微分多様体

　R-加群 V 上の( p, q)-テンソル S と( p', q')-テンソル T に対し、( p+p', q+q' )-テンソル SÄT を次のように定義し、これを S と T のテンソル積といいます。

(4-1)  SÄT(v1 ,¼, vp+p' ; ω¹ ,¼, ωq+q' ) = S(v1 ,¼, vp ; ω¹ ,¼, ωq ) T(vp+1 ,¼, vp+p' ; ωq+1 ,¼, ωq+q' )

　次に V 上の微分形式の交代積を定義します。まず、p階共変テンソル T とp次の置換 s に対し、T^s を

(4-2)  T s(v1 ,¼, p ) = T(vs(1 ,¼, p))       ( viÎV )

で定義します。ただし v₁ ,¼, p は v₁ ,¼, v_p を、v_s(1 ,¼, p) は v_s(1) ,¼, v_s(p) をそれぞれ略記したものです。T ^s　は明らかにp階共変テンソルです。
　テンソル積は、明らかに両変数についてR-多重線形で、しかも結合則が成り立ちます：

(4-3)  (SÄT )ÄU = SÄ(T ÄU)

　次に i = 1 ,¼, k に対して V 上のp_i形式 w_i が与えられ、p = p₁ + ¼ + p_k とするとき、w_i ( i = 1 ,¼, k ) の交代積と呼ばれるp形式 w₁^¼^ w_k を次のように定義します。

(4-4)  w1^¼^ wk =

1  ———— p1!¼pk!

å sÎSp+q

(-)s(w1ļÄwk)s

　ただし、S_r はr次の置換全体の集合、(-)^s は置換 s の符号です。w₁^¼^ w_k は明らかに反対称ですから確かに p形式になっています。また、0形式 f と p形式 w に対し、w の反対称性と p次の置換の総数が p! であることから

(4-5)  f ^ w = f w

が成り立ちます。特に w_i がすべて１形式のときは、

(4-6)  w1^¼^ wk =

å sÎSk

(-)s(w1ļÄwk)s =

å tÎSk

(-)t(w1ļÄwk)t

-1

=

å tÎSk

(-)twt(1)ļÄwt(k)

　となります。次に p = p₁ + ¼ + p_m , q = q₁ + ¼ + q_n とし、p_i形式 a_i ( i=1 ,¼, m ) と q_j形式 b_j ( j=1 ,¼, n ) が与えられたとします。このとき

(4-7)  S = a1ļÄam

(4-8)  T = b1ļÄbn

と置くと、

(4-9)  (a1^¼^ am) ^ (b1^¼^ bn)	= 1 —— p!q! å rÎSp+q (-)r {(a1^¼^ am)Ä(b1^¼^ bn)}r
	= 1 —— p!q!  1  ———– p1!¼pm!  1  ———– q1!¼qn! å rÎSp+q å sÎSp å tÎSq (-)r (-)s (-)t (SsÄT t)r

　ここで、v_r(i) = u_i ，u_p+j = w_j と置くと、

(4-10)  (SsÄT t)r(v1 ,¼, p+q )	= (SsÄT t)(vr(1 ,¼, p+q) )
	= (SsÄT t)(u1 ,¼, p+q )
	= Ss(u1 ,¼, p )T t(up+1 ,¼, p+q )
	= Ss(u1 ,¼, p )T t(w1 ,¼, q )
	= S(us(1 ,¼, p ) )T(wt(1 ,¼, q ) )
	= S(us(1 ,¼, p ) )T(up+t(1) ,¼, p+t(q) )
	= S(vr(s(1 ,¼, p )) )T(vr(p+t(1) ,¼, p+t(q)) )
	= (SÄT )(vr(s(1 ,¼, p )), r(p+t(1) ,¼, p+t(q)) )

　そこで、r' を

(4-11)  r'(1 ,¼, p+q) º (r(s(1 ,¼, p)), r(p+t(1) ,¼, p+t(q))) = r(s(1 ,¼, p), p+t(1) ,¼, p+t(q))

で定義すれば、明らかに r'ÎS_p+q 及び

(4-12)  (SsÄT t)r = (SÄT)r'

が成り立っています。また s, t, r, r' がすべて恒等置換のときを考えればわかるように

(4-13)  (-)r' = (-)r (-)s (-)t

が成り立ちます。また、任意の r' と任意の (s, t) の組に対して (4-11) を成り立たせる r は丁度１個存在しますから、同じ r' を与える (s, t,r) の組は、p!q!個存在することになります。従って、(4-9) の最後の式は次のように変形されます：

(4-14)  (a1^¼^ am) ^ (b1^¼^ bn) =

1  ———— p1!¼pm!

1  ———— q1!¼qn!

å r'ÎSp+q

(-)r' (SÄT)r' = a1^¼^ am^ b1^¼^ bn

　従って特に、２項演算としての ^ については、次の結合法則が成り立つことがわかりました：

(4-15)  (a ^ b) ^ g = a ^ b ^ g = a ^ (b ^ g)

　次に a を p形式、b を q形式とします。

(4-16)  a ^ b =

1 ——  p!q!

å sÎSp+q

(-)s(aÄb) s

ですから、ここで t(1 ,¼, p+q) = ( p+1 ,¼, p+q, 1 ,¼, p) ，r = st と置くと、

(4-17)  (aÄb)s(v1 ,¼, p+q )	= (aÄb)(vs(1 ,¼, p+q) )
	= a(vs(1 ,¼, p) )b(vs(p+1 ,¼, p+q) )
	= a(vs(t(q+1 ,¼, q+p)) )b(vs(t(1 ,¼, q)) )
	= b(vr(1 ,¼, q) )a(vr(q+1 ,¼, q+p) )
	= (bÄa)r(v1 ,¼, p+q )

ですから、(4-16),(4-17) と (-)^t (-)^s = (-)^r により、

(4-18)  (-)ta ^ b =

1 —— p!q!

å rÎSp+q

(-)r(bÄa)r = b ^ a

　一方

(4-19)  (-)t = (-1)pq

ですから次の関係式が成り立ちます。

(4-20)  b ^ a = (-1)pq a ^ b

　最後に n次元のR-加群 V のテンソルを V の基底 e_i ( i=1 ,¼, n ) と V* の基底 ε^j ( j=1 ,¼, n ) のテンソル積で表してみましょう。(2-3),(2-5) により

(4-21)  vij = εj(vi)

ですから、これと (2-7) により、(2-10) は次のようになります。

(4-22)  T(v1 ,¼, p ; v1 ,¼, q) =

n å i,¼, j; k,¼, m=1

v1i¼vpjv¹k¼vqmTi¼jk¼m =

n å i,¼, j; k,¼, m=1

Ti¼jk¼mεi(v1)¼εj(vp )ek(v¹)¼em(vq )

　ゆえに次の標準表示が得られます：

(4-23)  T =

n å i,¼, j; k,¼, m=1

Ti¼jk¼mεiļÄεjÄekļÄem =

å kÎK, k'ÎK'

Tkk'εk(1)ļÄεk(p)Äek'(1)ļÄek'(q)

　ただし K º {1, 2 ,¼, n}^p ，K' º {1, 2 ,¼, n}^q です。T が p形式 w の場合は、これを更に変形すると、

(4-24)  w	=   å kÎK wkεk(1)Äεk(2)ļÄεk(p)
	=   å k(1)<k(2)<¼<k(p) å sÎSp wk(s)εk(s(1))Äεk(s(2))ļÄεk(s(p))
	=   å k(1)<k(2)<¼<k(p) å sÎSp (-)swkεk(s(1))Äεk(s(2))ļÄεk(s(p))
	=   å k(1)<k(2)<¼<k(p) wkεk(1) ^ εk(2) ^ ¼ ^ εk(p)

　ただし最後の等号で (4-6) を使いました。(4-24) により次の標準表示が得られます。

(4-25)  w =

å k(1)<¼<k(p)

wk εk(1) ^ ¼ ^ εk(p) =

å i<j<¼<k

wij¼kεi ^ εj ^ ¼ ^ εk