古典力学

　前節までは、ベクトルを使って議論してきましたが、実際の質点系の運動を求めるには座標を用いた議論の方が便利です。しかも座標も直交座標だけでなく、任意の曲線座標を用いた表現ができれば更に便利です。
　質点系の運動を決める座標関数の全体を q_i ( i=1,¼,N ) とします。t と q_i ( i=1,¼,N ) 及びその時間微分の関数 T が与えられたとき、

(10-1)  ST º ST (q) =

ò

t1 t0

T(q,

· q, t) dt

( q = ( q1 ,¼, qN ) )

という積分を考えます。各関数 q_i に無限に近い関数を考え、それと q_i の差 dq_i が時刻の両端 t = t₀, t₀ で 0 となっているとき、この dq_i のことを q_i の仮想変位といいます。この仮想変位に伴う S_T の変化量を dS_T と書くと、

(10-2)  dST	º ST (q + dq) - ST (q)
	= ò t1 t0 T(q + dq,  · q +      · dq, t) dt -   ò t1 t0 T(q,  · q, t) dt
	= åi ò t1 t0 ì í î ¶T  —–  ¶qi dqi + ¶T  —–  ·  ¶qi   · dqi   ü ý þ dt
	= åi ò t1 t0 ì í î ¶T  —–  ¶qi dqi + ¶T  —–  ·  ¶qi d —–  dt  dqi ü ý þ dt
	= åi ò t1 t0 ì í î ¶T  —–  ¶qi dqi + d —–  dt æ è ¶T  —–  ·  ¶qi  dqi ö ø - d —–  dt æ è ¶T  —–  ·  ¶qi ö ø  dqi ü ý þ dt
	= åi ò t1 t0 ì í î ¶T  —–  ¶qi dqi - d —–  dt æ è ¶T  —–  ·  ¶qi ö ø  dqi ü ý þ dt + åi ¶T  —–  ·  ¶qi  dqi ½ ½ ½ t1 t0
	= åi ò t1 t0 dT  —–  dqi dqi dt

　ただし、dq_i が t = t_o , t₁ で 0 となることを用い、

(10-3)

dT  —–  dqi

º

¶T  —–  ¶qi

-

d —–  dt

æ è

¶T  —–  ·  ¶qi

ö ø

と置きました。さて、q から別の q' への１対１の変換：

(10-4)  q'i(t) º q'i(q1(t), ¼, qN(t), t)      ( i=1,¼,N )

あるいはこれを逆に解いた

(10-5)  qi(t) º qi(q'1(t), ¼, q'N(t), t)      ( i=1,¼,N )

を考えてみましょう。q の仮想変位 dq に対応する q' の仮想変位を dq' とすれば、

(10-6)  dqi = åj

¶qi —–  ¶q'j

dq'j

　これを (10-2) に代入すれば、

(10-7)  dST = åij

ò

t1 t0

dT  —–  dqi

¶qi —–  ¶q'j

dq'j dt

　一方、(10-2) を座標 q' の関数として表わした T に対して適用すれば、

(10-8)  dST = åj

ò

t1 t0

dT  —–  dq'j

dq'j dt

　これらを辺々引き算すれば、

(10-9)

åj

ò

t1 t0

æ è

åi

dT  —–  dqi

¶qi —–  ¶q'j

-

dT  —–  dq'j

ö ø

dq'j dt = 0

　dq'_j は任意に取れるので、(  ) の中はゼロ、すなわち

(10-10)

dT  —–  dq'j

= åi

dT  —–  dqi

¶qi —–  ¶q'j

が成り立つことがわかります。これは、言い換えると

(10-11)  d*T º åi

dT  —–  dqi

dqi = åi

ì í î

¶T  —–  ¶qi

-

d —–  dt

æ è

¶T  —–  ·  ¶qi

ö ø

ü ý þ

dqi

という１階の微分形式が座標の取り方によらないという形に表現することができます。

　ところで、T がある関数 c = c(q, t) の時間微分 dc/dt である場合は、

(10-12)  Sdc/dt =

ò

t1 t0

dc —–  dt

dt = c(q(t1), t1) - c(q(t0), t0)

ですから、dq が t = t₀ , t₁ で 0 となることから

(10-13)  dSdc/dt = 0

　すなわち、(10-2) と比較して、dq が任意に取れることから

(10-14)

d  —–  dqi

æ è

dc —–  dt

ö ø

= 0

　あるいは

(10-15)  d*

æ è

dc —–  dt

ö ø

= 0

が得られます。以上の結果を、質点系の運動エネルギー：

(10-16)  K = åi

mivi² ——–  2

=

1 —– 2

åi

mi { (

· xi1 )² + (

· xi2 )² + (

· xi3 )² }

の場合に適用してみましょう（ただし x_ij は x_i の第 j 成分）。

(10-17)

dK  ——  dxij

=

¶K  ——  ¶xij

-

d —–  dt

æ è

¶K  ——  ·  ¶xij

ö ø

= - mi

d²xij ——  dt²

ですから、Newtonの運動方程式 (D) は、

(10-18)

dK  ——  dxij

+ Fij = 0

と書くことができます（ただし F_ij は F_i の第 j 成分）。ここで任意の曲線座標 q_k ( k=1,¼,N ) を考え、(10-18) の両辺に ¶x_ij/¶q_k を乗じて i, j について和をとり、(10-10) を用いると、

(10-19)

dK  ——  dqk

+ åij Fij

¶xij —— ¶qk

= 0

　そこで

(10-20)  Qk º åij Fij

¶xij —— ¶qk

と置いて、これを q_k に共役な力とよべば、一般の曲線座標を用いたNewtonの運動方程式は

(10-21)

dK  ——  dqk

+ Qk = 0

という形になります。ここで仮想仕事とよぶ１階の微分形式 d'W を

(10-22)  d'W = åij Fijdxij

で定義すれば、q_k とそれに共役な力 Q_k の関係は、(10-20),(10-6) により、

(10-23)  d'W = åk Qkdqk

と書くことができ、運動方程式 (10-21) も

(10-24)  d*K + d'W = 0

という座標によらない単純な形に表現することができます。

　さて、ある曲線座標 q_k ( k = 1 ,¼, N ) において、最初の f 個の座標 q_k ( k = 1 ,¼, f ) のみが自由な値をとり、残りの座標は固定されている：

(10-25)  qk = ck      ( k = f + 1 ,¼, N )

という条件を束縛条件といい、このとき力学系は自由度が f であるといいます。このとき、各質点に働いている力 F_i を

(10-26)  Fi = F (e)i + F (r)i

と分け、その合力によって束縛状態が保たれるものとします。そして、F ^(r)_i から作られる q_k ( k = 1 ,¼, f ) に共役な力がゼロ：

(10-27)  Q (r)k º åij F (r)ij

¶xij —— ¶qk

= 0      ( k = 1,¼, f )

すなわち k = 1, ¼, f に対する仮想変位 dq_k による仮想仕事が常に 0 になるとき、F ^(r)_i を束縛力といいます。このとき F ^(e)_i から作った共役な力：

(10-28)  Q (e)k º åij F (e)ij

¶xij —— ¶qk

( k = 1,¼, f )

は Q_k ( k = 1 ,¼, f ) と一致しますから、運動方程式 (10-21) は

(10-29)

dK  ——  dqk

+ Q (e)k = 0      ( k = 1,¼, f )

と書くことができます。特に F ^(e)_i がポテンシャルによる外力などのように束縛条件とは無関係に与えられる場合には、束縛力のことを方程式で考慮する必要がなく、計算が著しく簡略化できます。
　なお、F ^(r)_ij が束縛力であることを正規直交座標によって表現すれば、

(10-30)  dqk º åij

¶qk ——  ¶xij

dxij  = 0      ( k = f + 1 ,¼, N )

を満たす任意の仮想変位 ds_i に対して

(10-31) åi F (r)i · dsi = 0

が成り立つ、という形になります。例えば剛体の場合、束縛条件は、任意の２つの質点の距離が一定：

(10-32)  |si - sj| = cij

という形を取りますが、この両辺を２乗して仮想変位をとれば

(10-33)  (si - sj) · (dsi - dsj) = 0

　作用・反作用の法則によれば、F ^(r)_ij = - F ^(r)_ji と s_i - s_j は平行ですから、(10-33) から

(10-34)  0 = F (r)ij · (dsi - dsj) = F (r)ij · dsi + F (r)ji · dsj

が導かれます。この式をすべての i, j について辺々加えれば、

(10-35) F (r)i = åj F (r)ij

により (10-31) が得られ、剛体の質点同士の間に働く力は束縛力であることがわかります。