古典力学

　時刻 t に依存する、任意の２点間の距離を変えない空間座標の変換 T を考えます：

(9-1)  | T(s) - T(s') | = | s - s' |

　ここで a = T(0) 及び f(s) = T(s) - a と置けば、(9-1) により

(9-2)  | f(s) - f(s')| = | s - s' |

が成り立ちます。また f(0) = 0 ですから、(9-2) で s' = 0 と置くことにより

(9-3)  | f(s)| = | s |

が成り立ちます。これらの関係式を用いると、第４節の議論と同様にして、ある正方行列 A が存在して

(9-4)  f(s) = As

が成り立つことがわかります。実際、まず (9-3) を２乗すれば、

(9-5)  f(s) · f(s) = s · s

　次に (9-2) を２乗すれば、

(9-6)  { f(s) - f(s')}·{ f(s) - f(s')} = (s - s') · (s - s')

　これを展開して (9-5) を使えば

(9-7)  f(s) · f(s') = s · s'

がわかります。ゆえに、任意の実数 a , a' に対して

(9-8)  | f(as + a's') - a f(s) - a' f(s')|²	= | f(as + a's')|² + a²| f(s)|² + a' ²| f(s')|² - 2a f(as + a's') · f(s) - 2a' f(as + a's') · f(s') + 2aa' f(s) · f(s')
	= | as + a's' |² + a²| s |² + a' ²| s' |² - 2a(as + a's') · s - 2a'(as + a's') · s' + 2aa's · s'
	= | (as + a's') - as - a's' |²
	= 0

　従って

(9-9)   f(as + a's') = a f(s) + a' f(s')

となるので f は線形写像であることがわかります。ゆえにこの線形写像を行列で表したものを A と書けば (9-4) が成り立ち、(9-3) により A は直交行列であることがわかります。

　以上により、T は直交行列による線形変換と平行移動の合成変換：

(9-10)  T(s) = As + a

と書けます。そこでこれを回転運動する座標変換：

(9-11a)  s* = As

と、並進運動する座標変換

(9-11b)  s* = s + a

に分けて考察してみましょう。

　まず簡単な並進運動する座標変換 (9-11b) から考えてみます。(9-11b) の両辺を順次 t で微分すれば

(9-12a)

ds* —— dt

=

· s +

· a

(9-12b)

d²s* —— dt²

=

·· s +

·· a

となります。ここで (9-12b) の両辺に質量 m を乗じ、右辺第１項に運動方程式：

(9-13)  F =

·· ms

を代入すれば、s* に対する運動方程式：

(9-14)  m

d²s* —— dt²

= F +

·· ma

が得られます。
　ここで (9-14) を通常の運動方程式と比較すると、第１項の“本来の力”に加えて第２項の“みかけの力”が加わった形になっていることがわかります。そこで、この右辺第２項のことを並進運動する座標変換における慣性力とよびます。
　なお、並進運動が等速度で、この右辺第２項の慣性力が 0 となる場合は、通常の運動方程式がそのまま使えることに注意します。

　次に回転運動する座標変換 (9-11a) について考えます。(9-11a) の両辺を順次 t で微分すれば

(9-15a)

ds* —— dt

=

· As +

· As

(9-15b)

d²s* —— dt²

=

·· As + 2

· · As +

·· As

　ここで第４節と同様に

(9-16)  Ω º

· AA-1 =

· AA†

と置くと、(4-32) と全く同じ計算により Ω は反対称行列で、従ってある実数 w_i ( i=1,2,3 ) により (4-33) の形に書け、w_i を第 i 成分に持つベクトル ω により、任意のベクトル ξ に対し、

(9-17)  Ωξ = ω ´ ξ

が成り立つことがわかります。(9-16) により

(9-18a)

· A = ΩA

ですから、これを再度 t で微分して (9-18a) を用いれば

(9-18b)

·· A =

· ΩA +

· ΩA =

· ΩA + Ω ²A

　ゆえに (9-18a) を使えば、(9-15a) は

(9-19)

ds* —— dt

= ΩAs +

· As

となり、(9-15b) は

(9-20)	d²s* —— dt²	=  · ΩAs + Ω ²As + 2         · ΩAs +      ·· As         ( ∵ (9-18) )
		=  · ΩAs + Ω ²As + 2 Ω   æ è ds* —— dt - ΩAs ö ø +    ·· As         ( ∵ (9-19) )
		=  · ΩAs - Ω ²As + 2 Ω   ds* —— dt +    ·· As
		=  · Ωs* - Ω ²s* + 2 Ω   ds* —— dt +    ·· As         ( ∵ (9-11a) )
		=  · ω ´ s* - ω ´ (ω ´ s*) + 2 ω ´   ds* —— dt +    ·· As         ( ∵ (9-17) )

となります。ここで (9-20) の両辺に質量 m を乗じ、右辺最後の項に運動方程式 (9-13) を代入すれば、s* に対する運動方程式：

(9-21)  m

d²s* —— dt²

= F* + Fcent + Fcor + Facc

が得られます。ただし

(9-22a)  F* = AF =

·· mAs

は、もとの座標における力 F を座標変換したものを表します。また

(9-22b)  Fcent = - m ω ´ (ω ´ s*)

と置いて、これを遠心力とよび、

(9-22c)  Fcor = 2 m ω ´

ds* —— dt

と置いて、これをCoriolisの力とよび、これら２つに加えて

(9-22d)  Facc =

· m ω ´ s*

を併せて回転する座標変換に対する慣性力とよびます。
　この場合も、質点に本来の力に加えて慣性力が働いているかのように考えれば、通常の運動方程式が成り立っていると考えることができます。