) に注意すると、

(3-28)  N' =

dL' —— dt

が得られます。また、運動エネルギーは、

(3-29)  K	= åi mivi² ——–  2        ( vi = |vi| )
	= åi mi|v + v'i|² ————–  2        ( ∵ (3-15) )
	= åi miv² + 2miv · v'i + miv'i² ——————————–  2
	= åi miv² + 2v · p'i + miv'i² —————————–  2        ( ∵ (3-16) )
	= mv² —— 2 + åi miv'i² ———  2        ( ∵ (3-17) )

　ゆえに

(3-30)  Kg =

mv² —— 2

(3-31)  K' = åi

miv'i² ———  2

と置くと、

(3-32)  K = Kg + K'

が成り立ちます。いいかえると、質点系の運動エネルギーも、重心にすべての質量が集まったとした場合の運動エネルギーと、重心を中心に考えた運動エネルギーの和になります。

　さてここで、質点相互間の力 F_ij の大きさが両質点間の距離のみの関数である場合を考えます：

(3-33)  Fij = fij(|si - sj|)

si - sj ——— |si - sj|

　このとき、f_ij の原始関数を g_ij とすれば、(1-1),(3-1) により、

(3-34)  dK —— dt	= åi d —–  dt mivi² ——–  2
	= åi vi · {Fi + åj Fij}
	= åi vi · Fi + 1 —– 2  åij (vi - vj) · Fij
	= åi vi · Fi + 1 —– 2  åij (vi - vj) · fij(|si - sj|) si - sj ——— |si - sj|
	= åi vi · Fi + 1 —– 2  åij d —–  dt gij(|si - sj|)

　したがって、内部ポテンシャル・エネルギー V を

(3-35)  V = -

1 —– 2

åij gij(|si - sj|)

で定義すれば、

(3-36)

d —–  dt

(K + V ) = åi vi · Fi

　ここで F_i の一部がポテンシャル・エネルギー U_i(s_i) によって

(3-37)  Fi = F'i - grad Ui(si)

と書ける場合は、

(3-38)

d —–  dt

(K + V ) = åi vi · F'i - åi vi · grad Ui(si) = åi vi · F'i - åi

d —–  dt

Ui(si)

　そこで、外部ポテンシャル・エネルギー U を

(3-39)  U = åi Ui(si)

で定義すれば、

(3-40)

d —–  dt

(K + V + U ) = åi vi · F'i

が成り立ちます。特に、外力 F_i がすべてポテンシャル・エネルギーによる場合は、F'_i = 0 なので、

(3-41)  K + V + U = e      ( 一定 )

というエネルギー保存則が成り立ちます。また、ポテンシャル U_i(s_i) が、質点によらないある定ベクトル g により

(3-42)  Ui(si) = mig · si

と書けるとき、言い換えると (3-37) が

(3-43)  Fi = F'i - mig

と書けるとき、U_i(s_i) を位置エネルギーと呼びます。この場合、(3-3) により、(3-39) は

(3-44)  U = åi mig · si = mg · s

となり、重心に mg の力が働いている場合の位置エネルギーに一致します。また、(3-8),(3-43),(3-3) により、力のモーメントも

(3-45)  N = åi si ´ Fi = åi si ´ F'i - åi misi ´ g = åi si ´ F'i - ms ´ g

となり、ポテンシャルによる力のモーメントは、重心のみに全質量がある場合のそれと一致します。