古典力学

　前節で出てきた慣性テンソル I は時間と共に変化します。そこで、これを時間によらないテンソルで表すことを考えます。(4-27) と (4-38) により、

(5-1)  I = åi mi{ | As'io|² 1 - (As'io)(As'io)† } = åi mi{ | s'io|² 1 - As'io(s'io)†A† } = åi mi{ | s'io|² AA† - As'io(s'io)†A† }

　ゆえに

(5-2)  I = AIoA†

　ただし

(5-3)  Io = åi mi{ |s'io|² 1 - s'io(s'io)† }

は時刻 t = 0 における慣性テンソルで、t に依存しません。I^o は対称行列ですから、ある直交行列 D が存在して

(5-4)  Io = D

æ ç ç è

I1 0  0

0  I2 0

0  0  I3

ö ÷ ÷ ø

D†

と対角化できます。I_i ( i=1,2,3 ) は I^o の固有値ですが、これらを慣性モーメントといいます。ここで、列ベクトル e_i ( i=1,2,3 ) を、

(5-5)  AD = (e1, e2, e3)

で定義すると、

(5-6)  (Ie1 , Ie2 , Ie3) = IAD = AIoD = AD

æ ç ç è

I1 0  0

0  I2 0

0  0  I3

ö ÷ ÷ ø

= (e1, e2, e3)

æ ç ç è

I1 0  0

0  I2 0

0  0  I3

ö ÷ ÷ ø

= (I1e1 , I2e2 , I3e3)

となるので、e_i は固有値 I_i に対する長さ 1 の固有ベクトルです。これら e_i の方向を慣性主軸と呼びます。ここで

(5-7)  ω' = A†ω = A-1ω

(5-8)  ω" = D†ω' = D-1ω'

と置けば、(5-4),(5-2),(4-41) により

(5-9)  ω"†

æ ç ç è

I1 0  0

0  I2 0

0  0  I3

ö ÷ ÷ ø

ω" = ω' †D

æ ç ç è

I1 0  0

0  I2 0

0  0  I3

ö ÷ ÷ ø

D†ω' = ω' †Ioω' = ω†AIoA†ω = ω†Iω = 2K'

となりますが、(4-40) により K' > 0 であり、ω" は任意にとれますから

(5-10)  Ii > 0

　すなわち慣性モーメントは正であることがわかります。また、ω が慣性主軸の方向を向いていれば、ある i に対して

(5-11)  ω = aei

と書けるので、これを (4-39) に代入して (5-6) を使えば

(5-12)  L' = Iω = aIei = aIiei = Iiω

となって、s を中心にした角運動量と角速度の方向は一致します。

　さてここで、外力 F_i が存在しない場合を考えてみましょう。まず (1-9) により p は一定、従って (3-30) により K_g も一定です。一方、(4-46) で U = 0 なので、K も一定、従って (3-32) により K' も一定です。ところで、(5-10) により、

(5-13)  ξ †Ioξ = 1

を満たす ξ の全体は一つの楕円体を構成します。これを慣性楕円体といいます。(5-7) により、ω' は剛体に固定した座標から見た角速度ですが、(5-9) は ω'/Ö2K が慣性楕円体上を動くことを示しています。
　また、(3-24),(3-28) により L' は一定、したがって、(4-39) により

(5-14)  Iω = L' = (一定)

　これと ω の内積をとれば、(5-9) により

(5-15)  L' · ω = ω · Iω = ω†Iω = 2K' = (一定)

となりますが、ξ の方程式：

(5-16)  L' · ξ = 2K'

は t に依存しない平面の方程式ですから、角速度 ω はこの平面上を動くこともわかります。また、(5-14) は、(5-2),(5-7) により

(5-17)  AIoω' = L' = (一定)

と書けるので、両辺にそれぞれの転置行列を左から乗じると、A が直交行列であることと I^o が対称行列であることにより、

(5-18)  ω' †(Io)²ω' = |L' |² = (一定)

となって、(5-9) とは別の楕円体の式が得られます。すなわち、ω' は、(5-9),(5-18) という２つの楕円体の交線上を動くことがわかります。

　次に、剛体が特別な形（質量分布）をしている場合について、慣性モーメントを計算してみましょう。(5-3) は、質量密度が r の連続的な分布をしている場合には、積分によって

(5-19)  Io =

ò

(|s|² 1 - ss†)rdV

と表わせます。ここで r が z-軸に対して回転対称、すなわち積分の変数を円筒座標 (r, q, z)：

(5-20a)  x = r cos q

(5-20b)  y = r sin q

(5-20c)  z = z

で表わしたとき、r が q に依存しない場合を考えます。

(5-21)  |s|² = x² + y² + z² = r² + z²

が成り立ちますから、

(5-22)  |s|² 1 - ss† =

æ ç ç è

|s|²-x² -yx -zx

-xy |s|²-y² -zy

-xz -yz |s|²-z²

ö ÷ ÷ ø

=

æ ç ç è

r²sin²q + z² -r²sin q cos q   -rz cos q

-r²sin q cos q     r²cos²q + z² -rz sin q

-rz cos q -rz sin q   r²

ö ÷ ÷ ø

よって (5-19) は、

(5-23)  Io =

ò

¥    dz -¥

ò

¥    r(r, z)rdr 0

ò

2p 0

æ ç ç è

r²sin²q + z² -r²sin q cos q   -rz cos q

-r²sin q cos q     r²cos²q + z² -rz sin q

-rz cos q -rz sin q   r²

ö ÷ ÷ ø

dq = p

ò

¥    dz -¥

ò

¥ 0

æ ç ç è

r² + 2z² 0 0

0 r² + 2z² 0

0 0 2r²

ö ÷ ÷ ø

r(r, z)rdr

　従って z-軸は慣性主軸の一つであり、これを３番目の座標に持つ直交座標の座標軸はすべて慣性主軸です。このときの慣性モーメントについては

(5-24)  I1 = I2

が成り立ち、I₁ = I₂ と I₃ の値は、z-軸を３番目の座標に持つ任意の直交座標について、それぞれ共通です。

　なお、sin(q + p/2) = cos q ，cos(q + p/2) = - sin q ですから、r が q に依存する場合でも、q に関して周期 p/2 をもつ周期関数であれば、上記の結論はそのまま成り立つことがわかります。

　さて、(5-24) が成り立つとき、ω' を z-軸に平行な成分 w'_// z ( z はz-軸方向の単位ベクトル ) と垂直な成分 ω'_^ により

(5-25)  ω' = w'// z + ω'^

と分解すれば、(5-24) により

(5-26)  Ioω' = I3 w'// z + I1 ω'^

が成り立ちます。