古典力学

　任意の３次直交行列 A は９つの成分を持ち、座標軸方向の単位ベクトルを変換すると互いに直交する単位ベクトルになることを要請する６個の条件がありますから、自由度は差し引き 3 です。本節では、A を具体的に３つのパラメターで表示する方法を２種類紹介します。

　まず最初の方法は、A をある軸のまわりの回転として表現する方法です。A は (4-31) を満たすので、両辺の行列式をとれば、

(6-1)  1 = det 1 = det(AA†) = det A det A† = (det A)²

ですから

(6-2)  det A = ± 1

です。今後は A として、時刻 0 で単位行列となる直交行列の時刻 t における A(t) のみを考えるので、行列式の t に関する連続性により、(6-2) は単位行列の行列式、すなわち 1 の方を常にとるものとします：

(6-3)  det A = 1

　さて、

(6-4)  A(1 - A)† = A(1 - A†) = A - 1

ですから、両辺の行列式をとると、

(6-5)  det A det(1 - A) = det A det{(1 - A)†} = det{A(1 - A)†} = det (A - 1)

　ここで (6-3) と

(6-6)  det (1 - A) = (-1)³ det (A - 1) = - det (A - 1)

に注意すれば、

(6-7)  det (1 - A) = 0

でなければなりません。すなわち A は固有値 1 を持ちます。したがって、ある長さ 1 の固有ベクトル e が存在して、

(6-8)  Ae = e

となります。e は定数倍しても (6-8) を満たしますから、これは A が不動軸を持っていることを意味します。ここで、e と直交する単位ベクトル e' を任意にとり、

(6-9)  e" = e ´ e'

と置くと、e , e' , e" は R³ の正規直交基底となります。ゆえに、A が直交行列であることと (6-8) により、Ae' , Ae" も e と直交しますから、これらは e' , e" の線形結合で表わせます：

(6-10a)  Ae' = ke' + le"

(6-10b)  Ae" = me' + ne"

　ここで Ae' , Ae" が互いに直交する単位ベクトルであることに注意すると、

(6-11a)  k² + l² = 1

(6-11b)  m² + n² = 1

(6-11c)  km + ln = 0

　さらに (6-3) の要請により

(6-11d)  kn - lm = 1

　これらの解は、(6-11a) より、ある実数 q を用いて

(6-12a)  k = cos q

(6-12b)  l = sin q

と書け、(6-11c) ´ cos q - (6-11d) ´ sin q により

(6-12c)  m = - sin q

が得られ、(6-11c) ´ sin q + (6-11d) ´ cos q により

(6-12d)  n = cos q

が得られます。ゆえに、(6-10a),(6-10b) は、

(6-13a)  Ae' = cos q e' + sin q e"

(6-13b)  Ae" = - sin q e' + cos q e"

と書けます。さてここで e の成分表示：

(6-14)  e =

æ ç ç è

a b c

ö ÷ ÷ ø

によって、反対称行列 E を

(6-15)  E =

æ ç ç è

0 c -b

-c 0 a

b -a 0

ö ÷ ÷ ø

で定義します。このとき、任意の３次元ベクトル ξ に対して

(6-16)  Eξ = e ´ ξ

が成り立ちます。一方、

(6-17)  e ´ e" = e ´ (e ´ e') = e(e · e') - |e|² e' = - e'

となるので、(6-8),(6-9),(6-17) と (6-16) により、

(6-18a)  Ee = e ´ e = 0

(6-18b)  Ee' = e ´ e' = e"

(6-18c)  Ee" = e ´ e" = - e'

が成り立ちます。特に、(6-18b) と (6-18c) は、まとめて

(6-18d)  E(e" + i e') = i (e" + i e')

と書けます。ただし i は虚数単位です。ここで、一般に正方行列 P の指数関数 e^P º exp P を

(6-19)  eP =

¥ å n=0

P n —–  n!

で定義します。すると、

(6-20a)  eqEe =

¥ å n=0

(qE)ne ———  n!

= e = Ae      ( ∵ (6-18a),(6-8) )

(6-20b)  eqE(e" + i e') =

¥ å n=0

(qE)n(e" + i e') ——————  n!

=

¥ å n=0

(iq)n(e" + i e') —————–  n!

= eiq(e" + i e')      ( ∵ (6-18d) )

　ゆえにこれを実部と虚部に分ければ、

(6-20c)  eqEe" = cos q e" - sin q e' = Ae"      ( ∵ (6-13b) )

(6-20d)  eqEe' = sin q e" + cos q e' = Ae'      ( ∵ (6-13a) )

　すなわち e^qE と A は、R³ の基底 e , e' , e" に対して一致するので一致します。よって、A の表現として

(6-21)  A = eqE

という式が得られました。(6-21) では、A が反対称行列 qE の３個の独立な成分 qa , qb , qc によって表示されています。そこで、このような直交変換 A のことを、軸 e の周りに角度 θ 回転させる変換と呼ぶことにします。

　以上の方法から次のことがわかります。e を任意の単位ベクトル、a と b をどちらも e と直交する単位ベクトル（ただし a と b は直交していなくてもよい）とします。このとき、e, a, e ´ a の３つ組も、e, b, e ´ b も共に正規直交基底ですから、

(6-22a)  Ae = e

(6-22b)  Aa = b

(6-22c)  A(e ´ a) = e ´ b

を満たす直交行列 A が唯一つ存在します。しかも

(6-23)  A(e, a, e ´ a) = (e, b, e ´ b)

ですから、

(6-24)  det A = det A det(e, a, e ´ a) = det{A(e, a, e ´ a)} = det(e, b, e ´ b) = 1

となります。よって上述の結果により、ある実数 q が存在して、A は (6-21) の形に書けます。いいかえると、e から (6-14),(6-15) によって E を定義すると、

(6-25a)  eqEe = e

(6-25b)  eqEa = b

を共に満たすような実数 q が存在する、ということです。

　このことに注意して、A を３つのパラメターで表わす第２の方法について解説しましょう。
　A を行列式が 1 である任意の直交行列とします。z-軸の単位ベクトルを z と書くことにし、z と Az のどちらとも直交する単位ベクトルを e とし、反対称行列 E を (6-14),(6-15) によって定義します。このとき z も Az も e と直交する単位ベクトルですから、実数 a が存在して

(6-26a)  eaEe = e

(6-26b)  eaEz = Az

が成り立ちます。ここで、行列の指数関数に対して指数法則が成り立つことを確かめておきましょう。P と Q が可換なら、

(6-27)  eP+Q =

¥ å n=0

(P + Q)n ———–  n!

=

¥ å n=0

n å k=0

æ è

n k

ö ø

P k Q n-k ———–  n!

=

¥ å k=0

¥ å l=0

P k Q l ——– k!l!

= ePeQ

が成り立ちます。特に Q = - P とすれば、可換の条件を満たし、e^P+Q = e⁰ = 1 なので、e^Q = e^-P は e^P の逆行列であることがわかります。
　ゆえに、(6-26b) の左辺から e^-aE を乗じれば、e^-aEA は z を不動軸に持つことがわかり、e から (6-14),(6-15) によって E を作ったようにして z から作った反対称行列を

(6-28)  Z =

æ ç ç è

0 1 0

-1 0 0

0 0 0

ö ÷ ÷ ø

とすれば、

(6-29)  e-aEA = ebZ

となる実数 b が存在します。次に、y-軸の単位ベクトルを y とすると、y と e は z と直交するので、実数 f が存在して

(6-30a)  efZz = z

(6-30b)  efZy = e

が成り立ちます。すると、

(6-31)  e-fZeaEefZy = e-fZeaEe = e-fZe = y      ( ∵ (6-30b),(6-26a) )

　ゆえに直交行列 e^-fZe^aEe^fZ は、y-軸を不動軸に持ちます。したがって、e から (6-14),(6-15) によって E を作ったようにして y から作った反対称行列を

(6-32)  Y =

æ ç ç è

0 0 -1

0 0 0

1 0 0

ö ÷ ÷ ø

とすれば、

(6-33)  e-fZeaEefZ = eqY

となる実数 q が存在します。これは

(6-34)  eaE = efZeqYe-fZ

とも書けるので、これと (6-29) により、

(6-35)  A = eaEebZ = efZeqYe-fZebZ

　ここで y = b - f とおき、指数法則 (6-27) を用いれば、

(6-36)  A = efZeqYeyZ

となります。この表示 (6-36) における f，q，y の３個の実数をEulerの角といいます。

　さて、A が時間 t とともに変化する場合、(6-36) の f，q，y は t の関数になります。このときの角速度ベクトル ω を計算してみましょう。

(6-37)

d —– dl

e±lZ = ± ZelZ

などが成り立ちますから、(6-36) を t で微分すれば、

(6-38)

· A =

· f

ZefZeqYeyZ +

· q

efZYeqYeyZ +

· y

efZeqYZeyZ

　一方、(6-36) の転置行列をとると、Y と Z は反対称行列ですから

(6-39)  A† = e-yZe-qYe-fZ

　ゆえに、

(6-40)  Ω =

· AA† =

· f Z +

· q

efZYe-fZ +

· y

efZeqYZe-qYe-fZ

　ここで直交行列 B, C を

(6-41a)  B = efZeqY

(6-41b)  C = efZ

で定義し、

(6-42a)  y' º By = efZeqYy = efZy = Cy

(6-42b)  z' º Az = efZeqYeψZz = efZeqYz = Bz

と置きます。このとき、任意の３次元ベクトル ξ に対して

(6-43a)  efZYe-fZξ = CYC †ξ = C( y ´ C †ξ) = C(C †y' ´ C †ξ) = y' ´ ξ

(6-43b)  efZeqYZe-qYe-fZξ = BZB†ξ = B(z ´ B†ξ) = B(B†z' ´ B†ξ) = z' ´ ξ

　これらと (4-34) によって、(6-40) から ω を求めると、

(6-44)  ω =

· f z +

· q y' +

· y z'

となります。ここで y' と z' を具体的に求めるため、e^fZ と e^qY を計算してみましょう。

(6-45)  Y ² =

æ ç ç è

0 0 -1

0 0 0

1 0 0

ö ÷ ÷ ø

æ ç ç è

0 0 -1

0 0 0

1 0 0

ö ÷ ÷ ø

=

æ ç ç è

-1 0 0

0 0 0

0 0 -1

ö ÷ ÷ ø

(6-46)  Y ³ =

æ ç ç è

-1 0 0

0 0 0

0 0 -1

ö ÷ ÷ ø

æ ç ç è

0 0 -1

0 0 0

1 0 0

ö ÷ ÷ ø

=

æ ç ç è

0 0 1

0 0 0

-1 0 0

ö ÷ ÷ ø

= - Y

　よって

(6-47a)  Y 2k +1 = (-1)k Y      ( k ³ 0 )

(6-47b)  Y 2k = (-1)k -1 Y ²      ( k ³ 1 )

　ゆえに

(6-48a)  eqY	= ¥ å n=0 q nY n ——–  n!
	= ¥ å k=0 q 2k Y 2k ———  (2k)!  + ¥ å k=0 q 2k +1 Y 2k +1 —————  (2k+1)!
	= 1 + Y ² - ¥ å k=0 (-1)k q 2k ———–  (2k)!  Y ² + ¥ å k=0 (-1)k q 2k +1 —————  (2k+1)!  Y
	= 1 + Y ² - cos q Y ² + sin q Y
	= æ ç ç è cos q 0   - sin q   0   1 0 sin q 0   cos q ö ÷ ÷ ø

　同様に

(6-48b)  efZ = 1 + Z ² - cos f Z ² + sin f Z =

æ ç ç è

cos f sin f 0

- sin f cos f 0

0 0 1

ö ÷ ÷ ø

　ゆえに

(6-49a)  y' = efZy =

æ ç ç è

cos f sin f 0

- sin f cos f 0

0 0 1

ö ÷ ÷ ø

æ ç ç è

0 1 0

ö ÷ ÷ ø

=

æ ç ç è

- sin f cos f 0

ö ÷ ÷ ø

(6-49b)  z' = efZeqYz =

æ ç ç è

cos f sin f 0

- sin f cos f 0

0 0 1

ö ÷ ÷ ø

æ ç ç è

cos q 0   - sin q

0   1 0

sin q 0   cos q

ö ÷ ÷ ø

æ ç ç è

0 0 1

ö ÷ ÷ ø

=

æ ç ç è

cos f sin f 0

- sin f cos f 0

0 0 1

ö ÷ ÷ ø

æ ç ç è

sin q 0 cos q

ö ÷ ÷ ø

=

æ ç ç è

sin q cos f sin q sin f cos q

ö ÷ ÷ ø

　これらを用いて (6-44) を成分表示すれば、

(6-50a)  w1 = -

· q sin f +

· y sin q cos f

(6-50b)  w2 =

· q cos f +

· y sin q sin f

(6-50c)  w3 =

· q +

· y cos q

となります。