古典力学

　p を q に共役な正準運動量とするとき、p, q, t の関数を物理量と呼ぶことにします。物理量 A º A(p, q, t) の時間微分を計算すると、

(12-1)

· A º

dA —–  dt

=

¶A —– ¶t

+ åi

æ è

¶A  —–  ¶qi

dqi —–  dt

+

¶A  —–  ¶pi

dpi —–  dt

ö ø

=

¶A —– ¶t

+ åi

æ è

¶A  —–  ¶qi

¶H  —–  ¶pi

-

¶A  —–  ¶pi

¶H  —–  ¶qi

ö ø

　ただし最後の等式で (11-22a),(11-22b) を使いました。ここで、任意に固定した p, q に対して一般に

(12-2)  {A, B} º åi

æ è

¶A  —–  ¶qi

¶B  —–  ¶pi

-

¶A  —–  ¶pi

¶B  —–  ¶qi

ö ø

と置けば、(12-1) は

(12-3)

· A =

¶A —– ¶t

+ {A, H}

と書くことができます。{A, B} を、q, p に対する物理量 A と B のPoisson括弧といいます。Poisson括弧の性質として、明らかに

(12-4a)  {qi, qj} = 0

(12-4b)  {pi, pj} = 0

(12-4c)  {qi, pj} = dij

(12-5)  {A, B} = - {B, A}

(12-6)  {A, A} = 0

(12-7)  {AB, C} = A{B, C} + {A, C}B

(12-8)  {A, BC} = {A, B}C + B{A, C}

が成り立ちます。特に (12-3) で A = H と置いて (12-6) を使えば、

(12-9)

· H =

¶H —– ¶t

が得られ、特に H が陽に t を含まなければ、

(12-10)  H = 一定

すなわちエネルギーの保存則が得られますが、もっと一般に、{A, H} = 0 かつ A が陽に t を含まなければ、(12-3) により

(12-11)  A = 一定

が得られます。例えば H が特定の p_i を含まなければ、(12-2) により明らかに {q_i, H} = 0 ですから

(12-12)  qi = 一定

が、同様に、H が特定の q_i を含まなければ、(12-2) により明らかに {p_i, H} = 0 ですから

(12-13)  pi = 一定

すなわち(正準)運動量の保存則が得られます。さて、

(12-14)  {{A, B}, C}	= åi æ è  ¶{A, B}  ———  ¶qi ¶C  —–  ¶pi -  ¶{A, B}  ———  ¶pi ¶C  —–  ¶qi ö ø
	= åij ¶  —–  ¶qi æ è ¶A  —–  ¶qj ¶B  —–  ¶pj - ¶A  —–  ¶pj ¶B  —–  ¶qj ö ø ¶C  —–  ¶pi - åij ¶  —–  ¶pi æ è ¶A  —–  ¶qj ¶B  —–  ¶pj - ¶A  —–  ¶pj ¶B  —–  ¶qj ö ø ¶C  —–  ¶qi
	= åij æ è ¶²A  ——–  ¶qi¶qj ¶B  —–  ¶pj ¶C  —–  ¶pi - ¶²B  ——–  ¶qi¶qj ¶C  —–  ¶pi ¶A  —–  ¶pj ö ø + åij æ è ¶²A  ——–  ¶pi¶pj ¶B  —–  ¶qj ¶C  —–  ¶qi - ¶²B  ——–  ¶pi¶pj ¶C  —–  ¶qi ¶A  —–  ¶qj ö ø
	+ åij æ è ¶²B  ——–  ¶qi¶pj ¶C  —–  ¶pi ¶A  —–  ¶qj - ¶²A  ——–  ¶qj¶pi ¶B  —–  ¶pj ¶C  —–  ¶qi ö ø + åij æ è ¶²B  ——–  ¶pi¶qj ¶C  —–  ¶qi ¶A  —–  ¶pj - ¶²A  ——–  ¶pj¶qi ¶B  —–  ¶qj ¶C  —–  ¶pi ö ø

ですが、この最後の表示は A, B, C についてサイクリックに入れ替えて足し合わせると、すべてキャンセルして消える形をしています。すなわち

(12-15)  {{A, B}, C} + {{B, C}, A} + {{C, A}, B} = 0

が成り立つことがわかります。これをJacobiの恒等式といいます。