古典力学

13．正準変換

　Hamiltonの運動方程式において、変数をうまく変換して、変換後のある変数がHamiltonianに陽に含まれないようにできたとすると、第12節の (12-12),(12-13) により、その変数に共役な変数は定数となり、運動方程式が一部解けることになります。そこで本節では、Hamiltonの方程式における変数変換について調べてみることにしましょう。

　t の関数 q(t) , p(t) と q , p , t の関数 H(q, p, t) に対して

(13-1)  L(q, p, t) º åi pi(t)  ·
qi(t) - H(q(t), p(t), t)

と置くと、Hamiltonの運動方程式は

(13-2a)  dL 
—–
 dqi		 º L 
—–
 ¶qi		 - d
—–
 dt		 æ
è		 L 
—–
 ·
 ¶qi		 ö
ø		 º - H 
—–
 ¶qi		 -  dpi
—–
 dt		 = 0

(13-2b)  dL 
—–
 dpi		 º L 
—–
 ¶pi		 - d
—–
 dt		 æ
è		 L 
—–
 ·
 ¶pi		 ö
ø		 º  ·
qi -		 H 
—–
 ¶pi		 = 0

という形に表わすことができます。

　2f 個の変数の組 (q, p) に対する座標変換：(q, p) ® (q'(q, p, t), p'(q, p, t)) が、p « q' 及び q « p' の変換についてそれぞれ可逆で

(13-3)  åi dqi ^ dpi = åi dq'i ^ dp'i

を満たすとき、この座標変換を正準変換といいます。ただし d は t を定数とみなしたときの微分を表わします。(13-3) はまた

(13-4)  d ( åi pidqi ) = d ( åi p'idq'i )

とも書くことができますが、これはポアンカレの補題（「微分多様体」第16節“ポアンカレの補題１”参照）により、q , p , t の関数 W が存在して

(13-5)  åi pidqi = åi p'idq'i + dW

と書けることとも同値です。また、これは両辺を 2 f 次元空間の任意の閉曲線 C に沿って積分すれば

(13-6)  åi òC pidqi = åi òC p'idq'i 

が成り立つこととも同値です。
　さて、仮定により正準変換は p « q' の変換に対して可逆ですから、q と q' を独立変数に選ぶことができます。このとき (13-5) の W は W(q, q', t) と書けますから

(13-7a)  pi = W(q, q', t)
————–
 ¶qi

(13-7b)  p'i = - W(q, q', t)
————–
 ¶q'i

が成り立ちます。ゆえに、W の q と q' に t の関数 q(t) , q'(t) を代入して t で微分すれば、(13-7) により

(13-8)  d
—–
 dt		 W(q(t), q'(t), t)
= åi W 
——
 ¶qi		 (q(t), q'(t), t)  ·
qi(t) + åi		 W 
——
 ¶q'i		 (q(t), q'(t), t)  ·
q'i(t) +		 W
—–
t		 (q(t), q'(t), t)

= åi pi(t)  ·
qi(t) - åi p'i(t)		  ·
q'i(t) +		 W
—–
t		 (q(t), q'(t), t)

となるので、これと (13-1) により

(13-9)  L(q, p, t) = åi p'i(t)  ·
q'i(t) - H(q(t), p(t), t) -		 W
—–
t		 (q(t), q'(t), t) + d
—–
 dt		 W(q(t), q'(t), t)

が成り立ちます。そこで、H(q, p, t) + ¶W(q, q', t)/¶t を q' , p' , t の関数として表わしたものを H'(q', p', t) と書くことにすれば、

(13-10)  H'(q'(t), p'(t), t) = H(q(t), p(t), t) + W
—–
t		 (q(t), q'(t), t)

となるので、更に

(13-11)  L'(q', p', t) º åi p'i(t)  ·
q'i(t) - H'(q'(t), p'(t), t)

と置けば

(13-12)  L'(q', p', t) = L(q, p, t) - d
—–
 dt		 W(q(t), q'(t), t)

が成り立ちます。ところで (10-14) により

(13-13a)  d 
—–
 dqi		 æ
è		 d
—–
 dt		 W(q(t), q'(t), t) ö
ø		 = 0

(13-13b)  d 
—–
 dq'i		 æ
è		 d
—–
 dt		 W(q(t), q'(t), t) ö
ø		 = 0

ですが、変数変換 (q, q') « (q, p) を行えば、(10-6) により、(13-13a) と

(13-13c)  d 
—–
 dpi		 æ
è		 d
—–
 dt		 W(q(t), q'(t), t) ö
ø		 = 0

の組が成り立ちます。ゆえに、(13-12) により、方程式 (13-2) は

(13-14a)  dL' 
—–
 dqi		 = 0

(13-14b)  dL' 
—–
 dpi		 = 0

と同値であり、変数変換 (q, p) « (q', p') を行えば、(10-6) により、これは更に

(13-15a)  dL' 
—–
 dq'i		 º L' 
—–
 ¶q'i		 - d
—–
 dt		 æ
è		 L' 
—–
 ·
 ¶q'i		 ö
ø		 º - H' 
—–
 ¶q'i		 -  dp'i
—–
 dt		 = 0

(13-15b)  dL' 
—–
 dp'i		 º L' 
—–
 ¶p'i		 - d
—–
 dt		 æ
è		 L' 
—–
 ·
 ¶p'i		 ö
ø		 º  ·
q'i -		 H' 
—–
 ¶p'i		 = 0

とも同値になります。言い換えると、H(q, p, t) をHamiltonianとする q , p のHamilton運動方程式が、正準変換により H'(q', p', t) をHamiltonianとする q' , p' のHamilton運動方程式に変換されたことになります。

　ところで W(q, q', t) を q と q' と t の関数とみなして微分すれば、(13-7),(13-10) により

(13-16)  dW = åi W 
——
 ¶qi		 dqi + åi W 
——
 ¶q'i		 dq'i + W
—–
t		 dt = åi pidqi - åi p'idq'i + (H' - H )dt

あるいはその微分をとって

(13-17)  åi dpi ^ dqi - dH ^ dt = åi dp'i ^ dq'i - dH' ^ dt

という関係式が得られます。

　さて、

(13-18a)  dqn = åi  ¶qn
——
 ¶q'i		 dq'i + åi  ¶qn
——
 ¶p'i		 dp'i 

(13-18b)  dpn = åi  ¶pn
——
 ¶q'i		 dq'i + åi  ¶pn
——
 ¶p'i		 dp'i 

と表わして、(q, p) から (q', p') への変換が正準変換であるための他の条件を求めてみましょう。(13-18a) と (13-18b) を ^ で繋いだものを n についてすべて加え、左辺を (13-3) によって変形し、両辺の dq'i ^ dp'j , dq'i ^ dq'j , dp'i ^ dp'j それぞれの係数を比較すると、

(13-19a)  ån æ
è		  ¶qn
——
 ¶q'i		  ¶pn
——
 ¶p'j		 -  ¶pn
——
 ¶q'i		  ¶qn
——
 ¶p'j		 ö
ø		 = dij

(13-19b)  ån æ
è		  ¶qn
——
 ¶q'i		  ¶pn
——
 ¶q'j		 -  ¶pn
——
 ¶q'i		  ¶qn
——
 ¶q'j		 ö
ø		 = 0

(13-19c)  ån æ
è		  ¶qn
——
 ¶p'i		  ¶pn
——
 ¶p'j		 -  ¶pn
——
 ¶p'i		  ¶qn
——
 ¶p'j		 ö
ø		 = 0

となりますが、ここでLagrange括弧を

(13-20)  (x, h) = ån æ
è		  ¶qn
——
¶x 		  ¶pn
——
¶h 		 -  ¶pn
——
¶x 		  ¶qn
——
¶h 		 ö
ø

で定義すれば、(13-19a)〜(13-19c) の条件は、

(13-21a)  ( q'i , p'j ) = - ( p'i , q'j ) = dij

(13-21b)  ( q'i , q'j ) = 0

(13-21c)  ( p'i , p'j ) = 0

と書けます。さて、x を q', p' の中から選んだ変数とするとき、任意の物理量 A に対して

(13-22)  åi {q'i , A}( q'i , x ) + åi {p'i , A}( p'i , x ) =  ¶A
—–
¶x

が成り立つことを確かめましょう。

(13-23a)  åi {q'i , A}( q'i , x )
= åijk æ
è		  ¶q'i
——
 ¶qj		 A 
—–
 ¶pj		 -  ¶q'i
——
 ¶pj		 A 
—–
 ¶qj		 ö
ø		 æ
è		  ¶qk
——
 ¶q'i		  ¶pk
——
¶x 		 -  ¶pk
——
 ¶q'i		  ¶qk
——
¶x 		 ö
ø

= åijk æ
è		  ¶q'i
——
 ¶qj		  ¶qk
——
 ¶q'i		 A 
—–
 ¶pj		  ¶pk
——
¶x 		 +  ¶q'i
——
 ¶pj		  ¶pk
——
 ¶q'i		 A 
—–
 ¶qj		  ¶qk
——
¶x 		 ö
ø		 - åijk æ
è		  ¶q'i
——
 ¶qj		  ¶pk
——
 ¶q'i		 A 
—–
 ¶pj		  ¶qk
——
¶x 		 +  ¶q'i
——
 ¶pj		  ¶qk
——
 ¶q'i		 A 
—–
 ¶qj		  ¶pk
——
¶x 		 ö
ø

　同様に、

(13-23b)  åi {p'i , A}( p'i , x )
= åijk æ
è		  ¶p'i
——
 ¶qj		 A 
—–
 ¶pj		 -  ¶p'i
——
 ¶pj		 A 
—–
 ¶qj		 ö
ø		 æ
è		  ¶qk
——
 ¶p'i		  ¶pk
——
¶x 		 -  ¶pk
——
 ¶p'i		  ¶qk
——
¶x 		 ö
ø

= åijk æ
è		  ¶p'i
——
 ¶qj		  ¶qk
——
 ¶p'i		 A 
—–
 ¶pj		  ¶pk
——
¶x 		 +  ¶p'i
——
 ¶pj		  ¶pk
——
 ¶p'i		 A 
—–
 ¶qj		  ¶qk
——
¶x 		 ö
ø		 - åijk æ
è		  ¶p'i
——
 ¶qj		  ¶pk
——
 ¶p'i		 A 
—–
 ¶pj		  ¶qk
——
¶x 		 +  ¶p'i
——
 ¶pj		  ¶qk
——
 ¶p'i		 A 
—–
 ¶qj		  ¶pk
——
¶x 		 ö
ø

　これらを辺々加えて、i による和を先に行えば、

(13-24)  åi {q'i , A}( q'i , x ) + åi {p'i , A}( p'i , x )
= åjk æ
è		  ¶qk
——
 ¶qj		 A 
—–
 ¶pj		  ¶pk
——
¶x 		 +  ¶pk
——
 ¶pj		 A 
—–
 ¶qj		  ¶qk
——
¶x 		 ö
ø		 - åijk æ
è		  ¶pk
——
 ¶qj		 A 
—–
 ¶pj		  ¶qk
——
¶x 		 +  ¶qk
——
 ¶pj		 A 
—–
 ¶qj		  ¶pk
——
¶x 		 ö
ø

= åjk æ
è		  djk A 
—–
 ¶pj		  ¶pk
——
¶x 		 + djk A 
—–
 ¶qj		  ¶qk
——
¶x 		 ö
ø

= åjk æ
è		 A 
—–
 ¶pj		  ¶pj
——
¶x 		 + A 
—–
 ¶qj		  ¶qj
——
¶x 		 ö
ø

=  ¶A
—–
¶x

となって、(13-22) が証明されました。特に、(13-22) で x = p'j , A = p'k と置けば、

(13-25a)  åi {q'i , p'k}( q'i , p'j ) + åi {p'i , p'k}( p'i , p'j ) =  ¶p'k
——
 ¶p'j		 = djk

同様に、(13-22) で x = q'j , A = p'k と置けば、

(13-25b)  åi {q'i , p'k}( q'i , q'j ) + åi {p'i , p'k}( p'i , q'j ) =  ¶p'k
——
 ¶q'j		 = 0

　また、(13-22) で x = p'j , A = q'k と置けば、

(13-25c)  åi {q'i , q'k}( q'i , p'j ) + åi {p'i , q'k}( p'i , p'j ) =  ¶q'k
——
 ¶p'j		 = 0

　これら (13-25) により、条件 (13-21) はまた

(13-26a)  {q'j , p'k} = djk

(13-26b)  {q'j , q'k} = 0

(13-26c)  {p'j , p'k} = 0

とも同値であることがわかります。

　さて、(q, p) から (q', p') への変換が正準変数であるとき、(13-22) で x = p'i と置いて (13-21) を使えば、

(13-27a)  {q'i , A} = A
—–
 ¶p'i

が得られ、(13-22) で x = q'i と置いて (13-21) を使えば、

(13-27b)  {p'i , A} = - A
—–
 ¶q'i

が得られます。(13-27b) の両辺に - ¶B/¶p'i を乗じると、

(13-28a)  A 
—–
 ¶q'i		 B 
—–
 ¶p'i		 = - åj æ
è		  ¶p'i
——
 ¶qj		 A 
—–
 ¶pj		 -  ¶p'i
——
 ¶pj		 A 
—–
 ¶qj		 ö
ø		 B 
—–
 ¶p'i		 = åj æ
è		 A 
—–
 ¶qj		  ¶p'i
——
 ¶pj		 B 
—–
 ¶p'i		 - A 
—–
 ¶pj		  ¶p'i
——
 ¶qj		 B 
—–
 ¶p'i		 ö
ø

　同様に、(13-27a) の両辺に - ¶B/¶q'i を乗じると、

(13-28b)  - A 
—–
 ¶p'i		 B 
—–
 ¶q'i		 = - åj æ
è		  ¶q'i
——
 ¶qj		 A 
—–
 ¶pj		 -  ¶q'i
——
 ¶pj		 A 
—–
 ¶qj		 ö
ø		 B 
—–
 ¶q'i		 = åj æ
è		 A 
—–
 ¶qj		  ¶q'i
——
 ¶pj		 B 
—–
 ¶q'i		 - A 
—–
 ¶pj		  ¶q'i
——
 ¶qj		 B 
—–
 ¶q'i		 ö
ø

　ゆえに、(13-28a) と (13-28b) を辺々加えて i について和をとれば、

(13-29)  åi æ
è		 A 
—–
 ¶q'i		 B 
—–
 ¶p'i		 - A 
—–
 ¶p'i		 B 
—–
 ¶q'i		 ö
ø		 = åj æ
è		 A 
—–
 ¶qj		 B 
—–
 ¶pj		 - A 
—–
 ¶pj		 B 
—–
 ¶qj		 ö
ø

　すなわち、Poisson括弧の値は正準変換に対して不変であることがわかります。

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