微分多様体

　AÎX(M) に対し、X(M) からそれ自身への演算子 L_A を

(5-1)  LAD = [A, D]

で定義し、これを D の A によるLie微分といいます。定義により、

(5-2)  LAA = 0

(5-3)  LA(B + C) = LAB + LAC

(5-4)  LA( fD) = (Af )D + f LAD       (  fÎE(M) )

(5-5)  LA+BD = LAD + LBD

(5-6)  LfAD = f LAD - (Df )A       (  fÎE(M) )

が成り立ちます。
　次に、p階の共変テンソル T に対するLie微分 L_AT を

(5-7)  LAT(D1 ,¼, Dp ) = A{T(D1 ,¼, Dp )} -

p å i=1

T(D1 ,¼, Di-1 , LADi , Di+1 ,¼, Dp )

で定義します。特に p = 0 すなわち T がスカラー f の場合は

(5-8)  LA f = Af

となります。T のE(M)-多重線形性と (5-4),(5-7) により、

(5-9)  LAT( f1D1 ,¼, fp Dp )
	= A{T( f1D1 ,¼, fp Dp )} -  p å i=1 T( f1D1 ,¼, fi-1Di-1 , LA( fiDi) , fi+1Di+1 ,¼, fpDp )
	= A{ f1¼fpT(D1 ,¼, Dp )} -  p å i=1 T( f1D1 ,¼, fi-1Di-1 , (Afi)Di , fi+1Di+1 ,¼, fp Dp ) -  p å i=1 T( f1D1 ,¼, fi-1Di-1 , fiLADi , fi+1Di+1 ,¼, fpDp )
	= ì í î A( f1¼fp ) -  p å i=1 f1¼ fi-1(Afi)fi+1¼fp ü ý þ T(D1 ,¼, Dp ) + f1¼fp é ë A{T(D1 ,¼, Dp )} -  p å i=1 T(D1 ,¼, Di-1 , LADi , Di+1 ,¼, Dp ) ù û
	= f1¼fp LAT(D1 ,¼, Dp )

が成り立ちますから、L_AT も E(M)-多重線形、したがってp階の共変テンソルです。また、p階共変テンソル S, T に対し、

(5-10)  LA(S + T ) = LAS + LAT

(5-11)  LA( f T ) = (Af )T + f LAT       (  fÎE(M) )

(5-12)  LA+BT = LAT + LBT

(5-13)  LfAT(D1 ,¼, Dp ) = f LAT(D1 ,¼, Dp ) +

p å i=1

(Di f )T(D1 ,¼, Di-1 , A, Di+1 ,¼, Dp )

が成り立ちます。ただし (5-13) の導出には (5-6),(5-7) を使いました。
　また、T が反対称のときは、D_i の中に同じものがあると (5-7) の右辺は 0 になるので、L_AT も反対称、すなわち L_A はp形式をp形式に写すことがわかります。

　１形式 ω に対する L_Aω が (5-7) で定義されたので、(p,q)-テンソル T についても L_AT を

(5-14)  LAT(D1 ,¼, Dp ; ω¹ ,¼, ωq )
= A{T(D1 ,¼, Dp ; ω¹ ,¼, ωq )} -	p å i=1	T(D1 ,¼, Di-1 , LADi , Di+1 ,¼, Dp ; ω¹ ,¼, ωq ) -	q å i=1	T(D1 ,¼, Dp ; ω¹ ,¼, ωi-1 , LAωi , ωi+1 ,¼, ωq )

で定義することができます。ω について (5-11) が成り立つことから、(5-9) の証明と同様にして、L_AT が (p,q)-テンソルであり、(5-10)〜(5-12) が成り立つことがわかります。

　また、２つのテンソル S, T のテンソル積については、定義式 (5-14) から明らかに、

(5-15)  LA(SÄT ) = (LAS)ÄT + SÄ(LAT )

が成り立ちます。更に、p形式 a とq形式 b に対しては、(5-7) による、

(5-16)  LA(a ^ b)(D1 ,¼, Dp ) = A{(a ^ b)(D1 ,¼, Dp )} -

p å i=1

(a ^ b)(D1 ,¼, Di-1 , LADi , Di+1 ,¼, Dp )

及び (4-4) による

(5-17)  (a ^ b)(D1 ,¼, p+q ) =

1 —— p!q!

å sÎSp+q

(-)s a(Ds(1 ,¼, p )) b(Ds(p+1 ,¼, p+q ))

を比較すれば、

(5-18)  LA(a ^ b) = (LAa) ^ b + a ^ (LAb)

が成り立つことがわかります。

　次に、恒等式

(5-19)  [LA , LB] = L[A, B]

を証明しましょう。まずベクトル場 D に対しては、(5-1) と第１節 (1-41),(1-46) により、

(5-20)  [LA , LB]D = LALBD - LBLAD = [A, [B, D]] - [B, [A, D]] = [A, [B, D]] + [B, [D, A]] = - [D, [A, B]] = [[A, B], D] = L[A, B]D

ですから成り立っています。
　次はp階共変テンソルです。(5-7) の T に L_BT を代入し、さらにこの L_BT を (5-7) で A を B に置き換えた式で変形すれば、

(5-21)  LALBT(D1 ,¼, Dp )	= A{LBT(D1 ,¼, Dp )} -  p å i=1 LBT(D1 ,¼, Di-1 , LADi , Di+1 ,¼, Dp )
	= AB{T(D1 ,¼, Dp )} -  p å i=1 A{T(D1 ,¼, Di-1 , LBDi , Di+1 ,¼, Dp )}
	-  p å i=1 B{T(D1 ,¼, Di-1 , LADi , Di+1 ,¼, Dp )} +   å  j<i T(D1 ,¼, Dj-1 , LBDj , Dj+1 ,¼, Di-1 , LADi , Di+1 ,¼, Dp )
	+  p å i=1 T(D1 ,¼, Di-1 , LBLADi , Di+1 ,¼, Dp ) +   å  j>i T(D1 ,¼, Di-1 , LADi , Di+1 ,¼, Dj-1 , LBDj , Dj+1 ,¼, Dp )

　A と B を入れ替えて辺々差し引けば、多くの項がキャンセルされて、

(5-22)  LALBT(D1 ,¼, Dp ) - LBLAT(D1 ,¼, Dp )

= AB{T(D1 ,¼, Dp )} - BA{T(D1 ,¼, Dp )} +

p å i=1

T(D1 ,¼, Di-1 , LBLADi , Di+1 ,¼, Dp ) -

p å i=1

T(D1 ,¼, Di-1 , LALBDi , Di+1 ,¼, Dp )

= [A, B]{T(D1 ,¼, Dp )} -

p å i=1

T(D1 ,¼, Di-1 , [LA, LB]Di , Di+1 ,¼, Dp )

= [A, B]{T(D1 ,¼, Dp )} -

p å i=1

T(D1 ,¼, Di-1 , L[A, B]Di , Di+1 ,¼, Dp )

= L[A, B]T(D1 ,¼, Dp )

　ただし３番目の等号で、ベクトル場について (5-19) が成り立つことを使いました。よって

(5-23)  [LA , LB]T = L[A, B]T

が証明されました。特に (5-23) が１形式 ω に対しても成り立つことに注意すると、(5-21),(5-22) と全く同様な計算で、(5-23) が一般の (p,q)-テンソルについても成立することがわかります。