古典力学

　前節の、束縛力以外の力 F ^(e)_i が、ある関数 U によって

(11-1)  F (e)ij = -

dU  ——  dxij

º

d —–  dt

æ è

¶U  ——  ·  ¶xij

ö ø

-

¶U  ——  ¶xij

と表わせるとき、この U を一般化されたポテンシャルと呼ぶことにします。これはポテンシャル・エネルギーの一般化になっており、例えば一般に t に依存するスカラー場 j_i(t, s) とベクトル場 A_i(t, s) により

(11-2)  U = åi {ji(t, si) - Ai(t, si) ·

· si }

と置けば、

(11-3)

¶U  ——  ·  ¶xij

= - Aij(t, si)

ですから

(11-4)

d —–  dt

æ è

¶U  ——  ·  ¶xij

ö ø

= -

dAij ——  dt

= -

¶Aij —— ¶t

- åk

· xik

¶Aij ——  ¶xik

　また、

(11-5)

¶U  ——  ¶xij

=

¶ji —— ¶xij

- åk

· xik

¶Aik —— ¶xij

　ゆえに、(11-1),(11-4),(11-5) により、

(11-6)  F (e)ij	= d —–  dt æ è ¶U  ——  ·  ¶xij ö ø - ¶U  ——  ¶xij
	= - ¶ji —— ¶xij - ¶Aij —— ¶t  + åk  · xik   æ è ¶Aik —— ¶xij - ¶Aij ——  ¶xik ö ø
	= - ¶ji —— ¶xij - ¶Aij —— ¶t  + åkmn (djmdkn - djndkm)  · xik   ¶Ain ——  ¶xim
	= - ¶ji —— ¶xij - ¶Aij —— ¶t  + åklmn ejklelmn  · xik   ¶Ain ——  ¶xim

　ただし３次元の反対称テンソル e_ijk （「微分多様体」第24節 (24-19) 参照）を用いました。これをベクトルの記法で書けば

(11-7)  F (e)i = - grad ji -

¶Ai ——  ¶t

+

· si ´ rot Ai

となります。これは、力 F が、速度に無関係な成分

(11-8)  Ei = - grad ji -

¶Ai ——  ¶t

と、速度比例の要素

(11-9)  Bi = rot Ai

によって

(11-10)  F (e)i = Ei +

· si ´ Bi

と書けることを意味し、電磁気学におけるLorentz力が、まさにそのような例になっています。

　一般の場合に戻り、力 F ^(e)_i が一般化されたポテンシャル U を持てば、(10-28) は、(10-10) により

(11-11)  Q (e)k º åij F (e)ij

¶xij —— ¶qk

= - åij

dU  ——  dxij

¶xij —— ¶qk

= -

dU  ——  dqk

( k = 1,¼, f )

となるので、運動方程式 (10-29) は

(11-12)

dK  ——  dqk

-

dU  ——  dqk

= 0       ( k = 1,¼, f )

となりますから、

(11-13)  L º K - U

と置いて、これをLagrangianとよべば、(11-12) は

(11-14)

dL  ——  dqk

º

¶L  ——  ¶qk

-

d —–  dt

æ è

¶L  ——  ·  ¶qk

ö ø

= 0       ( k = 1,¼, f )

という形に書けます。これをLagrangeの運動方程式といいます。前節 (10-2) を T = L に適用することにより、(11-14) は、任意の dq_k ( k=1,¼, f ) に対して dS_L = 0 、すなわち S_L が停留値を取るような q を求める式に他なりません。

　さて、実用上はLagrangeの運動方程式が便利なのですが、理論上は t について２階の微分方程式である点が扱いにくいため、変数を増やすことにより、これを１階の連立微分方程式に書き直してみましょう。

(11-15)  L º L(q, v, t)

を 2f + 1 変数の関数（q, v はそれぞれ f 変数）とみなし、さらに f 個の変数 p を導入して

(11-16)  H º åi pivi - L(q, v, t)

と置きます。これの微分をとると、

(11-17)  dH = åi

æ è

pi -

¶L  —–  ¶vi

ö ø

dvi + åi vidpi - åi

¶L  —–  ¶qi

dqi -

¶L —– ¶t

dt

　そこで

(11-18)  pi =

¶L  —–  ¶vi

と置けば、p は q, v, t の関数になりますが、各 q, t に対してこの関係を逆に解いて v を p, q, t で表わせば、L と H は p, q, t の関数となります。このとき (11-17) は

(11-19)  dH = åi vidpi - åi

¶L  —–  ¶qi

dqi -

¶L —– ¶t

dt

となり、これは

(11-20a)

¶H  ——  ¶pi

= vi

(11-20b)

¶H  ——  ¶qi

= -

¶L  —–  ¶qi

(11-20c)

¶H —– ¶t

= -

¶L —– ¶t

を意味しています。ゆえに、v に

· qi

を代入すれば、(11-18),(11-14) により

(11-21)

dpi ——  dt

=

d —–  dt

æ è

¶L  ——  ·  ¶qi

ö ø

=

¶L  ——  ¶qi

ですから、(11-20a),(11-20b) により

(11-22a)

dqi ——  dt

=

¶H  ——  ¶pi

(11-22b)

dpi ——  dt

= -

¶H  ——  ¶qi

という方程式が得られます。(11-22) のペアをHamiltonの運動方程式といい、p_i を q_i に共役な正準運動量といいます。逆に p, q を (11-22) の解とすると、(11-20a) と (11-22a) から

(11-23)

dqi ——  dt

= vi

が、また (11-20b),(11-22b) から

(11-24)

dpi ——  dt

=

¶L  —–  ¶qi

が得られますから、(11-18),(11-23),(11-24) からLagrangeの運動方程式が得られます。以上でHamiltonの運動方程式とLagrangeの運動方程式が同等であることがわかりました。

　さてここで、一般座標 q_i と正規直交座標 x_i の変換 (10-4) が t を陽に含まない場合を考えます。この場合、

(11-25)

· xij =

åk

¶xij —— ¶qk

· qk

ですから、K は

· qi

の２次の同次式になります。ゆえに

(11-26)

åi

¶K  ——  ·  ¶qi

· qi = 2K

　また、U については、

(11-27)  U = j - åi

· qi Ai

という形をしていると仮定します。この場合、

(11-28)

¶U  ——  ·  ¶qi

= - Ai

ですから、

(11-29)

åi

¶U  ——  ·  ¶qi

· qi = -

åi

· Aiqi = U - j

　ゆえに (11-23),(11-18),(11-13),(11-26),(11-29) により、

(11-30)

åi

· piqi =

åi

¶L  —–  ·  ¶qi

· qi =

åi

æ è

¶K  ——  ·  ¶qi

-

¶U  ——  ·  ¶qi

ö ø

· qi = 2K - U + j

　よって、これと (11-16),(11-23) により、

(11-31)  H = åi

· piqi - L = 2K - U + j - K + U = K + j

　特に A_i º 0 で、かつ j が t に陽に依存しないときは、U º j はポテンシャル・エネルギーに他なりませんから、(11-31) は、Hamiltonianが運動エネルギーとポテンシャル・エネルギーの和、すなわち全エネルギーに等しいことを意味しています。また、

(11-32)  Pi º

¶K  ——  ·  ¶qi

と置けば、これはポテンシャルが存在しない（すなわち外力が働かない）場合の q_i に共役な正準運動量で、これを q_i に共役な運動量と呼ぶことにします。(11-32) と (11-28) により

(11-33)  pi = Pi + Ai

という関係が成り立ちます。