微分多様体

　本節では R を乗法の単位元を持つ可換環、V を n次元のR-加群とし、R-加群上の行列式やトレースを定義し、その応用としてテンソルの縮約を定義します。
　任意のn形式 ω に対し、ω の反対称性から

(3-1)  ω(ei , ej ,¼, ek) = eij¼kω(e1 ,¼, en )

が成り立ちますから、これを p = n と置いた (2-18) に代入し、(2-17) と比較すれば、

(3-2)  ω(v1 ,¼, vn ) = ωo(v1 ,¼, vn ) ω(e1 ,¼, en )

　が得られますが、v₁ ,¼, v_n は任意ですから、

(3-3)  ω = cωo       ( c = ω(e1 ,¼, en )ÎR )

　すなわち、任意のn形式は ω_o のスカラー倍として書けることがわかります。しかも (3-3) に e₁ ,¼,e_n を代入すると、

(3-4)  ω(e1 ,¼,en ) = cωo(e1 ,¼,en ) = c

となるので、(3-3) を満たすスカラー c は一意的に定まります。

　さて、A を V の自己準同型、すなわち V からそれ自身へのR-線形写像とすると、ω_o(Av₁ ,¼, Av_n ) は v₁ ,¼,v_n に関してn重R-線形かつ反対称ですから、一つのn形式を定めます。したがって (3-3) により、あるスカラー det AÎR が唯一つ存在して

(3-5)  ωo(Av1 ,¼, Avn ) = (det A) ωo(v1 ,¼, vn )

が成り立ちます。det A を A の行列式といいます。(3-3),(3-5) により、任意のn形式 ω に対して

(3-6)  ω(Av1 ,¼, Avn ) = (det A) ω(v1 ,¼, vn )

が成り立ちます。ここで B を別の V の自己準同型とし、(3-5) の v_i に Bv_i を代入すると、

(3-7)  ωo(ABv1 ,¼, ABvn ) = (det A) ωo(Bv1 ,¼, Bvn )

　ここで (3-5) の A を B に置き換えたものを右辺に代入すれば、

(3-8)  ωo(ABv1 ,¼, ABvn ) = (det A)(det B) ωo(v1 ,¼, vn )

　したがって、AB の行列式の定義により、

(3-9)  det(AB) = (det A)(det B)

となることがわかります。

　さて、Ae_i を (2-3) により e_j で表したとき、

(3-10)  Aei =

n å j=1

Aijej ÎV       ( i=1 ,¼, n )

に出てくる A_i^j を、与えられた基底のもとでの A の(i, j)成分といいますが、det A を A の成分を使って表してみましょう。

(3-11)  ωo(Ae1 ,¼, Aen ) =

n å i,j,¼,k=1

A1iA2j¼Ank ωo(ei ,¼, ek) =

n å i,j,¼,k=1

A1iA2j¼Ank eij¼k =

å sÎSn

(-)sA1s(1)A2s(2)¼Ans(n)

　ただし S_n はn次の置換群を、(-)^s は s の符号、すなわち s が偶置換のとき 1 、奇置換のとき -1 を表します。一方、

(3-12)  ωo(Ae1 ,¼, Aen ) = (det A) ωo(e1 ,¼, en ) = det A

ですから、

(3-13)  det A =

å sÎSn

(-)sA1s(1)A2s(2)¼Ans(n)

という成分表示が得られます。

　行列式を使うと自己準同型 A の可逆性が判定できます。まず、A が逆作用素 A^-1 を持つとします。(3-5) で v_i = A^-1e_i と置くと、

(3-14)  (det A) ωo(v1 ,¼, vn ) = ωo(Av1 ,¼, Avn ) = ωo(e1 ,¼, en ) = 1

　すなわち det A は R で乗法の逆元 (det A)^-1 = ω_o(v₁ ,¼, v_n ) を持つことがわかります。この逆を考えるために、次のような V の自己準同型 A^# を考えます。

(3-15)  A#v =

n å i=1

ωo(Ae1 ,¼, Aei-1 , v, Aei+1 ,¼, Aen )ei

　まず、勝手な u = å_i uⁱe_iÎV を取り、(3-15) で v = Au とおくと、(3-5) により、

(3-16)  A#Au	=  n å i=1 ωo(Ae1 ,¼, Aei-1 , Au, Aei+1 ,¼, Aen )ei
	=  n å i=1 (det A)ωo(e1 ,¼, ei-1 , u, ei+1 ,¼, en )ei
	= (det A)  n å i=1 uiei
	= (det A)u

　次に AA^# を計算するために、次の恒等式が成り立つことに注意します：

(3-17)

n å i=1

ωo(u1 ,¼, ui-1 , v, ui+1 ,¼, un )ui

= ωo(u1 ,¼, un )v

　実際、両辺ともに u_i ( i=1 ,¼, n ) について反対称ですから、各 u_i を e_i ( i=1 ,¼, n ) の一次結合で表して展開することにより、(3-17) を u_i = e_i の場合に証明すれば十分です。ところがこの場合は左辺が å_i vⁱe_i 、右辺が v となり両者一致します。
　さて、(3-15) の両辺に A を施すと、

(3-18)  AA#v =

n å i=1

ωo(Ae1 ,¼, Aei-1 , v, Aei+1 ,¼, Aen )Aei =

n å i=1

ωo(Ae1 ,¼, Aen )v = (det A)v

　ただし、２番目の等号で u_i = Ae_i として (3-17) を使い、３番目の等号で (3-12) を使いました。
　以上により、もし det A が R で乗法の逆元を持つなら、(3-16),(3-18) により、(det A)^-1A^# は A の逆作用素になっていることがわかります。A^# は行列でいえば A の余因子行列に相当するもので、成分表示すれば、A_i^j の多項式で表されます。

　次に自己準同型のトレースというものを考えるため、(2-3),(2-5) により、任意の vÎV に対し

(3-19)  v =

n å i=1

ei εi(v)

が成り立っていることに注意します。
　さて、２つのR-加群 V ，W と２つのR-線形写像 A：V ® W と B：W ® V を考えます。ただし V と W はいずれも基底を持つ(ただし次元は等しくなくてもよい)ものとします。V の基底 e₁ ,¼, e_n と双対基底 ε¹ ,¼, εⁿ 及び W の基底 e'₁ ,¼, e'_m と双対基底 ε' ¹ ,¼, ε' ^m に対して

(3-20)

m å j=1

ε' j(ABe'j) =

m å j=1

n å i=1

ε' j(Aei) εi(Be'j) =

n å i=1

m å j=1

εi(Be'j) ε' j(Aei) =

n å i=1

εi(BAei)

が成り立ちます。ただし、最初の等号で v = Be'_j として (3-19) を用い、３番目の等号で v = Ae_i として (3-19) を用いました。(3-20) で、W = V とし、B を恒等写像にとることにより、自己準同型 A に対し、

(3-21)  tr A =

n å i=1

εi(Aei)

が基底の取り方によらないことがわかります。これを A のトレースといいます。自己準同型の全体はR-加群を成しますが、トレースをとる操作はこのR-加群上のR-線形な汎関数です。また、(3-20) は

(3-22)  tr(AB) = tr(BA)

が成り立つことを意味しています。トレースを成分で表せば、(3-10),(3-21),(2-8) により、

(3-23)  tr A =

n å i=1

Aii

となります。
　さて、T を V 上の(1,1)-テンソルとすると、与えられた vÎV に対し、υÎV* に T(v ; υ)ÎR を対応させる写像はR-線形ですから V** の元です。ところが (2-14) によれば、これはある V の元 A_T v と同一視できて、

(3-24)  υ(ATv) = T(v ; υ)　　（ vÎV ，υÎV* ）

が成り立ちます。v に A_T v を対応させる写像 A_T は明らかに線形ですから、 A_T のトレースのことを T の縮約と呼んで、C₁¹T と書くことにします：

(3-25)  C11T = tr AT

　また (3-24) で v = e_j 、v = εⁱ とすれば、(A_T)_i^j = T_i^j となりますから、縮約の成分表示も

(3-26) C11T =

n å i=1

Tii =

n å i=1

T(ei ; εi)

となることがわかります。

　縮約の概念は、次のようにして一般の( p, q)-テンソル T に対しても定義できます。0 £i£p 、0 £j£q なる i, j を任意に取り、T(v₁ ,¼, v_p ; v¹ ,¼, v^q ) を v_i と v^j のみの関数と見ると、(1,1)-テンソルになりますから、その縮約を考えることができます。縮約をとった結果は、残りの引数に対する( p-1, q-1)-テンソルになりますから、これを C_i^jT と書いて、i 番目の共変引数と j 番目の反変引数に関する縮約といいます：

(3-27)  (CijT )(v1 ,¼, vi-1 , vi+1 ,¼, vp ; v¹ ,¼, vj-1 , vj+1 ,¼, vq ) =

n å k=1

T(v1 ,¼, vi-1 , ek , vi+1 ,¼, vp ; v¹ ,¼, vj-1 , εk , vj+1 ,¼, vq )

　これを成分表示すれば、

(3-28)  (CijT )¼¼ =

n å k=1

T¼k¼¼k¼

　ただし ¼k¼ の k の位置は、下付添字の方が左から i 番目、上付添字の方が左から j 番目です。